2023~2024学年怀仁一中高一年级上学期期末考试
数学试题答案
1.A [∵U={0,1,2,3,4},A={0,2,3},∴ UA={1,4}.]
2.A [当a>2时,a-2>0,y=logax 是增函数,则y=(a-2)logax 是增函数;当y=(a-2)logax 是增函数
时,a>2或0
2”是“函数y=(a-2)logax 是增函数”的充分不必要条件.]
3.C [sin1095°cos45°+sin105°sin135°=sin(1080°+15°)cos45°+sin(90°+15°)sin(180°-45°)
3
=sin15°cos45°+cos15°sin45°=sin(15°+45°)=sin60°=2.
]
(-x)2+1 x2+1
4.A [因为函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),f(-x)= 3-x x
= -x x=-f(x),所以f(x)为奇-3 3 -3
函数,图象关于原点对称,排除C,D;又当x>0时,3x>3-x,所以f(x)>0,排除B.]
[ cos
2α+2sinαcosα
5.B 在直线2x+y=0上取点(a,-2a)(a≠0),则tanα=-2,故cos2α+sin2α= cos2α+sin2α
1+2tanα 1+2×(-2) 3
= = ]
1+tan2α 1+(-2)2
=-5.
5
6.B [由42<6,得a=log26>log242= ,由2 9<12<93
,得log395
即2]
π 1 π π
7.D [因为A︵B 的长度为 ,所以AB=1,S扇形ABC= × ×12= ,3 2 3 6
π 1 2 π- 3
所以勒洛三角形的面积是3S扇形ABC-2S△ABC=3×6-2×2×1× 1- 12 = ]2 .
ax2+bx ax2-bx ax2+bx
8.B [因为f(x)= 2 的定义域为R,且为偶函数,所以f(-x)=f(x),即 = ,x +1 x2+1 x2+1
2 2
即b=0,所以f()
ax a 1 x
x = 2 .又因为f(1)=2=
,即
2 a=1
,所以 (x)= .
x +1 f x2+1
1
x2 x2 x2 1
因为 1f(x)+f x = + = + =1,x2+1 1 x2+1 1+x2
x2
+1
所以f 1 2024 + 1f 2023
+…+ 1f 2 +f(1)+f(2)+…+f(2024)
1 1 = f 2024 +f(2024)+ + (2023) +…+ 1 f 2023 f f 2 +f(2) +f(1)
1 4047
=2023+ ]2= 2 .
9.ACD [∵不等式ax2-bx+c<0的解集是{x|-21,
b c
∴a=-2+1=-1
,
a=-2×1=-2
,且a>0,故a+b=0,c=-2a,且a>0,则c<0,b<0,故A正确;
a-b+c=a+a-2a=0,故B错误;a+b+c=c<0,故C正确;ax2+bx+c<0,即ax2-ax-2a<0,即
x2-x-2=(x+1)(x-2)<0,解集是(-1,2),故D正确.]
10.AC [对于A项,因为2log1a+log3b=loga-23 +log3b=log(a-23 b)=0(a>0,b>0),所以a-2b=1,即b
3
=a2,故A项正确;对于B项,a·elna=a·a=a2=b,故B项错误;对于C项,log(ab)=loga38 23 =log2a,故
C项正确;
2
对于D项,2b=2a ,又(2a)2=22a,所以(2a)2=2b 不一定成立,故D项错误.]
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11.AC [对于A,由于 π =4sin π πf - - + =0,所以y=f(x)的图象关于点 π- ,0 对称,故 正确;6 3 3 6 A
对于B, π π π
π
f ≠ ,故直线 不是 ()的对称轴,故 错误;6 =4sin 3+3 ±4 x=6 y=f x B
对于C,由x∈ π,π , π得2x+ ∈ π,π ,故 π π12 3 3 2 y=f(x)在区间 , 上单调递减,故12 3 C正确;
π
对于D,f(ωx)=4sin π2ωx+ ,由x∈ ,π0 ,且3 3 ω>0,得2ωx+ ∈ π,2π π 3 3 3ω+ ,3
要使y=f(ωx)(ω>0)在区间 0,
π 2π π 5上恰有两个零点,则
3 2π≤3ω+ <3π
,解得
3 2≤ω<4
,故D错误.]
