新人教七年级数学上册复习同步学案
文档属性
| 名称 | 新人教七年级数学上册复习同步学案 |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 655.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2009-02-22 09:41:00 | ||
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文档简介
目 录
第一章 有理数---------------------------------------2
第二章 整式的加减---------------------------------18
第三章 一元一次方程------------------------------34
第四章 图形认识初步------------------------------63
第一章 有理数
课标要求
1．通过具体情境的观察、思考、探索，理解有理数的概念，了解分类讨论思想；
2．借助数轴理解数形结合思想，学会用数轴比较数的大小，解决一些数学问题；
3．理解互为相反数的意义、绝对值的意义、倒数的意义，会进行与之有关的计算；
4．掌握有理数加、减、乘、除、乘方的法则，会进行加、减、乘、除及混合运算；
5．掌握科学记数法的意义及表示方法；
6．了解近似数及有效数字的意义，会按题目要求取近似数.
中招考点
1．用数轴比较数的大小，解决 一些实际问题
2．互为相反数、倒数的有关计算.
3．有理数的加、减、乘、除、乘方的有关计算.
4．科学记数法、近似数的有关应用题.
5．灵活运用本章知识解决实际问题.
典型例题
在例题前，我们来了解一下本章的知识结构与要点.
例1 小红家、学校和小华家自东向西依次坐落在一条东西走向的大街上，小红家距学校1千米，小华家距学校2千米，小明沿街从学校向西走1千米，又向东走2千米，此时小明的位置在________.
分析：本题可借助数轴来解，如图所示，以学校为原点，学校以西为正方向，这样把实际问题转化为数学问题，观察数轴便可知此时小明的位置在小红家.
例2 若a与-7.2互为相反数，
则a的倒数是___________.
解：这道题既考察了相反数的概念，又考察了倒数的概念.
-7.2的相反数是7.2,所以a=7.2，a的倒数是.
例3 如图是一个正方体纸盒的展开图，在其中的四个正方形内分别标有1，2，3和-3，要在其余正方形内分别填上-1，-2，使得按虚线折成正方体后，相对面上的两数互为相反数，则A处应填_______.
解∶因为A的对面是2，所以正确答案是-2.
例4 已知有理数a,b满足条件a>0，b<0，|a|<|b|,
则下列关系正确的是（ ）.
A.-aD.b<-a<-b解：这一题考察了绝对值的意义，和有理数大小比较，我们可借助数轴帮助解决问题，请同学们自己解答.
例5 计算–(+2.5)–(–41/4)+3.75–（+91/2）
解：原式=–2.5+4.25+3.75–9.5
=–(2.5+9.5)+(4.25+3.75)
=–12+8
=–4
说明：本题可以全部化成分数，通过通分来做；也可把所有整数部分相加，所有分数部分相加，最后在计算.
例6 如图：a , b , c在数轴上的位置如图所示，
试化简：︳a-b|-2c-|c+b|+|3b|
分析：本题考察的是绝对值的意义与运用，关键是如何判断绝对值里面数值的符号，从而去掉绝对值.
解：略
例7 2004年全年国内生产总值按可比价格计算，比上年增长9.5％,达到136515亿元.136515亿元用科学记数法表示（保留4个有效数字）为
A.1.365×1012元 B.1.3652×1013元 C.13.65×1012元 D.1.365×1013元
解：本题考察的是科学记数法和有效数字.
136515亿元=1.365×105亿元=1.365×1013元
注：科学记数法是把某一个数写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10,n为整数.
例8 计算：
（1）-5 (2)(- ) （3）(-1)2005 （4）(-1 )
解：本题考察乘方的意义和简单的乘方运算，应按照乘方的意义来进行运算，注意符号.
-5 =-25 (- ) =-（ ） = -
(-1)2005 =-1 (-1 ) = （ ）2 =
例9 （- ）-2-23×0.125+20040+|-1|
解：原式=4-8×0.125+1+1
=4-1+2
=5
例10 已知：a、b均为负数，c为正数，且|b|>|a|>|c|，化简.
解：依题意，画数轴、标出各数.
b-a<0, 所以得b原式=│b+c│＋│a-c│＋│b-a│
＝-（b+c）-(a-c)-(b-a)
＝-2b
说明：通过构造数轴，将表示a、b、c的点标在数轴上后，便能直观地看出b+c<0 , a-c<0,b-a<0，再来化简代数式就不易出错了.
强化练习
一、填空题
1．甲、乙两厂三月产值与上月相比，甲厂增产3%，可记作________，乙厂减产1.2%,可记作_________.
2．将下列各数填在相应的表示数集的大括号内：
+3，-1，0.81，315，0，-3.14，-21/7，-12.9，+400%，+81/9，5.15115.
分数集∶｛ …｝
负数集∶｛ …｝
非负整数集∶｛ …｝.
3．1nm等于十亿分之一米，用科学记数法表示：2.5m=_____nm.
4．近似数2.428×105有______个有效数字，精确到_ ____位.
5．（–4）3=_______.
二、选择题
1．下列说法不正确的是 ( )
A.没有最大的有理数 B.没有最小的有理数 C.有最小的正有理数 D.有绝对值最小的有理数
2． 在数轴上表示-12的点与表示3的点，这两点间的距离为（ ）
A.9 B.-9 C.-15 D.15
3. 若a的平方是4，则a的立方是( )
A.6 B.8 C.-8 D. –8和8
4． 如果ab>0,a+b<0,那么a,b的符号是( )
A.a>0,b>0 B.a>0, b<0 C.a<0 ,b>0 D. a<0, b<0
三、计算题
1． -1-5-1+3-4.5+2
2． 已知有理数a,b,c的和为0，且a=7,b=-2,则c为多少？
3． 2÷（-）×÷（-5） 4．4-（-2） -3÷(-1) +0×(-2)
5． （-1）2005+（-3） ×|-|-（-4） ÷（-2）5
四、简答题
1．某企业生产瓶装食用调和油，根据质量要求，净含量（不含包装）可以有0.0021升的误差，现抽查6瓶食用调和油，超过规定净含量的升数记作正数，不足规定净含量的升数记作负数，检查结果如下：+0.0018,-0.0023,-0.0025,-0.0015,+0.0012,+0.0010.请用绝对值的知识说明：（1）哪几瓶是符合要求的（即在误差范围内的）？(2)哪一瓶的净含量最接近规定的净含量
2． 出租车司机小李某天下午的营运路线是在东西走向的一条大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，那么他这天下午行车的里程如下（单位：千米）：+16，-18，-3，+15，-11，+14，+10，+4，-12，-15.请回答下列问题：
(1)将最后一名乘客送到目的地时，小李距下午出车地点的距离是多少千米？
(2)如果汽车耗油量为a升/千米，则这天下午汽车共耗油多少升
反馈检测A卷
一、选择题
1．下列各式不正确的是（ ）
A．︱-2.4︱=︱2.4︱ B．(-3)4=34 C. -8< -9 D.x2+1≥0
2. 如果一个有理数的平方是正数，那么这个有理数的立方是（ ）
A．正数 B．负数 C.非零数 D.非负数
3．计算（-1）2003+（-1）2003÷︱-1︱+（-1）2000的结果为（ ）
A.1 B． -1 C. 0 D. 2
4．数a,b,c在数轴上的位置如图所示，则a,b, -c由小到大的顺序是（ ）
A. a,-c,b B.b,a,-c C.a,b,-c D.b,-c,a
5．已知一个多位数的个位数字为m,且这个多位数的
任何次幂的个位数字仍为m,那么这个数字m( )
A.可能是0和1 B.只能是0 C.只能是1 D.以上都不对
6．下列说法错误的是（ ）
A.相反数与本身相等的数只有0 B.倒数与本身相等的数只有1和-1
C.平方与本身相等的数只有0和1 D.立方与本身相等的数只有0和1
7． 点A在数轴上距原点5个单位长度，将A点先向左移动2个单位长度，再向右移动6个单位长度，此时A点所表示的数是（ ）
A. –1 B.9 C. –1或9 D. 1或9
8． 若a+b<0,且ab<0,则（ ）
A.a,b同号 B. a,b异号 C.a,b都是负数 D.a,b都是正数
9． 如果一个数与它的相反数在数轴上对应点间的距离为8个单位长度，那么这个数是( )
A.+8和–8 B.+4和–4 C.+8 D. –4
二、填空题
1．大于-5的负整数是_______________.
2．已知今天早晨的气温是–14℃，中午的气温比它高5℃，则今天中午的气温是_________.
3．已知一列按一定规律排列的数：–1，3，–5，7，–9，…，–17，19，如果从中任意选出若干个数相加，使它们的和为0，那么至少要选_______个数，请列出算式________(写出一个正确的即可)
4．若x,y满足︱2x-1︱+︱y+2︱=0,那么-x +y =__________.
5. 绝对值不小于3但小于6的负整数有_______个，他们分别是___________.
6．（1）若x =x,则x=___ ； (2)若x = x ,则x=____ ；
（3）若x = x,则x=____.
7． 一根长50厘米的弹簧，一端固定，另一端挂上物体，在正常情况下，物体的质量每增加1千克，弹簧就伸长3厘米，在正常情况下（即弹性限度内），若弹簧挂x千克的重物，则弹簧伸长到______ 厘米.
三、解答题
1． 一货车司机小张某天上午的营运路线全部是在南北走向的向阳大街上进行的，如果规定向南为正，那么他在这天上午的行车路程如下（单位：千米）：+18,-15，+36，-48，-3.
（1） 上午停工时，小张在上午出车地点的什么位置上？
（2）若货车的耗油量为0.3升/千米，则这天上午该货车共耗油多少升？
2． 已知圆环的外圆半径为40mm，内圆半径为27mm，求圆环的面积.（π取准确值）
3． 某厂的一个冷冻仓库的室温是-12℃，现有一批食物需要在-25℃冷藏，如果每小时仓库的温度降低2℃，则经过多长时间仓库能降到所需温度？
4． 用“<”号将下列各数连接起来，并求出它们的相反数和倒数.
2，0.3,-3, - , 3
5. 比较大小（填“＞”“=”或“＜”号＝
（1）1 +5 _______2×1×5；(2)(-2) +3 ____2×(-2)×3；
（3）(-4) +(-4) ______2×(-4) ×(-4)
通过观察、归纳，探索出反映这一规律的一般结论，并用字母表示这一规律.
6． 已知a,b互为倒数，c,d互为相反数，且︱x︱=3，求2x -（ab-c-d）+︱ab+3︱的值.
7． 计算
（1）-2 +(-2) ×(-1)-(-2) ÷(-2) (2)- ×(- 1 )× ÷(-4)
（3）-(-1) -(-1 - )× ÷(-4)
反馈检测B卷
一、填空题
1．绝对值大于1而小于4的整数是________
2．如果两个数互为相反数，那么它们的和等于_______；如果两个数互为倒数，那么它们的积等于_________.
3．通过测量得到某同学的身高是1.64米，意味着他的身高的精确值h满足_______.
4． 3745≈__________ (保留两个有效数字)；1.4105≈______（精确到千分位）.
5. ______的绝对值等于1.3,______的相反数等于0.
6. 四个互不相等的整数的积是9，那么这四个整数的和等于（ ）
A.27 B.9 C.0 D.以上答案都不对
二、计算题
(1)(-9)-(-21) （2）( - )+ (- )
（3）(-1 )×(- )÷
（4）(-1)+ (-1) + (-1) +(-1)4 + … +(-1)99+(-1)100+(-1)101
（5） ( + - )÷(-24) （6）-99 ×9
三、问答题
1． 什么数等于它的倒数？什么数等于它的相反数？什么数等于它的绝对值？
2． 大于0而小于1的整数有没有？大于0而小于1的有理数有多少个？试写出十个这样的有理数.
3． 赵先生将甲、乙两种股票同时卖出，其中甲种股票进价是1000元，获利20%，一种股票进价也是1000元，获利-20%，则赵先生在这次买卖中是赚是赔？
4． 小红家春天粉刷房间，雇用了5个工人，干了10天完成；用了某种涂料150升，费用为4800元；粉刷的面积是150m ,最后结算工钱时，有以下几种方案：
方案一：按工算，每个工30元；（1个工人干1天是一个工）
方案二：按涂料费用算，涂料费用的30%作为工钱；
方案三：按粉刷面积算，每平方米付工钱12元.
请你帮小红家出主意，选择方案________付钱最合算（最省）.
5． 草履虫可以吞噬细菌，使污水净化，一只草履虫每小时大约能够形成60个食物泡，每个食物泡中大约含有30个细菌，那么100只草履虫每天大约能够吞噬多少个细菌？（用科学记数法表示）.
6． 某超市对顾客进行优惠购物，规定如下：①若一次购物少于200元，则不予优惠；②若一次购物满200元，但不超过500元，按标价给予九折优惠；③若一次购物超过500元，其中500元以下部分(包括500元)给予九折优惠，超过500元部分给予8折优惠.小李两次去该超市购物，分别付款198元和554元，现在小张决定一次性地购买和小李分两次购买同样多的物品，他需付款多少元？
7． 我国宇航员杨利伟乘“神舟五号”绕地球飞行了14周，飞行轨道近似看作圆，其半径为6.71×10 千米，总航程约为多少千米？（π取3.14，保留3个有效数字）
《有理数》测试题
一、填空题（每小题2分，共28分）
1． 在数+8.3、 、、 、 0、 90、 、中，________________是正数，____________________________不是整数。
2．+2与是一对相反数，请赋予它实际的意义：______________________________________。
3．的倒数的绝对值是___________。
4．用“＞”、“＜”、“＝”号填空；
（1）； （2）；
（3）；
（4）。
5．绝对值大于1而小于4的整数有____________，其和为_________。
6．用科学记数法表示13 040 000，应记作_____________________。
7．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，则 (a + b)3(cd)4 =__________。
8．…的值是__________________。
9．大肠杆菌每过20分便由1个分裂成2个，经过3小时后这种大肠杆菌由1个分裂成__________个。
10．数轴上表示数和表示的两点之间的距离是__________。
11．若，则=_________。
12．平方等于它本身的有理数是_____________，
立方等于它本身的有理数是______________。
13．在数、 1、 、 5、 中任取三个数相乘，其中最大的积是___________，最小的积是____________。
14．第十四届亚运会体操比赛中，十名裁判为某体操运动员打分如下：10、 9.7、 9.85、 9.93、 9.6、 9.8、 9.9、 9.95、 9.87、 9.6，去掉一个最高分，去掉一个最低分，其余8个分数的平均分记为该运动员的得分，则此运动员的得分是_________。
二、选择题（每小题3分，共21分）
15．两个非零有理数的和为零，则它们的商是（ ）
A．0 B． C．+1 D．不能确定
16．一个数和它的倒数相等，则这个数是（ ）
A．1 B． C．±1 D．±1和0
17．如果，下列成立的是（ ）
A． B．
C． D．
18．用四舍五入法按要求对0.05019分别取近似值，其中错误的是（ ）
A．0.1（精确到0.1）
B．0.05（精确到百分位）
C．0.05（保留两个有效数字）
D．0.0502（精确到0.0001）
19．计算的值是（ ）
A． B． C．0 D．
20．有理数a、b在数轴上的对应的位置如图所示：
则（ ）
A．a + b＜0 B．a + b＞0
C．a－b = 0 D．a－b＞0
21．下列各式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、计算（每小题5分，共35分）
22．
23．
24．÷
25．÷
26．÷
27．÷
28．
四、解答题（每小题8分，共16分）
29．某一出租车一天下午以鼓楼为出发地在东西方向营运，向东为正，向西为负，行车里程（单位：km）依先后次序记录如下：+9、 3、 5、 +4、 8、 +6、 3、6、 4、 +10。
（1）将最后一名乘客送到目的地，出租车离鼓楼出发点多远？在鼓楼的什么方向？
（2）若每千米的价格为2.4元，司机一个下午的营业额是多少？
30．某食品厂从生产的袋装食品中抽出样品20袋，检测每袋的质量是否符合标准，超过或不足的部分分别用正、负数来表示，记录如下表：
与标准质量的差值（单位：g） 5 2 0 1 3 6
袋 数 1 4 3 4 5 3
这批样品的平均质量比标准质量多还是少？多或少几克？若每袋标准质量为450克，则抽样检测的总质量是多少？
五、附加题（每小题5分，共10分）
1．如果规定符号“﹡”的意义是﹡=，求2﹡﹡4的值。
2．已知= 4，，求的值。
第2章 整式的加减
一 代数式
课标要求
1.掌握用字母表示数，建立符号意识.
2.会列代数式表示简单的数量关系，会正确书写代数式，会求代数式的值.
3.在数学活动中，体会抽象概括的数学思想方法和“特殊一般”相互转化的辨证关系.
中招考点
用字母表示数，列代数式，正确书写代数式，求代数式的值.
典型例题
例1 某市出租车收费标准为：起步价5元，3千米后每千米价1.2元，则乘坐出租车走x(x﹥3)千米应付______________元.
分析：因为x﹥3，所以应付费用分为两部分，一部分为起步价5元，另一部分为走（x-3）千米应付的1.2（x-3）元.
解：
注意：和、差形式的代数式要在单位前把代数式括起来.
例2 下列代数式中，书写正确的是（ ）
A. ab·2 B. a÷4 C. -4×a×b D. E. F. -3×6
分析：A：数字应写在字母前面 B：应写成分数形式，不用“÷”号 C：数与字母相乘，字母与字母相乘时，“×”号省略 D：带分数要写成假分数 E、F书写正确.
解：E、F.
例3 下列各题中，错误的是（ ）
A. 代数式
B. 代数式5(x+y)的意义是5与(x+y)的积
C. x 的5倍与y的和的一半，用代数式表示为
D. 比x的2倍多3的数，用代数式表示为2x+3
分析：选项C中运算顺序表达错误，应写成
友情提示：数学语言有文字语言、符号语言、图形语言.进行数学思维时，同学们要学会恰当使用各种语言推理分析，各种语言的互译是一种数学基本功.
例4 当x=1时，代数式的值为2005，求x=－1时，代数式 的值.
分析：当x=1时，=2005，p+q=2004,
当x=－1时，=－－（p+q）+1=－2004+1=－2003.
解：当x=1时，=2005
p+q=2004
当x=－1时，=－
=－（p+q）+1=－2004+1 =－2003.
提示：“整体”思想在数学解题中经常用到，请同学们在解题时恰当使用.
例5 下图是一个数值转换机的示意图，请你用x、y表示输出结果，并求输入x的值为3，y的值为-2时的输出结果.
解：输出结果用x、y表示为：
当x=3,y=-2时,
=
=-1.
提示：把图形语言翻译为符号语言的关键是识图，
弄清图中运算顺序.
例6 某餐饮公司为大庆路沿街20户居民提供早餐方便，决定在路旁建立一个快餐店P，点P选在何处，才能使这20户居民到P点的距离总和最小？
分析：面对复杂的问题，应先把问题“退”到比较简单的情形：
如图1，如果沿街有2户居民，很明显点P设在p1、、、p2之间的任何地方都行.
如图2，如果沿街有3户居民， 点P应设在中间那户居民、p2门前.
------
以此类推，沿街有4户居民，点P应设在第2、3户居民之间的任何位置，沿街有5户居民，点P应设在的第3户门前，------沿街有n户居民：当n为偶数时，点P应设在第、户居民之间的任何位置；当n为奇数时，点P应设在第户门前.
解：根据以上分析，当n=20时，点P应设在第10、11户居民之间的任何位置.
思维驿站： 请同学们认真体会“特殊一般”的辨证关系，掌握化归的思想方法，学会把复杂的问题化为简单的情形来解决.
强化练习
一、填空题
1. 代数式2a-b表示的意义是_____________________________.
2. 列代数式：⑴设某数为x,则比某数大20%的数为_______________.
⑵a、b两数的和的平方与它们差的平方和________________.
3. 有一棵树苗，刚栽下去时，树高2.1米，以后每年长0.3米，则n年后的树高为________________，计算10年后的树高为_________米.
4. 某音像社对外出租光盘的收费方法是：每张光盘在出租后的头两天每天收0.8元，以后每天收0.5元，那么一张光盘在出租后第n天（n＞2的自然数）应收租金_________________________元.
5. 观察下列各式：12+1=1×2，22+2=2×3，32+3=3×4------
请你将猜想到的规律用自然数n(n≥1)表示出来______________________.
6. 一个两位数，个位上的数是a，十位上的数字比个位上的数小3，这个两位数为_________，当a=5时，这个两位数为_________.
二、选择题
1. 某品牌的彩电降价30%以后，每台售价为a元，则该品牌彩电每台原价为（ ）
A. 0.7a元 B.0.3a元 C. 元 D. 元
2. 根据下列条件列出的代数式，错误的是（ ）
A. a、b两数的平方差为a2-b2 B. a与b两数差的平方为(a-b)2
C. a与b的平方的差为a2-b2 D. a与b的差的平方为(a-b)2
3. 如果那么代数式(a+b)2005的值为（ ）
A. –2005 B. 2005 C. -1 D. 1
4. 笔记本每本m元，圆珠笔每支n元，买x本笔记本和y支圆珠笔，共需（ ）
A. （ mx+ny）元 B. (m+n)(x+y) C. （nx+my ）元 D. mn(x+y) 元
5. 当x=-2,y=3时,代数式4x3-2y2的值为（ ）
A. 14 B. –50 C. –14 D. 50
三、解答题
1. 已知代数式3a2-2a+6的值为8, 求的值.
