2023-2024学年天津市部分区高二（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年天津市部分区高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共9小题，每小题4分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知空间向量，，则( )
A. B. C. D.
2.已知直线：与直线：平行，则实数的值为( )
A. B. C. 或 D. 不存在
3.抛物线的焦点坐标为( )
A. B. C. D.
4.在等比数列中，，，则的公比为( )
A. B. C. D.
5.若双曲线经过椭圆的焦点，且双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的方程为( )
A. B. C. D.
6.过点且与圆相切的直线方程为( )
A. B.
C. 或 D. 或
7.在棱长为的正方体中，为的中点，则点到平面的距离为( )
A. B. C. D.
8.已知，是椭圆：的左、右焦点，以为直径的圆与椭圆有公共点，则的离心率的最小值为( )
A. B. C. D.
9.设数列满足，则数列的前项和为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
10.已知空间向量，则 ______ ．
11.直线的倾斜角的大小为 ．
12.设为等差数列的前项和，且，，则 ______ ．
13.已知空间三点，，，则点到直线的距离为 ______ ．
14.圆和圆的公共弦长是______．
15.已知抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，若直线与圆交于，两点，且，则直线的一个斜率为 ______ ．
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
记为等差数列的前项和，已知，．
Ⅰ求的通项公式；
Ⅱ若是等比数列，且，，求的前项和．
17.本小题分
已知圆经过，两点和坐标原点．
Ⅰ求圆的方程；
Ⅱ垂直于直线的直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程．
18.本小题分
如图，三棱柱中，侧棱平面，为等腰直角三角形，，且，，，分别是，，的中点．
Ⅰ求直线与所成角的余弦值；
Ⅱ求证：平面；
Ⅲ求平面与平面夹角的余弦值．
19.本小题分
在数列中，，．
Ⅰ求，；
Ⅱ记；
证明数列是等差数列，并求数列的通项公式；
对任意的正整数，设，求数列的前项和．
20.本小题分
已知椭圆，离心率为，且经过点．
Ⅰ求的方程；
Ⅱ过点且斜率大于零的直线与椭圆交于另一个点点在轴下方，且的面积为为坐标原点，求直线的方程．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：空间向量，，
．
故选：．
根据空间向量的坐标运算法则求解．
本题主要考查了空间向量的坐标运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：直线：与直线：平行，
则，解得或，
当时，两直线重合，不符合题意，
当时，两直线不重合，符合题意，
故．
故选：．
根据已知条件，结合直线平行的性质，即可求解．
本题主要考查直线平行的性质，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：因为抛物线，所以，
所以抛物线的焦点坐标为．
故选D．
直接利用抛物线的定义，求出排趋性的焦点坐标即可．
本题考查抛物线的基本性质的应用，基本知识的考查．
4.【答案】
【解析】解：设等比数列的公比为，
则，
解得．
故选：．
设等比数列的公比为，由题意可得，求解即可．
本题主要考查了等比数列的通项公式，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：根据题意可得双曲线中，，
解得，，
该双曲线的方程为．
故选：．
根据椭圆的几何性质，双曲线的几何性质，即可求解．
本题考查椭圆的几何性质，双曲线的几何性质，属基础题．
6.【答案】
【解析】解：圆，
即，
圆心，半径，
易知点不在圆上，
当过点的斜率不存在时，
圆心到的距离为，
过点的一条切线为，
当过点的斜率存在，
可设切线方程为，
即 ，
圆心到直线的距离，
即，
解得，
过点且与圆相切的直线方程是，
即．
故选：．
先判断点与圆的位置关系，再设过点的直线方程，最后根据直线与圆相切即可求解即可．
本题考查直线与圆相切的性质，难度中等．
7.【答案】
【解析】解：如图，
在棱长为的正方体中，为的中点，
则，，则，
，设点到平面的距离为，
则．
故选：．
由题意画出图形，求出的面积，再由等体积法求解．
本题考查利用等体积法求点到平面的距离，考查运算求解能力，是中档题．
8.【答案】
【解析】解：，是椭圆：的左、右焦点，以为直径的圆与椭圆有公共点，
，可得，即，
故C的离心率．
即的离心率的最小值为．
故选：．
根据已知条件得到，再结合，，之间的等量关系即可得到结论．
本题考查椭圆的简单几何性质，属基础题．
9.【答案】
【解析】解：，
时，，
相减可得：，解得，
，
则数列的前项和为．
故选：．
利用递推关系可得，再利用裂项求和方法即可得出结论．
本题考查了递推关系、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：由，
可得．
故答案为：．
利用空间向量数量积的坐标运算直接求解即可．
