浙江省宁波市余姚市2023-2024学年高三上学期1月期末测试数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 浙江省宁波市余姚市2023-2024学年高三上学期1月期末测试数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 588.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-01-26 11:21:09 | ||
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文档简介
余姚市2023学年第一学期高中期末考试
高三数学试题卷
说明：本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分.
考试时间120分钟，本次考试不得使用计算器，请考生将所有题目都做在答题卡上.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，集合，则（ ）
A. B.
C. D.
2.已知复数满足（为虚数单位），则（ ）
A. B.2 C.1 D.
3.已知非零向量，满足，且，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
4.已知点，在直线：上运动，且，点在圆上，则的面积的最大值为（ ）
A. B.5 C.2 D.1
5.命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
6.将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象.若在上恰有三个不同的零点，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
7.人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为制定一系列相关政策提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯（T.R.Malthus，1766—1834）就提出了人口增长模型.已知1650年世界人口为5亿，当时这段时间的人口的年增长率为0.3%.根据模型预测________年世界人口是1650年的2倍.（参考数据：，）
A.1878 B.1881 C.1891 D.1993
8.已知为双曲线：的一个焦点，C上的A，B两点关于原点对称，且，
，则C的离心率是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列结论正确的有（ ）
A.相关系数越接近1，变量，相关性越强
B.若随机变量，满足，则
C.相关指数越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差
D.设随机变量服从二项分布，则
10.设函数的定义域为，且满足，，当时，，则（ ）
A.是奇函数
B.
C.的最小值是
D.方程在区间内恰有1012个实数解
11.在棱长为2的正方体中，Q为线段的中点，P为线段上的动点（含端点），则下列结论正确的有
A.P为中点时，的值最小
B.不存在点P，使得平面平面
C.P与端点C重合时，三棱锥的外接球半径为
D.P为中点时，过D，P，Q三点的平面截正方体所得的截面的周长为
12.已知O为坐标原点，F为抛物线：的焦点，过点F且倾斜角为的直线交C于A、B两点（其中点A在第一象限），过线段的中点P作垂直于抛物线准线的直线，与准线交于点N，则下列说法正确的是（ ）
A.C的准线方程为 B.
C.三角形的面积 D.
第II卷（非选择题 共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知随机变量，且，则的展开式中常数项为__________.
14.已知函数的图象在处的切线方程为，则__________.
15.已知，求__________.
16.已知高为2的圆锥内接于球O，球O的体积为，设圆锥顶点为P，平面为经过圆锥顶点的平面，且与直线所成角为，设平面截球O和圆锥所得的截面面积分别为，，则__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）
在中，，.
（1）求A；
（2）已知M为直线上一点，，，求的面积.
18.（12分）
已知数列满足，，，
（1）令，求证：数列为等比数列；
（2）若，求数列的前项和.
19.（12分）
如图所示，在多面体中，四边形是边长为的正方形，其对角线的交点为，平面，，，点P是棱上的任意一点.
（1）求证：；
（2）求直线和平面所成角的正弦值.
20.（12分）
杭州亚运会男子乒乓球团体赛采用世界乒乓球男子团体锦标赛（斯韦思林杯）的比赛方法，即每队派出三名队员参赛，采用五场三胜制.比赛之前，双方队长应抽签决定A、B、C和X、Y、Z的选择，并向裁判提交每个运动员分配到一个字母的队伍名单。现行的比赛顺序是第一场A对X；第二场B对Y；第三场C对Z；第四场A对Y；第五场B对X.每场比赛为三局两胜制.当一个队已经赢得三场个人比赛时，该次比赛应结束。
已知在某次团队赛中，甲队A、B、C三位选手在每场比赛中获胜的概率均为如下表所示，且每场比赛之间相互独立
场次 第一场 第二场 第三场 第四场 第五场
获胜概率
（1）求最多比赛四场结束且甲队获胜的概率；
（2）由于赛场氛围紧张，在教练点拨、自我反思和心理调控等因素影响下，从第二场开始，每场比赛获胜的概率会发生改变，改变规律为：若前一场获胜，则该场获胜的概率比原先获胜的概率增加0.2；若前一场失利，则该场获胜的概率比原先获胜的概率减少0.2.求已知A第一场获胜的条件下甲队最终以3：1赢得比赛的概率.
21.（12分）
已知函数，.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若在内恒成立，求整数的最大值.
