梅州市高一第一学期期末联考（2024.1）
数学参考答案与评分意见
一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
D A B D C A D C
二、选择题：本大题共 4小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求。全部选对的得 5分，有选错的得 0分，部分选对的得 2分。
9 10 11 12
AD ABC ACD BC
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分。
6 1 1
13. 5 14. 2或 2 15. ( , 2) (1, ) 16. 2
四、解答题：本题共 6小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分 10 分）
解：（1）因为 A B 3 ，
所以 x 3同时是方程ax 1 0和 x2 2x b 0的解， .......................2 分
从而代入可得：3a 1 0，32 2 3 b 0， .......................3 分
1
因此 a ，b 3 . .......................4 分
3
（2） 因为 A ，所以方程 ax 1 0有解，
A 1于是 a 0且 { }， .......................6 分
a
由 A B B，得 A B， .......................7 分
x 1因此 是方程 x2 2x b 0的一个解， .......................8 分
a
( 1 )2 2(1 ) b 0 b 2 1即有： ，即 2 ， .......................9 分a a a a
2 1
综上，实数 a和b满足：b 2 (a 0) . .......................10 分a a
{#{QQABQQAAggAgAgAAAQhCQwk6CgEQkBGACAoOhAAEoAAAyAFABAA=}#}
18.（本小题满分 12 分）
解：（1）因为 cos2 sin2 1 且sin 1 ， .......................1 分
3
所以 cos2 1 sin2 1 1 8 ( )2 ， .......................2 分
3 9
又因为 是第二象限角，
所以 cos 0， .......................3 分
于是 cos 2 2 ， .......................4 分
3
1
因此 tan sin 3 2 ． .......................5 分
cos
2 2
4
3
2 cos
2 cos sin
（ ） 原式 2 2 ， .......................7 分2sin cos
1 tan
， .......................9 分
2 tan2 1
1 ( 2 )
4 ， .......................10 分
2( 2 )2 1
4
1 2
4 4 2 ． .......................12 分1
1 5
4
19.（本小题满分 12 分）
解：（1）因为 a 2，所以 f (x) x2 2x 1 (x 1)2 ， .......................1 分
得知 f (x)的图像是开口向上、以直线 x 1为对称轴的抛物线， ...............2 分
又因为 1 x 2， 而 | 1 1| | 2 1|，
所以 f (x)max f ( 1) 4， .......................3 分
f (x)min f (1) 0， .......................4 分
所以函数 f (x)在 1,2 上的值域为[0,4]． .......................5 分
2
2 f (x) x2 ax 1 a (x )2 a（ ）因为 1
2 4
得知 f (x) a的图像是开口向上，以 x 为对称轴的抛物线，.......................6 分
2
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因为 1 x 2，分以下三种情形：
a
① 当 1，即a 2时，
2
g(a) f (x)min f ( 1) 2 a； .......................7 分
② 当 1 a 2，即 2 a 4时，
2
g(a) f (x) f (a a
2
min ) 1 ； .......................9 分2 4
a
③ 当 2，即a 4时，
2
g(a) f (x)min f (2) 5 2a； .......................10 分
5 2a, a 4
a2
综上所述，g(a) 1 , 2 a 4 . .......................12 分
4
2 a , a 2
20.（本小题满分 12 分）
解：（1）函数 f (x)在 R上的奇函数. .......................1 分
证明如下： x R，
f ( x) 1 2 1 2 2
x
.......................2 分
2 x 1 1 2x
x
