2023-2024学年北京市顺义区高一（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年北京市顺义区高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B.
C. D.
2.函数的定义域为( )
A. B. C. D.
3.命题“，使得”的否定为( )
A. ， B. ，都有
C. ， D. ，都有
4.下列函数中，在区间上单调递增的是( )
A. B. C. D.
5.已知，，，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
6.已知，，是任意实数，且，则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
7.已知函数，则“”是“函数在区间上单调递增”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
8.燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬专家发现两岁燕子的飞行速度单位：可以表示为，其中表示燕子耗氧量的单位数某只两岁燕子耗氧量的单位数为时的飞行速度为，耗氧量的单位数为时的飞行速度为，若，则的值为( )
A. B. C. D.
9.已知函数，若方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
10.悬链线指的是一种曲线，如铁塔之间悬垂的电线，横跨深涧的观光索道的电缆等等，这些现象中都有相似的曲线形态，这些曲线在数学上被称为悬链线，悬链线的方程为，其中为参数，当时，该方程就是双曲余弦函数，类似的我们有双曲正弦函数，下列说法错误的是( )
A. B. 函数的值域
C. ，恒成立 D. 方程有且只有一个实根
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知幂函数的图象经过点，那么 ______ ．
12.若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为 ______ ．
13.已知函数，则当 ______ 时，函数取到最大值且最大值为 ______ ．
14.若点关于轴的对称点为，则角的一个取值为 ______ ．
15.如图，函数的图象为折线，函数是定义域为的奇函数，满足，且当时，，给出下列四个结论：
；
函数在内有且仅有个零点；
；
不等式的解集．
其中正确结论的序号是 ______ ．
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知不等式的解集为，非空集合．
求集合；
当时，求；
若，求实数的取值范围．
17.本小题分
在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于第三象限点．
求的值；
若角的终边绕原点按逆时针方向旋转，与单位圆交于点，求点的坐标．
18.本小题分
已知且的范围是_____．
从，，，，这四个选项中选择一个你认为恰当的选项填在上面的横线上，并根据你的选择，解答以下问题：
Ⅰ求，的值；
Ⅱ化简求值：．
19.本小题分
已知函数是定义在上的奇函数．
Ⅰ求实数的值；
Ⅱ判断函数在区间上的单调性，并用定义证明；
Ⅲ若有两个零点，请写出的范围直接写出结论即可．
20.本小题分
美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮某公司研发的，两种芯片都已经获得成功该公司研发芯片已经耗费资金亿元，现在准备投入资金进行生产经市场调查与预测，生产芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入亿元，公司获得毛收入亿元；生产芯片的毛收入亿元与投入的资金亿元的函数关系为，其图象如图所示．
试分别求出生产，两种芯片的毛收入亿元与投入资金亿元的函数关系式；
如果公司只生产一种芯片，那么生产哪种芯片毛收入更大？
现在公司准备投入亿元资金同时生产，两种芯片，设投入亿元生产芯片，用表示公司所获净利润，当为多少时，可以获得最大净利润？并求出最大净利润净利润芯片毛收入芯片毛收入研发耗费资金
21.本小题分
对于定义域为的函数，如果存在区间，使得在区间上是单调函数，且函数，的值域是，则称区间是函数的一个“优美区间”．
Ⅰ判断函数和函数是否存在“优美区间”？直接写出结论，不要求证明
Ⅱ如果函数在上存在“优美区间”，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合，，
则．
故选：．