2. 当a=-1,b=-,c=时，求代数式b2-4ac的值，并指出求得的这个值是哪些数的平方.
3. 人在运动时的心跳速率通常和人的年龄有关.如果用a表示一个人的年龄，用b表示正常情况下这个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数，那么b=0.8(220-a).
⑴ 正常情况下,在运动时一个14岁的少年所能承受的每分钟心跳的最高次数是多少？
⑵ 一个45岁的人运动时10秒心跳的次数为22次，请问他有危险吗？为什么？
反馈检测
一、填空题（每小题5分，共25分）
1. 某机关原有工作人员m人，现精简机构，减少20%的工作人员，则剩下_____人.
2. 结合生活经验作出具体解释：a-b__________________________________.
3. 甲以a千米/小时、乙以b千米/小时（a＞b）的速度沿同一方向前进，甲在乙的后面8千米处开始追乙，则甲追上乙需_____________小时.
4. 若梯形的上底为a，下底为b，高为h，则梯形的面积为____________;当a=2cm，b=4cm，h=3cm时，梯形的面积为____________.
5. 按下列程序计算x=3时的结果__________.
二、选择题（每小题5分，共25分）
1. 下列式子中符合代数式的书写格式的是（ ）
A. x· B. C. D.
2. 一个长方形的周长是45cm，一边长acm，这个长方形的面积为（ ）cm2
A. B. C. D.
3. 代数式x2-7y2用语言叙述为（ ）
A.x与7y的平方差 B.x的平方减7的差乘以y的平方
C.x与7y的差的平方 D. x的平方与y的平方的7倍的差
4. 当a=-2,b=4时，代数式的值是（ ）
A.56 B.48 C. –72 D.72
5. 一个正方体的表面积为54 cm2，它的体积是（ ）cm3
A. 27 B.9 C. D. 36
三、解答题（每题10分，共50分）
1. 列代数式
⑴ 若一个两位数十位上的数是a，个位上的数是b，这个两位数是_________.
若一个三位数百位上的数为a,十位上的数是b，个位上的数c，这个三位数是_________.
⑵ 某品牌服装以a元购进，加20%作为标价.由于服装销路不好，按标价的八五折出售，降价后的售价是__________元，这时仍获利________________________元.
⑶电影院第一排有a个座位，后面每排比前一排多2个座位，则第x排的座位有____________个.
⑷A、B两地相距s千米，某人计划a小时到达，如果需要提前2小时到达，每小时需多走___________________千米.
2. 已知代数式的值为7，求代数式的值.
3. 当时，求代数式的值.
4. 若，求的值.
5. 给出下列程序：
若输入x=1时，输出的值为-2，求输入x=-2时，输出的值是多少？
二、整式的加减
课标要求
1. 了解单项式、多项式、整式的有关概念，弄清它们与代数式之间的联系和区别.
2. 理解同类项的概念，会判断同类项，熟练合并同类项.
3. 掌握去括号法则、添括号法则，能准确地进行去括号与添括号.
4. 熟练地进行整式的加减运算.
中招考点
单项式、多项式、整式的有关概念，同类项的概念，去括号法则、添括号法则，整式的加减运算.
典型例题
例1 判断下列各代数式是否是单项式.如果不是，请简要说明理由；如果是，请指出它的系数和次数：
⑴ a+2 ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ m ⑹ -3×104t
分析：同学们要弄清题中涉及到的几个概念，即：数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式（单独一个数或一个字母也是单项式）；单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；单项式中所有字母的指数和叫做这个单项式的次数.
解：⑴ 不是.因为原代数式中出现了加法运算. ⑵ 不是.因为原代数式是1与x的商. ⑶ 是.它的系数是，次数是2. ⑷是.它的系数是-，次数是3. ⑸是.它的系数是1，次数是1. ⑹是.它的系数是-3×104，次数是1.
注意：圆周率是常数；当一个单项式的系数是1或-1、次数是1时，“1”通常省略不写；单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如⑷中.
例2 指出多项式的项、次数，是几次几项式，并把它按x降幂排列、按y的升幂排列.
分析：解本题的关键是要弄清几个概念：多项式的项、次数，按某一字母降幂排列、按某一字母的升幂排列.
解：多项式的项有：2x3y,-4y2,5x2; 次数是4；是四次三项式；
按x降幂排列为：2x3y+5x2- 4y2；按y的升幂排列为：5x2+2x3y- 4y2.
提示：多项式的次数不是所有项的次数之和，而是次数最高项的次数；多项式的每一项都包括它前面的符号.
例3 请写出-2ab3c2的两个同类项_______________.你还能写多少个？________.它本身是自己的同类项吗？___________.当m=________,3.8是它的同类项？
分析：本题是一道开发题，给同学们很大的思维空间，对同类项的正确理解是解题的关键.
解：2.1ab3c2 、-6ab3c2等； 还能写很多（只要 在ab3c2前面添加不同的系数）；它本身也是自己的同类项；m=-1.∵且2-m=3∴m=-1.
例4 如果关于字母x的二次多项式-3x2+mx+nx2-x+3的值与x无关，求m、n的值.
分析：本题的“题眼”——多项式-3x2+mx+nx2-x+3的值与x无关，这一条件说明了：关于字母x的二次项系数、一次项系数都为零.
解：∵ -3x2+mx+nx2-x+3=（-3+n）x2+(m-1)x+3
∴ -3+n=0,m-1=0
∴ m=1,n=3.
例5 a＞0＞b＞c，且 化简
分析：求绝对值首先要判断代数式是正数或0或负数.本题中可用赋值法、数形结合法判断a+c、a+b+c、a-b、b+c的符号.
解：如图知，a、b、c在数轴上的位置.
∵ a＞0，b＜0，c＜0，
∴ a+c＞0，a+b+c＞0，a-b＞0，b+c＜0
∴
=（a+c）+（a+b+c）-（a-b）-（b+c）
=a+c+a+b+c-a+b-b-c
=a+b+c.
反思总结：解含有字母的题目通常在字母取值范围赋值，可以把抽象问题直观化.
强化练习
一、填空题
1. 单项式的系数是_______，次数是_________.
2. 多项式的次数是______，三次项系数是________.
3. 把多项式按x升幂排列是_________________.
4. 下列代数式：.其中单项式有_______________________________，多项式有___________________________.
5. 多项式b2-8ab2+5a2b2-9ab+ab2-3中，________与-8ab2是同类项，5a2b2与_______是同类项，是同类项的还有_____________________________.
6. 3a-4b-5的相反数是_______________.
二、选择题
1. 如果多项式是关于x的三次多项式，那么（ ）
A. a=0,b=3 B. a=1,b=3 C. a=2,b=3 D. a=2,b=1
2. 如果，则A+B=( )
A. 2 B. 1 C. 0 D. –1
3. 下列计算正确的是（ ）
A. 3a-2a=1 B. –m-m=m2 C. 2x2+2x2=4x4 D. 7x2y3-7y3x2=0
4. 在3a-2b+4c-d=3a-d-( )的括号里应填上的式子是（ ）
A. 2b-4c B. –2b-4c C. 2b+4c D. –2b+4c
5. 如果一个多项式的次数是4，那么这个多项式任何一项的次数应（ ）
A. 都小于4 B. 都不大于4 C. 都大于4 D. 无法确定
三、解答题
1. 如果0.65x2y2a-1 与–0.25xb-1y3是同类项，求a,b的值.
2. 先化简，再求值.，其中a=-5,b=-3.
3. 把多项式写成一个三次多项式与一个二次三项式之差.
4. 计算：
反馈检测
一、填空题（每小题5分，共25分）
1. 在一次募捐活动中，某校平均每名同学捐款a元，结果一共捐款b元，则式子可解释为_________________________________________________________.
2. 在某地，人们发现蟋蟀叫的次数与温度有某种关系.用蟋蟀1分钟叫的次数除以7，然后再加上3，就可以近似地得到该地当时的温度（0C）.设蟋蟀1分钟叫的次数为n,用代数式表示该地当时的温度为_______0C；当蟋蟀1分钟叫的次数为100时，该地当时的温度约为________0C（精确到个位）.
3. k=______时，-与的和是单项式.
4. 在括号内填上适当的项：(a+b-c)(a-b+c)=.
5. 多项式的次数是____,常数项为_____,四次项为_______.
二、选择题（每小题5分，共25分）
1. 某宾馆的标准间每个床位标价为m元，旅游旺季时上浮x%，则旅游旺季时标准间的床位价为（ ）元.
A.mx% B.m+x% C.m(1+x%) D.m(1-x%).
2. 用代数式表示“a与-b的差”，正确的是（ ）
A.b-a B.a-b C.-b-a D.a-(-b)
3. 当x=-2,y=3时，代数式4x3-2y2的值是（ ）
A.14 B.-50 C.-14 D.50
4. 下列运算正确的是（ ）
A.3a+2b=5ab B.3a2b-3ba2=0 C.3x2+2x3=5x5 D.5y2-4y2=1
5. 下列说法中，错误的是（ ）
A.单项式与多项式统称为整式 B.单项式x2yz的系数是1
C.ab+2是二次二项式 D.多项式3a+3b的系数是3
三、解答题（每题10分，共50分）
1. ⑴ 若，请指出a与b的关系. ⑵ 若25a4b4是某单项式的平方，求这个单项式.
2. 化简求值：4a2b-2ab2-3a2b+4ab2，其中a=-1,b=2.
3. 在计算代数式（2x3－3x2y－2xy2）－(x3－2xy2+y3)+(-x3+3x2y－y3)的值，其中x=0.5,y=－1时，甲同学把x=0.5错抄成x=－0.5，但他计算的结果也是正确的.试说明理由，并求出这个结果.
4. 你一定知道小高斯快速求出：1+2+3+4+…+100=5050的方法.现在让我们比小高斯走得更远，求1+2+3+4+…+n=_______________.
请你继续观察：13=12，13+23=32，13+23+33=62，13+23+33+43=102，…
求出：13+23+33+…+n3=_______________________.
5. 如果A=3x2-xy+y2,B=2x2-3xy-2y2,那么2A-3B等于多少
《整式的加减》综合检测（A）
一、填空题（每题3分，共30分）
1.光明奶厂1月份产奶m吨，2月份比1月份增产15%，则2月份产奶______吨.
2.代数式6a表示_____________________________________________.
3.单项式-4xy2的系数是_______，次数是__________.
4.多项式的二次项是___________.
5.三个连续偶数中间一个是2n，第一个是______，第三个是_______，这三个数的平方和是_____________（只列式子，不计算）
6.若2a3b-0.75abk+3×105是五次多项式，则k=__________.
7.单项式-5xm+3y4与7x5y3n-1是同类项，则nm=_____，这两个单项式的和是___________.
8.2ab+b2+__________=3ab-b2 .
9.一长方形的一边长为2m+n,比另一边多m-n（m＞n），则长方形的周长是____________.
10.x是两位数，y是三位数，y放在x左边组成的五位数是______________.
二、选择题（每题4分，共20分）
1. 下列说法中，正确的是（ ）
A.若ab=-1，则a、b互为相反数 B.若，则a=3
C.-2不是单项式 D.-xy2的系数是-1
2. 多项式的项是（ ）
A.2a2,-a,-3 B. 2a2,a,3 C. 2a2,-a,3 D. 2a2,a,-3
3. 下列代数式，其中整式有（ ）个
A.4 B.3 C.2 D.1
4. 若a＜0, 则2a+5等于（ ）
A.7a B.-7a C.-3a D.3a
5. 看下表，则相应的代数式是（ ）
x 0 1 2 3
代数式值 2 -1 -4 -7
A.x+2 B.2x-3 C.3x-10 D.-3x+2
三、解答题（每小题10分，共50分）
1．已知，则________.
计算：
探究：.
2. 已知A=3a2-2a+1 B=5a2-3a+2 C=2a2-4a-2, 求A-B-C.
3. 如果关于x的多项式与3xn+5x是同次多项式，求 的值.
4. 化简5a2－（用两种方法）
5. 按下列要求给多项式-a3+2a2-a+1添括号.
⑴ 使最高次项系数变为正数；
⑵ 使二次项系数变为正数；
⑶ 把奇次项放在前面是“－”号的括号里，其余的项放在前面是“＋”号的括号里.
《整式的加减》综合检测（B）
一、填空题（每题3分，共30分）
1根据生活经验，对代数式a-2b作出解释：_____________________________________.
2.请写出所有系数为-1，含有字母x、y的三次单项式_________________________.
3.如果多项式x4-(a-1)x3+5x2+(b+3)x-1不含x3和x项，则a=_____,b=___________.
4.试写出一个关于x的二次三项式，使二次项系数为2，常数项为-5，一次项系数为3 ， 答案是_______________________.
5.指出代数式-a2bc2和a3x2的共同点，例如：都含字母a，.①________________,
②_____________.
6.如果x与2y互为相反数，则
7.一个多项式加上-5+3x-x2得到x2-6，这个多项式是___________，当x=-1时，这个多项式的值是________.
8.代数式-3+(x-a)2的最小值为_______，这时x=_______.
9.把多项式2a-b+3写成以2a为被减数的两个式子的差的形式是___________________.
10.五·一广场内有一块边长为a米的正方形草坪，经过统一规划后，南北向要加长2米，而东西向要缩短2米.改造后的长方形的面积为___________平方米.
二、选择题（每题4分，共20分）
1. 下面列出的式子中，错误的是（ ）
A.a、b两数的平方和：(a+b)2 B.三数x、y、z的积的3倍再减去3：3xyz-3
C. a、b两数的平方差：a2-b2 D. a除以3的商与4的和的平方：（）2
2. 下列各组单项式中是同类项的为（ ）
A.3xy,3xyz B.2ab2c,2a2bc C.-x2y2 ,7y2x2 D. 5a,-ab
3. 下列代数式a+bc,5a,mx2+nx+p,-x.,1,5xyz,,其中整式有（ ）个
A.7 B.6 C.5 D.4
4. 一个正方形的边长减少10%，则它的面积减少（ ）
A.19% B.20% C.1% D.10%
5. 当m、n都为自然数时，多项式am+bn+2m+2的次数是（ ）
A.2m+n+2 B.m+2 C.m或n D.m、n中较大的数
三、解答题（每小题10分，共50分）
1. 先化简，再求值：(4x2-3x) +(2+4x-x2 ) - (2x2+x+1), 其中x= -2 .
2. 已知x2+y2=7,xy= -2. 求5x2-3xy-4y2-11xy-7x2+2y2的值.
3. 已知A=2x2+3xy-2x-1, B= -x2+xy-1, 且3A+6B的值与x无关，求y的值.
4. 若，求：值.
5. 规定一种新运算：a＊b= ab+a-b, 求 a＊b+(b-a)＊b.
第三章 一元一次方程
课标要求
1．解一元一次方程及其解的意义.
2．理解方程变形的基本原理，能在解方程中正确应用.
3．掌握一元一次方程中移项、系数化为1等基本步骤，会解一元一次方程，
并会对方程的解进行检验.
4．能根据具体情境中的数量关系，列出方程，解决简单的实际问题.
中招考点
一元一次方程概念及解法，一元一次方程的应用，能利用一元一次方程解决生活中的实际问题.
典型例题
例1解方程
解：去分母，得
去括号，得
移项、合并同类项，得
系数化为1，得 .
说明：注意在解方程过程中正确进行有理数及整式的运算，步骤不宜过于简单.
例2 已知是关于的方程的解，求的值.
分析：本题已知方程的解，要求方程中待确定的字母系数，可以像解数字系数的方程一样，先求出方程的解，再进行比较；也可以根据方程的解的定义：能使方程两边代数式的值相等的未知数的取值叫做方程的解，将代入原方程，转化为关于的方程求解.
解1 解关于的方程： .
.
.
因为已知方程的解是,所以,即.
解2 因为是方程的解，所以
.
解这个方程，得 .
例3 列方程求下列问题的解：
（1）甲乙两车分别从相距360千米的两地相向开出，已知甲车速度是60千米/小时.乙车速度是40千米/小时.若甲车先开1小时，问乙车开出多少时间后两车相遇？
（2）小陈和老师一起整理了一篇教学材料，准备打印成稿.按篇幅估计老师单独打字需4个小时，小陈单独打字需6个小时，后来小陈先打了一个小时后，老师开始一起打.问还需多少小时完成？
分析：方程是刻画现实世界数量之间相等关系的一个重要数学模型，通过对实际问题中数量关系的分析，列出相关的代数式，进而建立方程，可以把复杂的实际问题转化为纯数学问题来解决.这一过程的关键是要透过纷繁多变的问题的表象，抓住数量关系的实质，抽象为数学问题.因此，常有面目迥异的情形，在学习中我们不能机械地记忆、套用某些题型而忽略了问题的本质.
像上述两个问题，不论是甲、乙两车还是师、生两人，主要的等量关系都是两个对象所完成数量的和等于总量，而其中一个对象所完成的数量又分为两部分；前一小时的和后来的.
请同学们注意强化训练第8题两个问题中数量关系和解法的比较.
解：（1） 设乙车开出小时后两车相遇，根据题意，得
.
解这个方程得 .
经检验，符合题意.
答 乙车开出3小时两车相遇.
（2）设老师开始打字后还需x小时完成，根据题意，得
解这个方程得
答 老师开始打字后还需要2个小时完成.
强化训练
1．选择题
（1）下列方程变形正确的是（ ）.
A.由得 B. 由得
C.由得 D. 由得
（2）下列方程后所列出的解不正确的是（ ）.
A. B.
C. D.
（3）方程的解是（ ）.
A.7 B. C.3 D.7或3
（4）一种书包经两次降价10%，现在售价元，则原售价为（ ）元.
A. B. C. D.
2．填空题
（1）若关于的方程的解是，则_________.
（2）当时，代数式与的值相等.
3．解下列方程：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）
4．当时，代数式的值是12，求当时，这个代数式的值.
5．初一（4）班课外乒乓球组买了两副乒乓球板，若每人付9元，则多了5元，后来组长收了每人8元，自己多付了2元，问两副乒乓球板价值多少？
6．请你编制一道关于的方程，形如，使它的解在1到2之间.
7．已知,当时，.求当时，的值.
8．应用方程解下列问题：
（1）某车间原计划每周装配36台机床，预计若干周完成任务，在装配了三分之一后，改进操作技术，功效提高了一倍，结果提前一周半完成任务.求这次任务需装配的机床总台数.
（2）某人有急事，预定搭乘一辆小货车从A地赶住B地，实际上他乘小货车行了三分之一路后改乘出租车，车速提高了一倍，结果提前一个半小时到达.已知小货车的车速是36千米/小时，求两地间的路程.
专项训练：一元一次方程及其解法
基础知识精要
1. 等式：用等号来表示相等关系的式子叫等式。
如：+=，x+y=y+x，V=a3，3x+5=9都叫等式。而像、不含等号，所以它们不是等式，而是代数式。
2. 等式的性质：
等式性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式。
等式性质2：等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是0）所得的结果仍是等式。
如：，两边都加5得：，即仍是等式；在这个等式两边都乘以，得3x×=9×，即，也仍是等式，这样我们就利用了等式的两个性质解方程。
3. 方程的有关概念：
（1）方程：含有未知数的等式叫做方程。如，其中x是未知数；又如，其中x，y是未知数。
（2）方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫方程的解。只含有一个未知数的方程的解，也叫做根。例如方程，当x=时，方程左边=2×+6=7=右边，所以x=是方程的解，或说x=是方程的根。
（3）解方程：求得方程的解的过程。
（4）同解方程：如果第一个方程的解都是第二个方程的解，第二个方程的解也是第一个方程的解时，这两个方程叫做同解方程。如：与是同解方程，都是它们的解。
（5）方程同解原理：
同解原理1：方程两边都加上或都减去同一个数或者同一个整式，所得方程与原方程同解。
同解原理2：方程两边都乘以或者除以不等于零的同一个数，所得方程与原方程同解。
注意：方程两边同乘以零，尽管所得的仍是一个等式，但作为方程，与原方程一般来说不是同解方程。
（6）会检验一个数是不是一个方程的解：将这个数分别代入方程的左边和右边，看是否使左边等于右边。
如：检验和是不是方程的解。
当时，左边，右边，∴左边≠右边，∴不是原方程的解；
当时，左边，右边，∴左边＝右边，∴是原方程的解。
4. 一元一次方程的概念
（1）定义：经过去分母、去括号、移项、合并同类项等变形后，能化为最简形式（），它只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0。我们把这一类方程叫做一元一次方程.
（2）一元一次方程的标准形式：方程（其中是未知数，，是已知数，且）叫做一元一次方程的标准形式（是未知数的系数，是常数项）.
5. 一元一次方程的解法
（1）解一元一次方程的一般思路：
先经过去分母、去括号、移项、合并同类项等变形，将方程化为最简方程（）的形式，然后将方程两边都除以，得方程的解x=.
（2）移项法则：方程中的任何一项，都可以在改变符号后，从方程的一边移到另一边，这类变形叫做移项，这个法则叫做移项法则.
（3）解一元一次方程的一般步骤：
① 去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数.
② 去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号.
③ 移项：把含未知数的项都移到方程的左边，不含未知数的项移到右边.
④ 合并同类项：把方程化成（）的形式.
⑤ 系数化1：在方程两边都除以未知数的系数，得到方程的解x=.
