江苏省响水县中20232024学年度秋学期高二年级期末考试
数学试题参考答案
1. B 2. D 3． C 4． B 5. C 6．D 7．A 8．A
9．ACD 10. BD 11.AC 12．BC
13. 14．．
15．． 16．3．
17.解：因为方程组 的解为 ，所以两条直线 和 的交点坐标为 .
若选①，可设直线l的方程为 ，点 代入方程 可得 ，即l： .在直线l上取两点 和 ，点 关于点 对称的点的坐标为 ，点 关于点 对称的点的坐标为，所以直线m的方程为 .
若选②，可得直线l的斜率 ，所以直线l的方程为 .
在直线l上取两点 和 ，点 关于点 对称的点的坐标为 ，
点 关于点 对称的点的坐标为 ，所以直线m的方程为 ，即 .
18.解：，依题意可得，，
当，代入直线方程得，将点代入曲线方程，得；
设切点，则，切线方程为，切点既在切线上，也在曲线上，从而有，①，②整理可得，
，
解得或，切点为或，从而切线方程为或
19.解：解：因为圆心 C 同在直线 和直线 上，
所以 ，解得 所以圆心 ，所以圆 C 的方程为： ，则圆的切线：① 若过点 的直线斜率不存在，此时 恰为圆 C 的切线；② 若过点 的直线斜率存在，
设直线方程为： ，即 ，因为直线与圆 C 相切，所以 ，解得： ，所以切线方程为： ，即 ，
综上可知：过点 A 圆 C 的切线方程为： 和 .
设点 ，因为 ，所以 ，
则 ，即 M 的轨迹方程为 ，
所以点 M 轨迹是以 为圆心， 为半径的圆 B ，又因点 M 在圆 C 上，则圆 C 与圆 B 必有公共点，又圆 C 的圆心 ，半径为 ，则 ，即 ，即 ，解得： ，
所以圆心 C 的横坐标 a 的取值范围为
20.解：因为数列是首项为2，公差为1的等差数列，
所以，则，所以，
两式相减得：，则，
，又适合上式，故
由得，所以，
则，原式得证.
21.解：由已知可得，且C的另一焦点坐标为，设为，
所以有，所以，所以，所以C的方程为
设l：，代入C整理可得：，
设，，则 ①，②，由，可得， ③，由①②③可得：，恒成立，所以，为定值．
22.解：当时，，的定义域为
，所以当或时，，递增；当时，，递减．所以在上递减，在和上递增．
由于，
，
由于，所以在区间上，递减，在区间上，递增．所以在上的最小值为
，令，，
当时，，当时，所以在上递增，在上递减，所以，由题意可知 江苏省响水县中 2023~2024 学年度秋学期高二年级期末考试
数 学 试 题
考生注意：
1、试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，共 4 页。
2、满分 150 分，考试试卷 120 分钟。
第Ⅰ卷 选择题（60 分）
一、单项选择题:(本题共 8小题,每小题 5分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的.)
1.已知圆的方程是 x2 y2 2x 1 0，则它的半径是( )
A. 1 B. 2 C. 2 D. 4
2.设曲线 y a(x 1) ln x在点 1, 0 处的切线方程为 y 3x 3，则 a ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3．已知 A 1,2 ,B 2,0 ，过点C 1,4 的直线 l与线段 AB不相交，则直线 l斜率 k的取值范围是
（ ）
A． k 1或 k 4 B． 4 k 1 C． 1 k 4 D． k 4或 k 1
4．圆 1: 2 + 2 2 6 + 6 = 0和圆 : 2 + 22 6 10 + 30 = 0的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．外切 D．内切
5.已知 f (x) f (2024) ln x 1 x2 x2 ，则 f
(2024) ( )
A. 0 B. 2023 C. -2024 D. 2023
6．已知直线 l : (2m 1)x (m 1)y 9m 7 0，圆C : x2 y 2 6x 4y 3 0 ，当直线 l被圆 C截得的
弦最短时，l的方程为（ ）
A． x 3y 13 0 B． x 3y 17 0 C． x 3y 17 0 D． x 3y 13 0
7．希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，
并对这一定义进行了证明，他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数 e的点的轨迹
叫做圆锥曲线：当0 e 1时，轨迹为椭圆；当 e 1时，轨迹为抛物线；当 e 1时，轨迹为双
2 2 1 2
曲线，则方程 x y x y 22 2 表示的圆锥曲线为（ ）
A.椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．以上都不对
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8．已知数列 an 中，a
3an *
1 1且an 1 n N ，则a 为（ ）an 3 22
A 1． B 1 C 1 1． ． D．
8 6 3 2
二、多项选择题:(本题共 4小题,每小题 5分,共 20 分.在每小题给出的选项中,有多
项符合要求.全部选对的得 5分,部分选对的得 2分,有选错的得 0分.)