π π
12.ABD [因为α,β为锐角,所以0<α< ,0<β< ,2 2 0<α+β<π
,0<2α<π,
因为cos(
5 π 25
α+β)=-5<0
,所以
2<α+β<π
,所以sin(α+β)= 1-cos2(α+β)= ,5
4 π 3
因为cos2α=-5<0
,所以 <2α<π,则2 sin2α= 1-cos
22α= ,A选项正确;5
cos(α-β)=cos[2a-(α+β)] (
3 25 25
=cos2αcosα+β)+sin2αsin(α+β)= 4-5 × 5- + × ,5 5 5 = 5
B选项正确;
25
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ= ,5
cos(α+β)
5
=cosαcosβ-sinαsinβ=- ,5
5
两式相加并化简得cosαcosβ= ,C选项错误;10
35
35 sinαsin 10
两式相减并化简得sinαsinβ= ,所以10 tanαtanβ=
β
, 选项正确 ]
cosαcos = =3D .β 5
10
13.12
x-4 y, 8 8 8 8解析 由3 =9 可得x=2y+4,则x+ =2y+4+ =2y+ +4≥2 2y· +4=12,y y y y
当且仅当y=2,x=8时,等号成立.
14.(0,1)∪(1,2023]
解析 因为函数f(x)的定义域是[1,2024],
1≤x+1≤2024,( ) ( )
所以对于g(x)
x+1 x+1
=f 有 , 解得 且 ≠ ,故函数 fl x x>0 0(x)= 的定义
lgx
lgx≠0,
域是(0,1)∪(1,2023].
15.4
解析 由x-3=0,得x=3,所以定点P 的坐标为(3,9),设g(x)=xα,则g(3)=3α=9,解得α=2,所以
g(x)=x2,所以g(-2)=(-2)2=4.
16.2 506
() πx解析 ∵g x =asin 是“2等值函数”,∴g(2x)=g(4 x
)·g(x+2)对x∈R恒成立,
πx πx π(x+2) πx πx πx
∴asin2=asin
·
4 asin
,
4 ∴asin =asin
·
2 4 acos
,
4
πx a2 πx πx a2
∴asin = sin ,∵sin 不恒为0,∴a= ,又∵a>0,2 2 2 2 2 ∴a=2.
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() πx∴g x =2sin ,g(x)的最小正周期为8,把[0,8]视为第一个周期,4
则区间[0,2024]包含253个周期,如图,
故函数y=g(x)-1在区间[0,2024]上共有253×2=506(个)零点.
17.解 (1)根据题意,命题p: x∈R,不等式x2+4x+9-m>0恒成立,
若命题p 为真命题,则Δ=16-4(9-m)<0,解得m<5,
故实数m 的取值范围为(-∞,5).…………………………………………………………………………… 3分
(2)根据题意,命题q: x∈R,使x2-2mx+1<0成立,则Δ=4m2-4>0,即m2>1,
∴m>1或m<-1,…………………………………………………………………………………………… 6分
又命题p,q中恰有一个为真命题,则命题p,q一真一假,
, m<5,①当p 真q假时 解得, -1≤m≤1;-1≤m≤1
m≥5,②当p 假q真时, 解得m≥5.m>1或m<-1,
综上,实数m 的取值范围为[-1,1]∪[5,+∞). ………………………………………………………… 10分
1 1 1 1-3x
18.(1)证明 g(x)=f(x)- ,且 ()的定义域为 ,………………………… 分2= - = x R 23x+1 2 2(3x+1) g
1-3-x (1-3-x)·3x 3x-1
因为g(-x)=2(3-x
=
+1) 2(3-x
(),
+1)·3x
= =- x
2(1+3x) g
所以函数g(x)是奇函数. …………………………………………………………………………………… 5分
() 1 12 解 由于f(x)= x 为减函数,故 (x)= (x)- 也为减函数,3 +1 g f 2
因此g(x)是奇函数且是减函数, …………………………………………………………………………… 8分
由不等式g(x2-2x)+g(2x2-1)<0,得g(x2-2x)<-g(2x2-1)=g(1-2x2),
所以x2-2x>1-2x2,解得不等式的解集为 x 1x<- 或3 x>1 .…………………………………… 12分
19.解 (1)由题可知,θ∈ 0,π3 ,
在Rt△MOC 中,OM=15cosθ,CM=15sinθ,
∴BN=CM=15sinθ,………………………………………………………………………………………… 2分
, BN 15sinθ
在Rt△BON 中 ON= ,tan∠BON= =53sinθ3
∴MN=OM-ON=15cosθ-53sinθ,…………………………………………………………………… 5分
∴S=2·BN·MN=2×15sinθ×(15cosθ-53sinθ)
=1503× 3 1 2sin2θ+2cos2θ -753
=1503sin π2θ+6 -753,θ∈ ,π0 .……………………………………………………………………3 8分
(2)∵θ∈ 0,π , π∴2θ+ ∈ π,5π3 6 6 6 .
