广东省江门市2023-2024学年高二上学期调研测试（一）（1月期末）数学试题（含答案）

江门市2024年普通高中高二调研测试（一）
数学
本试卷共6页，22小题，满分150分，测试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名 考生号 考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.
4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷与答题卡一并交回.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.过点与平行的直线方程是（ ）
A. B.
C. D.
2.方程表示一个圆，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
3.若，则（ ）
A.-8 B.-10 C.8 D.10
4.已知等差数列的前项和为-196，则的值为（ ）
A.13 B.14 C.15 D.16
5.两条直线和分别与抛物线相交于不同于原点的两点，当直线经过抛物线的焦点时，则为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
6.阿基米德（公元前287年-公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的对称轴为坐标轴，面积为，且两焦点与短轴的一个端点构成直角三角形，则椭圆的标准方程为（ ）
A. B.，或
C. D.，或
7.设双曲线的离心率为，双曲线渐近线的斜率的绝对值小于，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.已知为正方形的中心，分别为的中点，若将正方形沿对角线翻折，使得二面角的大小为，则此时的值为（ ）
A. B. C. D.
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.在平面直角坐标系中，已知点，则（ ）
A.直线的倾斜角不存在
B.直线与直线的倾斜角相等
C.直线与直线的斜率之和为0
D.点到直线的距离为
10.如图，在四面体中，分别是的中点，是和的交点，为空间中任意一点，则（ ）
A.四点共面
B.
C.为直线的方向向量
D.
11.已知等差数列的前项和为，公差为，则（ ）
A.
B.为递减数列
C.若，则，且
D.当或时，取得最大值
12.已知抛物线的焦点为，直线，过的直线交抛物线于两点，交直线于点，则（ ）
A.的面积的最大值为2 B.
C. D.
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.直线被圆截得的弦长为__________.
14.写出一个与双曲线有相同渐近线，且焦点在轴上的双曲线方程为__________.
15.对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差级数求和的问题.现有一货物堆，从上向下查，第一层有2个货物，第二层比第一层多3个，第三层比第二层多4个，以此类推，记第层货物的个数为，则数列的前项和__________.
16.如图，已知正三棱柱的所有棱长均为1，动点在线段上，则面积的最小值为__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（10分）
已知等差数列和等比数列满足，设数列的公比为.
（1）求数列的通项公式；
（2）若为数列的前项和，求.
18.（12分）
如图，已知三棱柱的侧棱垂直于底面，.
（1）求证：；
（2）若，求异面直线与所成角的余弦值.
19.（12分）
已知动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，记动点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）若直线与曲线有且只有一个公共点，求的值.
20.（12分）
如图，在四棱锥中，平面平面，底面是菱形，是正三角形，是的中点.
（1）证明：；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
21.（12分）
已知等比数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，若数列满足，求数列的前项和.
22.（12分）
已知椭圆的左 右焦点分别为，左 右顶点分别为，过右焦点的直线与椭圆相交于（异于）两点.
（1）若直线的斜率为1，求；
（2）若直线与直线相交于点，求证：三点共线.
江门市2024年普通高中高二调研测试
数学答案
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D A B D B B A
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
题号 9 10 11 12
答案 CD AC ABD BCD
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
题号 13 14 15 16
答案 2 （答案不唯一）
8.【答案】A 【解析】如图所示，易知，所以结合已知有，
易知，
设正方形边长为2，所以，
12.【答案】BCD 【解析】设直线，由得：
选项A：
应是最小值为2，故A错误
选项B：故选B
选项C：，故选C
选项D：由，，
得：
，故选D
16.【答案】 【解析】在正三棱柱中，在平面内过A作，显然射线两两垂直，以点A为原点，射线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，因正三棱柱的所有棱长均为1，
则，
所以，
因动点P在线段上，则令，
即有点，所以，则，
从而，因此点P到直线的距离
，当且仅当时取等号，
所以线段上的动点P到直线的距离的最小值为，又因为
所以，则面积的最小值.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.解：（1）设的公差为，
由，得，
又，得，
联立解得，或，
因为，
故舍去，
所以，
.
（2）由（1）有，
因为
所以数列是以首项为4，公比为的等比数列
方法一：（1）由题意知，又因为，
所以
由已知有，且为平面内两相交直线，
所以
又因为
所以.
（2）由题意知，以为坐标原点，所在的直线分别为x轴 y轴 z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
令，，
则，，，，
故，，
设异面直线与所成角为，
故异面直线与所成夹角的余弦值为.
另外一种建系方式
由题意知，以为坐标原点，所在的直线分别
为x轴 y轴 z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
令，，
则，，，，
故，，
设异面直线与所成角为，
故异面直线与所成夹角的余弦值为.
方法二：（1）因为平面，平面，
所以，，
因为，
所以，
所以，，即.
（2）以为基底，不妨令，
，，
所以；
设求异面直线与所成角为，
，
故异面直线与所成夹角的余弦值为.
解：（1）设动点，
由题意有
即
同时平方，有
整理得：
所以曲线的方程为
（2）联立方程
消去得（*）
①当即时，方程（*）有1个根，符合题意.
②当即时，
因为直线与曲线有1个公共点
故
解得：
综上所述，当时，直线与曲线有且只有一个公共点
20.解：（1）证明：取的中点，连接
因为是正三角形，
所以.
又平面平面ABCD，平面平面，平面，
所以平面ABCD.
因为平面ABCD，
所以.
因为是AB的中点，
所以.
又因为底面ABCD是菱形，
所以，
所以.
因为，平面，
所以平面PEF.
因为平面PEF，
所以.
（2）连接，因为，
所以是正三角形，
所以.
以为坐标原点，所在的直线分别为轴 轴 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系.
令，则，，，
所以，.
设平面的法向量为，则，
令，则，，得.
设平面的法向量为，则，
令，则，，得.
设面与面夹角为，
所以面与面夹角的余弦值为.
21.解：（1）解法一：设等比数列的公比为，
时，
时，.
，
，
解法二：
两式相减得：
即
为等比数列，设公比为，则
时，即
（2）由（1）得，由题得，
，
，
两式相减得
所以.
22.解：（1）∵，直线的斜率为1，
∴直线的方程为：
代入椭圆方程得：化简得：
设，则有
所以为.
（2）由题意知，直线不与轴重合，
故可设直线的方程为：，设，
由方程组，消去整理得
，
直线：，令得：
又直线与直线有公共点，
所以，，三点共线