江苏省连云港市2023-2024学年高二上学期期末调研考试数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 江苏省连云港市2023-2024学年高二上学期期末调研考试数学试卷（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 570.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-01-26 10:39:47 | ||
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文档简介
连云港市2023～2024学年第一学期期末调研考试
高二数学试题
注意事项：
1.考试时间120分钟，试卷满分150分.
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
3.请用2B铅笔和0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上指定区域内作答.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设为实数，，，若，则的值为（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
2.已知复数，（），若为纯虚数，则的值为（ ）
A.2 B.1 C.0 D.
3.若两条直线和平行，则实数的值为（ ）
A.1 B. C. D.
4.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……
设各层球数构成一个数列，则（ ）
A.58 B.57 C.210 D.220
5.若抛物线上的一点到坐标原点的距离为，则点到该抛物线焦点的距离为（ ）
A. B.1 C. D.2
6.已知公差不为0的等差数列的第2，3，6项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
7.若双曲线经过点，且它的两条渐近线方程是，则此双曲线的离心率是（ ）
A. B. C. D.
8.已知曲线存在过坐标原点的切线，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.下列求导正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10.已知关于，的方程（）表示的轨迹可以是（ ）
A.直线 B.圆 C.椭圆 D.双曲线
11.已知圆：，则下列说法正确的有（ ）
A.圆关于直线对称的圆的方程为
B.直线被圆截得的弦长为
C.若圆上有四个点到直线的距离等于，则的取值范围是
D.若点是圆上的动点，则的取值范围是
12.已知数列的前项和为，且，，，则（ ）
A. B. C. D.为奇数时，
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.抛物线的准线方程为______.
14.已知向量，，，，若，则与的夹角为______.
15.已知的一条内角平分线的方程为，两个顶点为，，则顶点的坐标为______.
16.当______.时，函数在区间上取最小值.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）
在中，角，，的对边分别为，，，.
（1）求；
（2）若，的面积为，求.
18.（12分）
已知圆经过两点，，且圆心在直线上.
（1）求圆的标准方程；
（2）求过点且与圆相切的直线方程.
19.（12分）
已知等差数列的前项和为，，；数列的前项和.
（1）求数列与的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
20.（12分）
数学课上，老师出示了以下习题：已知圆柱内接于半径为3的球，求圆柱体积的最大值.为了求出圆柱体积的最大值，小明和小亮两位同学分别给出了如下两种方案：
（1）小明的方案：设圆柱的高为，请你帮他写出体积与之间的函数关系式，并求出圆柱体积的最大值；
（2）小亮的方案：取圆柱底面圆上一点，连接，，设，请你帮他写出体积与之间的函数关系式，并求出圆柱体积的最大值.
21.（12分）
已知椭圆：（）经过点，.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知点，，为椭圆上异于的两点，且，证明：直线过定点，并求出该定点的坐标.
22.（12分）
已知函数（）.
（1）记，讨论的单调性；
（2）若对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围.
高二数学参考答案
202401
1. B 2. A 3. D 4. C 5. C 6. C 7. A 8. B
9. BC 10. ABD 11. AC 12. ABD
13. 14. 15. 16.
17.解：（1）由，
根据正弦定理，有，
所以，
又，得.
（2）由于面积为，且，，
所以，得.
18.解：（1）设圆心为，半径为，由，
得，得，
所以点坐标为，圆半径，
所以圆的标准方程为：
（2）由，知点在圆上，
由且，，知，
所以过的圆切线方程为：.
19.解：（1）设数列的公差为，
则，解得，
所以.
因为，当时，，两式相减得：.
又，得，所以是以2为首项，公比为2的等比数列，
所以.
（2）由（1）知.
则，
，
两式相减得：
所以.
20.解：（1）设圆柱底面半径为，则有，（），
所以，（）
令，则，
令，得又，所以，
当时，，在区间上单调递增；
当时，，在区间上单调递减.
所以.故.
答：圆柱体积的最大值为..
（2）由题意可得当时，圆柱的高，圆柱的底面半径.
所以，（）
令，（），则.
令则，当时，.
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减.
所以，所以.
答：圆柱体积的最大值为.
21.解：（1）由题意，得，解得，，
故椭圆的标准方程为.
（2）因为，为椭圆上异于的两点，所以直线的斜率存在，
不妨设直线的方程为，，，
由，整理得，
当，即，
由韦达定理得，，
因为，，，，
所以，
化简得，解得或，
当时，直线的方程为，直线过点，不合题意；
当时，恒成立，直线的方程为，
所以直线过定点.1
22.解：（1）定义域为，得，
当时，恒成立，在单调递增；
当时，令得，
＋ 0 －
增 极大值 减
所以当时，在单调递增，在单调递减.
（2）由，得在恒成立，
记，，则，
令，则，
得在单调递增，
又因为且，由零点存在性定理知，
存在，使得，即，
当时，，得，所以单调递减，
当时，，得，所以单调递增.