本题考查空间向量数量积的坐标运算，属基础题．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线的一般式方程与直线的倾斜角的求法，考查计算能力，属于基础题．
利用直线方程求出斜率，然后求出直线的倾斜角．
【解答】
解：因为直线的斜率，设直线的倾斜角为，则，
所以直线的倾斜角为．
故答案为：．
12.【答案】
【解析】解：根据题意，设等差数列的公差为，
等差数列中，，则，
变形可得：，
又由，则有，即，
则有，
则．
故答案为：．
根据题意，设等差数列的公差为，变形求出的值，结合等差数列的通项公式分析可得答案．
本题考查等差数列前项和的计算，涉及等差数列的性质，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：点，，，
，，
则点到直线的距离为：
．
故答案为：．
利用空间向量坐标运算法则求点到直线的距离．
本题考查空间向量坐标运算法则、点到直线的距离公式等基础知识，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：两圆为，，
可得：，
即．
两圆的公共弦所在直线的方程是，
的圆心坐标为，半径为，
圆心到公共弦的距离为，
．
故答案为：．
先把个圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径以及公共弦所在的直线方程，再利用点到直线的距离公式，弦长公式，求得公共弦的长．
本题主要考查圆的标准方程，求两个圆的公共弦所在的直线方程的方法，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：圆，即的圆心为，半径为，所以，
设直线的斜率为，则直线的方程为：，
代入可得：，
设，，则，
所以，
所以，解得．
故答案为：．
根据圆的性质，求得，设直线方程，代入抛物线方程，根据韦达定理及抛物线的焦点弦公式，即可求得，根据题意即可求得直线的斜率．
本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理及抛物线的焦点弦公式的应用，考查转化思想，计算能力，属于中档题．
16.【答案】解：Ⅰ设数列的公差为，
因为，，
所以，解得，
所以的通项公式为．
Ⅱ设数列的公比为，
因为，，
所以，
所以，
所以．
【解析】Ⅰ利用等差数列的求和公式可得公差，再由等差数列的通项公式，即可得解；
Ⅱ先求得公比，再由等比数列的求和公式，即可得解．
本题考查数列的通项公式与前项和的求法，熟练掌握等差、等比数列的通项公式与求和公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
17.【答案】解：Ⅰ设圆的方程为，
将，，代入，得，
解得，，，所以圆的方程为，即．
Ⅱ由Ⅰ的结论得圆的圆心坐标为，半径．
根据直线垂直于直线，设直线的方程为，
由圆被直线截得的弦长，可得，其中为点到直线的距离，
所以，即，解得，即，解得或．
因此，直线的方程是或．
【解析】Ⅰ设出圆的一般式方程，将、、代入，得到、、的方程组，解之可得答案；
Ⅱ根据垂直的两条直线的方程的关系，可得直线的方程为，然后利用点到直线的距离公式与弦长公式，列式算出的值，即得直线的方程．
本题主要考查圆的方程及其性质、两条直线的位置关系、直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．
18.【答案】解：Ⅰ因为平面，，
所以，，两两互相垂直，
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，，，，，
所以，，
设直线与所成角为，
所以，
所以直线与所成角的余弦值为；
Ⅱ证明：因为，，，
设平面的法向量为，
则，
令，则，，所以，
因为，所以，所以平面；
Ⅲ由Ⅱ知，平面的一个法向量为，
因为，，
设平面的法向量为，
则，
令，得，，所以，
设平面与平面夹角为，
．
【解析】Ⅰ建立空间直角坐标系，求出的方向向量，由向量的夹角公式计算即可；
Ⅱ求出的方向向量和平面的法向量，由向量的夹角公式计算即可；
Ⅲ平面与平面的法向量，由向量的夹角公式计算即可．
本题考查线面垂直的证明，异面直线所成角和平面与平面所成角的求法，属于中档题．
19.【答案】解：Ⅰ因为，
所以当时，，所以；
当时，，所以．
Ⅱ因为，是常数，
所以数列是等差数列，
又，
所以，
所以．
，
所以
设，
则，
两式相减得，，
所以，
所以．
【解析】Ⅰ在中，分别令和，计算即可；
Ⅱ根据等差数列的定义，证明是常数即可，先利用等差数列的通项公式求得，再求即可；
结合分组求和法与错位相减法，求解即可．
本题主要考查数列求和，熟练掌握等差数列的定义与通项公式，错位相减法，分组求和法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：Ⅰ因为椭圆的离心率为，且经过点，
所以，
解得，，
则椭圆的方程为；
Ⅱ不妨设直线的方程为，
易知椭圆左顶点，，
因为点在轴下方，
所以直线的斜率，
联立，消去并整理得，
不妨设，
由韦达定理得，
解得，
所以，
而原点到直线的距离，
则，
当时，整理得，
解得；
当时，整理得，
解得，
此时不满足，舍去，
则直线的方程为，
即．
【解析】Ⅰ由题意，根据题目所给信息以及，，之间的关系，列出等式求出和的值，进而可得椭圆的方程
Ⅱ设出直线的方程，将直线的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理、弦长公式和三角形面积公式再进行求解即可．
本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
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