（4）检验方法：将所得的解分别代入原方程的左边和右边，如果左边=右边，说明所得的解是原方程的解；如果左边≠右边，说明解题过程有错误，应认真检查，一定是哪一步的计算出了错误.
典型例题
例1. 已知是关于的一元一次方程，求的值。
解：∵ 是关于的一元一次方程。
∴ 且 且
∴
例2. 已知式子－2y－＋1的值是0，求式子-的值.
分析：由－2y－＋1的值是0，可得方程，从而求出y的值，再把y的值代入所求式子中即可。
解：由题意，得－2y－＋1＝0 解这个方程，得y＝2，当y＝2时，
。
注意：本题是利用方程来解决求另一式子的值的问题，故解方程的过程不必全部写出来。
例3. 解方程
（1） ；
（2）；
（3）；
（4）；
例4. 已知关于的方程3[x-2（x-）]=4x和方程-=1有相同的解，求这个解。
解：a=；x=
例5. 已知关于x的方程的解互为相反数，求k值。
分析：两个方程中均有字母系数k，可分别求得两个方程的解后比较，也可以综合应用两种方法，先求得较简单方程的解，再按题意代换
解法1：分别解出两个字母系数方程，得方程的解分别是
解法2：先求得第一个方程的解是
例6. 已知方程4x＝－8的解也是关于x的方程x＝1＋k的解，求式子的值。
分析：从已知方程4x＝－8中，求出x的值，把x的值代入x＝1＋k中，求出k的值，再把k的值代入所求式子中。
解：解方程 4x＝－8，得x＝－2
把x＝－2代入x＝1＋k，得－2＝1＋k， k＝－3
当k＝－3时
例7. 用整体思想解方程
分析：本题可直接去括号后解，若注意到四个括号内的代数式相同或互为相反数，则可以利用这一特征保留整体计算。
解：
例8. 解绝对值方程
1）
分析：解绝对值方程，必须设法去掉绝对值符号，转化为一元一次方程求解。可以有两种方法：
①对x－2的值进行讨论，按绝对值的定义，分两种情况解 ②将作为整体先求得它的值，然后直接求解
解法一：
解法二：
2）
分析：对所讨论的代数式的绝对值，点0和2是影响它们两式的取值的，应分开情况讨论
解：
例9.若关于的方程的解为正整数，求正整数的值。
解：
∵ 为正整数 ∴ 必须是4的约数
∵ 4的约数是1，2，4
∴
∵ 0不是正数 ∴ 值为3和1
例10. 关于x的一元一次方程的解的讨论。
解：这是关于字母系数的一元一次方程，它的解由a、b的取值来确定。
（1）若时，则方程有唯一的解：x=（b是任何有理数）
（2）若且，此时方程为0·x=0，则方程有无数个解。
（3）若且，此时方程为0·x=b，显然方程无解。
说明：解关于字母系数的一元一次方程时，无非就是例2所讨论的三种情况，针对每一种情况要真正理解，不必死记硬背，这样在解题中才能融会贯通。
例11.已知关于x的方程无解，试求a的值。
解：
∵方程无解
且
∴ a=时方程无解
例12. 已知关于x的方程无解，求a的值。
解：将原方程变形为
即
依题意此方程无解。
由<1>得：a=
代入<2>：-2≠0
满足<2>，∴a的值是
例13. 若关于x的方程有无穷多个解，则 ( )
A. B. C. D. =0
解：先将方程去括号：
再移项合并同类项：
依题意，此方程有无穷多个解，即无数个解
此时方程：
∴选A
例14. 当k为何值时，关于x的方程有唯一的解。
解：将方程整理为标准式：
∵方程有唯一的解的要求是
∴当时，关于x的方程有唯一的解
例15. k为何正数时，关于x的方程的解是正数？
分析：对于方程来说，若它的解是正数，则
即或
解：将原方程整理为：
按题意，方程的解是正数且k为正数
则要求（I）或（II）
由不等式组（I）得：
由不等式组（II）得：
∴当或时，关于x的方程的解是正数。
查缺补漏
1.解方程
（1）
（2）
（3）
（4）[（x+1）+2]-2=x
（5）
（6）已知ax+2=2（a-x）的解满足|x+|=0，则__________。
（7）解方程：x+2|x|+3=0
（8）a为何值时，关于x的方程：3（ax-2）-（x+1）=2（+x）①有惟一解；②没有解.
2. 已知是方程2-（m-x）=2x的解，那么求关于的方程的解。
3. 若m、n为定值，关于x的一次方程，无论k为何值时，它的解总是1，求m、n.
专题二：实际问题与一元一次方程
知识内容：
1. 学习目标：
（1）会根据具体问题中的数量关系列出一元一次方程并会解，能根据问题的实际意义检验所得结果是否合理。
（2）结合实践与探索，经历“问题情境——建立数学模型——解释”。应用与拓展的过程，体会数学的价值。
2. 如何根据实际问题列方程
（1）实际问题与数学知识的相互转换
数学来源于实践，在实际问题中，我们应学会用数学的观点考察与分析问题，我们经常是这样。
列一元一次方程解题，就是根据已知条件，列出一个一元一次方程，通过求方程的解达到解决问题的目的，列方程的关键是抓住问题中有关数量的相等关系，即找到一个包含题目含义的数量关系，所以在列方程时，要把握三个重要环节：
①整体地、系统地审题，弄清题意和其中的数量关系，用字母表示适当的未知数。
②找出能表示问题含义的一个主要的“等量关系”。
③根据等量关系中涉及的量，列出表达式及方程，正确求解。
（2）利用一元一次方程解决实际问题的常见题型：
题型 基本量，基本数量关系 寻找相等关系的思路方法
等积形式问题 常见几何图形的长、宽、高、面积、周长、体积的公式，及相互之间的关系。 （1）形变积不变（2）形变积也变，但重量不变
利息问题 本息和、本金、利息、利息和、利息税、期数的关系。 利息=本金×利率×期数本息和=本金+利息
年龄问题 大小两个年龄差不会变 抓住年龄增长，一年一岁，人人平等
数字问题 多位数的表示方法：是一个多位数，它可表示为： 1. 抓住数字间或新数、原数之间的关系，寻找相等关系。2. 常需设间接未知数。
比例问题 甲：乙：丙=a：b：c 各部分量之和=总量设其中一份为x，由已知各部分量在总量中所占的比例，可得各部分量的代数式。
追及问题 路程、速度、时间的关系 路程=速度×时间甲走的路程与乙走的路程之间关系等式。
相遇问题 路程、速度、时间的关系 甲走的路程+乙走的路程=A、B两地间的路程
航行问题 顺水速度、静水速度、水流速度、时间、路程、速度之间的关系。 两地间距离不变顺水速度=静水速度+水流速度逆水速度=静水速度－水流速度
（3）设未知数的方法：
根据具体问题作具体分析，设未知数通常有两种方法：
①直接设未知数法：
即题目里问什么，就设什么作为未知数，这样设之后，只要能求出所列方程的解，就可以直接求得题目的所问。在多数情况下，应用题都可以直接设未知数求解。
②间接设未知数法：
有些问题，若采用直接设未知数法，则不易列出方程，这时可以考虑采取间接设未知数法，即通过间接的桥梁作用。来达到求解的目的。按比例分配问题，和、差、倍、分问题，整数的组成问题等均可用间接设未知数法。
【典型例题】
例1. 某面粉仓库存放的面粉运出15%后，还剩余42500千克，问这个仓库原来有面粉多少千克？
分析：把仓库中存放的面粉运出去，仓库中的面粉就比原来减少了，因此可以发现这道应用题隐含这样的一个相等关系：原来重量－运出重量=剩余重量
利用直接方法设原来重量为x千克，则易列方程。
解：设原来重量为x千克，则运出重量为15%x，根据题意得：
解之得：
经检验，符合题意
答：原来重量为50000千克。
例2. 一队学生去校外进行军事野营训练，他们以5千米/时的速度行进，走了18分钟，此时，学校要将一个紧急通知传给队长，通讯员从学校出发骑自行车以14千米/时的速度按原路追上去。通讯员用多少时间可以追上学生队伍？
分析：这是一个追及问题，由于通讯员从学校出发按原路追学生队伍，所以与学生是同向而行且同地。所以有以下相等关系：
通讯员行进路程=学生行进路程
路线图示如下：设通讯员需x小时追上学生队伍
解：设通讯员需x小时追上学生队伍，根据题意得：
解之得：
经检验，符合题意
答：通讯员用10分钟可以追上学生队伍。
例3. 在甲处劳动的有27人，在乙处劳动的有19人，现在另调20人去支援，使在甲处的人数为在乙处人数的2倍，应调往甲、乙两处各多少人？
分析：设应调往甲处x人，则调往乙处（20-x）人，那么甲、乙两处的人数可列出下表：
解：设应调往甲处x人，则调往乙处（20-x）人，根据题意得：
解之得：
经检验，符合题意
答：应调往甲处17人，乙处3人。
例4. 一个两位数，十位上的数字与个位上的数字和为11，如果把十位上的数字与个位上的数字对调，则所得新数比原数大63，求原两位数。
分析：若直接设这两位数很难求解，根据已知条件，可间接设原来两位数的个位上的数字为x，则十位上的数字为11-x。
解：设原来两位数的个位上的数字为x，根据题意得：
解之得：
答：所求两位数为29。
例5. 某商品的售价为每件900元，为了加大参与市场竞争力度，商店按售价的9折再让利40元酬宾，此时仍可获利10%，此商品的进价是多少元？
分析：本题属商品利润问题：此类问题的基本量关系有：
商品利润=商品售价－商品进价
可利用列方程的等量关系是：商品现售价－商品进价=商品进价×商品的利润率，即（商品原售价×90%－40）－商品进价=商品进价×商品的利润率。
解：设此商品进价为x元，根据题意，得：
解这个方程，得：
经检验，符合题意
答：此商品进价为700元。
说明：商品利润问题，常用于列方程的等量关系是：
商品售价－商品进价=商品利润
例6. 某校长暑假将带领该校市级“三好学生”去北京参加夏令营，甲旅行社说：“如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优惠”，乙旅行社说：“包括校长在内全部按全票价的6折优惠”，若全票价为240元。
（1）设学生数为x，甲旅行社收费为y甲，、乙旅行社收费为y乙，分别计算两家旅行社的收费；
（2）当学生是多少人时，两家旅行社的收费一样。
分析：本题是现实生活中经常出现的问题：
（1）由两家旅行社的规定费用，根据参加人数可直接计算出两家旅行社的收费。
（2）由两家旅行社收费可得方程，进而可求得学生人数
解：（1）设学生人数为x人，则
（2）根据题意，得：
解这个方程得：
答：当学生数为4时，两家旅行社收费一样。
说明：本题如果你是校长，你应该选择哪家旅行社呢？那么这个问题就成了先计算两家旅行社费用，后比较费用的多少了。
例7. 依法纳税是每个公民的义务，《中华人民共和国个人所得税法》规定，有收入的公民依照下表中的规定的税率交纳个人所得税。
1999年规定，上表中“全月应纳税所得额”是从收入中减去800元后的余额，例如：某人月收入1020元，减去800元，应纳税所得额应是220元，应交个人所得税是：元。
王老师每月收入是相同的，且1999年第四季度交钠个人所得税99元，问王老师每月收入是多少元？
分析：如果某人月收入不超过1300元（=800+500），那么每月交纳个人所得税不超过25元（=500×5%），如果月收入超过1300元，但不超过2800元（=800+2000）。那么每月交纳个人所得税在25元到175元。，如果月收入超过2800元，那么每月交纳个人所得税在175元以上。因为王老师每月交个人所得税为99÷3=33元，则他的月收入在1300元至2800元之间。利用月交纳个人所得税33元的等量关系可列方程求解。
解：设王老师的月收入为x元，根据题意，得：
解之得：
经检验，符合题意
答：王老师的月收入为1380元。
说明：在解题前先完成一个判断，即分类讨论，估计王老师月收入落在哪个范围内，然后才便于列出方程。
强化训练
一. 填空题
1. 买3支钢笔，5支圆珠笔共用了26.8元，一支钢笔3.6元，则一支圆珠笔是________元？
2. 课外活动小组女同学原来占全组人数的，加入4个女同学后，女同学就占全组人数的，则课外小组原来有__________人？
3. 把1.26m铁丝围成一个长方形，使长比宽多0.18m，则长方形的长是_________m，宽是_________m。
4. 一件商品售价为6元，利润是成本的20%，如果售价提高到6.5元，那么利润率为_______%。
5. 一段路程是s千米，步行要走a小时，骑自行车要行b小时（a>b），步行比骑自行车每小时慢___________千米。
6. 一件工程，甲单独做需要a天完成，乙单独做需要b天完成，两人合作1天完成的工作是_______________。
7. 一个梯形的上底是8cm，下底比上底多4cm，它的面积是50cm2，那么梯形的高是_____________cm。
8. 若把横截面为正方形，且边长为20cm的一根钢材锻造成长、宽、厚分别为50cm、30cm、20cm的长方体底板一块，则需用这根钢材___________cm。
9. 已知甲的跑步速度是7米/秒，乙的跑步速度是6.5米/秒，现甲让乙先跑1秒，然后追乙，经x秒便可追上，则x=_________秒。
10. 若某商场销售A型、B型、C型三种手机共255部，其中A型、B型、C型手机的数量比为3：5：9，则该商场共销售A型手机_____________部。
二. 选择题
1. 三个连续正整数的和是477，那么这三个数中最小的数是（ ）
A. 158 B. 159 C. 160 D. 161
2. 一个两位数的十位数字与个位数字之和是7，如果把这个两位数加上45，那么恰好成为个位数字与十位数字对调后组成的两位数，则这个两位数是（ ）
A. 16 B. 25 C. 38 D. 49
3. 有含盐20%的盐水100kg，要使其浓度为40%，需要加盐（ ）
A. B.
C. D.
4. 某时装标价为650元，某女士以5折又少30元购得，业主净赚50元，那么此时装进价为（ ）
A. 275元 B. 295元
C. 245元 D. 325元
5. 甲组人数是乙组人数的2倍，从甲组抽调8人到乙组，这时甲组剩下的人数恰是乙组现有人数的一半多2人，设乙组原有x人，则可列方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
6. 已知轮船在河流中来往航行于A、B两个码头之间，顺流航行全程需7小时，逆流航行全程需9小时，已知水流速度为每小时3km，求A、B两码头间的路程？若设A、B两码头间的路程为xkm，则所列方程为：（ ）
A. B.
C. D.
7. 甲、乙两小组上月计划生产零件数的比是2：5，月底甲组实际生产超过计划的15%，乙组还有计划的4%未完成，两组全月共生产零件4970个，求甲、乙两组上月各生产零件多少个？若设甲组上月生产x个零件，下列方程正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
8. 甲、乙两人骑自行车同时从相距4800米的两地同向而行，2小时甲追上乙，甲比乙每小时多骑的千米数是（ ）
A. 4.8千米 B. 2.4千米
C. 2400千米 D. 480千米
9. 我国股市交易中每买卖一次需交千分之七点五的各种费用，某投资者以每股10元的价格买入上海某股票1000股，当该股票涨到12元时全部卖出，该投资者实际盈利为（ ）
A. 2000元 B. 1925元
C. 1835元 D. 1910元
三. 解答题
1. 某同学在一次英语考试中，试题由50道选择题组成，评分标准规定，每道题的答案选对得3分，不选得0分，选错倒扣1分，已知该同学5道未做得了103分，问这位同学选错了多少道题的答案？
2. 某市出租公司的出租车收费标准如下，3km以内（含3km）收费8元，超过3km的部分按每1km收费1.5元。
（1）写出应收费y（元）与出租车行驶的路程xkm之间的关系式：
（2）小明乘出租车行驶6km，应付多少元？
（3）若小李付车费17元，则小李乘车行驶了多少km？
3. 为了准备小明6年后上大学的学费5000元，他的父母现在就参加了教育储蓄，下面有两种储蓄方式：
（1）直接存一个6年期，年利率为2.88%。
（2）先存一个3年期的，3年后将本利和自动转存一个3年期，3年期的年利率是2.7%。你认为小明的父母应选择哪种储蓄较好，为什么？
4. 某地的水电站发电了，电费规定，若每月用电不超过24度，就按每度9分收费，若超过24度，超出的部分按每度2角收费，已知某月甲家比乙家多交电费9角6分。（用电按整数度数计算），问甲、乙两家各交了多少电费？
《一元一次方程》检测题
一、填空题（每小题2分，共20分）
1．白天的温度是12℃，夜间下降了t℃，则夜间的温度是___________℃.
2．去括号合并：=_________.
3．方程变形为，这种变形叫___________，根据是____________.
4．已知x = 3是方程112x = ax1的解，则
a =___________.
5．当=________时，式子与互为相反数.
6．甲班有a人，乙班的人数是甲班人数的2倍少b人，则乙班的人数为__________________.
7．某厂产值每年平均增长x%，若第一年的产值为50万元，则第二年的产值为____________万元.
8．如果2、 2、 5和x的平均数为5，而3、 4、 5、 x和y的平均数也是5，那么x =________，y =________.
9．飞机在A、B两城之间飞行，顺风速度是每小时a千米，逆风速度是每小时b千米，则风的速度是每小时______________千米.
10．某公司2002年的出口额为107万美元，比1992年出口额的4倍还多3万美元，设公司1992年的出口额为x万美元，则可以列出方程：__________________________.
二、选择题（每小题3分，共18分）
11．下列四个式子中，是方程的是（ ）
A．1 + 2 + 3 + 4 = 10
B．2x3
C．x = 1
D．｜10. 5｜= 0. 5
12．在解方程时，去分母正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
13．一个两位数，个位数字与十位数字的和是9，如果将个位数字与十位数字对调后所得的新数比原数大9，则原来的两位数为（ ）
A．54 B．27 C．72 D．45
14．一项工程甲单独做要天完成，乙单独做要天完成，两人合作这项工程需要的天数为（ ）
A． B．
C． D．
15．某工厂计划每天烧煤吨，实际每天少烧吨，则吨煤可多烧（ ）天
A． B．
C． D．
16．一个长方形的周长为26 cm，这个长方形的长减少1 cm，宽增加2 cm，就可成为一个正方形，设长方形的长为cm，可列方程（ ）
A．
B．
C．
D．
三、解下列方程（每小题5分，共20分）
17．
18．
19．
20．
四、列方程解应用题（每小题7分，共42分）
21．在一只底面直径为30 cm，高为8 cm的圆锥形容器中倒满水，然后将水倒入一只底面直径为10 cm的圆柱形容器里，圆柱形容器中的水有多高？
22．甲、乙两人练习跑步，从同一地点出发，甲每分钟跑250米，乙每分钟跑200米，甲因找跑鞋比乙晚出发3分钟，结果两人同时到达终点，求两人所跑的路程。
23．为了拓展销路，商店对某种照相机的售价作了调整，按原价的8折出售，此时的利润率为14%，若此种照相机的进价为1200元，问该照相机的原售价是多少元？
24．爷爷与孙子下棋，爸爸赢一盘记为1分，孙子赢一盘记为3分，两人下了12盘（未出现和棋）后，得分相同，他们各赢了多少盘？
25．甲队原有工人68人，乙队原有工人44人，现又有42名工人调入这两队，为了使乙队人数是甲队人数的，应调往甲、乙两队各多少人？
26．一个三位数满足的条件：①三个数位上的数字和为20；②百位上的数字比十位上的数字大5；③个位上的数字是十位上的数字的3倍。这个三位数是几？
第三章：图形认识初步
课标要求
（1）点、线、面。通过丰富的实例，进一步认识点、线、面（如交通图上用点表示城市，屏幕上的画面是由点组成的）。 完成基本作图：作一条线段等于已知线段.
（2）角。①通过丰富的实例，进一步认识角。
②会比较角的大小，能估计一个角的大小，会计算角度的和与差，认识度、分、秒，会进行简单换算。
③了解角平分线。
④了解补角、余角，知道等角的余角相等、等角的补角相等。
（3）视图
①会画基本几何体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图（主视图、左视图、俯视图），会判断简单物体的三视图，能根据三视图描述基本几何体或实物原型。
②了解直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图判断和制作立体模型。
③了解基本几何体与其三视图、展开图（球除外）之间的关系；通过典型实例，知道这种关系在现实生活中的应用（如物体的包装）。
④观察与现实生活有关的图片（如照片、简单的模型图、平面图、地图等），了解并欣赏一些有趣的图形（如雪花曲线、莫比乌斯带）。
中考考点要求
1.了解线段、射线、直线的区别与联系。掌握它们的表示方法.
2.掌握“两点确定一条直线的”的性质，了解“两条直线相交只有一个交点”.
3.理解线段的和与差的概念，会比较线段的大小，理解“两点之间线段最段”的性质.
4.理解线段的中点和两点间距离的概念.
5.会用尺规作图作一条线段等于一直线段.
6.理解角的概念，理解平角、直角、周角、锐角、钝角的概念。
7掌握度、分、秒的换算，会计算角度的和、差、倍、分.
8.掌握角的平分线的概念，会画角的平分线.
9.会解决有关余角、补角的计算问题；会用“同角或等角的余角相等、同角或等角的补角相等”进行推理。
10.建立初步的空间观念，会画基本几何体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图，会判断简单物体的三视图，能根据三视图描述基本几何体或实物原型.
