2023-2024学年河南省焦作市宇华重点学校高二（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年河南省焦作市宇华重点学校高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知平面的一个法向量，点在内，则到的距离为( )
A. B. C. D.
2.直线和直线垂直，则( )
A. B. C. 或 D. 或
3.动圆过定点，且与圆：相内切，则动圆圆心的轨迹方程是( )
A. B.
C. D.
4.直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
5.已知，是双曲线的两个焦点，为上一点，且，，则的离心率为
A. B. C. D.
6.设椭圆：，：的离心率分别为，，若，则( )
A. B. C. D.
7.已知实数，满足，则的最大值是( )
A. B. C. D.
8.某校组织甲、乙两个班的学生参加社会实践活动，安排有酿酒、油坊、陶艺、打铁、纺织、插花、竹编制作共七项活动可供选择，每个班上午、下午各安排一项活动不重复，且同一时间内每项活动只允许一个班参加，则活动安排方案的种数为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.直线与圆相切，且在轴、轴上的截距相等，则直线的方程可能是( )
A. B. C. D.
10.在如图所示的空间直角坐标系中，是棱长为的正方体，则下列结论正确的是( )
A. 平面的一个法向量为
B. 平面的一个法向量为
C. 平面的一个法向量为
D. 平面的一个法向量为
11.如图，在三棱柱中，侧棱底面，，，是棱的中点，是的延长线与的延长线的交点若点在直线上，则下列结论错误的是( )
A. 当为线段的中点时，平面
B. 当为线段的三等分点时，平面
C. 在线段的延长线上，存在一点，使得平面
D. 不存在点，使与平面垂直
12.甲罐中有个红球、个黑球，乙罐中有个红球、个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，以表示事件“由甲罐取出的球是红球”，再从乙罐中随机取出一球，以表示事件“由乙罐取出的球是红球”，则( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
13.直线：，：，当直线与垂直时， ______ ．
14.已知直线：，：，若，则的值是 ______．
15.某企业将生产出的芯片依次进行智能检测和人工检测两道检测工序，经智能检测为次品的芯片会被自动淘汰，合格的芯片进入流水线并由工人进行人工检验；已知某批芯片智能自动检测显示合格率为，最终的检测结果的次品率为，则在智能自动检测结束并淘汰了次品的条件下，人工检测一枚芯片恰好为合格品的概率为 ______．
16.某学校开设了门体育类选修课和门艺术类选修课，学生需从这门课中选修门或门课，并且每类选修课至少选修门，则不同的选课方案共有 ______ 种用数字作答．
17.甲、乙二人进行射击游戏，甲、乙射击击中与否是相互独立事件，规则如下：若射击一次击中，则此人继续射击；若射击一次不中，就由对方接替射击已知甲、乙二人射击一次击中的概率均为，且第一次由甲开始射击，则前次射击中甲恰好击中次的概率是 ______ ；第次由甲射击的概率是 ______ ．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.本小题分
求经过直线：与直线：的交点，且满足下列条件的直线方程
与直线平行；
与直线垂直．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，平面平面，为的中点，，，，，．
求到平面的距离；
求直线与平面所成角的余弦值；
在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由．
20.本小题分
已知是抛物线：的焦点，是抛物线上一点，且．
求抛物线的方程；
若直线与抛物线交于，两点，且线段的中点坐标为，求直线的斜率．
21.本小题分
已知椭圆过点，离心率为．
求椭圆的方程；
已知的下顶点为，不过的直线与交于点，，线段的中点为，若，试问直线是否经过定点？若经过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
22.本小题分
近些年来，短视频社交软件日益受到追捧，用户可以通过软件选择歌曲，拍摄音乐短视频，创作自己的作品．某用户对自己发布的短视频个数与收到的点赞数之和之间的关系进行了分析研究，得到如下数据：
Ⅰ计算，的相关系数，并判断是否可以认为发布的短视频个数与收到的点赞数之和具有较高的线性相关程度？若，则线性相关程度一般；若，则线性相关程度较高．计算时精确度为
Ⅱ求出关于的线性回归方程．
参考数据：，，，．
附：相关系数公式：，
回归直线方程的斜率，截距．
23.本小题分
如图，设是圆上的动点，点是在轴上的投影，为上一点，且．
当在圆上运动时，求点的轨迹的方程
求过点，且斜率为的直线被所截线段的长度．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题给出平面的法向量和平面上的一点，求平面外一点到平面的距离．着重考查了向量的数量积公式和点到平面的距离计算等知识，属于中档题．
由题意算出，根据向量是平面的一个法向量，算出向量在上的投影的绝对值，即可得到到的距离，由此可得本题答案．
【解答】
解：根据题意，可得
，，，
又平面的一个法向量，点在内，
到的距离等于向量在上的投影的绝对值，
