河北省唐山市2023-2024学年高三上学期期末考试数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 河北省唐山市2023-2024学年高三上学期期末考试数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 576.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-01-26 11:12:10 | ||
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文档简介
唐山市2023-2024学年度高三年级第一学期期末考试
数学
本试卷共4页，22小题，满分150分.考试时间120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色钢笔或签字笔将自己的姓名 考生号 考场号和座位号填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡上“条形码粘贴处”.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在笞题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用0.5毫米黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.在复平面内，对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.已知集合M，N满足，则（ ）
A. B. C. D.
3.已知直线与圆有公共点，则b的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
4.已知函数.满足，则实数m的值为（ ）
A. B. C.1 D.2
5.在正方体的8个顶点中任取4个点，能构成正三棱锥的个数为（ ）
A.16个 B.12个 C.10个 D.8个
6.已知函数是偶函数，则（ ）
A.3 B.0 C.-1 D.2
7.已知函数的图象与直线有3个交点，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8.已知双曲线：的左 右焦点为，，，P为双曲线右支上一点，，的内切圆圆心为M，与的面积的差为1，则双曲线的离心率（ ）
A.2 B.3 C. D.
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.如图，正三棱柱的各条棱长都为2，M，N分别是AB，的中点，则（ ）
A. B.
C. D.平面
10.已知m，n都是正整数，且，下列有关组合数的计算，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11.已知函数的定义域为R，则以下选项正确的是（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若，且为奇函数，则
D.若，且，则为奇函数
12.数列的通项公式为，下列命题正确的为（ ）
A.先递增后递减 B.为递增数列
C.， D.，
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知向量，，若与共线，则实数______.
14.已知圆锥的侧面展开图是半径为8的直角扇形，则此圆锥的表面积为______.
15.已知抛物线，圆，过点M的直线l与E交于A，B两点，与圆M交于C，D两点（A，C都在x轴上方），若，则直线l的斜率为______.
16.已知函数，A，B是直线与曲线的两个交点，若的最小值为，，，则______.
四 解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（10分）
在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，
（1）求A；
（2）设AC边的中线，且，求的面积S.
18.（12分）
目前，国际上常用身体质量指数（Body Mass Index，缩写BMI）来测量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是.中国成人的BMI数值标如下表所示：
BMI <18.5 ≥28
体重情况 过轻 正常 超重 肥胖
为了解某单位职工的身体情况，研究人员从单位职工体检数据中，采用分层随机抽样方法抽取了90名男职工 50名女职工的身高和体重数据，计算得到他们的BMI值，并进行分类统计，如下表所示：
性别 BMI 合计
过轻 正常 超重 肥胖
男 10 60 11 9 90
女 15 25 5 5 50
合计 25 85 16 14 140
（1）参照附表，对小概率值逐一进行独立性检验，依据检验，指出能认为职工体重是否正常与性别有关联的的一个值；
（2）在该单位随机抽取一位职工的BMI值，发现其BMI值不低于28.由上表可知男女职工的肥胖率都为0.1，视频率为概率，能否认为该职工的性别是男还是女的可能性相同？若认为相同则说明理由，若认为不相同，则需要比较可能性的大小.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
附：
19.（12分）
记为数列的前n项和，当时.且.
（1）求，；
（2）（i）当n为偶数时，求的通项公式；
（ii）求.
20.（12分）
如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，，，.
（1）求证：；
（2）若平面PAC与平面EAC夹角的余弦值为，求三棱锥的体积.
21.（12分）
已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上.
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线与C相交于A，B两点，若直线AF，BF的倾斜角互补，求面积的最大值.
22.（12分）
已知函数.
（1）若，求函数的极值；
（2）若有两个零点，求m的取值范围.
唐山市2023—2024学年度第一学期高三年级期末考试
数学参考答案
一 选择题（单选）：
1-4DCAB 5-8CADA
二 选择题（多选）：
9.CD 10.ACD 11.AC 12.BD
三 填空题：
13.1 14. 15. 16.
四 解答题：
17.解：
（1）因为，
所以，
所以，
得，
因为，所以，即，
所以或（舍），所以.
（2）在中，由余弦定理得：，
即，
在中，同理可得：，
由，得，解得.
在中，，即，
整理得：，解得：.
所以的面积.
