2023-2024学年宁夏吴忠市青铜峡市重点中学高二（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年宁夏吴忠市青铜峡市重点中学高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，，是空间中互不相同的四个点，则( )
A. B. C. D.
2.以为圆心，为半径的圆的标准方程是( )
A. B.
C. D.
3.抛物线的焦点坐标是( )
A. B. C. D.
4.若直线经过两点，且的倾斜角为，则的值为( )
A. B. C. D.
5.已知空间向量，，若，则( )
A. B. C. D.
6.双曲线的焦点到渐近线的距离为( )
A. B. C. D.
7.若椭圆的弦被点平分，则所在直线的方程为( )
A. B.
C. D.
8.椭圆：的左、右焦点分别为，，，是上两点，，，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知双曲线，则( )
A. 渐近线方程为 B. 焦点坐标是
C. 离心率为 D. 实轴长为
10.若直线：，与直线：互相平行，则的值可能为( )
A. B. C. D.
11.顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点的抛物线的标准方程为( )
A. B. C. D.
12.如图，在长方体中，，，若为的中点，则以下说法中正确的是( )
A. 线段的长度为
B. 异面直线和夹角的余弦值为
C. 点到直线的距离为
D. 三棱锥的体积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若，则数列的前项和 ______ ．
14.若圆与圆外切，则值为 ______ ．
15.双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为 ______ ．
16.过抛物线的焦点作直线，交抛物线于，两点，若线段中点的横坐标为，则等于______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知直线经过点，分别求满足下列条件的直线的方程：
与直线垂直；
与圆：相切．
18.本小题分
已知等差数列中，，求．
已知数列的前项和为且，求和．
19.本小题分
已知圆的圆心在轴上，且经过和两点．
求圆的方程；
过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程．
20.本小题分
如图，三棱柱中，，，．

证明；
若平面平面，，求直线 与平面所成角的正弦值．
21.本小题分
已知椭圆：的离心率为，其中左焦点为．
求椭圆的方程；
若直线与椭圆交于不同的两点，，且线段的中点在圆上，求的值．
22.本小题分
已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，点的横坐标为，且，，是抛物线上异于的两点．
求抛物线的标准方程；
若直线，的斜率之积为，求证：直线恒过定点．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：．
故选：．
运用向量加法法则、减法法则计算即可．
本题考查空间向量的线性运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：以为圆心，为半径的圆的标准方程是．
故选：．
根据圆心和半径即可求解．
本题主要考查圆的标准方程的特征，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由已知可得，且抛物线的开口向下，
故焦点坐标为，
故焦点坐标为．
故选：．
根据已知条件，结合抛物线的性质，即可求解．
本题主要考查抛物线的性质，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：由题意得：
，解得：．
故选：．
根据倾斜角的定义得到关于的方程，解出即可．
本题考查了直线的斜率，倾斜角问题，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：空间向量，，，
则，解得，
故，
．
故选：．
根据已知条件，结合向量垂直的性质，求出，再结合向量模公式，即可求解．
本题主要考查空间向量的数量积运算，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由题得：其焦点坐标为渐近线方程为
所以焦点到其渐近线的距离．
故选：．
先由题中条件求出焦点坐标和渐近线方程，再代入点到直线的距离公式即可求出结论．
本题给出双曲线的方程，求它的焦点到渐近线的距离．着重考查了点到直线的距离公式、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：设，，
则，
所以，
整理得，
因为为弦的中点，
所以，，
所以，
所以弦所在直线的方程为，即．
故选：．
利用点差法求解得，再根据点斜式求解即可得答案．
本题考查点差法的运用，考查运算求解能力，属于基础题．
8.【答案】
【解析】【分析】
由已知条件设，，在中，求得，在中，，由勾股定理求出，由此能求出椭圆的离心率．
本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意勾股定理的合理运用．
【解答】
解：椭圆：的左、右焦点分别为，，
，是上两点，，，
设，则，
在中，，
整理，得，即，即，
在中，，
，
将代入，得，，
即，
．
故选：．
9.【答案】
【解析】解：对于选项A，已知双曲线，则渐近线方程为，即选项A正确；
对于选项B，已知双曲线，由，则焦点坐标是，即选项B正确；
对于选项C，已知双曲线，则，即双曲线的离心率为，即选项C错误；
对于选项D，已知双曲线，则实轴长为，即选项D正确，
故选：．
由双曲线的性质逐一判断即可得解．
本题考查了双曲线的性质，属基础题．
10.【答案】
【解析】解：时，两条直线方程分别化为：，，此时两条直线不平行，舍去．
，由于，则，解得或，经过验证满足条件．
综上可得：或．
故选：．
对分类讨论，利用两条直线相互平行的条件即可得出．
本题考查了两条直线相互平行的充要条件，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：若焦点在轴上，设方程为，将点的坐标代入，得，