1 2 (2 1) 2 1 2 2 .......................3分
1 2x 1 2x
1 2 f (x ) . .......................4 分
2x 1
（2） 函数 f (x)在 R上的单调递增. .......................5 分
证明如下： x1, x2 R, x1 x2，
f (x 2 2 2 ) f (x1) 1 2x2 1
1 .......................6 分
2x1 1
2 2
2x1 1 2x2 1
2(2x2 2x1 )
， .......................7 分
(2x1 1) (2x2 1)
因为 x x ，所以2x2 2x11 2 ，即2x2 2x1, 2x2 2x1 0， .......................8 分
因此 f (x2 ) f (x1) 0，即 f (x2 ) f (x1) . .......................9 分
{#{QQABQQAAggAgAgAAAQhCQwk6CgEQkBGACAoOhAAEoAAAyAFABAA=}#}
（3） 因为 x R, 2x 1 (1, )，
所以 2
x (0,2)，2 1
所以 f (x) 1 2 x ( 1,1)，2 1
因此 f (x) 在R上的值域为 ( 1,1) . .......................12 分
21.（本小题满分 12 分）
解：（1） 假设以1964年为起点，以1964年到1971年的人口平均增长率 d 0.027作为恒定增长
率，我们可建立我国的人口增长模型为： N (t) 7.05 (1 0.027)t ， ..........3 分
（2）对照马尔萨斯的人口指数增长模型，可得 N (0) 7.05, er 1.027， ..........4 分
从而 r ln1.027 0.027 . .......................6 分
（3）如果按照以上模型和数据，预测 2025 年我国的人口数：
N (61) 7.05 1.02761 7.05 5.08 35.81， .......................9 分
这个预测的数据远超于实际数据，其中原因主要是增长率恒定这个假设不成立，实际上人
口增长率会受到环境和资源的影响，在一定的资源和环境之下，增长率会随着人口的增长
而下降，不会保持恒定不变. .......................12 分
22.（本小题满分 12 分）
4
4
x 3, x 0
解：（1）因为m 2，所以 f x x 3 x ， .......................1 分x x 4 3, x 0
x
法一：当 x 0时， f x 4 4 x 3 2 x 3 4 3 0，
x x
因此 f x 在 (0, )上无零点. .......................2分
4
当 x 0时， f x x 3，
x
发现 f 1 1 4 3 0 f x x 4，而且 3在 ( ,0)上单调递增，
x
所以 f x 在 ( ,0)上有只有一个零点，其为 1． .......................3 分
综上， f x 在 ( ,0) (0, )上只有一个零点，其为 1．.......................4 分
{#{QQABQQAAggAgAgAAAQhCQwk6CgEQkBGACAoOhAAEoAAAyAFABAA=}#}
法二：当 x 0时，令 f x 0，
x 4所以 3 0，即 x2 3x 4 0 （*），
x
因为 ( 3)2 4 4 0，
所以方程（*）无实数解，即 f x 在 (0, )上无零点. .......................2 分
4
当 x 0时，令 f x 0，所以 x 3 0，即 x2 3x 4 0，
x
解得 x= 1（正根舍去）. .......................3 分
综上， f x 在 ( ,0) (0, )上只有一个零点，其为 1．.......................4 分
2
x
（2）方程 f ( 2 1) m ，即： | 2x 1 |
m
x 3 m 0， ..................5 分| 2 1 |
2
令 t | 2x 1 | t 0 t m，则 ，故 3 m 0，
t
去分母得： t2 (3 m)t m 2 0 （**）， .......................6 分
判别式 (3 m)2 4m2 3m2 6m 9 3(m 3)(m 1)，
①当m 3时， 0，方程（**）无实根，
x
从而此时方程 f ( 2 1) m 无解； .......................7 分
②当m 3时， 0，
方程（**）有两个相等实根， t1 t2 3，从而 | 2x 1 | 3，2x 4,x 2
此时方程 f ( 2 x 1) m 有且只有一个解： x 2； .......................8 分
③当0 m 3时， 0，
3 m
观察二次函数h(t) t2 (3 m)t m2的图象：h(0) m2 0，对称轴 x 在 x 1右边，
2
再分以下两种情况：
（i）当h(1) 1 (3 m) m2 m2 m 2 (m 2)(m 1) 0，即0 m 2时，
0 t (3 m) 3m
2 6m 9 1 t (3 m) 3m
2 6m 9
1 2 2
2
