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北师版八年级数学下册第一章《三角形的证明》单元复习与检测（解析版）
选择题（本大题共有12个小题，每小题3分，共36分）
1．如图所示，线段的垂直平分线与相交于点D，已知，则的长为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质．根据“线段的垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”即可求解．
【详解】解：∵是线段的垂直平分线，
∴，
故选：B．
2．如图，在直角三角形中，，，，则等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
【答案】C
【分析】本题主要考查含30度直角三角形的性质，熟练掌握含30度直角三角形的性质是解题的关键；因此此题可根据含30度直角三角形的性质进行求解即可．
【详解】解：∵，，，
∴；
故选C．
3．等腰三角形的两边长分别为5cm，4cm，则它的周长是（ ）
A．14cm B．13cm C．16cm或9cm D．13cm或14cm
【答案】D
【详解】解：当5cm为腰时，周长为5+5+4=14cm；
当4cm为腰时，周长为5+4+4=13cm；
故选D．
4 ．下列说法错误的是（ ）
A．三个角都相等的三角形是等边三角形
B．等腰三角形的中线就是角平分线
C．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
D．角的平分线上的点到角的两边的距离相等
【答案】B
【分析】本题考查了等边三角形的判定、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质，根据等边三角形的判定、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质逐一判断及可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键．
【详解】解：A、三个角都相等的三角形是等边三角形，则正确，故不符合题意；
B、等腰三角形底边上的中线就是顶角的角平分线，则错误，故符合题意；
C、与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，则正确，故不符合题意；
D、角的平分线上的点到角的两边的距离相等，则正确，故不符合题意；
故选B．
如图，射线是的平分线，，，若点Q是射线上一动点，
则线段的长度不可能是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键．
过点D作于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再根据垂线段最短解答．
【详解】解：如图，过点D作于E，
是的角平分线，，
，
由垂线段最短可得，
，
．
故选：A．
6 . 等腰三角形的一个角是，它的一个底角的度数为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】本题考查三角形的内角和定理、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
【详解】解：∵等腰三角形的一个角为，
∴当底角为时，它的底角为；
当顶角为时，底角为，
故底角为：或
故选D．
7 . 如图，于点 C，于点D，要根据“”直接证明 与全等，
则还需要添加一个条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了添加一个条件使得三角形全等，根据HL定理的条件进行判断即可；
【详解】解：∵，，
∴当时，．
当时，．
故选D．
8．的三边长分别为，，，若满足，则的形状为（ ）
A．等边三角形 B．等腰直角三角形
C．有角的直角三角形 D．钝角三角形
【答案】A
【分析】本题考查了等边三角形的判定，涉及了绝对值和偶次方的非负性，熟记相关结论即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴的形状为等边三角形，
故选：A
9．如图，在中，为直角，，于，若，则的长为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】A
【分析】本题考查含角的直角三角形的性质，掌握含角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
【详解】解：∵为直角，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选A．
10．如图，如果CD是Rt△ABC的中线，∠ACB=90°，∠A=50°，那么∠CDB等于（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
【答案】A
【分析】在Rt△ABC中，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到DC=DA，由等边对等角的性质得到∠DCA=∠A=50°，再由三角形的外角的性质可得∠CDB=∠DCA+∠A，由此即可解答．
【详解】∵CD是Rt△ABC的中线，∠ACB=90°，
∴DC=DA，
∴∠DCA=∠A=50°，
∴∠CDB=∠DCA+∠A=100°，
故选A．
11 .如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，AC于D，E两点，且AC=10，BC=4，
则△BCE的周长为（ ）
A．6 B．14 C．18 D．24
【答案】B
【分析】由已知得AC+BC=14，又根据线段垂直平分线的性质可得AE=BE，由△BCE的周长=（BE+CE）+BC=AC+BC即可求解．
【详解】解：∵AC=10，BC=4，
∴AC+BC=10+4=14，
∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴△BCE的周长=（BE+CE）+BC=AC+BC=14．
故选：B.
