函数及图像与几何问题的参考答案
【典型例题】
【例1】（山西太原）（1）在中，当时，，
，点的坐标为．在中，当时，，点的坐标为（4，0）．由题意，得解得 HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4
点的坐标为．
（2）当为等腰三角形时，有以下三种情况，如图（1）．设动点的坐标为．
由（1），得，．
①当时，过点作轴，垂足为点，则．
．
，点的坐标为．
②当时，过点作轴，垂足为点，则．
，，
．
解，得（舍去）．此时，．
点的坐标为．③当，或时，同理可得．由此可得点的坐标分别为 HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 ．
（3）存在．以点为顶点的四边形是平行四边形有以下三种情形，如图（2）．
①当四边形为平行四边形时，．
②当四边形为平行四边形时，．
③当四边形为平行四边形时，．
【例2】（浙江湖州）（1）证明：设，，与的面积分别为，，由题意得，．
，．
，即与的面积相等．
（2）由题意知：两点坐标分别为，，
HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 ，
HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4
．
当时，有最大值．
．
（3）解：设存在这样的点，将沿对折后，点恰好落在边上的点，过点作，垂足为．
由题意得：，，，
，．
又，
．
，，
．
， HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 ，解得．
．
存在符合条件的点，它的坐标为．
【例3】（浙江嘉兴）（1），．作于，
为正三角形，，．．
连，，，
．
．
（2），是圆的直径，
又是圆的切线，．
，．．
设直线的函数解析式为，
则，解得．
直线的函数解析式为．
（3），，，，
四边形的周长．
设，的面积为，
则，．
．
当时，．
点分别在线段上，
HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 ，解得．
满足，
的最大面积为．
【例4】（杭州市）（1）设动点出发秒后，点到达点且点正好到达点时，，则
（秒）
则；
（2）可得坐标为
（3）当点在上时，；
当点在上时，
图象略.
【学力训练】
1. (07台州市)（1）与相似．
理由如下：由折叠知，，
，
又，
．
（2），设，
则．
由勾股定理得．
．
由（1），得，
，
．
在中，，
，解得．
，点的坐标为，
点的坐标为，
设直线的解析式为，
解得
，则点的坐标为．
（3）满足条件的直线有2条：，．
画出两条直线（图略）．
2、（浙江衢州）(1) ∵A，B两点的坐标分别是A(10，0)和B(8，)，
∴，
∴
当点A 在线段AB上时，∵，TA=TA ，
∴△A TA是等边三角形，且，
∴，，
∴ HYPERLINK "http://" EMBED Equation.3 ，
当A 与B重合时，AT=AB=，
所以此时。
(2)当点A 在线段AB的延长线，且点P在线段AB(不与B重合)上时，
纸片重叠部分的图形是四边形(如图(1)，其中E是TA 与CB的交点)，
当点P与B重合时，AT=2AB=8，点T的坐标是(2，0)
又由(1)中求得当A 与B重合时，T的坐标是(6，0)
所以当纸片重叠部分的图形是四边形时，。
(3)S存在最大值
当时，，
在对称轴t=10的左边，S的值随着t的增大而减小，
∴当t=6时，S的值最大是。
当时，由图，重叠部分的面积
∵△A EB的高是，
∴
当t=2时，S的值最大是
3、（江苏盐城）（1）如图，过点B作BE⊥y轴于点E，作BF⊥x 轴于点F.由已知得
BF=OE=2, OF= =
∴点B的坐标是( ，2)
设直线AB的解析式是y=kx+b，则有 解得
∴直线AB的解析式是y= x+4 (2) 如图，∵△ABD由△AOP旋转得到，
∴△ABD≌△AOP， ∴AP=AD， ∠DAB=∠PAO，∴∠DAP=∠BAO=600，
∴△ADP是等边三角形，
∴DP=AP= . ……（2分）
如图，过点D作DH⊥x 轴于点H，延长EB交DH于点G,
则BG⊥DH.
方法（一）
在Rt△BDG中，∠BGD=900, ∠DBG=600.
∴BG=BD cos600=×=.
DG=BD sin600=×= .
∴OH=EG=, DH=
∴点D的坐标为( , )
(3)假设存在点P, 在它的运动过程中,使△OPD的面积等于 .
设点P为（t，0），下面分三种情况讨论:
①当t＞0时，如图，BD=OP=t, DG=t,
∴DH=2+t. ∵△OPD的面积等于 ，
∴ ，
解得 , ( 舍去) .
∴点P1的坐标为 (, 0 )
②当＜t≤0时，如图，BD=OP=－t, BG=－t,
∴DH=GF=2－（－t）=2+t.
∵△OPD的面积等于，
∴ ，
解得 , .
∴点P2的坐标为(, 0)，点P3的坐标为(, 0).
③当t≤ 时，如图，BD=OP=－t, DG=－t,
∴DH=－t－2.