故
由得，构造函数（），
得，所以在在单调递增，
由，可得，
所以，故.
高二数学试题
注意事项：
1.考试时间120分钟，试卷满分150分.
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
3.请用2B铅笔和0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上指定区域内作答.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设为实数，，，若，则的值为（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
2.已知复数，（），若为纯虚数，则的值为（ ）
A.2 B.1 C.0 D.
3.若两条直线和平行，则实数的值为（ ）
A.1 B. C. D.
4.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……
设各层球数构成一个数列，则（ ）
A.58 B.57 C.210 D.220
5.若抛物线上的一点到坐标原点的距离为，则点到该抛物线焦点的距离为（ ）
A. B.1 C. D.2
6.已知公差不为0的等差数列的第2，3，6项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
7.若双曲线经过点，且它的两条渐近线方程是，则此双曲线的离心率是（ ）
A. B. C. D.
8.已知曲线存在过坐标原点的切线，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.下列求导正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10.已知关于，的方程（）表示的轨迹可以是（ ）
A.直线 B.圆 C.椭圆 D.双曲线
11.已知圆：，则下列说法正确的有（ ）
A.圆关于直线对称的圆的方程为
B.直线被圆截得的弦长为
C.若圆上有四个点到直线的距离等于，则的取值范围是
D.若点是圆上的动点，则的取值范围是
12.已知数列的前项和为，且，，，则（ ）
A. B. C. D.为奇数时，
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.抛物线的准线方程为______.
14.已知向量，，，，若，则与的夹角为______.
15.已知的一条内角平分线的方程为，两个顶点为，，则顶点的坐标为______.
16.当______.时，函数在区间上取最小值.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）
在中，角，，的对边分别为，，，.
（1）求；
（2）若，的面积为，求.
18.（12分）
已知圆经过两点，，且圆心在直线上.
（1）求圆的标准方程；
（2）求过点且与圆相切的直线方程.
19.（12分）
已知等差数列的前项和为，，；数列的前项和.
（1）求数列与的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
20.（12分）
数学课上，老师出示了以下习题：已知圆柱内接于半径为3的球，求圆柱体积的最大值.为了求出圆柱体积的最大值，小明和小亮两位同学分别给出了如下两种方案：
（1）小明的方案：设圆柱的高为，请你帮他写出体积与之间的函数关系式，并求出圆柱体积的最大值；
（2）小亮的方案：取圆柱底面圆上一点，连接，，设，请你帮他写出体积与之间的函数关系式，并求出圆柱体积的最大值.
21.（12分）
已知椭圆：（）经过点，.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知点，，为椭圆上异于的两点，且，证明：直线过定点，并求出该定点的坐标.
22.（12分）
已知函数（）.
（1）记，讨论的单调性；
（2）若对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围.
高二数学参考答案
202401
1. B 2. A 3. D 4. C 5. C 6. C 7. A 8. B
9. BC 10. ABD 11. AC 12. ABD
13. 14. 15. 16.
17.解：（1）由，
根据正弦定理，有，
所以，
又，得.
（2）由于面积为，且，，
所以，得.
18.解：（1）设圆心为，半径为，由，
得，得，
所以点坐标为，圆半径，
所以圆的标准方程为：
（2）由，知点在圆上，
由且，，知，
所以过的圆切线方程为：.
19.解：（1）设数列的公差为，
则，解得，
所以.
因为，当时，，两式相减得：.
又，得，所以是以2为首项，公比为2的等比数列，
所以.
（2）由（1）知.
则，
，
两式相减得：
所以.
20.解：（1）设圆柱底面半径为，则有，（），
所以，（）
令，则，
令，得又，所以，
当时，，在区间上单调递增；
当时，，在区间上单调递减.
所以.故.
答：圆柱体积的最大值为..
（2）由题意可得当时，圆柱的高，圆柱的底面半径.
所以，（）
令，（），则.
令则，当时，.
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减.
所以，所以.
答：圆柱体积的最大值为.
21.解：（1）由题意，得，解得，，
故椭圆的标准方程为.
（2）因为，为椭圆上异于的两点，所以直线的斜率存在，
不妨设直线的方程为，，，
由，整理得，
当，即，
由韦达定理得，，
因为，，，，
所以，
化简得，解得或，
当时，直线的方程为，直线过点，不合题意；
当时，恒成立，直线的方程为，
所以直线过定点.1
22.解：（1）定义域为，得，
当时，恒成立，在单调递增；
当时，令得，
＋ 0 －
增 极大值 减
所以当时，在单调递增，在单调递减.
（2）由，得在恒成立，
记，，则，
令，则，
得在单调递增，
又因为且，由零点存在性定理知，
存在，使得，即，
当时，，得，所以单调递减，
当时，，得，所以单调递增.
故
由得，构造函数（），
得，所以在在单调递增，
由，可得，
所以，故.
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