12 . 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，
大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，
则下列说法中正确的个数是（ ）
①AD是∠BAC的平分线； ②∠ADC=60°；
③点D在AB的中垂线上； ④S△DAC：S△ABC=1：3．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【详解】①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线．故①正确．
②如图，∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°．
又∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1=∠2=∠CAB=30°，
∴∠3=90°﹣∠2=60°，即∠ADC=60°．故②正确．
③∵∠1=∠B=30°，
∴AD=BD．
∴点D在AB的中垂线上．故③正确．
④∵如图，在直角△ACD中，∠2=30°，
∴CD=AD．
∴BC=CD+BD=AD+AD=AD，S△DAC=AC CD=AC AD．
∴S△ABC=AC BC=AC AD=AC AD．
∴S△DAC：S△ABC．故④正确．
综上所述，正确的结论是：①②③④，共有4个．
故选D．
填空题（本大题共有8个小题，每小题4分，共32分）
13．如图，在中，，，，则等于 ．
【答案】6
【分析】本题考查直角三角形的性质，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半直接求解即可．
【详解】解：，，，
，
故答案为：6．
14．若a，b为等腰的两边，且满足，则的周长为 ．
【答案】20
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系；解题主要利用了非负数的性质求出a，b的值，分情况讨论求解时要注意利用三角形的三边关系对三边能否组成三角形做出判断．
【详解】解：∵，
∴
解得：，
当为腰时，，不能构成三角形，
当为腰时，的周长为，
故答案为：．
15．如图，已知中，的垂直平分线交于点D，若，则的周长 ．
【答案】10
【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质定理．根据线段的垂直平分线的性质定理，可得，即可求解．
【详解】解：∵是线段的垂直平分线，
∴，
∴的周长，
故答案为：10
如图，在中，平分交于点D，，垂足为E，
若，则的长为 ．
【答案】4
【分析】此题考查角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，据此得到，由此求出的长，掌握角平分线的性质定理是解题的关键．
【详解】解：∵平分交于点D，，
∴，
∵
∴，
故答案为：4．
17．如图，中，垂直平分交于，，，则等于 °．
【答案】50
【分析】根据线段垂直平分线性质得出，推出，代入求出即可．
【详解】解：垂直平分交于，
，
，
，
，
，
，
故选：50．
18. 如图，在3×3的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中A，B两个格点，
请在图中再寻找另一个格点C，使△ABC成为等腰三角形，则满足条件的点C有 个．
【答案】8
【详解】如图，
AB是腰长时，红色的4个点可以作为点C，
AB是底边时，黑色的4个点都可以作为点C，
所以，满足条件的点C的个数是4+4=8．
故答案为8．
如图，在等边三角形中，高，是上的动点，是边上的动点，
在点、运动的过程中，的最小值是 ．
【答案】8
【分析】本题考查轴对称求最短距离，确定的最小值为的长是解题的关键．
根据等边三角形的性质，可知B与C关于对称，过C作交于点E，交于点F，
则的最小值为的长，求出的长即可求解．
【详解】解：∵是等边三角形，D是边中点，
∴，，
∴B与C关于对称，
过C作交于点E，交于点F，
则，则的最小值为的长，
∵，，
∴，
故答案为8．
20. 如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作等边和等边，
与交于点，与交于点，与交于点，连接．以下五个结论：
① ；②；③；④．
其中正确的是 ．（填写正确答案的序号）
【答案】①②③
【分析】本题考查等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质以及平行线的判定和性质．由于等边三角形可知，，，证明，根据全等三角形的性质可判断①；由得，结合等边三角形的性质可证得，再根据推出为等边三角形，结合平行线的判定可判断②正确；根据，可判断③；根据线段的和差，可判断④．
【详解】解：∵和是等边三角形，
∴，，，
∴，即，
在与中，
，
∴，
∴，故结论①正确；
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，故结论②正确；
∵，
∴，故结论③正确；
∴，
即，故结论④错误；
综上所述，结论正确的是：①②③．
故答案为：①②③．
三、解答题（本大题共有5个小题，共32分）
21．如图，，，点在线段的垂直平分线上，
若，，则的长
【答案】
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，先得出，再根据垂直平分线的 性质得出，根据线段的和即可得出答案．
【详解】∵，，即垂直平分，
∴，
∵点在线段的垂直平分线上，
∴，
∴，
故答案为：．
22．如图，在中，垂直平分的周长为．求：
(1)的度数；
(2)的周长．
【答案】(1)
(2)的周长为29
【详解】（1）因为，所以．
（2）因为垂直平分，所以．
因为的周长为，
所以，
即，
所以的周长．
23 .如图，在中，，
点从点出发以每秒3个单位长度的速度向点运动，
同时点从点出发以每秒2个单位长度的速度向点运动，
其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为．
（1）当时， ；
（2）当为等腰三角形时，求AP的长
【答案】
【分析】本题考查了一元一次方程与动点问题，涉及了等腰三角形的定义，
明确动点的运动初始位置、运动方向和运动速度是解题关键．
（1）分别求出即可求解；
（2）根据结合为等腰三角形可得即可建立方程求解．
【详解】解：（1）当时，
，
故答案为：12；
（2）若为等腰三角形，
，
解得
故答案为：
24．如图，直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．
求点A、B的坐标；
(2) 点M是x轴上的一个动点，要使以A、B、M为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形，
请探究并求出符合条件的所有点M的坐标．
【答案】(1)，
(2)点M的坐标为或或
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，以及一次函数与坐标轴的交点，
利用了数形结合及分类讨论的思想．
（1）首先令求出的值，再令求出的值即可得出两点的坐标；
（2）分两种情况讨论：当A为顶点时、B为顶点时，求出相应线段，