18.解：
（1）零假设为
：职工体重是否正常与性别相互独立，即二者没有关联.
性别 BMI 合计
不正常 正常
男 30 60 90
女 25 25 50
合计 55 85 140
将分类统计表简化整理成列联表，如下表所示.
根据列联表中的数据，经计算得到
.
.
经过对附表所给的小概率值逐一进行独立性检验，发现时，拒绝了零假设，而附表的其余取值都不能拒绝零假设.因此，能认为职工体重是否正常与性别有关联，则的一个值可以为0.1.
（2）可能性不相同.
设事件：职工为男职工，事件职工为女职工，事件职工体重情况为肥胖.
，
.因此，该职工为男职工的可能性要大.
19.解：
（1）由得，又
，则.
（2）（i）当为偶数时，为奇数，则
，且，则
故，则当为偶数时，是一个等比数列，
公比为2，首项为，特别要注意，是第项，则
，则.
（ii）设奇，
则.
偶，
则.
20.解：
（1）因为平面平面，所以.
取中点，连接，因为，所以是平行四边形，
从而，于是.
又，所以平面，
因为平面，所以.
（2）如图，以为原点，分别为轴，轴，轴正向，建立空间直角坐标系，则
，
，
，
由（1）可知，为面的一个法向量.
设为面的法向量，
则，
即
取，则，
依题意，，
得或（舍去）.
因为，所以.
所以三棱锥的体积为.
21.解：
（1）由已知可得，
解得，
所以椭圆的方程为.
（2）将代入，
整理得
设，则，
因为直线的倾斜角互补，
所以，
即，
，整理得，
（*）式可化简为，
，由，得，
点到直线的距离，
则的面积
，
当且仅当，即时等号成立.
所以面积的最大值为.
22.解：
（1）因为，所以.
在上单调递增，且.
当时，单调递减；
当时，单调递增.
所以当时，有极小值为无极大值.
（2）由（1）知若，则有最小值有唯一零点.
若，则，
，此时，没有零点.
若，则，
令，则在上单调递增，
由，得，
又，所以，使得，
当时，，即单调递减；
当时，，即单调递增，
所以.
取，
取.
设，
，在上单调递增，
所以，所以，所以.
所以，使，
，使，
所以有两个零点时，的取值范围为.
数学
本试卷共4页，22小题，满分150分.考试时间120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色钢笔或签字笔将自己的姓名 考生号 考场号和座位号填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡上“条形码粘贴处”.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在笞题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用0.5毫米黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.在复平面内，对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.已知集合M，N满足，则（ ）
A. B. C. D.
3.已知直线与圆有公共点，则b的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
4.已知函数.满足，则实数m的值为（ ）
A. B. C.1 D.2
5.在正方体的8个顶点中任取4个点，能构成正三棱锥的个数为（ ）
A.16个 B.12个 C.10个 D.8个
6.已知函数是偶函数，则（ ）
A.3 B.0 C.-1 D.2
7.已知函数的图象与直线有3个交点，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8.已知双曲线：的左 右焦点为，，，P为双曲线右支上一点，，的内切圆圆心为M，与的面积的差为1，则双曲线的离心率（ ）
A.2 B.3 C. D.
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.如图，正三棱柱的各条棱长都为2，M，N分别是AB，的中点，则（ ）
A. B.
C. D.平面
10.已知m，n都是正整数，且，下列有关组合数的计算，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11.已知函数的定义域为R，则以下选项正确的是（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若，且为奇函数，则
D.若，且，则为奇函数
12.数列的通项公式为，下列命题正确的为（ ）
A.先递增后递减 B.为递增数列
C.， D.，
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知向量，，若与共线，则实数______.
14.已知圆锥的侧面展开图是半径为8的直角扇形，则此圆锥的表面积为______.
15.已知抛物线，圆，过点M的直线l与E交于A，B两点，与圆M交于C，D两点（A，C都在x轴上方），若，则直线l的斜率为______.
16.已知函数，A，B是直线与曲线的两个交点，若的最小值为，，，则______.
四 解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（10分）
在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，
（1）求A；
（2）设AC边的中线，且，求的面积S.
