“他山之石可以攻玉”
【编者的话】
新课改后的中考数学压轴题已从传统的考察知识点多、难度大、复杂程度高的综合题型，逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展。这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等。从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等。但纵观全国各省、市的中考数学试题，它的压轴题均是借鉴于上年各地的中考试题演变而来。所以，研究上年各地的中考试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向。只的这样，学生能力得以的培养，解题方法、技巧得以掌握，学生才能顺利地解答未来中考的压轴题。
2008年全国各地中考试题压轴题精选讲座一
几何与函数问题
【知识纵横】
客观世界中事物总是相互关联、相互制约的。几何与函数问题就是从量和形的侧面去描述客观世界的运动变化、相互联系和相互制约性。函数与几何的综合题，对考查学生的双基和探索能力有一定的代表性，通过几何图形的两个变量之间的关系建立函数关系式，进一步研究几何的性质，沟通函数与几何的有机联系，可以培养学生的数形结合的思想方法。
【典型例题】
【例1】（上海市）已知，，（如图）．是射线上的动点（点与点不重合），是线段的中点．
（1）设，的面积为，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域；
（2）如果以线段为直径的圆与以线段为直径的圆外切，求线段的长；
（3）联结，交线段于点，如果以为顶点的三角形与相似，求
线段的长．
【思路点拨】（1）取中点，联结；（2）先求出 DE; （3）分二种情况讨论。
【例2】（山东青岛）已知：如图（1），在中，，，，点由出发沿方向向点匀速运动，速度为1cm/s；点由出发沿方向向点匀速运动，速度为2cm/s；连接．若设运动的时间为（），解答下列问题：
（1）当为何值时，？
（2）设的面积为（），求与之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻，使线段恰好把的周长和面积同时平分？若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由；
（4）如图（2），连接，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在某一时刻，使四边形为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．
图（1） 图（2）
【思路点拨】（1）设BP为t，则AQ = 2t，证△APQ ∽△ABC；（2）过点P作PH⊥AC于H．
（3）构建方程模型，求t；（4）过点P作PM⊥AC于Ｍ，PN⊥BC于N，若四边形PQP ′ C是菱形，那么构建方程模型后，能找到对应t的值。
【例3】（山东德州）如图（1）,在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN．令AM＝x．
（1）用含x的代数式表示△ＭNP的面积S；
（2）当x为何值时，⊙O与直线BC相切？
（3）在动点M的运动过程中，记△ＭNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？
图（1） 图（2） 图（3）
【思路点拨】（1）证△AMN ∽ △ABC；（2）设直线BC与⊙O相切于点D，连结AO，OD，先求出OD（用x的代数式表示），再过M点作MQ⊥BC 于Q，证△BMQ∽△BCA；（3）先找到图形娈化的分界点，＝2。然后 分两种情况讨论求的最大值： ① 当0＜≤2时， ② 当2＜＜4时。
【学力训练】
1、（山东威海） 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝7，CD＝1，AD＝BC＝5．点M，N分别在边AD，BC上运动，并保持MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分别为E，F．
（1）求梯形ABCD的面积；
（2）求四边形MEFN面积的最大值．
（3）试判断四边形MEFN能否为正方形，若能，
求出正方形MEFN的面积；若不能，请说明理由．
2、（浙江温州市）如图，在中，，，，分别是边的中点，点从点出发沿方向运动，过点作于，过点作交于，当点与点重合时，点停止运动．设，．
（1）求点到的距离的长；
（2）求关于的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）是否存在点，使为等腰三角形？若存在，
请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由．
3、（湖南郴州）如图，平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝10，BC边上的高AM=4，E为 BC边上的一个动点（不与B、C重合）．过E作直线AB的垂线，垂足为F． FE与DC的延长线相交于点G，连结DE，DF．．
（1） 求证：ΔBEF ∽ΔCEG．
（2） 当点E在线段BC上运动时，△BEF和
△CEG的周长之间有什么关系？并说明你的理由．
（3）设BE＝x，△DEF的面积为 y，请你求
出y和x之间的函数关系式，并求出当x为何
值时,y有最大值，最大值是多少？