根据已知条件，结合交集的定义，即可求解．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：函数，
则，解得，
故函数的定义域为．
故选：．
结合对数函数的真数大于，即可求解．
本题主要考查对数函数的定义域，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：“，使得”的否定为：，都有．
故选：．
存在改任意，将结论取反，即可求解．
本题主要考查特称命题的否定，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：，，在上单调递减，故ABC错误；
在区间上单调递增，故D正确．
故选：．
利用基本初等函数的性质对选项逐项判断即可．
本题主要考查函数单调性的判断，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：，，，
故．
故选：．
由已知结合指数函数及对数函数的单调性即可比较，，的大小．
本题主要考查了指数及对数函数的单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：当时，均不成立，
，
则，，
故，故B正确；
，，，满足，
但，故D错误．
故选：．
根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解．
本题主要考查不等式的性质，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：开口向上，对称轴为，
函数在区间上单调递增，则，
“”能推出“函数在区间上单调递增”，
但“函数在区间上单调递增”不能推出，有可能等于，
故“”是“函数在区间上单调递增”的充分不必要条件．
故选：．
根据二次函数的单调性与开口方向和对称轴有关，该函数开口向上，在对称轴右侧单调递增，结合充分条件必要条件的定义进行判定即可．
本题主要考查了二次函数的性质，以及充分条件、必要条件的判定，解题的关键是弄清二次函数的单调性与开口方向和对称轴有关．
8.【答案】
【解析】解：，
，
，
．
故选：．
由题意可再，再利用对数的运算性质求解即可．
本题主要考查了函数的实际应用，考查了对数的运算性质，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：方程有两个不相等的实数根，
即函数的图象与函数的图象有两个交点，
作出的图象及直线，如图所示：
直线斜率为，在轴上的截距为，
要使直线与曲线有两个交点，
则．
故选：．
方程有两个不相等的实数根，转化为函数的图象与函数的图象有两个交点，作出函数图象及直线，观察图象即可求解．
本题考查了函数的零点、方程的根及函数图像交点的关系，考查了数形结合思想，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：对于，，故A正确；
对于，，
因为，所以，所以，
所以，
所以函数的值域，故B正确；
对于，因为，
即，故C错误；
对于，，
令，函数为增函数，且，
而函数在上为增函数，
所以函数是增函数，
令，
因为函数，都是增函数，
所以函数是增函数，
又，，
所以函数有唯一零点，且在上，
即方程有且只有一个实根，故D正确．
故选：．
直接计算即可判断；
分离常数，再根据指数函数及反比例函数的性质即可判断；
举出反例即可判断；
令，根据函数的单调性结合零点的存在性定理即可判断．
本题考查了指数函数的性质、指数的运算，考查了函数的零点及转化思想，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：因为幂函数的图象过点，
所以，解得，
所以．
故答案为：．
根据幂函数的图象过点，列方程求出，再计算的值．
本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题．
12.【答案】
【解析】解：扇形的圆心角为，弧长为，
则扇形的半径为，
所以该扇形的面积为．
故答案为：．
根据扇形的弧长公式求出半径，再计算扇形的面积．
本题主要考查了扇形的弧长与面积的计算问题，是基础题．
13.【答案】
【解析】解：，
当且仅当，即时，等号成立，
故当时，函数取到最大值且最大值为．
故答案为：，．
根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．
本题主要考查基本不等式及其应用，属于基础题．
14.【答案】答案不唯一，只要符合，均可
【解析】解：点关于轴的对称点为，
，，
，，
解得，，
令，得，
角的一个取值为．
故答案为：答案不唯一，只要符合，均可．
由题意可知，，所以，，进而求出的值即可．