18.（12分）
目前，国际上常用身体质量指数（Body Mass Index，缩写BMI）来测量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是.中国成人的BMI数值标如下表所示：
BMI <18.5 ≥28
体重情况 过轻 正常 超重 肥胖
为了解某单位职工的身体情况，研究人员从单位职工体检数据中，采用分层随机抽样方法抽取了90名男职工 50名女职工的身高和体重数据，计算得到他们的BMI值，并进行分类统计，如下表所示：
性别 BMI 合计
过轻 正常 超重 肥胖
男 10 60 11 9 90
女 15 25 5 5 50
合计 25 85 16 14 140
（1）参照附表，对小概率值逐一进行独立性检验，依据检验，指出能认为职工体重是否正常与性别有关联的的一个值；
（2）在该单位随机抽取一位职工的BMI值，发现其BMI值不低于28.由上表可知男女职工的肥胖率都为0.1，视频率为概率，能否认为该职工的性别是男还是女的可能性相同？若认为相同则说明理由，若认为不相同，则需要比较可能性的大小.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
附：
19.（12分）
记为数列的前n项和，当时.且.
（1）求，；
（2）（i）当n为偶数时，求的通项公式；
（ii）求.
20.（12分）
如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，，，.
（1）求证：；
（2）若平面PAC与平面EAC夹角的余弦值为，求三棱锥的体积.
21.（12分）
已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上.
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线与C相交于A，B两点，若直线AF，BF的倾斜角互补，求面积的最大值.
22.（12分）
已知函数.
（1）若，求函数的极值；
（2）若有两个零点，求m的取值范围.
唐山市2023—2024学年度第一学期高三年级期末考试
数学参考答案
一 选择题（单选）：
1-4DCAB 5-8CADA
二 选择题（多选）：
9.CD 10.ACD 11.AC 12.BD
三 填空题：
13.1 14. 15. 16.
四 解答题：
17.解：
（1）因为，
所以，
所以，
得，
因为，所以，即，
所以或（舍），所以.
（2）在中，由余弦定理得：，
即，
在中，同理可得：，
由，得，解得.
在中，，即，
整理得：，解得：.
所以的面积.
18.解：
（1）零假设为
：职工体重是否正常与性别相互独立，即二者没有关联.
性别 BMI 合计
不正常 正常
男 30 60 90
女 25 25 50
合计 55 85 140
将分类统计表简化整理成列联表，如下表所示.
根据列联表中的数据，经计算得到
.
.
经过对附表所给的小概率值逐一进行独立性检验，发现时，拒绝了零假设，而附表的其余取值都不能拒绝零假设.因此，能认为职工体重是否正常与性别有关联，则的一个值可以为0.1.
（2）可能性不相同.
设事件：职工为男职工，事件职工为女职工，事件职工体重情况为肥胖.
，
.因此，该职工为男职工的可能性要大.
19.解：
（1）由得，又
，则.
（2）（i）当为偶数时，为奇数，则
，且，则
故，则当为偶数时，是一个等比数列，
公比为2，首项为，特别要注意，是第项，则
，则.
（ii）设奇，
则.
偶，
则.
20.解：
（1）因为平面平面，所以.
取中点，连接，因为，所以是平行四边形，
从而，于是.
又，所以平面，
因为平面，所以.
（2）如图，以为原点，分别为轴，轴，轴正向，建立空间直角坐标系，则
，
，
，
由（1）可知，为面的一个法向量.
设为面的法向量，
则，
即
取，则，
依题意，，
得或（舍去）.
因为，所以.
所以三棱锥的体积为.
21.解：
（1）由已知可得，
解得，
所以椭圆的方程为.
（2）将代入，
整理得
设，则，
因为直线的倾斜角互补，
所以，
即，
，整理得，
（*）式可化简为，
，由，得，
点到直线的距离，
则的面积
，
当且仅当，即时等号成立.
所以面积的最大值为.
22.解：
（1）因为，所以.
在上单调递增，且.
当时，单调递减；
当时，单调递增.
所以当时，有极小值为无极大值.
（2）由（1）知若，则有最小值有唯一零点.
若，则，
，此时，没有零点.
若，则，
令，则在上单调递增，
由，得，
又，所以，使得，
当时，，即单调递减；
当时，，即单调递增，
所以.
取，
取.
设，
，在上单调递增，
所以，所以，所以.
所以，使，
，使，
所以有两个零点时，的取值范围为.
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