典型例题
例1.判断正误，并说明理由
①．两条直线如果有两个公共点，那么它们就有无数个公共点； （ ）
②．射线AP与射线PA的公共部分是线段PA； （ ）
③．有公共端点的两条射线叫做角； （ ）
④．互补的角就是平角； （ ）
⑤．经过三点中的每两个画直线，共可以画三条直线； （ ）
⑥．连结两点的线段，叫做这两点间的距离； （ ）
⑦．角的边的长短，决定了角的大小；
⑧．互余且相等的两个角都是45°的角； （ ）
⑨．若两个角互补，则其中一定有一个角是钝角； （ ）
⑩大于直角的角叫做钝角. （ ）
解：①．√．因为两点确定唯一的直线．
②．√，因为线段是射线的一部分．如图：
显然这句话是正确的．
③．× ， 因为角是有公共端点的两条射线组成的图形．
④．×．互补两角的和是180°，平角为180°．就量数来说，两者是相同的，但从“形”上说，互补两角不一定有公共顶点，故不一定组成平角．如下图
⑤．×．平面内三点可以在同一条直线上，也可以不在同一条直线上．
⑥． ×．连结两点的线段的长度，叫做这两点的距离．
⑦．×．角的大小，与组成角的两条射线张开的程度相关，或者说与射线绕着它的端点旋转过的平面部分的大小相关，与角的边画出部分的长短无关．
⑧．√，互余”即两角和为90°．
⑨．×． “互补”即两角和为180°．想一想：这里的两个角可能是怎样的两个角？
⑩×.钝角是大于直角而小于平角的角.
【注意】1.第⑤题中三个点的相互位置共有两种情况，如图
再如两角互补，这里的两角有两种情形，如图：
图（1） 图（2）
因此，互补的两个角中，可能有一个是钝角，也可能两个角都是直角，因此在作出判断前必须全面地考虑，这就要求有“分类讨论”的思想，“分类讨论”是数学中重要的思想方法之一．
2.注意数和形的区分与联系：“线段”表示的是“图形”，而“距离”指的是线段的“长度”，指的是一个“数量”，两者不能等同．
例2.如图：是一个水管的三叉接头，试画出它的三视图。
【注意】画三视图的原则是：长对齐，宽相等，高平齐。
例3.下面是正方体的展开图，每个平面内都标注了字母，请根据要求回答问题：
（1）和面A所对的会是哪一面？
（2）和B面所对的会是哪一面？
（3）面E会和哪些面平行？
答：（1）和面A所对的是面D；（2）和B面所对的是面F；（3）面E和面C平行。
例4.（1）线段DE上有A、B、C三个点，则图中共有多少条线段？
（2）若线段DE上有n个点呢？
解：（1）10条。
方法一：可先把点D作为一个端点，点A、B、C、E分别为另一个端点构成线段，再把点A作为一个端点，点B、C、E分别为另一个端点构成线段……依此类推，数出所有线段求和，即得结果．
方法二：5个点，每个点与另外一个点为端点可以组成一条线段，共有5×4条，但不计重复的应有条，即10条。
（2）(n＋1)＋n＋(n－1)＋…＋3＋2＋1＝（条）
例5．计算：（1）37°28′＋44°49′；（2）23．118°12′－37°37′×2；
（3）132°26′42″－41.325×3；（4）360°÷7（精确到分）．
解：（1）37°28′＋44°49′
＝81°77′
＝82°17′
（2）118°12′－37°37′×2
＝118°12′－75°14′
＝117°72′－75°14′
＝42°58′．
（3）法一 132°26′42″－41.325°×3
＝132.445－123.975
＝8.47．
法二 132°26′42″－41.325×3
＝132°26′42″－123.975
＝132°26′42″－12358′30″
＝131°86′42″－12358′30″
＝8°28′12″．
（4）360°÷7
＝51°＋3°÷7
＝51°＋25′＋5′÷7
＝51°＋25′＋300″÷7
≈51°＋25′＋43″
≈51°26′．
【注意】⑴1°＝60′，1′＝60″，低一级单位满“60”，要向高一级单位进“1”，由高一级单位借“1”要化成“60”加入低一级单位参与运算．
⑵在“度”、“分”、“秒”的混合运算中，可将“分”、“秒”化成度，也小数部分的度数可化成”“分”“秒”进行计算。
例6.已知∠α与∠β互为补角，且∠β的比∠α大15°，求∠α的余角．
解：
由题意可得
解之得
∴ ∠α的余角＝90°－∠α＝90°－63°＝27°．
答：∠α的余角是27°．
【注意】通过列方程或方程组解决几何问题是常用方法，关键是取适当的未知数。
强化训练
一．填空题
1．用一副三角板可以作出大于0°而小于180°的角的个数是 _________.
2．时钟的分针每60分钟转一圈，那么分针转900需________分钟，转1200需_______分钟，25分钟转________度.
3．如图，四点A、B、C、D在一直线上，则图中有______条线段，有_______条射线；若AC=12cm，BD=8cm，且AD=3BC，则AB=________，BC=________，CD=________
4．已知有共公顶点的三条射线OA、OB、OC，若∠AOB=1200，
∠BOC=300，则∠AOC=_________
5．已知点A、B、C三个点在同一条直线上，若线段AB=8，BC=5，
则线段AC=_________
6．如图，已知OA⊥OB，直线CD经过顶点O，若
∠BOD：∠AOC=5：2，则∠AOC=_______∠BOD=__________
7．计算（1）23030′= ,;
（2） ;.
8.要把木条固定在墙上至少要钉两颗钉子，这是因为___________________________。
9.水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示.如右图,是一个正方体的平面展开图,若图中的“似”表示正方体的前面, “锦”表示右面, “程”表示下面.则“祝”、 “你”、 “前”分别表示正方体的______________________.
10.如图，B、O、C在同一条直线上，OE平分AOB，DO平分上AOC，则EOD＝_______．
二、选择题
1．下列各图中，分别画有直线AB，线段MN，射线DC，其中所给的两条线有交点的是( )
2．如果在一条直线上得到10条不同的线段，那么在这条直线上至少要选用（ ）个不同的点.
A、20 B、10 C、7 D、5
3．平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为m个，最多为n个，则m+n等于（ ）
A、12 B、16 C、20 D、以上都不对
4.在下列立体图形中，不属于多面体的是（ ）
A．正方体 B．三棱柱 C．长方体 D．圆锥体
5．（2004年河北省课程改革实验区）图中几何体的主视图是（ ）
三．解答题
1．(1) 一个角的余角比它的补角还多1°，求这个角.
(2)已知互余两角的差为20°,求这两个角的度数.
2．已知如图，设A、B、C、D、为4个居民小区，现要在四边形ABCD内建一个购物中心，试问应把购物中心建在何处，才能使4个居民小区到购物中心的距离之和最小？试在图中画出这个中心（用点P表示），不必说明理由
同步训练一
立方图形与平面图形
轻松入门
1.把下列几何图形与对应的名称用线连起来.
圆柱 圆锥 正方体 长方体 棱柱 球
2.分别画出下列平面图形:
长方形 正方形 三角形 圆
3.从上向下看图(1),应是如图(2)中所示的( )
(2)
4.如图,是一个正方体盒子(6个面)的侧面展开图的一部分,请将它补充完整.
快乐晋级
5.如图(1),一本书上放着一个粉笔盒,指出图(2)中的三个平面图形各是从哪个方向看图(1)所看到的.
6.如图,四种图形各是哪种立体图形的表面展开所形成的 画出相应的四种立体图形.
7.如图,四个图形分别是四个公司的标志,请用线将它们联系起来:
中国联合通信有限公司
摩托罗拉(中国)电子有限公司
方正数码有限公司
中国电信集团公司
8.如图,上面是一些具体的物体,下面是一些立体图形, 试找出与下面立体图形相类似的
实物(用线连接).
拓广探索
9.你能只用一笔画出下列图形吗
同步训练二
点、线、面、体
轻松入门
1.如图,观察图形,填空:包围着体的是______;面与面相交的地方形成______; 线与线相交的地方是_______.
2.笔尖在纸上快速滑动写出了一个又一个字,这说明了_________;车轮旋转时,看起来像一个整体的圆面,这说明了_________;直角三角形绕它的直角边旋转一周,形成了一圆锥体,这说明了_____________.
3.如图,三棱锥有________个面,它们相交形成了________条棱, 这些棱相交形成了________个点.
4.如图,各图中的阴影图形绕着直线I旋转360°,各能形成怎样的立体图形
快乐晋级
5.小明用如图所示的胶滚沿从左到右的方向将图案滚涂到墙上,下列给出的4个图案中,符合图示滚涂出的图案是( )
6.生活中经常看到由一些简单的平面图形组成的优美图案, 你能说出下面图中的神秘图案是由哪些平面图形组成的吗
7.将如图左边的图形折成一个立方体, 判断右边的四个立方体哪个是由左边的图形折成的.
8.用6根火柴能摆成含有4个三角形的图形吗 有几种方法
拓广探索
9.小明为班级专栏设计一个图案,如图,主题是“我们喜爱合作学习”, 请你也尝试用圆、扇形、三角形、四边形、直线等为环保专栏设计一个图案, 并标明你的主题.
同步训练三
3.2 直线、射线、线段
轻松入门
1.经过一点,有______条直线;经过两点有_____条直线,并且______条直线.
2.如图1,图中共有______条线段,它们是_________.
3.如图2,图中共有_______条射线,指出其中的两条________.
4.线段AB=8cm,C是AB的中点,D是BC的中点,A、D两点间的距离是_____cm.
5.如图3,在直线I上顺次取A、B、C、D四点,则AC=______+BC=AD-_____,AC+BD- BC=________.
6.下列语句准确规范的是( )
A.直线a、b相交于一点m B.延长直线AB
C.反向延长射线AO(O是端点) D.延长线段AB到C,使BC=AB
7.下列四个图中的线段(或直线、射线)能相交的是( )
A.(1) B.(2) C.(3) D.(4)
8.如果点C在AB上,下列表达式①AC=AB;②AB=2BC;③AC=BC;④AC+BC=AB中, 能表示C是AB中点的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
9.如图,从A到B有3条路径,最短的路径是③,理由是( )
A.因为③是直的 B.两点确定一条直线
C.两点间距离的定义 D.两点之间,线段最短
10.如图,平面上有四个点A、B、C、D,根据下列语句画图
(1)画直线AB、CD交于E点;
(2)画线段AC、BD交于点F;
(3)连接E、F交BC于点G;
(4)连接AD,并将其反向延长;
(5)作射线BC;
(6)取一点P,使P在直线AB上又在直线CD上.
快乐晋级
11.观察图中的3组图形,分别比较线段a、b的长短，再用刻度尺量一下， 看看你的结果是否正确.
12.如图,要在一个长方体的木块上打四个小孔,这四个小孔要在一条直线上,且每两个相邻孔之间的距离相等,画出图形,并说明其中道理.
拓广探索
13.如图,一个三角形纸片,不用任何工具,你能准确比较线段AB与线段AC的大小吗 试用你的方法分别确定线段AB、AC的中点.
14.在一条直线上取两上点A、B,共得几条线段 在一条直线上取三个点A、B、 C,共得几条线段 在一条直线上取A、B、C、D四个点时,共得多少条线段 在一条直线上取n个点时,共可得多少条线段
同步训练四
角的度量
一、选择：
1.下列关于角的说法正确的个数是( )
①角是由两条射线组成的图形;②角的边越长,角越大; ③在角一边延长线上取一点D;④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.下列4个图形中,能用∠1,∠AOB,∠O三种方法表示同一角的图形是( )
3.图中,小于平角的角有( )
A.5个 B.6个 C.7个 D.8个
二、填空：
4.将一个周角分成360份,其中每一份是______°的角,
直角等于____°,平角等于______°.
5.30.6°=_____°_____′=_______′;30°6′=_______′______°.
三、解答题：
6.计算:
(1)49°38′+66°22′; (2)180°-79°19′; (2)22°16′×5; (4)182°36′÷4.
7.根据下列语句画图:
(1)画∠AOB=100°;
(2)在∠AOB的内部画射线OC,使∠BOC=50°;
(3)在∠AOB的外部画射线OD,使∠DOA=40°;
(4)在射线OD上取E点,在射线OA上取F,使∠OEF=90°.
8.任意画一个三角形,估计其中三个角的度数,
再用量角器检验你的估计是否准确.
9.分别确定四个城市相应钟表上时针与分钟所成的角的度数.
10.九点20分时,时钟上时钟与分钟的夹角a等于多少度
11.马路上铺的地砖有很多种图案,如图所示的图案是某街面方砖铺设的示意图,请你用量角器量一下其中出现的所有的角度
12.如图,在∠AOB的内部引一条射线OC,可得几个小于平角的角 引两条射线OC、OD呢 引三条射线OC、OD、OE呢 若引十条射线一共会有多少个角
13.请用直线、线段、角等图形设计成表示客观事物的图画,如图, 并为你的图画命名.
同步训练五
角的比较
一、填空:
1.如图1,∠AOB______∠AOC,∠AOB_______∠BOC(填>,=,<); 用量角器度量∠BOC=____°,∠AOC=______°,∠AOC______∠BOC.
2.如图2,∠AOC=______+______=______-______;∠BOC=______-______= _____-________.
3.OC是∠AOB内部的一条射线,若∠AOC=________,则OC平分∠AOB;若OC 是∠AOB的角平分线,则_________=2∠AOC.
二、选择：
4.下列说法错误的是( )
A.角的大小与角的边画出部分的长短没有关系；
B.角的大小与它们的度数大小是一致的；
C.角的和差倍分的度数等于它们的度数的和差倍分；
D.若∠A+∠B>∠C,那么∠A一定大于∠C。
5.用一副三角板不能画出( )
A.75°角 B.135°角 C.160°角 D.105°角
6.如图3,若∠AOC=∠BOD,那么∠AOD与∠BOC的关系是( )
A.∠AOD>∠BOC B.∠AOD<∠BOC; C.∠AOD=∠BOC D.无法确定
7.如果∠1-∠2=∠3,且∠4+∠2=∠1,那么∠3和∠4间的关系是( )
A.∠3>∠4 B.∠3=∠4; C.∠3<∠4 D.不确定
8.OC是从∠AOB的顶点O引出的一条射线,若∠AOB=90°,∠AOB= 2∠BOC, 求∠AOC的度数.
9.如图,把∠AOB绕着O点按逆时针方向旋转一个角度,
得∠A′OB′,指出图中所有相等的角,并简要说明理由.
10.如图,BD平分∠ABC,BE分∠ABC分2:5两部分,∠DBE=21°,求∠ABC的度数.
11.如图,已知∠α、∠β ,画一个角∠γ，使∠γ=3∠β-∠α.
12.如图,A、B两地隔着湖水,从C地测得CA=50m,CB=60m,∠ACB=145°,用1 厘米代表10米(就是1:1000的比例尺)画出如图的图形.量出AB的长(精确到1毫米), 再换算出A、B间的实际距离.
13.如图,∠AOB是平角,OD、OC、OE是三条射线,OD是∠AOC的平分线, 请你补充一个条件,使∠DOE=90°,并说明你的理由.
同步训练六
余角和补角
一、填空：
1.已知∠1=200,∠2=300,∠3=600,∠4=1500,则∠2是____的余角,_____是∠4的补角.
2.如果∠α=39°31°,∠α的余角∠β =_____,∠α的补角∠γ=_____,∠α-∠β=___.
3.若∠1+∠2=90°,∠3+∠2=90°,∠1=40°,则∠3=______°, 依据是_______。
二、选择：
4.如果∠α=n°,而∠α既有余角,也有补角,那么n的取值范围是( )
A.90°5.如图,甲从A点出发向北偏东70°方向走50m至点B,乙从A出发
向南偏西15°方向走80m至点C,则∠BAC的度数是( )
A.85° B.160° C.125° D.105°
6.如图,长方形ABCD沿AE折叠,使D点落在BC边上的F点处,
如果∠BAF=60°,则∠DAE等于( )
A.15° B.30° C.45° D.60°
7.已知∠α,用两种不同的方法,画出∠α的余角∠β 和∠α的补角∠γ.
8.一个角的余角比它的补角的 少40°,求这个角的度数.
9.在图中,确定A、B、C、D的位置:
(1)A在O的正北方向,距O点2cm;
(2)B在O的北偏东60°方向,距O点3cm;
(3)C为O的东南方向,距O点1.5cm;
(4)D为O的南偏西40°方向,距O点2cm.
10.直线AB、CD相交于O,∠BOC=80°,OE平分∠BOC,OF为OE的反向延长线. 画出图形并求出∠BOD和∠DOF的度数.
11.如图所示,A、B两条海上巡逻艇同时发现海面上有一不明物体,A艇发现该不明物体在它的东北方向,B艇发现该不明物体在它的南偏东60°的方向上, 请你试着在图中确定这个不明物体的位置.
12.小华从A点出发向北偏东50°方向走了80米到达B地,从B 地他又向西走了100米到达C地.
(1)用1:2000的比例尺(即图上1cm等于实际距离20米)画出示意图;
(2)用刻度尺和量角器量出AC的距离,以及C点的方向角;
(3)回答C点距A点的实际距离是多少(精确到1米),C点的方向角为多少.(精确到1°).
13.在飞机飞行时,飞行方向是用飞行路线与实际的南或北方向线之间的夹角大小来表示的.如图,用AN(南北线)与飞行线之间顺时针方向夹角作为飞行方向角. 从A到B的飞行方向角为35°,从A到C的飞行方向角为60°,从A到D 的飞行方向角为145°,试求AB与AC之间夹角为多少度 AD与AC之间夹角为多少度 并画出从A飞出且方向角为105°的飞行线.
《图形认识初步》检测题
一、选择题:(每小题3分,共30分)
1.如图1所示的棱柱有( )
A.4个面 B.6个面 C.12条棱 D.15条棱
2.如图2,从正面看可看到△的是( )
3.如图3,图中有( )
A.3条直线 B.3条射线 C.3条线段 D.以上都不对
4.下列语句正确的是( )
A.如果PA=PB,那么P是线段AB的中点; B.作∠AOB的平分线CD
C.连接A、B两点得直线AB; D.反向延长射线OP(O为端点)
5.如图4,比较∠α、∠β、∠γ 的大小得( )
A. ∠γ>∠β>∠α;B. ∠α=∠β;C. ∠γ>∠α>∠β;D. ∠β>∠α>∠γ.
6.5点整时,时钟上时针与分钟之间的夹角是( )
A.210° B.30° C.150° D.60°
7.两个角,它们的比是6:4,其差为36°,则这两个角的关系是( )
A.互余 B.互补 C.既不互余也不互补 D.不确定
8.∠α=40.4°,∠β=40°4′,则∠α与∠β的关系是( )
A. ∠α=∠β;B. ∠α>∠β;C. ∠α<∠β;D. 以上都不对
9.如果∠α=3∠β, ∠α=2∠θ,则必有( )
A. ∠β=∠θ;B.∠β=∠θ;C.∠β=∠θ;D.∠β=∠θ;
10.如图5所示,已知∠AOB=64°,OA1平分∠AOB,OA2平分∠AOA1,OA3 平分∠AOA2,OA4平分∠AOA3,则∠AOA4的大小为( )
A.8° B.4° C.2° D.1°
二、填空题:(每小题3分,共30分)
11.已知线段AB=8cm,延长AB至C,使AC=2AB,D是AB中点,则线段CD=______.
12.如图,从城市A到城市B有三种不同的交通工作:汽车、火车、飞机,除去速度因素,坐飞机的时间最短是因为___________.
13.57.32°=_______°_______′_______″;27°14′24″=_____°.
14.已知∠a=36°42′15″,那么∠a的余角等于________.
15.∠1+∠2=180°,∠2+∠3=180°,根据________,得∠1=∠3.
16.表示O点南偏东15°方向和北偏东25°方向的两条射线组成的角等于____
17.如图,∠AOC=90°,∠AOB=∠COD,则∠BOD=______°.
18.102°43′32″+77°16′28″=________;98°12′25″÷5=_____.
19.已知线段AB=acm,点A1平分AB,A2平分AA1,A3平分AA2,……, 平分, 则=_______________cm.
20.在平面上有任意四点,过其中任意两点画直线,能画_______条直线.
三、解答题:(21、24、25、26每题6分,22、23题每题8分)
21.根据下列语句画图:
(1)画∠AOB=120°;(2)画∠AOB的角平分线OC;
(3)反向延长OC得射线OD;
(4)分别在射线OA、OB、OD上画线段OE=OF=OG=2cm;
(5)连接EF、EG、FG;
(6)你能发现EF、EG、FG有什么关系 ∠EFG、∠EGF、∠GEF有什么关系
22.已知线段AB=10cm,直线AB上有一点C ,且BC=4cm,M是线段AC的中点,求AM 的长.
23.如图,直线AB、CD交于O点,且∠BOC=80°,OE平分∠BOC,OF为OE 的反向延长线.
(1)求∠2和∠3的度数.
(2)OF平分∠AOD吗 为什么
24.一个角的补角与它的余角的度数之比是3:1,求这个角的度数.
25.测量员沿着一块地的周围测绘.从A向东走600米到B,再从B向东南(∠ABC= 135°)走500米到C,再从C向西南(∠BCD=90°)走800米到D.用1厘米代表100米画图, 求DA的长(精确到10米)和DA的方向(精确到1°).
26.利用线段、角、三角形、圆等图形为你的学校设计一个校标,并简述你的设计思路.
O.