即．
故选：．
2.【答案】
【解析】解：由题意直线和直线垂直，
所以或，C正确．
故选：．
由直线垂直的充要条件列出方程求解参数即可．
本题主要考查直线垂直的性质，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由圆的方程可得，半径为，
设动圆的半径为，由题意可得，，
即，
即点在以，为焦点，焦距长为，实轴长为，
由双曲线的定义虚轴长为的双曲线上，且点在靠近点的一支曲线上，
所以点的轨迹方程为：，
故选：．
由题意可得，再由双曲线的定义可得点的轨迹为双曲线，且在靠近点的一支曲线上，丙可得，的值，进而求出的值，求出双曲线的方程．
本题考查求点的轨迹方程及双曲线的定义的应用，属基础题．
4.【答案】
【解析】解：由，可得，整理可得，其中，
所以，曲线表示圆的下半圆，如下图所示：
当直线与曲线相切时，由图可知，，
且有，解得，
当直线过点时，则有，
由图可知，当时，直线与曲线有两个公共点．
故选：．
曲线表示圆的下半圆，作出图形，求出当直线与曲线相切以及直线过点时对应的的值，数形结合可得出实数的取值范围．
本题考查了直线与圆的位置关系，数形结合的思想，属于中档题．
5.【答案】
【解析】解：设，，
则根据题意及余弦定理可得：
，解得，
所求离心率为．
故选：．
根据余弦定理，方程思想，双曲线的几何性质即可求解．
本题考查余弦定理，方程思想，双曲线的几何性质，属基础题．
6.【答案】
【解析】解：由椭圆：可得，，
，
椭圆的离心率为，
，
，
，
，舍去．
故选：．
利用椭圆：的方程可求其离心率，进而可求，可求．
本题考查椭圆的几何性质，考查运算求解能力，属基础题．
7.【答案】
【解析】解：根据题意，，即，其几何意义是以为圆心，半径为的圆，
设，变形可得，其几何意义为直线，
直线与圆有公共点，则有，解可得，
故的最大值为．
故选：．
根据题意，设，分析和，结合直线与圆的位置关系可得有，解可得的取值范围，即可得答案．
本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆的一般方程，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：根据题意，分种情况讨论：
，上下午共安排个活动上午个，下午个分配给甲，乙，故有种安排方案，
，上下午共安排个活动，上午个下午个，或上午个下午个分配给甲，乙，故有种安排方案，
，上下午共安排个活动，上午个，下午个分配给甲，乙，故有种安排方案，
故有种安排方案；
故选：．
根据题意，按安排活动的数目分种情况讨论，由加法原理计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：圆的圆心为，半径，
根据题意，可得直线的斜率存在，
若直线过坐标原点，设直线为，即，
则，解得，此时直线的方程为或；
若直线不过坐标原点，设直线为，即，
则，解得舍去或，此时直线的方程为．
综上所述，可得直线的方程为或或．
故选：．
根据题意得到圆心坐标与半径，按照直线过坐标原点和不过坐标原点两种情况加以讨论，设出直线方程并利用圆心到直线的距离等于半径，列式算出答案．
本题主要考查圆的方程及其性质、直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：因为，，，又，
所以平面，故A正确；
因为，而，
所以不是平面的法向量，故B错误；
因为，，
，，
，所以是平面的一个法向量，故C正确；
因为，而，
所以不是平面的一个法向量，故D错误．
故选：．
由已知图形结合线面垂直的性质逐一分析四个选项得答案．
本题主要考查平面的法向量，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
则由，，，，
，，所以，
，，设平面的一个法向量为，
则，取，则，，
所以平面的一个法向量为．
假设平面，且，
则因为也是平面的法向量，
所以与共线，
所以成立，
但此方程关于无解．
因此不存在点，使与平面垂直，
故选：．
首先建立以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，由空间向量法进行判断即可．
本题考查的知识要点：空间直角坐标系，空间向量的运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：甲罐中有个红球、个黑球，乙罐中有个红球、个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，
以表示事件“由甲罐取出的球是红球”，再从乙罐中随机取出一球，以表示事件“由乙罐取出的球是红球”，
对于，由等可能事件概率计算公式得，故A正确；
对于，，
，故B错误；
对于，，，
由全概率公式得：
，故C正确；
对于，由贝叶斯公式得：，故D正确．
故选：．
对于，由等可能事件概率计算公式判断；由条件概率计算公式判断；由全概率公式判断；由贝叶斯公式判断．
本题考查概率的求法，考查等可能事件、条件概率计算公式、全概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
13.【答案】
【解析】解：由直线：，：，
因为直线与垂直，所以，解得．
故答案为：．
根据题意，由两条直线的位置关系，列出方程，即可求解；
本题考查的知识要点：直线垂直的充要条件，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：直线：，：，，
当时，，此时，直线：，：，不满足条件．
当时，由题意可得，求得．
综上，，