22.（12分）
在平面直角坐标系中，，是椭圆：的左、右焦点，是C的左顶点，过点A且斜率为的直线交直线上一点M，已知为等腰三角形，.
（1）求C的方程；
（2）在直线上任取一点，直线：与直线交于点Q，与椭圆C交于D，E两点，若对任意，恒成立，求m的值.
余姚市2023学年第一学期高中期末试卷
高三数学参考答案及评分标准
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C A B D A B D
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
题号 9 10 11 12
答案 ACD AB BCD BD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 14.1 15.8 16.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
备注：解答题多种解法的，其他解法对应标准答案给分
17.（10分）
（1）在中，，，则，
∵，
即，
又，则；
（2）因为，，所以，所以，
在中，
解得（负值舍去），
所以.
18.（12分）
（1）∵，
∴数列是以首项为，公比为等比数列；
（2）由（1）可知：，
∴①
②
故①-②
19.（12分）
（1）证明：因为，所以四点共面.
因为平面，平面，
所以，
因为四边形ABCD是正方形，所以，
又，平面，平面，
所以平面，而平面，
所以.
（2）由题意，，，互相垂直，
以为原点，以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，.
则，，，
设平面的法向量为，
所以由，得，
令，可得，
设直线和平面所成角为，
则，
所以直线CN和平面AMN所成角的正弦值为.
20.（12分）
（1）设事件表示甲队第场比赛获胜
（2）设事件表示第一场甲获胜，事件A表示甲以3：1获胜，则
所以A第一场获胜的条件下甲队最终以3：1赢得比赛的概率为
21.（12分）
（1）当时，，，
令，解得：；令，解得：；
所以在上单调递减，在上单调递增.
（2）由可得：，
记，，
①若，即，，则在上单调递增，又时，
，不合题意；
②若，即，令，则，令，则，
则在上单调递减，在上单调递增，
，
令，
，
则令，解得：，令，解得：；
所以在上单调递减，在上单调递增，
且，
故整数的最大值为.
22.（12分）
（1）依题意，，，
过作轴，由几何关系知，
所以
因为，
化简得，得椭圆.
（2）①当时，恒成立；
当时，由题意知直线OP的方程为，
联立方程组，解得，即点的横坐标为，
再联立方程组，整理得，
设，，则且，
因为点是的中点，可得，即，
该式对任意且恒成立，所以，
综上可得，实数的值为.
高三数学试题卷
说明：本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分.
考试时间120分钟，本次考试不得使用计算器，请考生将所有题目都做在答题卡上.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，集合，则（ ）
A. B.
C. D.
2.已知复数满足（为虚数单位），则（ ）
A. B.2 C.1 D.
3.已知非零向量，满足，且，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
4.已知点，在直线：上运动，且，点在圆上，则的面积的最大值为（ ）
A. B.5 C.2 D.1
5.命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
6.将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象.若在上恰有三个不同的零点，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
7.人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为制定一系列相关政策提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯（T.R.Malthus，1766—1834）就提出了人口增长模型.已知1650年世界人口为5亿，当时这段时间的人口的年增长率为0.3%.根据模型预测________年世界人口是1650年的2倍.（参考数据：，）
A.1878 B.1881 C.1891 D.1993
8.已知为双曲线：的一个焦点，C上的A，B两点关于原点对称，且，
，则C的离心率是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列结论正确的有（ ）
A.相关系数越接近1，变量，相关性越强
B.若随机变量，满足，则
C.相关指数越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差
D.设随机变量服从二项分布，则
10.设函数的定义域为，且满足，，当时，，则（ ）
A.是奇函数
B.
C.的最小值是
D.方程在区间内恰有1012个实数解
11.在棱长为2的正方体中，Q为线段的中点，P为线段上的动点（含端点），则下列结论正确的有
A.P为中点时，的值最小
B.不存在点P，使得平面平面
C.P与端点C重合时，三棱锥的外接球半径为
D.P为中点时，过D，P，Q三点的平面截正方体所得的截面的周长为
12.已知O为坐标原点，F为抛物线：的焦点，过点F且倾斜角为的直线交C于A、B两点（其中点A在第一象限），过线段的中点P作垂直于抛物线准线的直线，与准线交于点N，则下列说法正确的是（ ）
A.C的准线方程为 B.
C.三角形的面积 D.
第II卷（非选择题 共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知随机变量，且，则的展开式中常数项为__________.
14.已知函数的图象在处的切线方程为，则__________.