输出
kx
输入x
x
x+1
(x+1)2
(x+1)2-1
.
p
.
p1
输出结果
÷2
+
( )3
×2
输入y
输入x
C
_
B
_
D
_
A
_
图2
.
p3
.
p2（p）
.
p1、
图1
.
p2
②
①
③
a.
b.
c.
6
第一章 有理数---------------------------------------2
第二章 整式的加减---------------------------------18
第三章 一元一次方程------------------------------34
第四章 图形认识初步------------------------------63
第一章 有理数
课标要求
1．通过具体情境的观察、思考、探索，理解有理数的概念，了解分类讨论思想；
2．借助数轴理解数形结合思想，学会用数轴比较数的大小，解决一些数学问题；
3．理解互为相反数的意义、绝对值的意义、倒数的意义，会进行与之有关的计算；
4．掌握有理数加、减、乘、除、乘方的法则，会进行加、减、乘、除及混合运算；
5．掌握科学记数法的意义及表示方法；
6．了解近似数及有效数字的意义，会按题目要求取近似数.
中招考点
1．用数轴比较数的大小，解决 一些实际问题
2．互为相反数、倒数的有关计算.
3．有理数的加、减、乘、除、乘方的有关计算.
4．科学记数法、近似数的有关应用题.
5．灵活运用本章知识解决实际问题.
典型例题
在例题前，我们来了解一下本章的知识结构与要点.
例1 小红家、学校和小华家自东向西依次坐落在一条东西走向的大街上，小红家距学校1千米，小华家距学校2千米，小明沿街从学校向西走1千米，又向东走2千米，此时小明的位置在________.
分析：本题可借助数轴来解，如图所示，以学校为原点，学校以西为正方向，这样把实际问题转化为数学问题，观察数轴便可知此时小明的位置在小红家.
例2 若a与-7.2互为相反数，
则a的倒数是___________.
解：这道题既考察了相反数的概念，又考察了倒数的概念.
-7.2的相反数是7.2,所以a=7.2，a的倒数是.
例3 如图是一个正方体纸盒的展开图，在其中的四个正方形内分别标有1，2，3和-3，要在其余正方形内分别填上-1，-2，使得按虚线折成正方体后，相对面上的两数互为相反数，则A处应填_______.
解∶因为A的对面是2，所以正确答案是-2.
例4 已知有理数a,b满足条件a>0，b<0，|a|<|b|,
则下列关系正确的是（ ）.
A.-a
例5 计算–(+2.5)–(–41/4)+3.75–（+91/2）
解：原式=–2.5+4.25+3.75–9.5
=–(2.5+9.5)+(4.25+3.75)
=–12+8
=–4
说明：本题可以全部化成分数，通过通分来做；也可把所有整数部分相加，所有分数部分相加，最后在计算.
例6 如图：a , b , c在数轴上的位置如图所示，
试化简：︳a-b|-2c-|c+b|+|3b|
分析：本题考察的是绝对值的意义与运用，关键是如何判断绝对值里面数值的符号，从而去掉绝对值.
解：略
例7 2004年全年国内生产总值按可比价格计算，比上年增长9.5％,达到136515亿元.136515亿元用科学记数法表示（保留4个有效数字）为
A.1.365×1012元 B.1.3652×1013元 C.13.65×1012元 D.1.365×1013元
解：本题考察的是科学记数法和有效数字.
136515亿元=1.365×105亿元=1.365×1013元
注：科学记数法是把某一个数写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10,n为整数.
例8 计算：
（1）-5 (2)(- ) （3）(-1)2005 （4）(-1 )
解：本题考察乘方的意义和简单的乘方运算，应按照乘方的意义来进行运算，注意符号.
-5 =-25 (- ) =-（ ） = -
(-1)2005 =-1 (-1 ) = （ ）2 =
例9 （- ）-2-23×0.125+20040+|-1|
解：原式=4-8×0.125+1+1
=4-1+2
=5
例10 已知：a、b均为负数，c为正数，且|b|>|a|>|c|，化简.
解：依题意，画数轴、标出各数.
b-a<0, 所以得b
＝-（b+c）-(a-c)-(b-a)
＝-2b
说明：通过构造数轴，将表示a、b、c的点标在数轴上后，便能直观地看出b+c<0 , a-c<0,b-a<0，再来化简代数式就不易出错了.
强化练习
一、填空题
1．甲、乙两厂三月产值与上月相比，甲厂增产3%，可记作________，乙厂减产1.2%,可记作_________.
2．将下列各数填在相应的表示数集的大括号内：
+3，-1，0.81，315，0，-3.14，-21/7，-12.9，+400%，+81/9，5.15115.
分数集∶｛ …｝
负数集∶｛ …｝
非负整数集∶｛ …｝.
3．1nm等于十亿分之一米，用科学记数法表示：2.5m=_____nm.
4．近似数2.428×105有______个有效数字，精确到_ ____位.
5．（–4）3=_______.
二、选择题
1．下列说法不正确的是 ( )
A.没有最大的有理数 B.没有最小的有理数 C.有最小的正有理数 D.有绝对值最小的有理数
2． 在数轴上表示-12的点与表示3的点，这两点间的距离为（ ）
A.9 B.-9 C.-15 D.15
3. 若a的平方是4，则a的立方是( )
A.6 B.8 C.-8 D. –8和8
4． 如果ab>0,a+b<0,那么a,b的符号是( )
A.a>0,b>0 B.a>0, b<0 C.a<0 ,b>0 D. a<0, b<0
三、计算题
1． -1-5-1+3-4.5+2
2． 已知有理数a,b,c的和为0，且a=7,b=-2,则c为多少？
3． 2÷（-）×÷（-5） 4．4-（-2） -3÷(-1) +0×(-2)
5． （-1）2005+（-3） ×|-|-（-4） ÷（-2）5
四、简答题
1．某企业生产瓶装食用调和油，根据质量要求，净含量（不含包装）可以有0.0021升的误差，现抽查6瓶食用调和油，超过规定净含量的升数记作正数，不足规定净含量的升数记作负数，检查结果如下：+0.0018,-0.0023,-0.0025,-0.0015,+0.0012,+0.0010.请用绝对值的知识说明：（1）哪几瓶是符合要求的（即在误差范围内的）？(2)哪一瓶的净含量最接近规定的净含量
2． 出租车司机小李某天下午的营运路线是在东西走向的一条大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，那么他这天下午行车的里程如下（单位：千米）：+16，-18，-3，+15，-11，+14，+10，+4，-12，-15.请回答下列问题：
(1)将最后一名乘客送到目的地时，小李距下午出车地点的距离是多少千米？
(2)如果汽车耗油量为a升/千米，则这天下午汽车共耗油多少升
反馈检测A卷
一、选择题
1．下列各式不正确的是（ ）
A．︱-2.4︱=︱2.4︱ B．(-3)4=34 C. -8< -9 D.x2+1≥0
2. 如果一个有理数的平方是正数，那么这个有理数的立方是（ ）
A．正数 B．负数 C.非零数 D.非负数
3．计算（-1）2003+（-1）2003÷︱-1︱+（-1）2000的结果为（ ）
A.1 B． -1 C. 0 D. 2
4．数a,b,c在数轴上的位置如图所示，则a,b, -c由小到大的顺序是（ ）
A. a,-c,b B.b,a,-c C.a,b,-c D.b,-c,a
5．已知一个多位数的个位数字为m,且这个多位数的
任何次幂的个位数字仍为m,那么这个数字m( )
A.可能是0和1 B.只能是0 C.只能是1 D.以上都不对
6．下列说法错误的是（ ）
A.相反数与本身相等的数只有0 B.倒数与本身相等的数只有1和-1
C.平方与本身相等的数只有0和1 D.立方与本身相等的数只有0和1
7． 点A在数轴上距原点5个单位长度，将A点先向左移动2个单位长度，再向右移动6个单位长度，此时A点所表示的数是（ ）
A. –1 B.9 C. –1或9 D. 1或9
8． 若a+b<0,且ab<0,则（ ）
A.a,b同号 B. a,b异号 C.a,b都是负数 D.a,b都是正数
9． 如果一个数与它的相反数在数轴上对应点间的距离为8个单位长度，那么这个数是( )
A.+8和–8 B.+4和–4 C.+8 D. –4
二、填空题
1．大于-5的负整数是_______________.
2．已知今天早晨的气温是–14℃，中午的气温比它高5℃，则今天中午的气温是_________.
3．已知一列按一定规律排列的数：–1，3，–5，7，–9，…，–17，19，如果从中任意选出若干个数相加，使它们的和为0，那么至少要选_______个数，请列出算式________(写出一个正确的即可)
4．若x,y满足︱2x-1︱+︱y+2︱=0,那么-x +y =__________.
5. 绝对值不小于3但小于6的负整数有_______个，他们分别是___________.
6．（1）若x =x,则x=___ ； (2)若x = x ,则x=____ ；
（3）若x = x,则x=____.
7． 一根长50厘米的弹簧，一端固定，另一端挂上物体，在正常情况下，物体的质量每增加1千克，弹簧就伸长3厘米，在正常情况下（即弹性限度内），若弹簧挂x千克的重物，则弹簧伸长到______ 厘米.
三、解答题
1． 一货车司机小张某天上午的营运路线全部是在南北走向的向阳大街上进行的，如果规定向南为正，那么他在这天上午的行车路程如下（单位：千米）：+18,-15，+36，-48，-3.
（1） 上午停工时，小张在上午出车地点的什么位置上？
（2）若货车的耗油量为0.3升/千米，则这天上午该货车共耗油多少升？
2． 已知圆环的外圆半径为40mm，内圆半径为27mm，求圆环的面积.（π取准确值）
3． 某厂的一个冷冻仓库的室温是-12℃，现有一批食物需要在-25℃冷藏，如果每小时仓库的温度降低2℃，则经过多长时间仓库能降到所需温度？
4． 用“<”号将下列各数连接起来，并求出它们的相反数和倒数.
2，0.3,-3, - , 3
5. 比较大小（填“＞”“=”或“＜”号＝
（1）1 +5 _______2×1×5；(2)(-2) +3 ____2×(-2)×3；
（3）(-4) +(-4) ______2×(-4) ×(-4)
通过观察、归纳，探索出反映这一规律的一般结论，并用字母表示这一规律.
6． 已知a,b互为倒数，c,d互为相反数，且︱x︱=3，求2x -（ab-c-d）+︱ab+3︱的值.
7． 计算
（1）-2 +(-2) ×(-1)-(-2) ÷(-2) (2)- ×(- 1 )× ÷(-4)
（3）-(-1) -(-1 - )× ÷(-4)
反馈检测B卷
一、填空题
1．绝对值大于1而小于4的整数是________
2．如果两个数互为相反数，那么它们的和等于_______；如果两个数互为倒数，那么它们的积等于_________.
3．通过测量得到某同学的身高是1.64米，意味着他的身高的精确值h满足_______.
4． 3745≈__________ (保留两个有效数字)；1.4105≈______（精确到千分位）.
5. ______的绝对值等于1.3,______的相反数等于0.
6. 四个互不相等的整数的积是9，那么这四个整数的和等于（ ）
A.27 B.9 C.0 D.以上答案都不对
二、计算题
(1)(-9)-(-21) （2）( - )+ (- )
（3）(-1 )×(- )÷
（4）(-1)+ (-1) + (-1) +(-1)4 + … +(-1)99+(-1)100+(-1)101
（5） ( + - )÷(-24) （6）-99 ×9
三、问答题
1． 什么数等于它的倒数？什么数等于它的相反数？什么数等于它的绝对值？
2． 大于0而小于1的整数有没有？大于0而小于1的有理数有多少个？试写出十个这样的有理数.
3． 赵先生将甲、乙两种股票同时卖出，其中甲种股票进价是1000元，获利20%，一种股票进价也是1000元，获利-20%，则赵先生在这次买卖中是赚是赔？
4． 小红家春天粉刷房间，雇用了5个工人，干了10天完成；用了某种涂料150升，费用为4800元；粉刷的面积是150m ,最后结算工钱时，有以下几种方案：
方案一：按工算，每个工30元；（1个工人干1天是一个工）
方案二：按涂料费用算，涂料费用的30%作为工钱；
方案三：按粉刷面积算，每平方米付工钱12元.
请你帮小红家出主意，选择方案________付钱最合算（最省）.
5． 草履虫可以吞噬细菌，使污水净化，一只草履虫每小时大约能够形成60个食物泡，每个食物泡中大约含有30个细菌，那么100只草履虫每天大约能够吞噬多少个细菌？（用科学记数法表示）.
6． 某超市对顾客进行优惠购物，规定如下：①若一次购物少于200元，则不予优惠；②若一次购物满200元，但不超过500元，按标价给予九折优惠；③若一次购物超过500元，其中500元以下部分(包括500元)给予九折优惠，超过500元部分给予8折优惠.小李两次去该超市购物，分别付款198元和554元，现在小张决定一次性地购买和小李分两次购买同样多的物品，他需付款多少元？
7． 我国宇航员杨利伟乘“神舟五号”绕地球飞行了14周，飞行轨道近似看作圆，其半径为6.71×10 千米，总航程约为多少千米？（π取3.14，保留3个有效数字）
《有理数》测试题
一、填空题（每小题2分，共28分）
1． 在数+8.3、 、、 、 0、 90、 、中，________________是正数，____________________________不是整数。
2．+2与是一对相反数，请赋予它实际的意义：______________________________________。
3．的倒数的绝对值是___________。
4．用“＞”、“＜”、“＝”号填空；
（1）； （2）；
（3）；
（4）。
5．绝对值大于1而小于4的整数有____________，其和为_________。
6．用科学记数法表示13 040 000，应记作_____________________。
7．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，则 (a + b)3(cd)4 =__________。
8．…的值是__________________。
9．大肠杆菌每过20分便由1个分裂成2个，经过3小时后这种大肠杆菌由1个分裂成__________个。
10．数轴上表示数和表示的两点之间的距离是__________。
11．若，则=_________。
12．平方等于它本身的有理数是_____________，
立方等于它本身的有理数是______________。
13．在数、 1、 、 5、 中任取三个数相乘，其中最大的积是___________，最小的积是____________。
14．第十四届亚运会体操比赛中，十名裁判为某体操运动员打分如下：10、 9.7、 9.85、 9.93、 9.6、 9.8、 9.9、 9.95、 9.87、 9.6，去掉一个最高分，去掉一个最低分，其余8个分数的平均分记为该运动员的得分，则此运动员的得分是_________。
二、选择题（每小题3分，共21分）
15．两个非零有理数的和为零，则它们的商是（ ）
A．0 B． C．+1 D．不能确定
16．一个数和它的倒数相等，则这个数是（ ）
A．1 B． C．±1 D．±1和0
17．如果，下列成立的是（ ）
A． B．
C． D．
18．用四舍五入法按要求对0.05019分别取近似值，其中错误的是（ ）
A．0.1（精确到0.1）
B．0.05（精确到百分位）
C．0.05（保留两个有效数字）
D．0.0502（精确到0.0001）
19．计算的值是（ ）
A． B． C．0 D．
20．有理数a、b在数轴上的对应的位置如图所示：
则（ ）
A．a + b＜0 B．a + b＞0
C．a－b = 0 D．a－b＞0
21．下列各式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、计算（每小题5分，共35分）
22．
23．
24．÷
25．÷
26．÷
27．÷
28．
四、解答题（每小题8分，共16分）
29．某一出租车一天下午以鼓楼为出发地在东西方向营运，向东为正，向西为负，行车里程（单位：km）依先后次序记录如下：+9、 3、 5、 +4、 8、 +6、 3、6、 4、 +10。
（1）将最后一名乘客送到目的地，出租车离鼓楼出发点多远？在鼓楼的什么方向？
（2）若每千米的价格为2.4元，司机一个下午的营业额是多少？
30．某食品厂从生产的袋装食品中抽出样品20袋，检测每袋的质量是否符合标准，超过或不足的部分分别用正、负数来表示，记录如下表：
与标准质量的差值（单位：g） 5 2 0 1 3 6
袋 数 1 4 3 4 5 3
这批样品的平均质量比标准质量多还是少？多或少几克？若每袋标准质量为450克，则抽样检测的总质量是多少？
五、附加题（每小题5分，共10分）
1．如果规定符号“﹡”的意义是﹡=，求2﹡﹡4的值。
2．已知= 4，，求的值。
第2章 整式的加减
一 代数式
课标要求
1.掌握用字母表示数，建立符号意识.
2.会列代数式表示简单的数量关系，会正确书写代数式，会求代数式的值.
3.在数学活动中，体会抽象概括的数学思想方法和“特殊一般”相互转化的辨证关系.
中招考点
用字母表示数，列代数式，正确书写代数式，求代数式的值.
典型例题
例1 某市出租车收费标准为：起步价5元，3千米后每千米价1.2元，则乘坐出租车走x(x﹥3)千米应付______________元.
分析：因为x﹥3，所以应付费用分为两部分，一部分为起步价5元，另一部分为走（x-3）千米应付的1.2（x-3）元.
解：
注意：和、差形式的代数式要在单位前把代数式括起来.
例2 下列代数式中，书写正确的是（ ）
A. ab·2 B. a÷4 C. -4×a×b D. E. F. -3×6
分析：A：数字应写在字母前面 B：应写成分数形式，不用“÷”号 C：数与字母相乘，字母与字母相乘时，“×”号省略 D：带分数要写成假分数 E、F书写正确.
解：E、F.
例3 下列各题中，错误的是（ ）
A. 代数式
B. 代数式5(x+y)的意义是5与(x+y)的积
C. x 的5倍与y的和的一半，用代数式表示为
D. 比x的2倍多3的数，用代数式表示为2x+3
分析：选项C中运算顺序表达错误，应写成
友情提示：数学语言有文字语言、符号语言、图形语言.进行数学思维时，同学们要学会恰当使用各种语言推理分析，各种语言的互译是一种数学基本功.
例4 当x=1时，代数式的值为2005，求x=－1时，代数式 的值.
分析：当x=1时，=2005，p+q=2004,
当x=－1时，=－－（p+q）+1=－2004+1=－2003.
解：当x=1时，=2005
p+q=2004
当x=－1时，=－
=－（p+q）+1=－2004+1 =－2003.
提示：“整体”思想在数学解题中经常用到，请同学们在解题时恰当使用.
例5 下图是一个数值转换机的示意图，请你用x、y表示输出结果，并求输入x的值为3，y的值为-2时的输出结果.
解：输出结果用x、y表示为：
当x=3,y=-2时,
=
=-1.
提示：把图形语言翻译为符号语言的关键是识图，
弄清图中运算顺序.
例6 某餐饮公司为大庆路沿街20户居民提供早餐方便，决定在路旁建立一个快餐店P，点P选在何处，才能使这20户居民到P点的距离总和最小？
分析：面对复杂的问题，应先把问题“退”到比较简单的情形：
如图1，如果沿街有2户居民，很明显点P设在p1、、、p2之间的任何地方都行.
如图2，如果沿街有3户居民， 点P应设在中间那户居民、p2门前.
------
以此类推，沿街有4户居民，点P应设在第2、3户居民之间的任何位置，沿街有5户居民，点P应设在的第3户门前，------沿街有n户居民：当n为偶数时，点P应设在第、户居民之间的任何位置；当n为奇数时，点P应设在第户门前.
解：根据以上分析，当n=20时，点P应设在第10、11户居民之间的任何位置.
思维驿站： 请同学们认真体会“特殊一般”的辨证关系，掌握化归的思想方法，学会把复杂的问题化为简单的情形来解决.
强化练习
一、填空题
1. 代数式2a-b表示的意义是_____________________________.
2. 列代数式：⑴设某数为x,则比某数大20%的数为_______________.
⑵a、b两数的和的平方与它们差的平方和________________.
3. 有一棵树苗，刚栽下去时，树高2.1米，以后每年长0.3米，则n年后的树高为________________，计算10年后的树高为_________米.
4. 某音像社对外出租光盘的收费方法是：每张光盘在出租后的头两天每天收0.8元，以后每天收0.5元，那么一张光盘在出租后第n天（n＞2的自然数）应收租金_________________________元.
5. 观察下列各式：12+1=1×2，22+2=2×3，32+3=3×4------
请你将猜想到的规律用自然数n(n≥1)表示出来______________________.
6. 一个两位数，个位上的数是a，十位上的数字比个位上的数小3，这个两位数为_________，当a=5时，这个两位数为_________.
二、选择题
1. 某品牌的彩电降价30%以后，每台售价为a元，则该品牌彩电每台原价为（ ）
A. 0.7a元 B.0.3a元 C. 元 D. 元
2. 根据下列条件列出的代数式，错误的是（ ）
A. a、b两数的平方差为a2-b2 B. a与b两数差的平方为(a-b)2
C. a与b的平方的差为a2-b2 D. a与b的差的平方为(a-b)2
3. 如果那么代数式(a+b)2005的值为（ ）
A. –2005 B. 2005 C. -1 D. 1
4. 笔记本每本m元，圆珠笔每支n元，买x本笔记本和y支圆珠笔，共需（ ）
A. （ mx+ny）元 B. (m+n)(x+y) C. （nx+my ）元 D. mn(x+y) 元
5. 当x=-2,y=3时,代数式4x3-2y2的值为（ ）
A. 14 B. –50 C. –14 D. 50
三、解答题
1. 已知代数式3a2-2a+6的值为8, 求的值.
2. 当a=-1,b=-,c=时，求代数式b2-4ac的值，并指出求得的这个值是哪些数的平方.