根据点在x轴上的位置选择合适的符号，进而写出坐标．
【详解】（1）解：当时，，
∴点B的坐标为．
令，则，
解得，
∴点A的坐标为；
（2）解：∵，，
∴，，
∴．
①当时，则，且点M在x轴上，
∴当点M在点A左侧时，，
∴此时点M的坐标为；
当点M在点A右侧时，，
∴此时点M的坐标为；
②当时，点M位于y轴右侧，
∵，
∴，
∴此时点M的坐标为；
综上可得，点M的坐标为或或．
25．如图，已知中，，，点为的中点．
如果点在线段以的速度由点向点运动，
同时，点在线段上由点向点运动．
① 若点的运动速度与点的运动速度相等，经过后，与是否全等？说明理由；
② 若点的运动速度与点的运动速度不相等，
当点的运动速度为多少时，能够使与全等？
若点以②中的运动速度从点出发，点以原来的运动速度从点同时出发，
都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点与点第一次在的哪条边上相遇？
【答案】(1)①见解析；②厘米/秒
(2)秒
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边对等角，一元一次方程的应用．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）①先求得，，然后根据等边对等角求得，最后根据即可证明；
②因为，所以，又，要使与全等，只能，根据全等得出，然后根据运动速度求得运动时间，根据时间和的长即可求得的运动速度；
（2）因为，只能是点追上点，即点比点多走的路程，据此列出方程，解这个方程即可求得．
【详解】（1）解：①因为秒，
所以厘米，
，为中点，
厘米，
又厘米，
，
，
，
在与中，
，
，
②因为，
所以，
又因为，
要使与全等，只能，即，
故．
所以点、的运动时间：秒，
此时厘米秒，
（2）解：，
∴点追上点，即点比点多走的路程，
设经过秒后与第一次相遇，
依题意得，
解得(秒)，
∴运动了(厘米)，
又∵的周长为56厘米，
∴，
∴点，在边上相遇，即经过了秒，点与点第一次在边上相遇．
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北师版八年级数学下册第一章《三角形的证明》单元复习与检测
选择题（本大题共有12个小题，每小题3分，共36分）
1．如图所示，线段的垂直平分线与相交于点D，已知，则的长为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
如图，在直角三角形中，，，，则等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
等腰三角形的两边长分别为5cm，4cm，则它的周长是（ ）
A．14cm B．13cm C．16cm或9cm D．13cm或14cm
4 ．下列说法错误的是（ ）
A．三个角都相等的三角形是等边三角形
B．等腰三角形的中线就是角平分线
C．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
D．角的平分线上的点到角的两边的距离相等
如图，射线是的平分线，，，若点Q是射线上一动点，
则线段的长度不可能是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6 . 等腰三角形的一个角是，它的一个底角的度数为（ ）
A． B． C．或 D．或
7 . 如图，于点 C，于点D，要根据“”直接证明 与全等，
则还需要添加一个条件是（ ）
A． B． C． D．
8．的三边长分别为，，，若满足，则的形状为（ ）
A．等边三角形 B．等腰直角三角形
C．有角的直角三角形 D．钝角三角形
9． 如图，在中，为直角，，于，若，则的长为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
10．如图，如果CD是Rt△ABC的中线，∠ACB=90°，∠A=50°，那么∠CDB等于（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
11 . 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，AC于D，E两点，且AC=10，BC=4，
则△BCE的周长为（ ）
A．6 B．14 C．18 D．24
12 . 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，
大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，
则下列说法中正确的个数是（ ）
①AD是∠BAC的平分线； ②∠ADC=60°；
③点D在AB的中垂线上； ④S△DAC：S△ABC=1：3．
A．1 B．2 C．3 D．4
填空题（本大题共有8个小题，每小题4分，共32分）
13．如图，在中，，，，则等于 ．
14．若a，b为等腰的两边，且满足，则的周长为 ．
15．如图，已知中，的垂直平分线交于点D，若，则的周长 ．
如图，在中，平分交于点D，，垂足为E，
若，则的长为 ．
17．如图，中，垂直平分交于，，，则等于 °．
18. 如图，在3×3的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中A，B两个格点，
请在图中再寻找另一个格点C，使△ABC成为等腰三角形，则满足条件的点C有 个．
如图，在等边三角形中，高，是上的动点，是边上的动点，
在点、运动的过程中，的最小值是 ．
20. 如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作等边和等边，
与交于点，与交于点，与交于点，连接．以下五个结论：
① ；②；③；④．
其中正确的是 ．（填写正确答案的序号）
三、解答题（本大题共有5个小题，共32分）
21．如图，，，点在线段的垂直平分线上，
若，，则的长
22．如图，在中，垂直平分的周长为．求：
(1)的度数；
(2)的周长．
23 .如图，在中，，
点从点出发以每秒3个单位长度的速度向点运动，
同时点从点出发以每秒2个单位长度的速度向点运动，
其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为．
（1）当时， ；
（2）当为等腰三角形时，求AP的长
24．如图，直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．
求点A、B的坐标；
(2) 点M是x轴上的一个动点，要使以A、B、M为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形，
请探究并求出符合条件的所有点M的坐标．
25．如图，已知中，，，点为的中点．
如果点在线段以的速度由点向点运动，
同时，点在线段上由点向点运动．
① 若点的运动速度与点的运动速度相等，经过后，与是否全等？说明理由；
② 若点的运动速度与点的运动速度不相等，
当点的运动速度为多少时，能够使与全等？
若点以②中的运动速度从点出发，点以原来的运动速度从点同时出发，
都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点与点第一次在的哪条边上相遇？
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