4、（浙江台州）如图，在矩形中，，，点是边上的动点（点不与点，点重合），过点作直线，交边于点，再把沿着动直线对折，点的对应点是点，设的长度为，与矩形重叠部分的面积为．
（1）求的度数；
（2）当取何值时，点落在矩形的边上？
（3）①求与之间的函数关系式；
②当取何值时，重叠部分的面积等于矩形面积的？
O
P
N
M
C
B
A
O
D
N
M
C
B
A
O
P
N
M
C
B
A
D
Q
C
B
P
R
A
B
A
D
C
（备用图1）
B
A
D
C
（备用图2）
M
N
F
E
B
A
D
C
B
P
C
Q
A
B
P
C
Q
A
Q
H
P
R
E
D
C
B
A
备用图
C
D
A
B
C
E
M
D
A
B几何与函数问题的参考答案
【典型例题】
【例1】（上海市）（1）取中点，联结，
为的中点，，．
又，．
，得；
（2）由已知得．
以线段为直径的圆与以线段为直径的圆外切，
，即 HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 ．
解得，即线段的长为；
（3）由已知，以为顶点的三角形与相似，
又易证得．
由此可知，另一对对应角相等有两种情况：①；②．
①当时，，．．
，易得．得；
②当时，，．
．又，．
HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 ，即，得 HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 ．
解得， HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.DSMT4 （舍去）．即线段的长为2．
综上所述，所求线段的长为8或2．
【例2】（山东青岛）（1）在Rt△ABC中，，
由题意知：AP = 5－t，AQ = 2t，
若PQ∥BC，则△APQ ∽△ABC，
∴，∴，∴．
（2）过点P作PH⊥AC于H．
∵△APH ∽△ABC，
∴，∴，∴，
∴．
（3）若PQ把△ABC周长平分，则AP+AQ=BP+BC+CQ．
∴， 解得：．
若PQ把△ABC面积平分，则， 即－＋3t=3．
∵ t=1代入上面方程不成立，
∴不存在这一时刻t，使线段PQ把Rt△ACB的周长和面积同时平分．
（4）过点P作PM⊥AC于Ｍ，PN⊥BC于N，
若四边形PQP ′ C是菱形，那么PQ＝PC．
∵PM⊥AC于M，∴QM=CM．
∵PN⊥BC于N，易知△PBN∽△ABC．
∴， ∴，
∴， ∴，
∴，解得：．
∴当时，四边形PQP ′ C 是菱形．
此时， ，
在Rt△PMC中， HYPERLINK "http://" EMBED Equation.3 ，
∴菱形PQP ′ C边长为．
【例3】（山东德州）（1）∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B，∠ANM＝∠C．
∴ △AMN ∽ △ABC．
∴ ，即．
∴ AN＝x．
∴ = HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 ．（0＜＜4）
（2）如图（2），设直线BC与⊙O相切于点D，连结AO，OD，则AO =OD =MN．
在Rt△ABC中，BC ＝=5．
由（1）知 △AMN ∽ △ABC．
∴ ，即．
∴ ，
∴ ．过M点作MQ⊥BC 于Q，则．
在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角，
∴ △BMQ∽△BCA．
∴ ．
∴ ， HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 ．
∴ x＝．
∴当x＝时，⊙O与直线BC相切．
（3）随点M的运动，当P点落在直线BC上时，连结AP，则O点为AP的中点．
∵ MN∥BC，∴ ∠AMN=∠B，∠AOM＝∠APC．
∴ △AMO ∽ △ABP．
∴ ． AM＝MB＝2．
故以下分两种情况讨论：
① 当0＜≤2时，．
∴ 当＝2时，
② 当2＜＜4时，设PM，PN分别交BC于E，F．
∵ 四边形AMPN是矩形，
∴ PN∥AM，PN＝AM＝x．
又∵ MN∥BC，
∴ 四边形MBFN是平行四边形．
∴ FN＝BM＝4－x．
∴ ．
又△PEF ∽ △ACB．
∴ ．∴ ．
＝．
当2＜＜4时，．
∴ 当时，满足2＜＜4，．
综上所述，当时，值最大，最大值是2．
【例3】（山东德州）（1）∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B，∠ANM＝∠C．
∴ △AMN ∽ △ABC．
∴ ，即．
∴ AN＝x．
∴ =．（0＜＜4）
（2）如图（2），设直线BC与⊙O相切于点D，连结AO，OD，则AO =OD =MN．
在Rt△ABC中，BC ＝=5．
由（1）知 △AMN ∽ △ABC．
∴ ，即．
∴ ，
∴ ．过M点作MQ⊥BC 于Q，则．
在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角，
∴ △BMQ∽△BCA．
∴ ．
∴ ， HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 ． ∴ x＝．
∴ 当x＝时，⊙O与直线BC相切．
（3）随点M的运动，当P点落在直线BC上时，连结AP，则O点为AP的中点．
∵ MN∥BC，∴ ∠AMN=∠B，∠AOM＝∠APC．
∴ △AMO ∽ △ABP．
∴ ． AM＝MB＝2．
故以下分两种情况讨论：
① 当0＜≤2时，．
∴ 当＝2时，
② 当2＜＜4时，设PM，PN分别交BC于E，F．