故答案为：．
由题意，利用两直线平行的性质，分类讨论，求得的值．
本题主要考查两直线平行的性质，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：设该芯片智能自动监测合格为事件 ，人工监测一枚芯片恰好合格为事件 ，
，，
则在智能自动检测结束并淘汰了次品的条件下，人工检测一枚芯片恰好为合格品的概率．
故答案为：．
根据已知条件，结合条件概率的公式，即可求解．
本题考查条件概率，考查学生的计算能力，是基础题．
16.【答案】
【解析】解：若选门，则只能各选门，有种，
如选门，则分体育类选修课选，艺术类选修课选，或体育类选修课选，艺术类选修课选，
则有，
综上共有种不同的方案．
故答案为：．
利用分类计数原理进行计算即可．
本题主要考查简单的计数问题，利用分类计数原理进行计算是解决本题的关键，是基础题．
17.【答案】
【解析】解：第一空：前次射击中甲恰好击中次只有一种情况：第次甲击中，第次甲未击中，故概率是；
第二空：第次由甲射击有两种情况是：第次甲击中，第次甲还击中；第次甲未击中，第次乙也未击中，
故概率是．
故答案为：；．
第一空：前次射击中甲恰好击中次只有一种情况，从而得出结果；第二空：第次由甲射击有两种情况，分类讨论得出结果．
本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
18.【答案】解：由，解得 ，所以，交点．
斜率 ，由点斜式求得所求直线方程为 ，即 ．
斜率，由点斜式求得所求直线方程为，即 ．
【解析】先求出已知两直线的交点坐标，根据平行关系求出所求直线的斜率，点斜式斜直线的方程，并化为一般式．
根据垂直关系求出求直线的斜率，点斜式斜直线的方程，并化为一般式．
本题考查求两直线的交点坐标的方法，两直线平行、垂直的性质，直线的点斜式方程．
19.【答案】解：因为平面平面，，平面平面，
所以平面，
因为，，所以，
因为平面平面，平面平面，所以平面，
设到平面的距离为，因为，所以，
所以，解得，
所以到平面的距离为；
作，以为原点，以，的方向分别为轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则点，，，
，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
所以，即，，解得，
设直线与平面所成角为，
则直线与平面所成角的正弦值为：
，．
所以直线与平面所成角的余弦值为；
“线段上存在点，使得平面”等价于“”．
因为，设，，
则，．
由知平面的法向量为，
所以．
解得．
所以线段上存在点，即中点，使得平面．
【解析】由已知可证平面，平面由，可求到平面的距离；
作，以为原点，以，的方向分别为轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能求出结果；
“线段上存在点，使得平面”等价于“”设，，求出即可．
本题考查了点到面的距离的求法，向量法求二面角、动点问题等基础知识，考查运算求解能力，属中档题．
20.【答案】解：因为是抛物线：的焦点，是抛物线上一点，且．
根据抛物线的定义有
解得
故抛物线的方程为．
因为直线与抛物线交于，两点，
设，，则，
两式相减得，即．
因为线段的中点坐标为，所以，则，
故直线的斜率为．
【解析】根据抛物线的方程以及点在抛物线上，列出方程组求解可得结果；
设出，的坐标，代入抛物线的方程，结合弦中点，利用“点差法”可求得直线的斜率．
本题考查了抛物线的方程以及直线与抛物线的位置关系，属于中档题．
21.【答案】解：椭圆过点，离心率为，
依题意，得，解得，，
所以椭圆方程为．
因为，，所以，，
又为线段的中点，所以，因此，
根据题意可知直线的斜率一定存在，
设的方程为，，
联立，消去，整理得，
，
根据韦达定理可得，，
因为，，，
所以，
所以，
整理得，解得或，
又直线不经过点，所以舍去，
于是直线的方程为 恒过定点，该点在椭圆内，满足，
所以直线恒过定点，定点坐标为．
【解析】由椭圆过点，离心率为，列方程组，求出，，由此能求出椭圆方程．
推导出，设的方程为，，联立，消去，整理得，根据韦达定理、向量数量积公式，结合椭圆性质能求出直线恒过定点，定点坐标为．
本题考查直线与椭圆、根的判别式、韦达定理、弦长公式、向量数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
22.【答案】解：Ⅰ，，，
．
发布的短视频个数与收到的点赞数之和具有较高的线性相关程度．
Ⅱ，
又，，
，
关于的线性回归方程为．
【解析】根据已知条件，结合相关系数的公式，即可求解．
根据已知条件，结合最小二乘法和线性回归方程的公式，即可求解．
本题主要考查了线性回归方程的求解，需要学生熟练掌握最小二乘法公式，属于基础题．
23.【答案】解：设的坐标为，的坐标为，
由，解得：
在圆上，
，即，整理得：，
即的方程为：；
过点，斜率为，的直线方程为：，
设直线与的交点为，，
将直线方程代入的方程，得，整理得：
由韦达定理可知：，，
线段的长度为，
线段的长度丨丨
【解析】由题意可知：的坐标为，的坐标为，则，解得：，代入，整理得：；
设直线方程为：，代入椭圆方程，由韦达定理可知：，，弦长公式：丨丨，即可求得直线被所截线段的长度．
本题考查点的轨迹方程的求法，椭圆的标准方程的应用，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式的应用，考查计算能力，属于中档题．
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