π π π
∴当2θ+ = ,即θ= 时,6 2 6 S
2
max=753m ,
π
故当θ= 时,矩形ABCD 的面积最大,最大面积为6 753m
2. ………………………………………… 12分
20.解 (1)函数f(x)=ax2+bx-2a(a≠0)是“倒戈函数”,理由如下:
由f(-x0)=-f(x0),得a(-x )20 +b(-x )-2a=-(ax20 0+bx0-2a),……………………………… 2分
化简得2a(x20-2)=0,解得x0=± 2,……………………………………………………………………… 4分
所以存在实数x0=± 2满足f(-x0)=-f(x0),
故函数f(x)=ax2+bx-2a(a≠0)是“倒戈函数”.………………………………………………………… 5分
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(2)因为f(x)=log2(x+2)-2t+1是定义在[- 2,2]上的“倒戈函数”,
所以关于x 的方程f(-x)=-f(x)在[- 2,2]上有解,
即log2(-x+2)-2t+1=-log2(x+2)+2t-1在[- 2,2]上有解,
等价于2(2t-1)=log 22[(-x+2)(x+2)]=log2(4-x ),x∈[- 2,2]有解,………………………… 8分
又因为2≤4-x2≤4,所以1≤log2(4-x2)≤2,
3
所以1≤2(2t-1)≤2,解得 ≤t≤1,所以实数t的取值范围为 3,1 . ……………………………… 12分4 4
2π
21.解 (1)由图知,T=π,则ω= =2. ………………………………………………………………………π 1
分
π
由图可得, π π πf(x)在x= 处取最大值,又因为函数图象经过点 , ,故 ,6 -120 f -12 =Asin -6+φ =0
π π π π
所以-6+φ=2kπ
,k∈Z,故φ= +2kπ,6 k∈Z
,又因为|φ|< ,所以2 φ=
,…………………………
6 3
分
π
又函数经过点(0,1),故f(0)=Asin ,解得6=1 A=2.
所以函数f(x)的解析式为 (x)=2sin πf 2x+ .………………………………………………………… 分6 4
(2)由题意得,(x)=2sin 2 π πg x- + 6 =2sin π2x- ,……………………………………………… 5分 4 3
因为x∈ ,π0 ,
π
所以2x- ∈ π,2π ,
2 3 -3 3
则sin π2x-3 ∈ 3 π- ,2 1 ,所以2sin 2x-3 ∈ - 3,2 ,
所以 = (x)在区间 ,πy g 0 上的值域为[2 - 3
,2].………………………………………………………… 8分
() () π , () π 2, π 13 因为f x =2sin2x+ 所以6 fα =2sin2α+6 = 即3 sin2α+ = ,………………… 分6 3 9
又因为α∈ ,π , π 1 1 π0 所以2 2α+ ∈ π,7π ,由6 6 6 01 22
所以cos π2α+6 =- 1-9=- , ………………………………………………………………… 分3 11
42
所以f πα-4 =2sin 2 πα- π+ 6 =-2cos π2α+ = . ……………………………………… 12分 4 6 3
22.解 (1)在[1,2]上任取x1,x2,且x10,x1x2>0,
(x2-x1)(x1x2+4)
所以f(x2)-f(x1)= 4x2-x - 4x1- = >0,2 x1 x1x2
( 4
即f x2)>f(x1),所以f(x)=x- 在[1,2]上单调递增,……………………………………………… 分x 3
故当x=1时,f(x)取得最小值-3,当x=2时,f(x)取得最大值0,
所以函数f(x)的值域为[-3,0].…………………………………………………………………………… 5分
2
(2)F(
16
x)=x2+ 2-2ax 4x-x = 4x-x -2a 4x- +8,x∈[1,2],x
4
令x-x=t
,h(t)=t2-2at+8=(t-a)2+8-a2,t∈[-3,0].………………………………………… 7分
①当a≤-3时,h(t)在[-3,0]上单调递增,故g(a)=h(-3)=6a+17;
②当a≥0时,h(t)在[-3,0]上单调递减,故g(a)=h(0)=8;
③当-3 6a+17,a≤-3,
综上所述,g(a)= 8-a2,-3 8,a≥0.
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