x
从而由 | 2 1 | t1，可得 x1 log2 (1 t1), x2 log2 (1 t1)，
x
由 | 2 1 | t2，可得 x3 log2 (1 t2 )
此时方程 f ( 2 x 1) m 有且只有三个解； .......................9 分
{#{QQABQQAAggAgAgAAAQhCQwk6CgEQkBGACAoOhAAEoAAAyAFABAA=}#}
（ii）当h(1) (m 2)(m 1) 0，即2 m 3时，
2 2
1 t (3 m) 3m 6m 9 t (3 m) 3m 6m 9 1 2 2 2
从而由 | 2x 1 | t1，可得 x1 log2 (1 t1)，
x
由 | 2 1 | t2，可得 x2 log2 (1 t2 )，
x
此时方程 f ( 2 1) m 有且只有两个解． .......................10 分
综上所述，
① 当0 m 2时，方程 f ( 2 x 1) m 有且只有三个解；
② 当 2 m 3 x时，方程 f ( 2 1) m 有且只有两个解；
③ 当m 3时，方程 f ( 2 x 1) m 有且只有一个解；
④ x当m 3时，方程 f ( 2 1) m 无解． .......................12 分
{#{QQABQQAAggAgAgAAAQhCQwk6CgEQkBGACAoOhAAEoAAAyAFABAA=}#}梅州市高中期末考试试卷(2024.1)
高一数学
注意事项：本试卷共6页，22小题，满分150分.考试用时120分钟，
1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的学校、班级、考生号、姓
名和座号填写在答题卡上
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂
黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上
3.作答必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区
域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不
准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效·
4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合要求的。
1.已知集合A={x-2A.(1,3]
B.1,3]
C.(-2,1]
D.(-2,1)
2
A.③
2
B.-5
2
C.1
D
3.寓言故事“龟免赛跑”说的是：兔子和乌龟比赛跑步。刚开始，兔子在前面飞快地跑着，
鸟龟拼命地爬着。不一会儿，兔子就拉开了乌龟好大一段距离。兔子认为比赛太轻松了，
就决定先睡一会。而乌色呢，它一刻不停地爬行。当乌龟快到达终点的时候，兔子才醒来，
于是它赶紧去追，但结果还是乌龟赢了。下图“路程3一时间t”的图像中，与“龟兔赛跑”
的情节相吻合的是
高一数学试卷第1页共6页
4.下列命题中，真命题的是
A.x∈R,x2+2x≥0
B.x∈R,x3>x2
C.3∈R,使得sin,=5
D.3x∈R,使得2>3
4
5.设计如图所示的四个电路图，条件卫：“开关S闭合”；条件9：“灯泡L亮”，则卫是9
的必要不充分条件的电路图是
B.
6.若a=log23,b=log3e,c=n3,则
A.a>c>b
B.b>a>c
C.a>b>c
D.c>a>b
7.已知函数f(x)=2sin2x+
6
若方程f(x)=-V3在区间[0]内恰有两个实数根，则B
的取值范围为
A阳
C.)
贤
8.己知f(x)是定义在R上且不恒为零的函数，对于任意实数a,b满足f(ab)=a时(b)+时(a,
若f)=2,则(-0+(
c
高一数学试卷第2页共6页
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9,下列函数是偶函数的是
A.f(x)=3*+3*B.f(x)=x C.f(x)=sin2x D.f(x)x-1+x+1
10.己知不等式x2+bx+c>0的解集为(-2,1)，则下列结论正确的是
A.a<0
B.b<0
C.c>0
D.a-b+c<0
11.下列关于函数f(x)=n(x2-x)的说法中，正确的有
A,函数f(x)的图像是轴对称图形
B.函数(x)的图像是中心对称图形
C.函数f(x)的值域为R
D.函数f(x)的单调递增区间是(1，+o)
12.设集合A是实数集R的子集，如果a∈R满足：VE>0,3x∈A,使得0则称a为集合A的一个聚点。在下列集合中，以0为一个聚点的集合有
A.{n∈Z,n20}
B.
n+1
仁|n∈Z,n≠0y
n
C.
IneZ
D.{1+当)"|neZ,n>0
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.在直径为6的圆中，
2孤度的圆心角所对的弧长为—
14.已知函数f(x)=
「3-log2x,x≥1
4，x<1
，则f(a)=2,则a=
15.已知幂函数fx)=x“的图象过点(2，)，若f(2m+1)16.若a>0,b>0,则mina,a中4份的最大值是
b
,(注：min{,y}表示{x,y}中的较
小值)
高一数学试卷第3页共6页