15.已知，求__________.
16.已知高为2的圆锥内接于球O，球O的体积为，设圆锥顶点为P，平面为经过圆锥顶点的平面，且与直线所成角为，设平面截球O和圆锥所得的截面面积分别为，，则__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）
在中，，.
（1）求A；
（2）已知M为直线上一点，，，求的面积.
18.（12分）
已知数列满足，，，
（1）令，求证：数列为等比数列；
（2）若，求数列的前项和.
19.（12分）
如图所示，在多面体中，四边形是边长为的正方形，其对角线的交点为，平面，，，点P是棱上的任意一点.
（1）求证：；
（2）求直线和平面所成角的正弦值.
20.（12分）
杭州亚运会男子乒乓球团体赛采用世界乒乓球男子团体锦标赛（斯韦思林杯）的比赛方法，即每队派出三名队员参赛，采用五场三胜制.比赛之前，双方队长应抽签决定A、B、C和X、Y、Z的选择，并向裁判提交每个运动员分配到一个字母的队伍名单。现行的比赛顺序是第一场A对X；第二场B对Y；第三场C对Z；第四场A对Y；第五场B对X.每场比赛为三局两胜制.当一个队已经赢得三场个人比赛时，该次比赛应结束。
已知在某次团队赛中，甲队A、B、C三位选手在每场比赛中获胜的概率均为如下表所示，且每场比赛之间相互独立
场次 第一场 第二场 第三场 第四场 第五场
获胜概率
（1）求最多比赛四场结束且甲队获胜的概率；
（2）由于赛场氛围紧张，在教练点拨、自我反思和心理调控等因素影响下，从第二场开始，每场比赛获胜的概率会发生改变，改变规律为：若前一场获胜，则该场获胜的概率比原先获胜的概率增加0.2；若前一场失利，则该场获胜的概率比原先获胜的概率减少0.2.求已知A第一场获胜的条件下甲队最终以3：1赢得比赛的概率.
21.（12分）
已知函数，.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若在内恒成立，求整数的最大值.
22.（12分）
在平面直角坐标系中，，是椭圆：的左、右焦点，是C的左顶点，过点A且斜率为的直线交直线上一点M，已知为等腰三角形，.
（1）求C的方程；
（2）在直线上任取一点，直线：与直线交于点Q，与椭圆C交于D，E两点，若对任意，恒成立，求m的值.
余姚市2023学年第一学期高中期末试卷
高三数学参考答案及评分标准
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C A B D A B D
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
题号 9 10 11 12
答案 ACD AB BCD BD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 14.1 15.8 16.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
备注：解答题多种解法的，其他解法对应标准答案给分
17.（10分）
（1）在中，，，则，
∵，
即，
又，则；
（2）因为，，所以，所以，
在中，
解得（负值舍去），
所以.
18.（12分）
（1）∵，
∴数列是以首项为，公比为等比数列；
（2）由（1）可知：，
∴①
②
故①-②
19.（12分）
（1）证明：因为，所以四点共面.
因为平面，平面，
所以，
因为四边形ABCD是正方形，所以，
又，平面，平面，
所以平面，而平面，
所以.
（2）由题意，，，互相垂直，
以为原点，以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，.
则，，，
设平面的法向量为，
所以由，得，
令，可得，
设直线和平面所成角为，
则，
所以直线CN和平面AMN所成角的正弦值为.
20.（12分）
（1）设事件表示甲队第场比赛获胜
（2）设事件表示第一场甲获胜，事件A表示甲以3：1获胜，则
所以A第一场获胜的条件下甲队最终以3：1赢得比赛的概率为
21.（12分）
（1）当时，，，
令，解得：；令，解得：；
所以在上单调递减，在上单调递增.
（2）由可得：，
记，，
①若，即，，则在上单调递增，又时，
，不合题意；
②若，即，令，则，令，则，
则在上单调递减，在上单调递增，
，
令，
，
则令，解得：，令，解得：；
所以在上单调递减，在上单调递增，
且，
故整数的最大值为.
22.（12分）
（1）依题意，，，
过作轴，由几何关系知，
所以
因为，
化简得，得椭圆.
（2）①当时，恒成立；
当时，由题意知直线OP的方程为，
联立方程组，解得，即点的横坐标为，
再联立方程组，整理得，
设，，则且，
因为点是的中点，可得，即，
该式对任意且恒成立，所以，
综上可得，实数的值为.
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