解得，所以抛物线的标准方程为；
若焦点在轴上，设方程为，将点的坐标代入，得，
解得，所以抛物线的标准方程为．
故抛物线方程为或．
故选：．
分焦点在轴上和轴上两种情况，利用待定系数法求解即可．
本题考查抛物线方程的求法，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系如图所示：
根据题意得，，，，，，
则，所以线段的长度为，选项A错误；
又，所以异面直线和夹角余弦值为：
，，选项B正确；
设直线上存在点满足，且，
则，所以，
则，又，所以，
解得，则，所以点到直线的距离为：
，选项C正确；
因为，选项D错误．
故选：．
根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算即可判断，结合等体积法即可判断．
本题考查了异面直线所成的角，点面距离和三棱锥的体积计算问题，是中档题．
13.【答案】
【解析】解：因为，
所以．
故答案为：．
发现数列的规律，并结合并项求和法，即可得解．
本题考查数列求和，熟练掌握并项求和法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：圆即，圆心为，半径为且，
圆即，圆心为，半径为，
因为两圆外切，所以，解得．
故答案为：．
根据两圆外切列方程，解方程即可．
本题主要考查两圆的位置关系，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：双曲线的渐近线方程为，
又双曲线的一条渐近线方程为，
则，，其中，
则，
即该双曲线的离心率为．
故答案为：．
由双曲线的渐近线方程，结合双曲线离心率的求法求解．
本题考查了双曲线的渐近线方程，重点考查了双曲线离心率的求法，属中档题．
16.【答案】
【解析】解：抛物线方程为，抛物线的焦点为，准线为：
设线段的中点为，则到准线的距离为：，
过、分别作、与垂直，垂足分别为、
根据梯形中位线定理，可得
再由抛物线的定义知：，
．
故答案为：
根据抛物线方程得它的准线为：，从而得到线段中点到准线的距离等于过、分别作、与垂直，垂足分别为、，根据梯形中位线定理算出，结合抛物线的定义即可算出的长．
本题给出过抛物线焦点的一条弦中点的横坐标，求该弦的长度．着重考查了抛物线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．
17.【答案】解：因为两直线互相垂直，所以所求直线的斜率为，
故所求直线的方程，即；
因为，所以点在圆外．
当直线的斜率存在时，设其方程为，即．
由题意知圆的圆心坐标为，半径为．
因为圆心到切线的距离等于半径，所以，解得，故直线的方程为．
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，也满足条件．
故直线的方程为或．
故答案为：或．
【解析】根据已知直线的解析式可以求得直线的斜率为，利用点斜式即可；
分类讨论，利用点到直线的距离公式可得切线斜率，确定切线方程．
本题考查利用两直线位置关系，直线与圆相切求直线方程，属于基础题．
18.【答案】解：等差数列中，，，
所以，解得，，
故；
因为数列的前项和，
当时，，
当时，，适合上式，
故，．
【解析】结合等差数列的通项公式即可求解；
结合数列的和与项的递推关系即可求解，进而可求．
本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础题．
19.【答案】解：圆的圆心在轴上，设圆心为，由圆过点和，
由可得，即，求得，
可得圆心为，半径为，故圆的方程为，
直线被圆截得的弦长为，圆心到直线的距离，
当的斜率不存在时，直线的方程为，符合题意，
当的斜率存在时，设直线方程为，即，
，，
直线的方程为，即，
综上所述：直线的方程为或．
【解析】设圆心为，由求得的值，可得圆心坐标以及半径的值，从而求得圆的方程．
求出圆心到直线的距离，即可求直线的方程．
本题考查直线与圆的位置关系，属中档题．
20.【答案】证明：取中点，连接，，
，，
，
是正三角形，，
，，
平面，
平面，
；
解：由Ⅰ知，，
又平面平面，
平面平面，
，
所以平面，，
所以，
故，，两两垂直．
以为坐标原点，建立如图所示的坐标系，设，
可得，，
，，
则，，
，
设为平面的法向量，
则
可取，可得，
故，
故直线与平面所成角的正弦值为．
【解析】本题考查直线与平面所成的角，涉及直线与平面垂直的性质和平面与平面垂直的性质，属中档题．
取中点，连接，，得出，，运用平面，即可证明．
易证，，两两垂直．以为坐标原点建立空间直角坐标系，可得，求出平面的法向量，代入向量夹角公式，可得答案．
21.【答案】解：由题意椭圆：的离心率为，
其中左焦点为，，
即，可得，解得，
椭圆的方程为：．
设点，的坐标分别为，，
线段的中点为，
由，消去得，，
即，
，
，
，
点在圆上，
，
．
【解析】本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与圆锥曲线位置关系的应用，体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题．
直接由已知列关于，，的方程组，求解方程组得到，的值，则椭圆方程可求；
联立直线方程和椭圆方程，化为关于的一元二次方程，利用根与系数的关系求得线段的中点的坐标，代入圆的方程求得的值．
22.【答案】解：由题意得，，点的横坐标为，且，
则，
，
抛物线的方程为；；
证明：当直线的斜率不存在时，
设，，
因为直线，的斜率之积为
则，化简得．
所以，，此时直线的方程为．
当直线的斜率存在时，设其方程为，，，
联立，化简得，需满足，
根据根与系数的关系得，
因为直线，的斜率之积为，
所以，即，即，
解得舍去或，
所以，即，满足，所以，
即，
综上所述，直线过定点．
【解析】根据题意利用抛物线焦半径公式求得，可得答案；
讨论直线的斜率不存在和存在两种情况，斜率存在时，设出直线方程，联立抛物线方程，可得根与系数关系式，结合直线，的斜率之积为进行化简可得，的关系式，即可证明结论
本题主要考查了直线过定点问题，一般方法是设出直线方程，联立圆锥曲线方程，可得根与系数关系式，要结合题设进行化简得到参数之间的关系式，再结合直线方程即可证明直线过定点问题．
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