∵△OPD的面积等于 ，
∴ ，
解得 (舍去),
∴点P4的坐标为(, 0)
综上所述,点P的坐标分别为P1 ( HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 , 0)、P2 ( , 0)、P3 ( , 0) 、
P4 ( , 0)
4、（本题暂无答案）
A
y
x
y
x
D2
图（1）
图（2）
D1
C
D4
D3
M2
M1
O
B
B
O
C
A
D1
D2
E1
E2
M4
（第24题）
（图1）
（图1）
（图1）
（图1）
A
A
B
P
T
E
C
O
y
x
A
A
B
T
E
C
O
y
x
P
F
H
G
F
E
x
y
B
A
O
D
P
H
G
F
E
x
y
B
A
O
D
P
x
y
B
A
O
D
P
H
G
F
E
x
y
B
A
O
D
P
H
G
E2008年全国各地中考试题压轴题精选讲座三
函数及图像与几何问题
【知识纵横】
函数（本节主要指一次函数、反比例函数）及图像与几何问题，是以函数为背景探求几何性质，这类题很重要点是利用函数的性质，解决几个主要点的坐标问题，使几何知识和函数知识有机而自然结合起来，这样，才能突破难点。但在解这类题目时，要注意方程的解与坐标关系，及坐标值与线段长度关系。
【典型例题】
【例1】（山西太原）如图，在平面直角坐标系中，直线与交于点，分别交轴于点和点，点是直线上的一个动点．
（1）求点的坐标．
（2）当为等腰三角形时，求点的坐标．
（3）在直线上是否存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出的值；如果不存在，请说明理由．
【思路点拨】（1）注意直线方程的解与坐标关系；
（2）当为等腰三角形时，分三种情况讨论，．
（3）以点为顶点的四边形是平行四边形
三种情形。
【例2】（浙江湖州）已知：在矩形中，，．分别以所在直线为轴和轴，建立如图所示的平面直角坐标系．是边上的一个动点（不与重合），过点的反比例函数的图象与边交于点．
（1）求证：与的面积相等；
（2）记，求当为何值时，有最大值，最大值为多少？
（3）请探索：是否存在这样的点，使得将沿对折后，点恰好落在上？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】（1）用的代数式表示与的面积； （2）写出两点坐标（含的代数式表示），利用三角形面积公式解之；（3）设存在这样的点，将沿对折后，点恰好落在边上的点，过点作，垂足为．证．
【例3】（浙江嘉兴）如图，直角坐标系中，已知两点，点在第一象限且为正三角形，的外接圆交轴的正半轴于点，过点的圆的切线交轴于点．
（1）求两点的坐标；
（2）求直线的函数解析式；
（3）设分别是线段上的两个动点，且平分四边形的周长．
试探究：的最大面积？
【思路点拨】（1）作于；
（2）连结A C,证CD‖OB.（3）通过
几何图形建立二次函数模型解之，注意
自变量的取值范围。
【例4】（07杭州市） 在直角梯形中，，高（如图1）。动点同时从点出发，点沿运动到点停止，点沿运动到点停止，两点运动时的速度都是。而当点到达点时，点正好到达点。设同时从点出发，经过的时间为时，的面积为（如图2）。分别以为横、纵坐标建立直角坐标系，已知点在边上从到运动时，与的函数图象是图3中的线段。
（1）分别求出梯形中的长度；
（2）写出图3中两点的坐标；
（3）分别写出点在边上和边上运动时，与的函数关系式（注明自变量的取值范围），并在图3中补全整个运动中关于的函数关系的大致图象。
【思路点拨】（1）设动点出发秒后，点到达点且点正好到达点时，由图3知此时△ABC面积为30. （2）结合（1）的结论写出两点的坐标；（3）考虑当点在上时及当点在上时两种的关于的函数关系式.
【学力训练】
1、(07台州市) 如图，四边形是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点在轴上，点在轴上，将边折叠，使点落在边的点处．已知折叠，且．
（1）判断与是否相似？请说明理由；
（2）求直线与轴交点的坐标；
（3）是否存在过点的直线，使直线、直线与轴所围成的三角形和直线、直线与轴所围成的三角形相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由．
2、（浙江衢州）已知直角梯形纸片OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，四个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(10，0)，B(8，)，C(0，)，点T在线段OA上(不与线段端点重合)，将纸片折叠，使点A落在射线AB上(记为点A′)，折痕经过点T，折痕TP与射线AB交于点P，设点T的横坐标为t，折叠后纸片重叠部分(图中的阴影部分)的面积为S；
(1)求∠OAB的度数，并求当点A′在线段AB上时，S关于t的函数关系式；
(2)当纸片重叠部分的图形是四边形时，求t的取值范围；
(3)S存在最大值吗？若存在，求出这个最大值，并求此时t的值；若不存在，请说明理由。
3、（江苏盐城）如图，在平面直角坐标系中，已知△AOB是等边三角形,点A
的坐标是（0，4），点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连结AP，并把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边AO与AB重合，得到△ABD.
（1）求直线AB的解析式；
（2）当点P运动到点（,0）时，求此时DP的长及点D的坐标；
（3）是否存在点P,使△OPD的面积等于,若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.
4、（四川乐山）在平面直角坐标系中△ABC的边AB在x轴上，且OA>OB,以AB为直径的圆过点C，若C的坐标为(0,2),AB=5, A,B两点的横坐标XA,XB是关于X的方程的两根:
(1)求m，n的值;
(2)若∠ACB的平分线所在的直线交x轴于点D，试求直线对应的一次函数的解析式;
(3)过点D任作一直线分别交射线CA，CB（点C除外）于点M，N，则的值是否为定值，若是，求出定值，若不是，请说明理由.
O
y
x
O
B
C
A
T
y
x
O
B
C
A
T
图1
x
y
B
A
O
D
P
图2
x
y
B
A
O
l
M
D
N
B
O
C
A
A
y
x
D
C
O
B
D
E
B
C
y
x
（图1）
（图2）
（图3）
