江苏省南通市2023-2024学年高二上学期期末质量检测数学试题（扫描版含答案）

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一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C B C B D B A
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
题号 9 10 11 12
答案 BCD ACD BC ABD
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
2 2 2
13． y y( 2，2) 14． x 1或 x2 1
4 16 4
15． 144 16． 12 4 2
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程戓演算步骤。
17. （10 分）
【解】（1）设 an 的公差为 d ，
a1 d 5， 由条件，得 …… 2 分
4(a1 4d ) a1 8d ，
解得 a1 8，d 3． …… 3 分
m(m 1)
由 S 8m ( 3) 3 m2 19m m 0， 2 2 2
解得m 0或m 19 ．
3
因为m N ，所以m 的最小值为 7． …… 5 分
（2）设 an 的公比为 q，
a6 a由条件，得 q 4 12 2 ．
a5 a3 6
将 q 2代入 a a a (q4 2 15 3 1 q ) 6，得 a1 ． …… 7 分 2
高二数学参考答案 第 1 页 （共 6 页）
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1 (1 2n )
所以 S 2 2n 1 1 ， a 2n 2n ， 1 2 2 n
Sn
1
所以 2 =2． ……10 分
an
18. （12 分）

（1）【证】在正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，以 AD，AB，AA1 z
A1 B
1为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系． E
D1
因为 AB 2，AA1 3，则 A(0，0，0) ,
C1
C(2，2，0)，E(1，0，3)，F (0，1，0) ， …… 2 分

所以 AC (2，2，0)，EF ( 1，1， 3) ．…… 4 分 A B
F y

因为 AC EF 2 ( 1) 2 1 0 ( 3) 0 ， D C
x

所以 AC EF ，即 AC EF ． …… 6 分

（2）【解】由C1(2，2，3)，得 EC1 (1，2，0)．
设平面C1EF 的法向量 n (x，y，z) ，

n EC1 ， n EC 由 即 1
x 2y 0，

n EF ， n EF x y 3z 0，
令 y 1，得 x 2 ， z 1，即 n (2， 1， 1) ． …… 9 分
设直线 AC 与平面C1EF 所成角的大小为 ，

则 sin cos AC，n 2 3 ，
2 2 6 6
即直线 AC 与平面C1EF 所成角的正弦值为
3 ． ……12 分
6
19．（12 分）
【解】（1）因为抛物线C 的焦点为 F (2，0)，
p所以 2，即 p 4 ，
2
高二数学参考答案 第 2 页 （共 6 页）
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所以C 的方程为 y2 8x． …… 2 分
设直线 l 的方程为 y k(x 2) ，
y k(x 2)，
由 消 y 得 k
2x2 (4k 2 8)x 4k 2 0，
y
2 8x，
设M x1 ，y1 ，N x2 ，y2 ，则 x1x2 4 ． …… 4 分
又 (y y 21 2 ) 8x1 8x2 256 ， y1 y2 0 ，所以 y1 y2 16，

所以OM ON x1x2 y1 y2 4 ( 16) 12 ． …… 6 分
（2）因为 MF ，MP ，NF 成等差数列，
所以0 x1 2 x2 ，且 2(x1 2) (x2 2) (2 x1) ，
即3x1 x2 4 ． …… 8 分
又 x x 4 ，解得 x 21 2 1 ，x2 6 ， ……10 分 3
2
由 x x 4k 8 20 21 2 ，解得 k 3． k 2 3
所以 NP 1 k 2 x2 2 16． ……12 分
20. （12 分）
【解】（1）以 AB，AD，AP 为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系．
因为 BC 2， AP AB AD 1，
所以 B(1，0，0)，P(0，0，1)，D(0，1，0)，C(1，2，0) ，

则 PB (1，0， 1)，PD (0，1， 1)，DC (1，1，0)． E
设平面 PBD 的法向量n1 (x1 ，y1 ，z1)，

n1 PB， n1 PB x z 0，由 即 1 1 取n1 (1，1，1)． …… 2 分
n1 PD， n1 PD y1 z1 0，
设平面 PCD 的法向量n2 (x2 ，y2 ，z2 ) ，
高二数学参考答案 第 3 页 （共 6 页）
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n PD， n PD y z 0，
由 2 即 2 2 2 取n1 (1， 1， 1) ． …… 4 分
n2 DC， n2 DC x2 y2 0，
设二面角 B PD C 的大小为 ，则
cos cos n1 ，n2
1 1 ，
3 3 3
所以 sin 2 2 ． …… 6 分
3