3. 人在运动时的心跳速率通常和人的年龄有关.如果用a表示一个人的年龄，用b表示正常情况下这个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数，那么b=0.8(220-a).
⑴ 正常情况下,在运动时一个14岁的少年所能承受的每分钟心跳的最高次数是多少？
⑵ 一个45岁的人运动时10秒心跳的次数为22次，请问他有危险吗？为什么？
反馈检测
一、填空题（每小题5分，共25分）
1. 某机关原有工作人员m人，现精简机构，减少20%的工作人员，则剩下_____人.
2. 结合生活经验作出具体解释：a-b__________________________________.
3. 甲以a千米/小时、乙以b千米/小时（a＞b）的速度沿同一方向前进，甲在乙的后面8千米处开始追乙，则甲追上乙需_____________小时.
4. 若梯形的上底为a，下底为b，高为h，则梯形的面积为____________;当a=2cm，b=4cm，h=3cm时，梯形的面积为____________.
5. 按下列程序计算x=3时的结果__________.
二、选择题（每小题5分，共25分）
1. 下列式子中符合代数式的书写格式的是（ ）
A. x· B. C. D.
2. 一个长方形的周长是45cm，一边长acm，这个长方形的面积为（ ）cm2
A. B. C. D.
3. 代数式x2-7y2用语言叙述为（ ）
A.x与7y的平方差 B.x的平方减7的差乘以y的平方
C.x与7y的差的平方 D. x的平方与y的平方的7倍的差
4. 当a=-2,b=4时，代数式的值是（ ）
A.56 B.48 C. –72 D.72
5. 一个正方体的表面积为54 cm2，它的体积是（ ）cm3
A. 27 B.9 C. D. 36
三、解答题（每题10分，共50分）
1. 列代数式
⑴ 若一个两位数十位上的数是a，个位上的数是b，这个两位数是_________.
若一个三位数百位上的数为a,十位上的数是b，个位上的数c，这个三位数是_________.
⑵ 某品牌服装以a元购进，加20%作为标价.由于服装销路不好，按标价的八五折出售，降价后的售价是__________元，这时仍获利________________________元.
⑶电影院第一排有a个座位，后面每排比前一排多2个座位，则第x排的座位有____________个.
⑷A、B两地相距s千米，某人计划a小时到达，如果需要提前2小时到达，每小时需多走___________________千米.
2. 已知代数式的值为7，求代数式的值.
3. 当时，求代数式的值.
4. 若，求的值.
5. 给出下列程序：
若输入x=1时，输出的值为-2，求输入x=-2时，输出的值是多少？
二、整式的加减
课标要求
1. 了解单项式、多项式、整式的有关概念，弄清它们与代数式之间的联系和区别.
2. 理解同类项的概念，会判断同类项，熟练合并同类项.
3. 掌握去括号法则、添括号法则，能准确地进行去括号与添括号.
4. 熟练地进行整式的加减运算.
中招考点
单项式、多项式、整式的有关概念，同类项的概念，去括号法则、添括号法则，整式的加减运算.
典型例题
例1 判断下列各代数式是否是单项式.如果不是，请简要说明理由；如果是，请指出它的系数和次数：
⑴ a+2 ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ m ⑹ -3×104t
分析：同学们要弄清题中涉及到的几个概念，即：数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式（单独一个数或一个字母也是单项式）；单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；单项式中所有字母的指数和叫做这个单项式的次数.
解：⑴ 不是.因为原代数式中出现了加法运算. ⑵ 不是.因为原代数式是1与x的商. ⑶ 是.它的系数是，次数是2. ⑷是.它的系数是-，次数是3. ⑸是.它的系数是1，次数是1. ⑹是.它的系数是-3×104，次数是1.
注意：圆周率是常数；当一个单项式的系数是1或-1、次数是1时，“1”通常省略不写；单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如⑷中.
例2 指出多项式的项、次数，是几次几项式，并把它按x降幂排列、按y的升幂排列.
分析：解本题的关键是要弄清几个概念：多项式的项、次数，按某一字母降幂排列、按某一字母的升幂排列.
解：多项式的项有：2x3y,-4y2,5x2; 次数是4；是四次三项式；
按x降幂排列为：2x3y+5x2- 4y2；按y的升幂排列为：5x2+2x3y- 4y2.
提示：多项式的次数不是所有项的次数之和，而是次数最高项的次数；多项式的每一项都包括它前面的符号.
例3 请写出-2ab3c2的两个同类项_______________.你还能写多少个？________.它本身是自己的同类项吗？___________.当m=________,3.8是它的同类项？
分析：本题是一道开发题，给同学们很大的思维空间，对同类项的正确理解是解题的关键.
解：2.1ab3c2 、-6ab3c2等； 还能写很多（只要 在ab3c2前面添加不同的系数）；它本身也是自己的同类项；m=-1.∵且2-m=3∴m=-1.
例4 如果关于字母x的二次多项式-3x2+mx+nx2-x+3的值与x无关，求m、n的值.
分析：本题的“题眼”——多项式-3x2+mx+nx2-x+3的值与x无关，这一条件说明了：关于字母x的二次项系数、一次项系数都为零.
解：∵ -3x2+mx+nx2-x+3=（-3+n）x2+(m-1)x+3
∴ -3+n=0,m-1=0
∴ m=1,n=3.
例5 a＞0＞b＞c，且 化简
分析：求绝对值首先要判断代数式是正数或0或负数.本题中可用赋值法、数形结合法判断a+c、a+b+c、a-b、b+c的符号.
解：如图知，a、b、c在数轴上的位置.
∵ a＞0，b＜0，c＜0，
∴ a+c＞0，a+b+c＞0，a-b＞0，b+c＜0
∴
=（a+c）+（a+b+c）-（a-b）-（b+c）
=a+c+a+b+c-a+b-b-c
=a+b+c.
反思总结：解含有字母的题目通常在字母取值范围赋值，可以把抽象问题直观化.
强化练习
一、填空题
1. 单项式的系数是_______，次数是_________.
2. 多项式的次数是______，三次项系数是________.
3. 把多项式按x升幂排列是_________________.
4. 下列代数式：.其中单项式有_______________________________，多项式有___________________________.
5. 多项式b2-8ab2+5a2b2-9ab+ab2-3中，________与-8ab2是同类项，5a2b2与_______是同类项，是同类项的还有_____________________________.
6. 3a-4b-5的相反数是_______________.
二、选择题
1. 如果多项式是关于x的三次多项式，那么（ ）
A. a=0,b=3 B. a=1,b=3 C. a=2,b=3 D. a=2,b=1
2. 如果，则A+B=( )
A. 2 B. 1 C. 0 D. –1
3. 下列计算正确的是（ ）
A. 3a-2a=1 B. –m-m=m2 C. 2x2+2x2=4x4 D. 7x2y3-7y3x2=0
4. 在3a-2b+4c-d=3a-d-( )的括号里应填上的式子是（ ）
A. 2b-4c B. –2b-4c C. 2b+4c D. –2b+4c
5. 如果一个多项式的次数是4，那么这个多项式任何一项的次数应（ ）
A. 都小于4 B. 都不大于4 C. 都大于4 D. 无法确定
三、解答题
1. 如果0.65x2y2a-1 与–0.25xb-1y3是同类项，求a,b的值.
2. 先化简，再求值.，其中a=-5,b=-3.
3. 把多项式写成一个三次多项式与一个二次三项式之差.
4. 计算：
反馈检测
一、填空题（每小题5分，共25分）
1. 在一次募捐活动中，某校平均每名同学捐款a元，结果一共捐款b元，则式子可解释为_________________________________________________________.
2. 在某地，人们发现蟋蟀叫的次数与温度有某种关系.用蟋蟀1分钟叫的次数除以7，然后再加上3，就可以近似地得到该地当时的温度（0C）.设蟋蟀1分钟叫的次数为n,用代数式表示该地当时的温度为_______0C；当蟋蟀1分钟叫的次数为100时，该地当时的温度约为________0C（精确到个位）.
3. k=______时，-与的和是单项式.
4. 在括号内填上适当的项：(a+b-c)(a-b+c)=.
5. 多项式的次数是____,常数项为_____,四次项为_______.
二、选择题（每小题5分，共25分）
1. 某宾馆的标准间每个床位标价为m元，旅游旺季时上浮x%，则旅游旺季时标准间的床位价为（ ）元.
A.mx% B.m+x% C.m(1+x%) D.m(1-x%).
2. 用代数式表示“a与-b的差”，正确的是（ ）
A.b-a B.a-b C.-b-a D.a-(-b)
3. 当x=-2,y=3时，代数式4x3-2y2的值是（ ）
A.14 B.-50 C.-14 D.50
4. 下列运算正确的是（ ）
A.3a+2b=5ab B.3a2b-3ba2=0 C.3x2+2x3=5x5 D.5y2-4y2=1
5. 下列说法中，错误的是（ ）
A.单项式与多项式统称为整式 B.单项式x2yz的系数是1
C.ab+2是二次二项式 D.多项式3a+3b的系数是3
三、解答题（每题10分，共50分）
1. ⑴ 若，请指出a与b的关系. ⑵ 若25a4b4是某单项式的平方，求这个单项式.
2. 化简求值：4a2b-2ab2-3a2b+4ab2，其中a=-1,b=2.
3. 在计算代数式（2x3－3x2y－2xy2）－(x3－2xy2+y3)+(-x3+3x2y－y3)的值，其中x=0.5,y=－1时，甲同学把x=0.5错抄成x=－0.5，但他计算的结果也是正确的.试说明理由，并求出这个结果.
4. 你一定知道小高斯快速求出：1+2+3+4+…+100=5050的方法.现在让我们比小高斯走得更远，求1+2+3+4+…+n=_______________.
请你继续观察：13=12，13+23=32，13+23+33=62，13+23+33+43=102，…
求出：13+23+33+…+n3=_______________________.
5. 如果A=3x2-xy+y2,B=2x2-3xy-2y2,那么2A-3B等于多少
《整式的加减》综合检测（A）
一、填空题（每题3分，共30分）
1.光明奶厂1月份产奶m吨，2月份比1月份增产15%，则2月份产奶______吨.
2.代数式6a表示_____________________________________________.
3.单项式-4xy2的系数是_______，次数是__________.
4.多项式的二次项是___________.
5.三个连续偶数中间一个是2n，第一个是______，第三个是_______，这三个数的平方和是_____________（只列式子，不计算）
6.若2a3b-0.75abk+3×105是五次多项式，则k=__________.
7.单项式-5xm+3y4与7x5y3n-1是同类项，则nm=_____，这两个单项式的和是___________.
8.2ab+b2+__________=3ab-b2 .
9.一长方形的一边长为2m+n,比另一边多m-n（m＞n），则长方形的周长是____________.
10.x是两位数，y是三位数，y放在x左边组成的五位数是______________.
二、选择题（每题4分，共20分）
1. 下列说法中，正确的是（ ）
A.若ab=-1，则a、b互为相反数 B.若，则a=3
C.-2不是单项式 D.-xy2的系数是-1
2. 多项式的项是（ ）
A.2a2,-a,-3 B. 2a2,a,3 C. 2a2,-a,3 D. 2a2,a,-3
3. 下列代数式，其中整式有（ ）个
A.4 B.3 C.2 D.1
4. 若a＜0, 则2a+5等于（ ）
A.7a B.-7a C.-3a D.3a
5. 看下表，则相应的代数式是（ ）
x 0 1 2 3
代数式值 2 -1 -4 -7
A.x+2 B.2x-3 C.3x-10 D.-3x+2
三、解答题（每小题10分，共50分）
1．已知，则________.
计算：
探究：.
2. 已知A=3a2-2a+1 B=5a2-3a+2 C=2a2-4a-2, 求A-B-C.
3. 如果关于x的多项式与3xn+5x是同次多项式，求 的值.
4. 化简5a2－（用两种方法）
5. 按下列要求给多项式-a3+2a2-a+1添括号.
⑴ 使最高次项系数变为正数；
⑵ 使二次项系数变为正数；
⑶ 把奇次项放在前面是“－”号的括号里，其余的项放在前面是“＋”号的括号里.
《整式的加减》综合检测（B）
一、填空题（每题3分，共30分）
1根据生活经验，对代数式a-2b作出解释：_____________________________________.
2.请写出所有系数为-1，含有字母x、y的三次单项式_________________________.
3.如果多项式x4-(a-1)x3+5x2+(b+3)x-1不含x3和x项，则a=_____,b=___________.
4.试写出一个关于x的二次三项式，使二次项系数为2，常数项为-5，一次项系数为3 ， 答案是_______________________.
5.指出代数式-a2bc2和a3x2的共同点，例如：都含字母a，.①________________,
②_____________.
6.如果x与2y互为相反数，则
7.一个多项式加上-5+3x-x2得到x2-6，这个多项式是___________，当x=-1时，这个多项式的值是________.
8.代数式-3+(x-a)2的最小值为_______，这时x=_______.
9.把多项式2a-b+3写成以2a为被减数的两个式子的差的形式是___________________.
10.五·一广场内有一块边长为a米的正方形草坪，经过统一规划后，南北向要加长2米，而东西向要缩短2米.改造后的长方形的面积为___________平方米.
二、选择题（每题4分，共20分）
1. 下面列出的式子中，错误的是（ ）
A.a、b两数的平方和：(a+b)2 B.三数x、y、z的积的3倍再减去3：3xyz-3
C. a、b两数的平方差：a2-b2 D. a除以3的商与4的和的平方：（）2
2. 下列各组单项式中是同类项的为（ ）
A.3xy,3xyz B.2ab2c,2a2bc C.-x2y2 ,7y2x2 D. 5a,-ab
3. 下列代数式a+bc,5a,mx2+nx+p,-x.,1,5xyz,,其中整式有（ ）个
A.7 B.6 C.5 D.4
4. 一个正方形的边长减少10%，则它的面积减少（ ）
A.19% B.20% C.1% D.10%
5. 当m、n都为自然数时，多项式am+bn+2m+2的次数是（ ）
A.2m+n+2 B.m+2 C.m或n D.m、n中较大的数
三、解答题（每小题10分，共50分）
1. 先化简，再求值：(4x2-3x) +(2+4x-x2 ) - (2x2+x+1), 其中x= -2 .
2. 已知x2+y2=7,xy= -2. 求5x2-3xy-4y2-11xy-7x2+2y2的值.
3. 已知A=2x2+3xy-2x-1, B= -x2+xy-1, 且3A+6B的值与x无关，求y的值.
4. 若，求：值.
5. 规定一种新运算：a＊b= ab+a-b, 求 a＊b+(b-a)＊b.
第三章 一元一次方程
课标要求
1．解一元一次方程及其解的意义.
2．理解方程变形的基本原理，能在解方程中正确应用.
3．掌握一元一次方程中移项、系数化为1等基本步骤，会解一元一次方程，
并会对方程的解进行检验.
4．能根据具体情境中的数量关系，列出方程，解决简单的实际问题.
中招考点
一元一次方程概念及解法，一元一次方程的应用，能利用一元一次方程解决生活中的实际问题.
典型例题
例1解方程
解：去分母，得
去括号，得
移项、合并同类项，得
系数化为1，得 .
说明：注意在解方程过程中正确进行有理数及整式的运算，步骤不宜过于简单.
例2 已知是关于的方程的解，求的值.
分析：本题已知方程的解，要求方程中待确定的字母系数，可以像解数字系数的方程一样，先求出方程的解，再进行比较；也可以根据方程的解的定义：能使方程两边代数式的值相等的未知数的取值叫做方程的解，将代入原方程，转化为关于的方程求解.
解1 解关于的方程： .
.
.
因为已知方程的解是,所以,即.
解2 因为是方程的解，所以
.
解这个方程，得 .
例3 列方程求下列问题的解：
（1）甲乙两车分别从相距360千米的两地相向开出，已知甲车速度是60千米/小时.乙车速度是40千米/小时.若甲车先开1小时，问乙车开出多少时间后两车相遇？
（2）小陈和老师一起整理了一篇教学材料，准备打印成稿.按篇幅估计老师单独打字需4个小时，小陈单独打字需6个小时，后来小陈先打了一个小时后，老师开始一起打.问还需多少小时完成？
分析：方程是刻画现实世界数量之间相等关系的一个重要数学模型，通过对实际问题中数量关系的分析，列出相关的代数式，进而建立方程，可以把复杂的实际问题转化为纯数学问题来解决.这一过程的关键是要透过纷繁多变的问题的表象，抓住数量关系的实质，抽象为数学问题.因此，常有面目迥异的情形，在学习中我们不能机械地记忆、套用某些题型而忽略了问题的本质.
像上述两个问题，不论是甲、乙两车还是师、生两人，主要的等量关系都是两个对象所完成数量的和等于总量，而其中一个对象所完成的数量又分为两部分；前一小时的和后来的.
请同学们注意强化训练第8题两个问题中数量关系和解法的比较.
解：（1） 设乙车开出小时后两车相遇，根据题意，得
.
解这个方程得 .
经检验，符合题意.
答 乙车开出3小时两车相遇.
（2）设老师开始打字后还需x小时完成，根据题意，得
解这个方程得
答 老师开始打字后还需要2个小时完成.
强化训练
1．选择题
（1）下列方程变形正确的是（ ）.
A.由得 B. 由得
C.由得 D. 由得
（2）下列方程后所列出的解不正确的是（ ）.
A. B.
C. D.
（3）方程的解是（ ）.
A.7 B. C.3 D.7或3
（4）一种书包经两次降价10%，现在售价元，则原售价为（ ）元.
A. B. C. D.
2．填空题
（1）若关于的方程的解是，则_________.
（2）当时，代数式与的值相等.
3．解下列方程：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）
4．当时，代数式的值是12，求当时，这个代数式的值.
5．初一（4）班课外乒乓球组买了两副乒乓球板，若每人付9元，则多了5元，后来组长收了每人8元，自己多付了2元，问两副乒乓球板价值多少？
6．请你编制一道关于的方程，形如，使它的解在1到2之间.
7．已知,当时，.求当时，的值.
8．应用方程解下列问题：
（1）某车间原计划每周装配36台机床，预计若干周完成任务，在装配了三分之一后，改进操作技术，功效提高了一倍，结果提前一周半完成任务.求这次任务需装配的机床总台数.
（2）某人有急事，预定搭乘一辆小货车从A地赶住B地，实际上他乘小货车行了三分之一路后改乘出租车，车速提高了一倍，结果提前一个半小时到达.已知小货车的车速是36千米/小时，求两地间的路程.
专项训练：一元一次方程及其解法
基础知识精要
1. 等式：用等号来表示相等关系的式子叫等式。
如：+=，x+y=y+x，V=a3，3x+5=9都叫等式。而像、不含等号，所以它们不是等式，而是代数式。
2. 等式的性质：
等式性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式。
等式性质2：等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是0）所得的结果仍是等式。
如：，两边都加5得：，即仍是等式；在这个等式两边都乘以，得3x×=9×，即，也仍是等式，这样我们就利用了等式的两个性质解方程。
3. 方程的有关概念：
（1）方程：含有未知数的等式叫做方程。如，其中x是未知数；又如，其中x，y是未知数。
（2）方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫方程的解。只含有一个未知数的方程的解，也叫做根。例如方程，当x=时，方程左边=2×+6=7=右边，所以x=是方程的解，或说x=是方程的根。
（3）解方程：求得方程的解的过程。
（4）同解方程：如果第一个方程的解都是第二个方程的解，第二个方程的解也是第一个方程的解时，这两个方程叫做同解方程。如：与是同解方程，都是它们的解。
（5）方程同解原理：
同解原理1：方程两边都加上或都减去同一个数或者同一个整式，所得方程与原方程同解。
同解原理2：方程两边都乘以或者除以不等于零的同一个数，所得方程与原方程同解。
注意：方程两边同乘以零，尽管所得的仍是一个等式，但作为方程，与原方程一般来说不是同解方程。
（6）会检验一个数是不是一个方程的解：将这个数分别代入方程的左边和右边，看是否使左边等于右边。
如：检验和是不是方程的解。
当时，左边，右边，∴左边≠右边，∴不是原方程的解；
当时，左边，右边，∴左边＝右边，∴是原方程的解。
4. 一元一次方程的概念
（1）定义：经过去分母、去括号、移项、合并同类项等变形后，能化为最简形式（），它只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0。我们把这一类方程叫做一元一次方程.
（2）一元一次方程的标准形式：方程（其中是未知数，，是已知数，且）叫做一元一次方程的标准形式（是未知数的系数，是常数项）.
5. 一元一次方程的解法
（1）解一元一次方程的一般思路：
先经过去分母、去括号、移项、合并同类项等变形，将方程化为最简方程（）的形式，然后将方程两边都除以，得方程的解x=.
（2）移项法则：方程中的任何一项，都可以在改变符号后，从方程的一边移到另一边，这类变形叫做移项，这个法则叫做移项法则.
（3）解一元一次方程的一般步骤：
① 去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数.
② 去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号.
③ 移项：把含未知数的项都移到方程的左边，不含未知数的项移到右边.
④ 合并同类项：把方程化成（）的形式.
⑤ 系数化1：在方程两边都除以未知数的系数，得到方程的解x=.
（4）检验方法：将所得的解分别代入原方程的左边和右边，如果左边=右边，说明所得的解是原方程的解；如果左边≠右边，说明解题过程有错误，应认真检查，一定是哪一步的计算出了错误.