9．已知圆C： (x 2)2 y2 4，直线 l： (m 1)x 2y 1 m 0（m R），则（ ）
A．直线 l恒过定点 ( 1,1)
B．当m 0时，圆C上恰有三个点到直线 l的距离等于 1
C．直线 l与圆C有两个交点
D．圆C与圆 x2 y2 2x 8y 8 0恰有三条公切线
10.下列命题正确的是( )
A. sin
cos
4 4
B. 对于已知函数 f (x) x2 2，则该函数在区间 [1,3]上的平均变化率为 4
C. 若 f (x) sin(2x 3)，则 f (x) cos(2x 3)
D. 设函数 f (x)导函数为 f (x)，且 f
9
x x2 3xf 2 ln x，则 f (2)
4
11.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所
得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分 5钱，甲、乙两人
所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得
多少钱？” ( “钱”是古代的一种重量单位 ).关于这个问题，下列说法正确的是 ( )
1
A. 甲得钱是戊得钱的 2倍 B. 乙得钱比丁得钱多 钱
2
1
C. 甲、丙得钱的和是乙得钱的 2倍 D. 丁、戊得钱的和比甲得钱多 钱
3
x212．已知双曲线C : y2 1的右焦点为 F，动点M ,N在直线 l : x 3 FM FN
3 2
上，且 ，线段
FM ,FN分别交C于P,Q两点，过 P作 l的垂线，垂足为 R．设 FMN的面积为 S1, FPQ的面积
为 S2，则（ ）
1 PR 3 MP NF SA． S1 B． PF 2 C
1
． MN PF 恒为定值 D． S 的最小值为2 2 62
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第Ⅱ卷 非选择题（90 分）
三、填空题:(本题共 4小题,每小题 5分,共 20 分.)
13.函数 y 3 x ln x的单调减区间为__________.
14．在等比数列 an 中，a1 a4 1，a3 a6 3，则a9 a12 __________．
15．过点 P(4, 1)作圆C : x2 y2 2x 4y 4 0的切线，切点为 A、B，则过切点 A，B的直
线方程为__________．
2 2
16 x y．F1，F2分别为双曲线 2 2 1（a 0，b 0）左、右焦点，P为双曲线左支上的任意a b
PF 2
一点，若 2 的最小值为8a，则双曲线的离心率 e的最大值是__________．
PF1
四、解答题:(本题共 6小题,共 70 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17. (本小题 10分 )
已知直线 l经过两条直线 2x 3y 8 0和 x y 1 0的交点，且________，若直线 m与直线
l关于点 1,0 对称，求直线 m的方程．试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中，
完成解答，若选择多个条件分别解答，按照第一个解答计分．
①与直线 3x 2 y 8 0
1
垂直； ②在 y轴上的截距为 .
2
18. (本小题 12分 )
已知曲线 y ax3 b(a,b为常数 )在 x 2处的切线方程为 4x y 4 0.
(1)求 a，b的值；
(2)求曲线过点 P 2,4 的切线方程.
试卷第 3页，共 4页
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19. (本小题 12分 )
在平面直角坐标系 xOy中，点 A 2,0 ，圆 C的半径为 r，且圆心在直线 l： y 3x 1上．
(1)若半径 r 2，圆心 C也在直线 x 2 y 2 0上，过点 A作圆 C的切线，求切线的方程；
(2)若半径 r 3，圆 C上存在点 M，使 MO 3 MA ，求圆心 C的横坐标 a的取值范围．
20. (本小题 12分 )
数列{an}中， a1 1， Sn是数列{a
2Sn
n}的前 n项和，数列 a 是公差为 1的等差数列. n
1 1 1
(1)求数列{an}的通项公式; (2)证明： 2.S1 S2 Sn
21. (本小题 12分 )
2 2
已知点 F ( 1,0) C x y为椭圆 ： 2 2 1(a b 0)的左焦点，M ( 2,
6 )在 C上．
a b 2
(1)求 C的方程； (2)已知两点 A(m,0)(m a)与 B(n,0)( n a)，过点 A的直线 l与 C交于 P，Q
两点，且 PBA QBA ，试判断 mn是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．
22. (本小题 12分 )
f x 2a ln x 1已知函数 x2 a 2 x.2
(1)当 a 3时，讨论 f (x)的单调性；
(2)已知 a 2，f (x)在 2, h(a) 上的最小值为h(a)，若 4ln2 - 4，求a 的值．
a
试卷第 4页，共 4页
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