（2）设 PE PC ( ，2 ， )（ 0 ≤1），则

BE PE PB ( 1，2 ， 1) ．
因为异面直线 PD与 BE 所成角的大小为60 ，
2 ( 1)
所以 cos60 cos PD，BE 1 ，
2 2( 1)2 4 2 2
解得 2 ． …… 9 分
3

此时 PE (2，4， 2) ，
3 3 3

PE n 41
所以点E 到平面 PBD 的距离 d 3 4 3 ． ……12 分
n1 3 9
21.（12 分）
【解】（1）由 an 1 2an 1，得 an 1 1 2(an 1) ． …… 1 分
因为 a1 1，所以 an 1 0，
an 1 1 所以 2，
an 1
所以 an 1 是首项为 2，公比为 2 的等比数列．
所以 a n nn 1 2 ，即 an 2 1． …… 3 分
由 4Sn (2n 1)bn 1，①
得 4Sn 1 (2n 1)bn 1 1，②
①－②，得 4bn (2n 1)bn (2n 1)bn 1 （ n≥ 2 ），
高二数学参考答案 第 4 页 （共 6 页）
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即 (2n 3)bn (2n 1)bn 1（ n≥ 2 ），
b b
即 n n 1 （ n≥ 2 ）． …… 5 分
2n 1 2n 3
b b b
当 n 1时，b1 1，b2 3，所以
n n 1 2 1，
2n 1 2n 3 2
所以bn 2n 1（ n≥ 2 ），
因为b1 1符合上式，所以bn 2n 1（ n N
）． …… 7 分
（2）由（1）知， c nn 2 (2n 1) ．
所以Tn c1 c2 c3 cn
3 21+5 22 +7 23 + +(2n 1) 2n ，③ …… 9 分
所以 2Tn 3 2
2 +5 23 +7 24 + +(2n 1) 2n +(2n 1) 2n+1 ，④
③－④，得 T 6 2(22 +23 +24 + +2nn ) (2n 1) 2
n+1 ，
n 1
8(1 2 )6 (2n 1) 2n+1 2 (1 2n) 2n+1，
1 2
所以Tn (2n 1)2
n 1 2． ……12 分
22.（12 分）
（1）【证】由题意， F1( 1，0)，F2 (1，0)．
设直线 l 的方程为 y k(x 1) ，
y k(x 1)，
由 2 2 2 x2 消 y 得 (2k 1) 4k x 2k 2 0．
y
2 1，
2
设 A x1 ，y1 ，B x2 ，y2 ，
2 2
则 x1 x
4k
2 ，x x
2k 2
1 2 ． …… 2 分 2k 2 1 2k 2 1
要证 OMA OMB ．
即证直线MA，MB的斜率之和 kMA kMB 0 ．
y1 y2 2kx1x2 3k(x1 x ) 4k 因为 k 2MA kMB ， x1 2 x2 2 (x1 2)(x2 2)
高二数学参考答案 第 5 页 （共 6 页）
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3 3 3
而 2kx1x 3k(x x
4k 4k 12k 8k 4k
2 1 2 ) 4k 0 ， 2k 2 1
所以 kMA kMB 0 得证，
所以MA，MB的倾斜角互补，即 OMA OMB ． …… 4 分
（2）【解】由（1）及椭圆的对称性可知，直线 AB 经过点 M (2，0)．
设直线 AB 的方程为 y m(x 2) ，
y m(x 2)，
由 x2 消 y 得 (2m
2 1) 8m2 x 8m2 2 0．
y
2 1，
2
设 A x1 ，y1 ，B x3 ，y3 ，
2
x1 x
8m
3
，
2m
2 1
则 且 64m4 4 (2m2 1)(8m
2 2) 0，即0 m2 1 ．
2
2x1x
8m 2
3 ， 2m2 1
所以 x1 x3 (x1 x
2
3 ) 4x1x3
4 2
64m 4 (8m 2) 2 2 1 2m
2
，
(2m2 1)2 2m2 1 2m2 1
2 2 (1 m2 )(1 2m2 )
所以 AB ． …… 7 分
2m2 1
3 k
又点 F1 到直线 AB 的距离为 ，
1 m2
2 2 (1 m2 )(1 2m2 ) 3 k
所以△F1B A的面积 S
1
2 2m2 1 1 m2
3 2 m2 (1 2m2 )
． ……10 分
2m2 1
2
设 t 2m2 1，则 t (1，2) ，且 S 3 t 3t 2 3 2(1 3)2 12 ． t t 4 8
当1 3 ，即m 6 时，△F1B A面积的最大值为
3 2 ． ……12 分
t 4 6 4
注：过程中没有参数范围，扣 1 分．
高二数学参考答案 第 6 页 （共 6 页）
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