典型例题
例1. 已知是关于的一元一次方程，求的值。
解：∵ 是关于的一元一次方程。
∴ 且 且
∴
例2. 已知式子－2y－＋1的值是0，求式子-的值.
分析：由－2y－＋1的值是0，可得方程，从而求出y的值，再把y的值代入所求式子中即可。
解：由题意，得－2y－＋1＝0 解这个方程，得y＝2，当y＝2时，
。
注意：本题是利用方程来解决求另一式子的值的问题，故解方程的过程不必全部写出来。
例3. 解方程
（1） ；
（2）；
（3）；
（4）；
例4. 已知关于的方程3[x-2（x-）]=4x和方程-=1有相同的解，求这个解。
解：a=；x=
例5. 已知关于x的方程的解互为相反数，求k值。
分析：两个方程中均有字母系数k，可分别求得两个方程的解后比较，也可以综合应用两种方法，先求得较简单方程的解，再按题意代换
解法1：分别解出两个字母系数方程，得方程的解分别是
解法2：先求得第一个方程的解是
例6. 已知方程4x＝－8的解也是关于x的方程x＝1＋k的解，求式子的值。
分析：从已知方程4x＝－8中，求出x的值，把x的值代入x＝1＋k中，求出k的值，再把k的值代入所求式子中。
解：解方程 4x＝－8，得x＝－2
把x＝－2代入x＝1＋k，得－2＝1＋k， k＝－3
当k＝－3时
例7. 用整体思想解方程
分析：本题可直接去括号后解，若注意到四个括号内的代数式相同或互为相反数，则可以利用这一特征保留整体计算。
解：
例8. 解绝对值方程
1）
分析：解绝对值方程，必须设法去掉绝对值符号，转化为一元一次方程求解。可以有两种方法：
①对x－2的值进行讨论，按绝对值的定义，分两种情况解 ②将作为整体先求得它的值，然后直接求解
解法一：
解法二：
2）
分析：对所讨论的代数式的绝对值，点0和2是影响它们两式的取值的，应分开情况讨论
解：
例9.若关于的方程的解为正整数，求正整数的值。
解：
∵ 为正整数 ∴ 必须是4的约数
∵ 4的约数是1，2，4
∴
∵ 0不是正数 ∴ 值为3和1
例10. 关于x的一元一次方程的解的讨论。
解：这是关于字母系数的一元一次方程，它的解由a、b的取值来确定。
（1）若时，则方程有唯一的解：x=（b是任何有理数）
（2）若且，此时方程为0·x=0，则方程有无数个解。
（3）若且，此时方程为0·x=b，显然方程无解。
说明：解关于字母系数的一元一次方程时，无非就是例2所讨论的三种情况，针对每一种情况要真正理解，不必死记硬背，这样在解题中才能融会贯通。
例11.已知关于x的方程无解，试求a的值。
解：
∵方程无解
且
∴ a=时方程无解
例12. 已知关于x的方程无解，求a的值。
解：将原方程变形为
即
依题意此方程无解。
由<1>得：a=
代入<2>：-2≠0
满足<2>，∴a的值是
例13. 若关于x的方程有无穷多个解，则 ( )
A. B. C. D. =0
解：先将方程去括号：
再移项合并同类项：
依题意，此方程有无穷多个解，即无数个解
此时方程：
∴选A
例14. 当k为何值时，关于x的方程有唯一的解。
解：将方程整理为标准式：
∵方程有唯一的解的要求是
∴当时，关于x的方程有唯一的解
例15. k为何正数时，关于x的方程的解是正数？
分析：对于方程来说，若它的解是正数，则
即或
解：将原方程整理为：
按题意，方程的解是正数且k为正数
则要求（I）或（II）
由不等式组（I）得：
由不等式组（II）得：
∴当或时，关于x的方程的解是正数。
查缺补漏
1.解方程
（1）
（2）
（3）
（4）[（x+1）+2]-2=x
（5）
（6）已知ax+2=2（a-x）的解满足|x+|=0，则__________。
（7）解方程：x+2|x|+3=0
（8）a为何值时，关于x的方程：3（ax-2）-（x+1）=2（+x）①有惟一解；②没有解.
2. 已知是方程2-（m-x）=2x的解，那么求关于的方程的解。
3. 若m、n为定值，关于x的一次方程，无论k为何值时，它的解总是1，求m、n.
专题二：实际问题与一元一次方程
知识内容：
1. 学习目标：
（1）会根据具体问题中的数量关系列出一元一次方程并会解，能根据问题的实际意义检验所得结果是否合理。
（2）结合实践与探索，经历“问题情境——建立数学模型——解释”。应用与拓展的过程，体会数学的价值。
2. 如何根据实际问题列方程
（1）实际问题与数学知识的相互转换
数学来源于实践，在实际问题中，我们应学会用数学的观点考察与分析问题，我们经常是这样。
列一元一次方程解题，就是根据已知条件，列出一个一元一次方程，通过求方程的解达到解决问题的目的，列方程的关键是抓住问题中有关数量的相等关系，即找到一个包含题目含义的数量关系，所以在列方程时，要把握三个重要环节：
①整体地、系统地审题，弄清题意和其中的数量关系，用字母表示适当的未知数。
②找出能表示问题含义的一个主要的“等量关系”。
③根据等量关系中涉及的量，列出表达式及方程，正确求解。
（2）利用一元一次方程解决实际问题的常见题型：
题型 基本量，基本数量关系 寻找相等关系的思路方法
等积形式问题 常见几何图形的长、宽、高、面积、周长、体积的公式，及相互之间的关系。 （1）形变积不变（2）形变积也变，但重量不变
利息问题 本息和、本金、利息、利息和、利息税、期数的关系。 利息=本金×利率×期数本息和=本金+利息
年龄问题 大小两个年龄差不会变 抓住年龄增长，一年一岁，人人平等
数字问题 多位数的表示方法：是一个多位数，它可表示为： 1. 抓住数字间或新数、原数之间的关系，寻找相等关系。2. 常需设间接未知数。
比例问题 甲：乙：丙=a：b：c 各部分量之和=总量设其中一份为x，由已知各部分量在总量中所占的比例，可得各部分量的代数式。
追及问题 路程、速度、时间的关系 路程=速度×时间甲走的路程与乙走的路程之间关系等式。
相遇问题 路程、速度、时间的关系 甲走的路程+乙走的路程=A、B两地间的路程
航行问题 顺水速度、静水速度、水流速度、时间、路程、速度之间的关系。 两地间距离不变顺水速度=静水速度+水流速度逆水速度=静水速度－水流速度
（3）设未知数的方法：
根据具体问题作具体分析，设未知数通常有两种方法：
①直接设未知数法：
即题目里问什么，就设什么作为未知数，这样设之后，只要能求出所列方程的解，就可以直接求得题目的所问。在多数情况下，应用题都可以直接设未知数求解。
②间接设未知数法：
有些问题，若采用直接设未知数法，则不易列出方程，这时可以考虑采取间接设未知数法，即通过间接的桥梁作用。来达到求解的目的。按比例分配问题，和、差、倍、分问题，整数的组成问题等均可用间接设未知数法。
【典型例题】
例1. 某面粉仓库存放的面粉运出15%后，还剩余42500千克，问这个仓库原来有面粉多少千克？
分析：把仓库中存放的面粉运出去，仓库中的面粉就比原来减少了，因此可以发现这道应用题隐含这样的一个相等关系：原来重量－运出重量=剩余重量
利用直接方法设原来重量为x千克，则易列方程。
解：设原来重量为x千克，则运出重量为15%x，根据题意得：
解之得：
经检验，符合题意
答：原来重量为50000千克。
例2. 一队学生去校外进行军事野营训练，他们以5千米/时的速度行进，走了18分钟，此时，学校要将一个紧急通知传给队长，通讯员从学校出发骑自行车以14千米/时的速度按原路追上去。通讯员用多少时间可以追上学生队伍？
分析：这是一个追及问题，由于通讯员从学校出发按原路追学生队伍，所以与学生是同向而行且同地。所以有以下相等关系：
通讯员行进路程=学生行进路程
路线图示如下：设通讯员需x小时追上学生队伍
解：设通讯员需x小时追上学生队伍，根据题意得：
解之得：
经检验，符合题意
答：通讯员用10分钟可以追上学生队伍。
例3. 在甲处劳动的有27人，在乙处劳动的有19人，现在另调20人去支援，使在甲处的人数为在乙处人数的2倍，应调往甲、乙两处各多少人？
分析：设应调往甲处x人，则调往乙处（20-x）人，那么甲、乙两处的人数可列出下表：
解：设应调往甲处x人，则调往乙处（20-x）人，根据题意得：
解之得：
经检验，符合题意
答：应调往甲处17人，乙处3人。
例4. 一个两位数，十位上的数字与个位上的数字和为11，如果把十位上的数字与个位上的数字对调，则所得新数比原数大63，求原两位数。
分析：若直接设这两位数很难求解，根据已知条件，可间接设原来两位数的个位上的数字为x，则十位上的数字为11-x。
解：设原来两位数的个位上的数字为x，根据题意得：
解之得：
答：所求两位数为29。
例5. 某商品的售价为每件900元，为了加大参与市场竞争力度，商店按售价的9折再让利40元酬宾，此时仍可获利10%，此商品的进价是多少元？
分析：本题属商品利润问题：此类问题的基本量关系有：
商品利润=商品售价－商品进价
可利用列方程的等量关系是：商品现售价－商品进价=商品进价×商品的利润率，即（商品原售价×90%－40）－商品进价=商品进价×商品的利润率。
解：设此商品进价为x元，根据题意，得：
解这个方程，得：
经检验，符合题意
答：此商品进价为700元。
说明：商品利润问题，常用于列方程的等量关系是：
商品售价－商品进价=商品利润
例6. 某校长暑假将带领该校市级“三好学生”去北京参加夏令营，甲旅行社说：“如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优惠”，乙旅行社说：“包括校长在内全部按全票价的6折优惠”，若全票价为240元。
（1）设学生数为x，甲旅行社收费为y甲，、乙旅行社收费为y乙，分别计算两家旅行社的收费；
（2）当学生是多少人时，两家旅行社的收费一样。
分析：本题是现实生活中经常出现的问题：
（1）由两家旅行社的规定费用，根据参加人数可直接计算出两家旅行社的收费。
（2）由两家旅行社收费可得方程，进而可求得学生人数
解：（1）设学生人数为x人，则
（2）根据题意，得：
解这个方程得：
答：当学生数为4时，两家旅行社收费一样。
说明：本题如果你是校长，你应该选择哪家旅行社呢？那么这个问题就成了先计算两家旅行社费用，后比较费用的多少了。
例7. 依法纳税是每个公民的义务，《中华人民共和国个人所得税法》规定，有收入的公民依照下表中的规定的税率交纳个人所得税。
1999年规定，上表中“全月应纳税所得额”是从收入中减去800元后的余额，例如：某人月收入1020元，减去800元，应纳税所得额应是220元，应交个人所得税是：元。
王老师每月收入是相同的，且1999年第四季度交钠个人所得税99元，问王老师每月收入是多少元？
分析：如果某人月收入不超过1300元（=800+500），那么每月交纳个人所得税不超过25元（=500×5%），如果月收入超过1300元，但不超过2800元（=800+2000）。那么每月交纳个人所得税在25元到175元。，如果月收入超过2800元，那么每月交纳个人所得税在175元以上。因为王老师每月交个人所得税为99÷3=33元，则他的月收入在1300元至2800元之间。利用月交纳个人所得税33元的等量关系可列方程求解。
解：设王老师的月收入为x元，根据题意，得：
解之得：
经检验，符合题意
答：王老师的月收入为1380元。
说明：在解题前先完成一个判断，即分类讨论，估计王老师月收入落在哪个范围内，然后才便于列出方程。
强化训练
一. 填空题
1. 买3支钢笔，5支圆珠笔共用了26.8元，一支钢笔3.6元，则一支圆珠笔是________元？
2. 课外活动小组女同学原来占全组人数的，加入4个女同学后，女同学就占全组人数的，则课外小组原来有__________人？
3. 把1.26m铁丝围成一个长方形，使长比宽多0.18m，则长方形的长是_________m，宽是_________m。
4. 一件商品售价为6元，利润是成本的20%，如果售价提高到6.5元，那么利润率为_______%。
5. 一段路程是s千米，步行要走a小时，骑自行车要行b小时（a>b），步行比骑自行车每小时慢___________千米。
6. 一件工程，甲单独做需要a天完成，乙单独做需要b天完成，两人合作1天完成的工作是_______________。
7. 一个梯形的上底是8cm，下底比上底多4cm，它的面积是50cm2，那么梯形的高是_____________cm。
8. 若把横截面为正方形，且边长为20cm的一根钢材锻造成长、宽、厚分别为50cm、30cm、20cm的长方体底板一块，则需用这根钢材___________cm。
9. 已知甲的跑步速度是7米/秒，乙的跑步速度是6.5米/秒，现甲让乙先跑1秒，然后追乙，经x秒便可追上，则x=_________秒。
10. 若某商场销售A型、B型、C型三种手机共255部，其中A型、B型、C型手机的数量比为3：5：9，则该商场共销售A型手机_____________部。
二. 选择题
1. 三个连续正整数的和是477，那么这三个数中最小的数是（ ）
A. 158 B. 159 C. 160 D. 161
2. 一个两位数的十位数字与个位数字之和是7，如果把这个两位数加上45，那么恰好成为个位数字与十位数字对调后组成的两位数，则这个两位数是（ ）
A. 16 B. 25 C. 38 D. 49
3. 有含盐20%的盐水100kg，要使其浓度为40%，需要加盐（ ）
A. B.
C. D.
4. 某时装标价为650元，某女士以5折又少30元购得，业主净赚50元，那么此时装进价为（ ）
A. 275元 B. 295元
C. 245元 D. 325元
5. 甲组人数是乙组人数的2倍，从甲组抽调8人到乙组，这时甲组剩下的人数恰是乙组现有人数的一半多2人，设乙组原有x人，则可列方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
6. 已知轮船在河流中来往航行于A、B两个码头之间，顺流航行全程需7小时，逆流航行全程需9小时，已知水流速度为每小时3km，求A、B两码头间的路程？若设A、B两码头间的路程为xkm，则所列方程为：（ ）
A. B.
C. D.
7. 甲、乙两小组上月计划生产零件数的比是2：5，月底甲组实际生产超过计划的15%，乙组还有计划的4%未完成，两组全月共生产零件4970个，求甲、乙两组上月各生产零件多少个？若设甲组上月生产x个零件，下列方程正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
8. 甲、乙两人骑自行车同时从相距4800米的两地同向而行，2小时甲追上乙，甲比乙每小时多骑的千米数是（ ）
A. 4.8千米 B. 2.4千米
C. 2400千米 D. 480千米
9. 我国股市交易中每买卖一次需交千分之七点五的各种费用，某投资者以每股10元的价格买入上海某股票1000股，当该股票涨到12元时全部卖出，该投资者实际盈利为（ ）
A. 2000元 B. 1925元
C. 1835元 D. 1910元
三. 解答题
1. 某同学在一次英语考试中，试题由50道选择题组成，评分标准规定，每道题的答案选对得3分，不选得0分，选错倒扣1分，已知该同学5道未做得了103分，问这位同学选错了多少道题的答案？
2. 某市出租公司的出租车收费标准如下，3km以内（含3km）收费8元，超过3km的部分按每1km收费1.5元。
（1）写出应收费y（元）与出租车行驶的路程xkm之间的关系式：
（2）小明乘出租车行驶6km，应付多少元？
（3）若小李付车费17元，则小李乘车行驶了多少km？
3. 为了准备小明6年后上大学的学费5000元，他的父母现在就参加了教育储蓄，下面有两种储蓄方式：
（1）直接存一个6年期，年利率为2.88%。
（2）先存一个3年期的，3年后将本利和自动转存一个3年期，3年期的年利率是2.7%。你认为小明的父母应选择哪种储蓄较好，为什么？
4. 某地的水电站发电了，电费规定，若每月用电不超过24度，就按每度9分收费，若超过24度，超出的部分按每度2角收费，已知某月甲家比乙家多交电费9角6分。（用电按整数度数计算），问甲、乙两家各交了多少电费？
《一元一次方程》检测题
一、填空题（每小题2分，共20分）
1．白天的温度是12℃，夜间下降了t℃，则夜间的温度是___________℃.
2．去括号合并：=_________.
3．方程变形为，这种变形叫___________，根据是____________.
4．已知x = 3是方程112x = ax1的解，则
a =___________.
5．当=________时，式子与互为相反数.
6．甲班有a人，乙班的人数是甲班人数的2倍少b人，则乙班的人数为__________________.
7．某厂产值每年平均增长x%，若第一年的产值为50万元，则第二年的产值为____________万元.
8．如果2、 2、 5和x的平均数为5，而3、 4、 5、 x和y的平均数也是5，那么x =________，y =________.
9．飞机在A、B两城之间飞行，顺风速度是每小时a千米，逆风速度是每小时b千米，则风的速度是每小时______________千米.
10．某公司2002年的出口额为107万美元，比1992年出口额的4倍还多3万美元，设公司1992年的出口额为x万美元，则可以列出方程：__________________________.
二、选择题（每小题3分，共18分）
11．下列四个式子中，是方程的是（ ）
A．1 + 2 + 3 + 4 = 10
B．2x3
C．x = 1
D．｜10. 5｜= 0. 5
12．在解方程时，去分母正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
13．一个两位数，个位数字与十位数字的和是9，如果将个位数字与十位数字对调后所得的新数比原数大9，则原来的两位数为（ ）
A．54 B．27 C．72 D．45
14．一项工程甲单独做要天完成，乙单独做要天完成，两人合作这项工程需要的天数为（ ）
A． B．
C． D．
15．某工厂计划每天烧煤吨，实际每天少烧吨，则吨煤可多烧（ ）天
A． B．
C． D．
16．一个长方形的周长为26 cm，这个长方形的长减少1 cm，宽增加2 cm，就可成为一个正方形，设长方形的长为cm，可列方程（ ）
A．
B．
C．
D．
三、解下列方程（每小题5分，共20分）
17．
18．
19．
20．
四、列方程解应用题（每小题7分，共42分）
21．在一只底面直径为30 cm，高为8 cm的圆锥形容器中倒满水，然后将水倒入一只底面直径为10 cm的圆柱形容器里，圆柱形容器中的水有多高？
22．甲、乙两人练习跑步，从同一地点出发，甲每分钟跑250米，乙每分钟跑200米，甲因找跑鞋比乙晚出发3分钟，结果两人同时到达终点，求两人所跑的路程。
23．为了拓展销路，商店对某种照相机的售价作了调整，按原价的8折出售，此时的利润率为14%，若此种照相机的进价为1200元，问该照相机的原售价是多少元？
24．爷爷与孙子下棋，爸爸赢一盘记为1分，孙子赢一盘记为3分，两人下了12盘（未出现和棋）后，得分相同，他们各赢了多少盘？
25．甲队原有工人68人，乙队原有工人44人，现又有42名工人调入这两队，为了使乙队人数是甲队人数的，应调往甲、乙两队各多少人？
26．一个三位数满足的条件：①三个数位上的数字和为20；②百位上的数字比十位上的数字大5；③个位上的数字是十位上的数字的3倍。这个三位数是几？
第三章：图形认识初步
课标要求
（1）点、线、面。通过丰富的实例，进一步认识点、线、面（如交通图上用点表示城市，屏幕上的画面是由点组成的）。 完成基本作图：作一条线段等于已知线段.
（2）角。①通过丰富的实例，进一步认识角。
②会比较角的大小，能估计一个角的大小，会计算角度的和与差，认识度、分、秒，会进行简单换算。
③了解角平分线。
④了解补角、余角，知道等角的余角相等、等角的补角相等。
（3）视图
①会画基本几何体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图（主视图、左视图、俯视图），会判断简单物体的三视图，能根据三视图描述基本几何体或实物原型。
②了解直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图判断和制作立体模型。
③了解基本几何体与其三视图、展开图（球除外）之间的关系；通过典型实例，知道这种关系在现实生活中的应用（如物体的包装）。
④观察与现实生活有关的图片（如照片、简单的模型图、平面图、地图等），了解并欣赏一些有趣的图形（如雪花曲线、莫比乌斯带）。
中考考点要求
1.了解线段、射线、直线的区别与联系。掌握它们的表示方法.
2.掌握“两点确定一条直线的”的性质，了解“两条直线相交只有一个交点”.
3.理解线段的和与差的概念，会比较线段的大小，理解“两点之间线段最段”的性质.
4.理解线段的中点和两点间距离的概念.
5.会用尺规作图作一条线段等于一直线段.
6.理解角的概念，理解平角、直角、周角、锐角、钝角的概念。
7掌握度、分、秒的换算，会计算角度的和、差、倍、分.
8.掌握角的平分线的概念，会画角的平分线.
9.会解决有关余角、补角的计算问题；会用“同角或等角的余角相等、同角或等角的补角相等”进行推理。
10.建立初步的空间观念，会画基本几何体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图，会判断简单物体的三视图，能根据三视图描述基本几何体或实物原型.