∵ 四边形AMPN是矩形，
∴ PN∥AM，PN＝AM＝x．
又∵ MN∥BC，
∴ 四边形MBFN是平行四边形．
∴ FN＝BM＝4－x．
∴ ．
又△PEF ∽ △ACB．
∴ ．∴ ．
＝．
当2＜＜4时，．
∴ 当时，满足2＜＜4，．
综上所述，当时，值最大，最大值是2．
【学力训练】
1、（山东威海）（1）分别过D，C两点作DG⊥AB于点G，CH⊥AB于点H．
∵ AB∥CD，
∴ DG＝CH，DG∥CH．
∴ 四边形DGHC为矩形，GH＝CD＝1．
∵ DG＝CH，AD＝BC，∠AGD＝∠BHC＝90°，
∴ △AGD≌△BHC（HL）．
∴ AG＝BH＝＝3．
∵ 在Rt△AGD中，AG＝3，AD＝5，
∴ DG＝4．
∴ ．
（2）∵ MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，
∴ ME＝NF，ME∥NF．
∴ 四边形MEFN为矩形．
∵ AB∥CD，AD＝BC，
∴ ∠A＝∠B．
∵ ME＝NF，∠MEA＝∠NFB＝90°，
∴ △MEA≌△NFB（AAS）．
∴ AE＝BF．
设AE＝x，则EF＝7－2x．
∵ ∠A＝∠A，∠MEA＝∠DGA＝90°，
∴ △MEA∽△DGA．
∴ ．∴ ME＝．
∴ ．
当x＝时，ME＝＜4，∴四边形MEFN面积的最大值为．
（3）能．
由（2）可知，设AE＝x，则EF＝7－2x，ME＝．
若四边形MEFN为正方形，则ME＝EF．
即 7－2x．解，得 ．
∴ EF＝＜4．
∴ 四边形MEFN能为正方形，其面积为． 00000000………….
2、（浙江温州市）（1），，，．
点为中点，．
，．
，
， HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 ．
（2），．
，，
，，
即关于的函数关系式为：．
（3）存在，分三种情况：
①当时，过点作于，则．
，，
．
，，
，．
②当时，，
．
③当时，则为中垂线上的点，
于是点为的中点，
．
HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 ，
，．
综上所述，当为或6或时，为等腰三角形．
3、（湖南郴州）（1） 因为四边形ABCD是平行四边形， 所以
所以
所以
（2）的周长之和为定值．理由一：
过点C作FG的平行线交直线AB于H ，
因为GF⊥AB，所以四边形FHCG为矩形．所以 FH＝CG，FG＝CH
因此，的周长之和等于BC＋CH＋BH
由 BC＝10，AB＝5，AM＝4，可得CH＝8，BH＝6，
所以BC＋CH＋BH＝24
理由二：
由AB＝5，AM＝4，可知
在Rt△BEF与Rt△GCE中，有：
，
所以，△BEF的周长是， △ECG的周长是
又BE＋CE＝10，因此的周长之和是24．
（3）设BE＝x，则
所以 HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 配方得：．
所以，当时，y有最大值．最大值为．
4、（浙江台州）（1）如图，四边形是矩形，．
又，，，
，．
，．
，．
（2）如图（1），由轴对称 ( http: / / www. )的性质可知，，
，．
由（1）知，，
，．
，，．
在中，根据题意得：，
解这个方程得：．
（3）①当点在矩形的内部或边上时，
，，
，当时，
当在矩形的外部时（如图（2）），，
在中，，
，
又，，
在中，
，．
，
，
当时，．
综上所述，与之间的函数 ( http: / / www. )解析式是：．
②矩形面积，当时，函数随自变量的增大而增大，所以的最大值是，而矩形面积的的值，
而，所以，当时，的值不可能是矩形面积的；
当时，根据题意，得：
，解这个方程，得，因为，
所以不合题意，舍去．
所以．
综上所述，当时，与矩形重叠部分的面积等于矩形面积的．
Q
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图（ 2）
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图 （1）
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图（ 2）
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图 （3）
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图 （ 4）
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图②
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图①
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（图1）
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图（2）
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图 （1）
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图 （3）
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图 （ 4）
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