本题主要考查了正弦函数和余弦函数的性质，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：因为函数是定义域为的奇函数，
所以，故，即，故正确；
又，所以，所以，
即，所以函数周期为，
由图象可知，所以，由周期知，，
故函数在内有，，，，共个零点，故错误；
因为，
由图象可知，，又，
所以，故正确；
由图象，利用待定系数法可知，
在同一坐标系下，作出，的图象如下，
由图易知，
所以结合图象知不等式的解集，故正确．
故答案为：．
根据奇函数的性质可判断，根据题意推出函数为周期函数，根据周期结合在上的图象可得函数的零点判断，根据周期及奇函数的性质结合在上的图象判断，利用数形结合求出不等式的解集判断．
本题考查了函数的综合应用，属于中档题．
16.【答案】解：不等式，即，解得，
所以集合；
当时，集合，
结合，得；
根据题意，非空集合，可得，解得．
若，则，解得，即实数的取值范围是．
【解析】根据一元二次不等式的解法，求出不等式的解集，从而求得集合；
当时，集合，再根据并集的法则算出；
根据子集的性质，建立关于的不等式组，解之即可得到的取值范围．
本题主要考查不等式的解法、集合的包含关系与子集的定义等知识，考查了计算能力，属于基础题．
17.【答案】解：角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于第三象限点，
，，
；
设角的终边绕原点按逆时针方向旋转所对的角为，
则，
，，
点
【解析】利用任意角的三角函数的定义求解；
设角的终边绕原点按逆时针方向旋转所对的角为，则，再结合诱导公式和任意角的三角函数的定义求解即可．
本题主要考查了任意角的三角函数的定义，属于基础题．
18.【答案】解：，
则符合，不符合，
若选，
Ⅰ且，
则，；
Ⅱ．
若选，
Ⅰ且，
则，；
Ⅱ．
【解析】Ⅰ根据已知条件，结合三角函数的同角公式，即可求解；
Ⅱ根据已知条件，结合三角函数的诱导公式，即可求解．
本题主要考查三角函数的的诱导公式，以及三角函数的同角公式，属于基础题．
19.【答案】解：Ⅰ根据题意，函数是定义在上的奇函数，
则有，解可得，
当时，，定义域为，
有，为奇函数，符合题意，
故；
Ⅱ根据题意，在上的单调递减；
证明：由Ⅰ的结论，，
设，
有，
又由，
则，，则，
故在上的单调递减；
Ⅲ根据题意，设，
有，
又由，
则，，则，
故在上的单调递增，
在区间上，的最大值为，且恒成立；
又由为定义在上的奇函数，则在区间上，的最小值为，且恒成立；
的图象大致如图：
的最大值为，最小值为，
若有两个零点，即函数与直线有两个不同的交点，
必有或，即的取值范围为．
【解析】Ⅰ由奇函数的性质可得，求出的值，验证可得答案；
Ⅱ根据题意，利用作差法分析可得结论；
Ⅲ根据题意，分析在上的单调性和最值，结合函数的奇偶性可得的取值范围，由函数与方程的关系，分析可得答案．
本题考查函数与方程的关系，涉及函数的奇偶性和单调性，属于基础题．
20.【答案】解：设投入资金亿元，则生产芯片的毛收入，
将，代入，
得，解得，
生产芯片的毛收入；
由，得；由，得；
由，得，
当投入资金大于亿元时，生产芯片的毛收入更大；
当投入资金等于亿元时，生产，芯片的毛收入相等；
当投入资金小于亿元时，生产芯片的毛收入更大．
由题意知投入亿元生产芯片，则投入亿元资金生产芯片，
公司所获净利润，
令，则，
，
故当，即亿时，公司所获净利润最大，最大净利润为亿元．
【解析】由题意直接得到生产芯片的解析式，待定系数法求出生产芯片的解析式；
在的基础上，得到不等式和方程，得到答案；
表达出，换元后求出最值．
本题主要考查函数在实际问题中的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：Ⅰ存在区间，使得在区间上单调递增，且值域为，
所以函数存在“优美区间”；
函数不存在“优美区间”，
由为上的增函数，则有，，
也就是说方程有两个不同的解，，即方程有两个不同的实数解，
而，可知该方程无实数解，所以不存在“优美区间”．
Ⅱ函数在上单调递减，在上单调递增，
如果函数在上存在“优美区间”，则有以下两种情况：
当时，则，
即、是方程的两个不相等的非负实根，可得且，解得；
当，时，则，两式相减并化简，可得，则，，
所以，是方程的两个不相等的非正实数根，则且，解得．
综上所述，如果函数在上存在“优美区间”，则实数的取值范围是．
【解析】Ⅰ根据“优美区间”的定义，结合函数的表达式，得出两个函数关于“优美区间”的结论．
Ⅱ根据的单调区间，分和，两种情况讨论，结合“优美区间”的定义及根与系数的关系，求出实数的取值范围．
本题主要考查二次函数的性质、函数的单调性及其应用、一元二次方程根的判别式等知识，考查了计算能力、分类讨论的数学思想，属于中档题．
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