典型例题
例1.判断正误，并说明理由
①．两条直线如果有两个公共点，那么它们就有无数个公共点； （ ）
②．射线AP与射线PA的公共部分是线段PA； （ ）
③．有公共端点的两条射线叫做角； （ ）
④．互补的角就是平角； （ ）
⑤．经过三点中的每两个画直线，共可以画三条直线； （ ）
⑥．连结两点的线段，叫做这两点间的距离； （ ）
⑦．角的边的长短，决定了角的大小；
⑧．互余且相等的两个角都是45°的角； （ ）
⑨．若两个角互补，则其中一定有一个角是钝角； （ ）
⑩大于直角的角叫做钝角. （ ）
解：①．√．因为两点确定唯一的直线．
②．√，因为线段是射线的一部分．如图：
显然这句话是正确的．
③．× ， 因为角是有公共端点的两条射线组成的图形．
④．×．互补两角的和是180°，平角为180°．就量数来说，两者是相同的，但从“形”上说，互补两角不一定有公共顶点，故不一定组成平角．如下图
⑤．×．平面内三点可以在同一条直线上，也可以不在同一条直线上．
⑥． ×．连结两点的线段的长度，叫做这两点的距离．
⑦．×．角的大小，与组成角的两条射线张开的程度相关，或者说与射线绕着它的端点旋转过的平面部分的大小相关，与角的边画出部分的长短无关．
⑧．√，互余”即两角和为90°．
⑨．×． “互补”即两角和为180°．想一想：这里的两个角可能是怎样的两个角？
⑩×.钝角是大于直角而小于平角的角.
【注意】1.第⑤题中三个点的相互位置共有两种情况，如图
再如两角互补，这里的两角有两种情形，如图：
图（1） 图（2）
因此，互补的两个角中，可能有一个是钝角，也可能两个角都是直角，因此在作出判断前必须全面地考虑，这就要求有“分类讨论”的思想，“分类讨论”是数学中重要的思想方法之一．
2.注意数和形的区分与联系：“线段”表示的是“图形”，而“距离”指的是线段的“长度”，指的是一个“数量”，两者不能等同．
例2.如图：是一个水管的三叉接头，试画出它的三视图。
【注意】画三视图的原则是：长对齐，宽相等，高平齐。
例3.下面是正方体的展开图，每个平面内都标注了字母，请根据要求回答问题：
（1）和面A所对的会是哪一面？
（2）和B面所对的会是哪一面？
（3）面E会和哪些面平行？
答：（1）和面A所对的是面D；（2）和B面所对的是面F；（3）面E和面C平行。
例4.（1）线段DE上有A、B、C三个点，则图中共有多少条线段？
（2）若线段DE上有n个点呢？
解：（1）10条。
方法一：可先把点D作为一个端点，点A、B、C、E分别为另一个端点构成线段，再把点A作为一个端点，点B、C、E分别为另一个端点构成线段……依此类推，数出所有线段求和，即得结果．
方法二：5个点，每个点与另外一个点为端点可以组成一条线段，共有5×4条，但不计重复的应有条，即10条。
（2）(n＋1)＋n＋(n－1)＋…＋3＋2＋1＝（条）
例5．计算：（1）37°28′＋44°49′；（2）23．118°12′－37°37′×2；
（3）132°26′42″－41.325×3；（4）360°÷7（精确到分）．
解：（1）37°28′＋44°49′
＝81°77′
＝82°17′
（2）118°12′－37°37′×2
＝118°12′－75°14′
＝117°72′－75°14′
＝42°58′．
（3）法一 132°26′42″－41.325°×3
＝132.445－123.975
＝8.47．
法二 132°26′42″－41.325×3
＝132°26′42″－123.975
＝132°26′42″－12358′30″
＝131°86′42″－12358′30″
＝8°28′12″．
（4）360°÷7
＝51°＋3°÷7
＝51°＋25′＋5′÷7
＝51°＋25′＋300″÷7
≈51°＋25′＋43″
≈51°26′．
【注意】⑴1°＝60′，1′＝60″，低一级单位满“60”，要向高一级单位进“1”，由高一级单位借“1”要化成“60”加入低一级单位参与运算．
⑵在“度”、“分”、“秒”的混合运算中，可将“分”、“秒”化成度，也小数部分的度数可化成”“分”“秒”进行计算。
例6.已知∠α与∠β互为补角，且∠β的比∠α大15°，求∠α的余角．
解：
由题意可得
解之得
∴ ∠α的余角＝90°－∠α＝90°－63°＝27°．
答：∠α的余角是27°．
【注意】通过列方程或方程组解决几何问题是常用方法，关键是取适当的未知数。
强化训练
一．填空题
1．用一副三角板可以作出大于0°而小于180°的角的个数是 _________.
2．时钟的分针每60分钟转一圈，那么分针转900需________分钟，转1200需_______分钟，25分钟转________度.
3．如图，四点A、B、C、D在一直线上，则图中有______条线段，有_______条射线；若AC=12cm，BD=8cm，且AD=3BC，则AB=________，BC=________，CD=________
4．已知有共公顶点的三条射线OA、OB、OC，若∠AOB=1200，
∠BOC=300，则∠AOC=_________
5．已知点A、B、C三个点在同一条直线上，若线段AB=8，BC=5，
则线段AC=_________
6．如图，已知OA⊥OB，直线CD经过顶点O，若
∠BOD：∠AOC=5：2，则∠AOC=_______∠BOD=__________
7．计算（1）23030′= ,;
（2） ;.
8.要把木条固定在墙上至少要钉两颗钉子，这是因为___________________________。
9.水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示.如右图,是一个正方体的平面展开图,若图中的“似”表示正方体的前面, “锦”表示右面, “程”表示下面.则“祝”、 “你”、 “前”分别表示正方体的______________________.
10.如图，B、O、C在同一条直线上，OE平分AOB，DO平分上AOC，则EOD＝_______．
二、选择题
1．下列各图中，分别画有直线AB，线段MN，射线DC，其中所给的两条线有交点的是( )
2．如果在一条直线上得到10条不同的线段，那么在这条直线上至少要选用（ ）个不同的点.
A、20 B、10 C、7 D、5
3．平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为m个，最多为n个，则m+n等于（ ）
A、12 B、16 C、20 D、以上都不对
4.在下列立体图形中，不属于多面体的是（ ）
A．正方体 B．三棱柱 C．长方体 D．圆锥体
5．（2004年河北省课程改革实验区）图中几何体的主视图是（ ）
三．解答题
1．(1) 一个角的余角比它的补角还多1°，求这个角.
(2)已知互余两角的差为20°,求这两个角的度数.
2．已知如图，设A、B、C、D、为4个居民小区，现要在四边形ABCD内建一个购物中心，试问应把购物中心建在何处，才能使4个居民小区到购物中心的距离之和最小？试在图中画出这个中心（用点P表示），不必说明理由
同步训练一
立方图形与平面图形
轻松入门
1.把下列几何图形与对应的名称用线连起来.
圆柱 圆锥 正方体 长方体 棱柱 球
2.分别画出下列平面图形:
长方形 正方形 三角形 圆
3.从上向下看图(1),应是如图(2)中所示的( )
(2)
4.如图,是一个正方体盒子(6个面)的侧面展开图的一部分,请将它补充完整.
快乐晋级
5.如图(1),一本书上放着一个粉笔盒,指出图(2)中的三个平面图形各是从哪个方向看图(1)所看到的.
6.如图,四种图形各是哪种立体图形的表面展开所形成的 画出相应的四种立体图形.
7.如图,四个图形分别是四个公司的标志,请用线将它们联系起来:
中国联合通信有限公司
摩托罗拉(中国)电子有限公司
方正数码有限公司
中国电信集团公司
8.如图,上面是一些具体的物体,下面是一些立体图形, 试找出与下面立体图形相类似的
实物(用线连接).
拓广探索
9.你能只用一笔画出下列图形吗
同步训练二
点、线、面、体
轻松入门
1.如图,观察图形,填空:包围着体的是______;面与面相交的地方形成______; 线与线相交的地方是_______.
2.笔尖在纸上快速滑动写出了一个又一个字,这说明了_________;车轮旋转时,看起来像一个整体的圆面,这说明了_________;直角三角形绕它的直角边旋转一周,形成了一圆锥体,这说明了_____________.
3.如图,三棱锥有________个面,它们相交形成了________条棱, 这些棱相交形成了________个点.
4.如图,各图中的阴影图形绕着直线I旋转360°,各能形成怎样的立体图形
快乐晋级
5.小明用如图所示的胶滚沿从左到右的方向将图案滚涂到墙上,下列给出的4个图案中,符合图示滚涂出的图案是( )
6.生活中经常看到由一些简单的平面图形组成的优美图案, 你能说出下面图中的神秘图案是由哪些平面图形组成的吗
7.将如图左边的图形折成一个立方体, 判断右边的四个立方体哪个是由左边的图形折成的.
8.用6根火柴能摆成含有4个三角形的图形吗 有几种方法
拓广探索
9.小明为班级专栏设计一个图案,如图,主题是“我们喜爱合作学习”, 请你也尝试用圆、扇形、三角形、四边形、直线等为环保专栏设计一个图案, 并标明你的主题.
同步训练三
3.2 直线、射线、线段
轻松入门
1.经过一点,有______条直线;经过两点有_____条直线,并且______条直线.
2.如图1,图中共有______条线段,它们是_________.
3.如图2,图中共有_______条射线,指出其中的两条________.
4.线段AB=8cm,C是AB的中点,D是BC的中点,A、D两点间的距离是_____cm.
5.如图3,在直线I上顺次取A、B、C、D四点,则AC=______+BC=AD-_____,AC+BD- BC=________.
6.下列语句准确规范的是( )
A.直线a、b相交于一点m B.延长直线AB
C.反向延长射线AO(O是端点) D.延长线段AB到C,使BC=AB
7.下列四个图中的线段(或直线、射线)能相交的是( )
A.(1) B.(2) C.(3) D.(4)
8.如果点C在AB上,下列表达式①AC=AB;②AB=2BC;③AC=BC;④AC+BC=AB中, 能表示C是AB中点的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
9.如图,从A到B有3条路径,最短的路径是③,理由是( )
A.因为③是直的 B.两点确定一条直线
C.两点间距离的定义 D.两点之间,线段最短
10.如图,平面上有四个点A、B、C、D,根据下列语句画图
(1)画直线AB、CD交于E点;
(2)画线段AC、BD交于点F;
(3)连接E、F交BC于点G;
(4)连接AD,并将其反向延长;
(5)作射线BC;
(6)取一点P,使P在直线AB上又在直线CD上.
快乐晋级
11.观察图中的3组图形,分别比较线段a、b的长短，再用刻度尺量一下， 看看你的结果是否正确.
12.如图,要在一个长方体的木块上打四个小孔,这四个小孔要在一条直线上,且每两个相邻孔之间的距离相等,画出图形,并说明其中道理.
拓广探索
13.如图,一个三角形纸片,不用任何工具,你能准确比较线段AB与线段AC的大小吗 试用你的方法分别确定线段AB、AC的中点.
14.在一条直线上取两上点A、B,共得几条线段 在一条直线上取三个点A、B、 C,共得几条线段 在一条直线上取A、B、C、D四个点时,共得多少条线段 在一条直线上取n个点时,共可得多少条线段
同步训练四
角的度量
一、选择：
1.下列关于角的说法正确的个数是( )
①角是由两条射线组成的图形;②角的边越长,角越大; ③在角一边延长线上取一点D;④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.下列4个图形中,能用∠1,∠AOB,∠O三种方法表示同一角的图形是( )
3.图中,小于平角的角有( )
A.5个 B.6个 C.7个 D.8个
二、填空：
4.将一个周角分成360份,其中每一份是______°的角,
直角等于____°,平角等于______°.
5.30.6°=_____°_____′=_______′;30°6′=_______′______°.
三、解答题：
6.计算:
(1)49°38′+66°22′; (2)180°-79°19′; (2)22°16′×5; (4)182°36′÷4.
7.根据下列语句画图:
(1)画∠AOB=100°;
(2)在∠AOB的内部画射线OC,使∠BOC=50°;
(3)在∠AOB的外部画射线OD,使∠DOA=40°;
(4)在射线OD上取E点,在射线OA上取F,使∠OEF=90°.
8.任意画一个三角形,估计其中三个角的度数,
再用量角器检验你的估计是否准确.
9.分别确定四个城市相应钟表上时针与分钟所成的角的度数.
10.九点20分时,时钟上时钟与分钟的夹角a等于多少度
11.马路上铺的地砖有很多种图案,如图所示的图案是某街面方砖铺设的示意图,请你用量角器量一下其中出现的所有的角度
12.如图,在∠AOB的内部引一条射线OC,可得几个小于平角的角 引两条射线OC、OD呢 引三条射线OC、OD、OE呢 若引十条射线一共会有多少个角
13.请用直线、线段、角等图形设计成表示客观事物的图画,如图, 并为你的图画命名.
同步训练五
角的比较
一、填空:
1.如图1,∠AOB______∠AOC,∠AOB_______∠BOC(填>,=,<); 用量角器度量∠BOC=____°,∠AOC=______°,∠AOC______∠BOC.
2.如图2,∠AOC=______+______=______-______;∠BOC=______-______= _____-________.
3.OC是∠AOB内部的一条射线,若∠AOC=________,则OC平分∠AOB;若OC 是∠AOB的角平分线,则_________=2∠AOC.
二、选择：
4.下列说法错误的是( )
A.角的大小与角的边画出部分的长短没有关系；
B.角的大小与它们的度数大小是一致的；
C.角的和差倍分的度数等于它们的度数的和差倍分；
D.若∠A+∠B>∠C,那么∠A一定大于∠C。
5.用一副三角板不能画出( )
A.75°角 B.135°角 C.160°角 D.105°角
6.如图3,若∠AOC=∠BOD,那么∠AOD与∠BOC的关系是( )
A.∠AOD>∠BOC B.∠AOD<∠BOC; C.∠AOD=∠BOC D.无法确定
7.如果∠1-∠2=∠3,且∠4+∠2=∠1,那么∠3和∠4间的关系是( )
A.∠3>∠4 B.∠3=∠4; C.∠3<∠4 D.不确定
8.OC是从∠AOB的顶点O引出的一条射线,若∠AOB=90°,∠AOB= 2∠BOC, 求∠AOC的度数.
9.如图,把∠AOB绕着O点按逆时针方向旋转一个角度,
得∠A′OB′,指出图中所有相等的角,并简要说明理由.
10.如图,BD平分∠ABC,BE分∠ABC分2:5两部分,∠DBE=21°,求∠ABC的度数.
11.如图,已知∠α、∠β ,画一个角∠γ，使∠γ=3∠β-∠α.
12.如图,A、B两地隔着湖水,从C地测得CA=50m,CB=60m,∠ACB=145°,用1 厘米代表10米(就是1:1000的比例尺)画出如图的图形.量出AB的长(精确到1毫米), 再换算出A、B间的实际距离.
13.如图,∠AOB是平角,OD、OC、OE是三条射线,OD是∠AOC的平分线, 请你补充一个条件,使∠DOE=90°,并说明你的理由.
同步训练六
余角和补角
一、填空：
1.已知∠1=200,∠2=300,∠3=600,∠4=1500,则∠2是____的余角,_____是∠4的补角.
2.如果∠α=39°31°,∠α的余角∠β =_____,∠α的补角∠γ=_____,∠α-∠β=___.
3.若∠1+∠2=90°,∠3+∠2=90°,∠1=40°,则∠3=______°, 依据是_______。
二、选择：
4.如果∠α=n°,而∠α既有余角,也有补角,那么n的取值范围是( )
A.90°
向南偏西15°方向走80m至点C,则∠BAC的度数是( )
A.85° B.160° C.125° D.105°
6.如图,长方形ABCD沿AE折叠,使D点落在BC边上的F点处,
如果∠BAF=60°,则∠DAE等于( )
A.15° B.30° C.45° D.60°
7.已知∠α,用两种不同的方法,画出∠α的余角∠β 和∠α的补角∠γ.
8.一个角的余角比它的补角的 少40°,求这个角的度数.
9.在图中,确定A、B、C、D的位置:
(1)A在O的正北方向,距O点2cm;
(2)B在O的北偏东60°方向,距O点3cm;
(3)C为O的东南方向,距O点1.5cm;
(4)D为O的南偏西40°方向,距O点2cm.
10.直线AB、CD相交于O,∠BOC=80°,OE平分∠BOC,OF为OE的反向延长线. 画出图形并求出∠BOD和∠DOF的度数.
11.如图所示,A、B两条海上巡逻艇同时发现海面上有一不明物体,A艇发现该不明物体在它的东北方向,B艇发现该不明物体在它的南偏东60°的方向上, 请你试着在图中确定这个不明物体的位置.
12.小华从A点出发向北偏东50°方向走了80米到达B地,从B 地他又向西走了100米到达C地.
(1)用1:2000的比例尺(即图上1cm等于实际距离20米)画出示意图;
(2)用刻度尺和量角器量出AC的距离,以及C点的方向角;
(3)回答C点距A点的实际距离是多少(精确到1米),C点的方向角为多少.(精确到1°).
13.在飞机飞行时,飞行方向是用飞行路线与实际的南或北方向线之间的夹角大小来表示的.如图,用AN(南北线)与飞行线之间顺时针方向夹角作为飞行方向角. 从A到B的飞行方向角为35°,从A到C的飞行方向角为60°,从A到D 的飞行方向角为145°,试求AB与AC之间夹角为多少度 AD与AC之间夹角为多少度 并画出从A飞出且方向角为105°的飞行线.
《图形认识初步》检测题
一、选择题:(每小题3分,共30分)
1.如图1所示的棱柱有( )
A.4个面 B.6个面 C.12条棱 D.15条棱
2.如图2,从正面看可看到△的是( )
3.如图3,图中有( )
A.3条直线 B.3条射线 C.3条线段 D.以上都不对
4.下列语句正确的是( )
A.如果PA=PB,那么P是线段AB的中点; B.作∠AOB的平分线CD
C.连接A、B两点得直线AB; D.反向延长射线OP(O为端点)
5.如图4,比较∠α、∠β、∠γ 的大小得( )
A. ∠γ>∠β>∠α;B. ∠α=∠β;C. ∠γ>∠α>∠β;D. ∠β>∠α>∠γ.
6.5点整时,时钟上时针与分钟之间的夹角是( )
A.210° B.30° C.150° D.60°
7.两个角,它们的比是6:4,其差为36°,则这两个角的关系是( )
A.互余 B.互补 C.既不互余也不互补 D.不确定
8.∠α=40.4°,∠β=40°4′,则∠α与∠β的关系是( )
A. ∠α=∠β;B. ∠α>∠β;C. ∠α<∠β;D. 以上都不对
9.如果∠α=3∠β, ∠α=2∠θ,则必有( )
A. ∠β=∠θ;B.∠β=∠θ;C.∠β=∠θ;D.∠β=∠θ;
10.如图5所示,已知∠AOB=64°,OA1平分∠AOB,OA2平分∠AOA1,OA3 平分∠AOA2,OA4平分∠AOA3,则∠AOA4的大小为( )
A.8° B.4° C.2° D.1°
二、填空题:(每小题3分,共30分)
11.已知线段AB=8cm,延长AB至C,使AC=2AB,D是AB中点,则线段CD=______.
12.如图,从城市A到城市B有三种不同的交通工作:汽车、火车、飞机,除去速度因素,坐飞机的时间最短是因为___________.
13.57.32°=_______°_______′_______″;27°14′24″=_____°.
14.已知∠a=36°42′15″,那么∠a的余角等于________.
15.∠1+∠2=180°,∠2+∠3=180°,根据________,得∠1=∠3.
16.表示O点南偏东15°方向和北偏东25°方向的两条射线组成的角等于____
17.如图,∠AOC=90°,∠AOB=∠COD,则∠BOD=______°.
18.102°43′32″+77°16′28″=________;98°12′25″÷5=_____.
19.已知线段AB=acm,点A1平分AB,A2平分AA1,A3平分AA2,……, 平分, 则=_______________cm.
20.在平面上有任意四点,过其中任意两点画直线,能画_______条直线.
三、解答题:(21、24、25、26每题6分,22、23题每题8分)
21.根据下列语句画图:
(1)画∠AOB=120°;(2)画∠AOB的角平分线OC;
(3)反向延长OC得射线OD;
(4)分别在射线OA、OB、OD上画线段OE=OF=OG=2cm;
(5)连接EF、EG、FG;
(6)你能发现EF、EG、FG有什么关系 ∠EFG、∠EGF、∠GEF有什么关系
22.已知线段AB=10cm,直线AB上有一点C ,且BC=4cm,M是线段AC的中点,求AM 的长.
23.如图,直线AB、CD交于O点,且∠BOC=80°,OE平分∠BOC,OF为OE 的反向延长线.
(1)求∠2和∠3的度数.
(2)OF平分∠AOD吗 为什么
24.一个角的补角与它的余角的度数之比是3:1,求这个角的度数.
25.测量员沿着一块地的周围测绘.从A向东走600米到B,再从B向东南(∠ABC= 135°)走500米到C,再从C向西南(∠BCD=90°)走800米到D.用1厘米代表100米画图, 求DA的长(精确到10米)和DA的方向(精确到1°).
26.利用线段、角、三角形、圆等图形为你的学校设计一个校标,并简述你的设计思路.
O.
输出
kx
输入x
x
x+1
(x+1)2
(x+1)2-1
.
p
.
p1
输出结果
÷2
+
( )3
×2
输入y
输入x
C
_
B
_
D
_
A
_
图2
.
p3
.
p2（p）
.
p1、
图1
.
p2
②
①
③
a.
b.
c.
6