2023~2024学年怀仁一中高二年级上学期期末考试
数学试题答案
1.B [等差数列{an}中,a1+a8=2,a2+a9=a1+d+a8+d=8,解得d=3.]
1 1 1 1 1
2.C [由题意得an+1=1- ,则由a a1=2
可得a2=1- = ,a 2 a3=1-a =-1
,a4=1-a =2
,故数列{an}
n 1 2 3
的一个周期为3,
1
从而a 2024=a2= ]2.
3.A [设C 的左、右焦点分别为F1,F2,则|PF1|=9.因为a=3,c= 9+40=7,所以|PF1|
点P 在左支上,所以|PF2|-|PF1|=2a=6,故|PF2|=15.]
4.C [由题知c=-(a+b),则c2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=4+2×2×3×cos+9=7,
1 2π
所以cos=- ,又<,> [,],可得<,> ,即<,> ]2 ab ∈ 0π ab =3 ab =120°.
5.A [如图,设点B 与点M(2,3)关于y 轴对称,则点B 的坐标为(-2,3),反射光线所在
直线经过点B,且与圆C:(x-3)2+(y+2)2=1相切,设反射光线所在直线的斜率为k,
则反射光线所在直线的方程为y-3=k(x+2),即kx-y+2k+3=0,
圆(x-3)2+(y+2)2=1的圆心为C(3,-2),半径r=1,则由圆心C(3,-2)到反射光
, |5k+5|线所在直线的距离等于半径 可得 =1,
1+k2
4 3
即12k2+25k+12=0,解得k=- 或3 k=-4.
]
6.A [设点F 关于折痕l的对称点为A,则A 在圆周上,折痕l为线段AF 的垂直平分
线,折痕l与AC 相交于点P,如图所示,则有|PA|=|PF|,可知|PF|+|PC|=|PA|
+|PC|=|AC|=4>|FC|=2,所以点P 的轨迹是以F,C 为左、右焦点的椭圆,其中
x2 2
长轴2a=4,焦距2c=2,所以点P 的轨迹方程为 +y =1,即折痕围成轮廓的圆锥曲4 3
x2
线的方程为 +y
2
=1.]4 3
n·AB→=2y-3z=0,
7.D [设平面ABC 的法向量为n=(x,y,z),则 → 令z=2,则y=3,x=- 3,则平面n·AC=2x+ 3z=0,
( |AA
→·n| |43|
ABC 的一个法向量为n= - 3,3,2), 1点A1 到平面ABC 的距离d= ,点 到|n| = 4 = 3 C AB
→ A→ →
2
的距离h= AC2- C ·AB 27 8 13= 7- = ,且|AB→ , 1所以 的面积→ 13 13 |= 13 △ABC S=2× 13×|AB|
8 13
=4,则三棱柱的体积13 V=4× 3=43.
]
(11 ) (5 ) (8 )
8.C [由S5,S11,
a q -1 a q -1 a q -1
S8 成等差数列可得2S11=S5+S8,显然q≠1,即2×
1 1 1 ,
q-1
=
q-1
+
q-1
解得q3
1
=- 或q3=1(舍去).因为2(a +a )=a ,即2(aq7 108 11 k 1 +a1q )=aqk-11 ,所以2 2q
[(q3)2+(q3)3]=
k-1,则2 1 1q q - =qk-1, 1所以 =qk-2,即q6=qk-2,故4 8 4 k=8.]
9.AD [因为S 2022S2024,所以S2023-S2022=a2023>0,S2024-S2023=a2024<0,则等差数列
{an}的公差d=a 2024-a2023<0,则在数列{an}中,a1 最大,故A正确,B错误;因为a2024<0,故C错误;因为
a 2024<0,d<0,所以当n≥2024时,an<0,故D正确.]
10.ACD [对于A项,因为A(1,0,0),B(1,2,-2),C(0,0,-2),O→C=(0,0,-2),AB→=(0,2,-2),所以
→
→ ·
→
OC·AB→=(-2)×(-2)=4,故 A正确; ,
|OC AB|
对于B项 设OC 与AB 所成的角为θ,则cosθ= → =|OC||AB→|
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4 2
= ,且θ∈ π0, , π所以θ= ,故B不正确;对于 项,点 关于 轴的对称点与点 的横坐标相2×22 2 2 4 C B x B
同,纵坐标和竖坐标互为相反数,故C正确;对于D项,OB→=(1,2,-2),设直线OB 与平面AOC 所成的角为
→
·
α,
|OB n| |2| 2
则sinα= → = ,故 正确 ]|OB||n| 3×1
=3 D .
11.ABD [由题意得c1=500,并且cn+1=1.2cn-60,故B正确;则c2=1.2c1-60=1.2×500-60=540,故A
正确;设cn+1-x=1.2(cn-x),则cn+1=1.2cn-0.2x,则0.2x=60,则x=300,
∴cn+1-300=1.2(cn-300),即数列{cn-300}是首项为c1-300=200,公比为1.2的等比数列,则cn-300
=200×1.2n-1,则cn=300+200×1.2n-1,令c =300+200×1.2n-1>1000,则1.2n-1n >3.5,∵1.26≈
2.9860,1.27≈3.5832,∴n-1≥7,则n≥8,故2031年年初存栏数首次突破1000,故C错误;S10=c1+c2
… 1-1.2
10
+c3+ +c10=300×10+200×1-1.2=3000+1000×
(1.210-1)≈3000+1000×(6.1917-1)≈
8192,故D正确.]
12.BD [因为 MF→ → →1·MF2=0,且|MF1|=|MF
→
2|,所以△MF1F2 为等腰直角三角形.设
2 2
椭圆的半焦距为c,则c=b= ,所以 ,则 在 中,2a e1=2 a= 2c. △PF1F2 ∠F1PF2=
π m2 +n
2-mn=4c2,
,设|PF1|=m,|PF2|=n,双曲线3 C2
的实半轴长为a2,则 (在
m+n=2a=22c
4 8c2
△F1PF2 中,由余弦定理可得),故mn= c2,故(m-n)23 =m
2+n2-mn-mn= ,又3 |m-n|=2a2
,所以
2c22 , 6,ea 22= 即e2= 故 = 3,
3
e1e2= ,3 2 e 2 e
2
1+e2=2,e2-e22 2 1=1.]
1
1 1
13.-2a+2b+c
1
解析 由已知可得,M 为A → → →1C1 与B1D1 的中点,所以A1M= (2 A1B1+A1D1
).
→ → → 1所以BM=BA+AA1+A1M
→=-AB→+AA→ → →1+ (2 A1B1+A1D1
)
1 1 1 1 1 1
=-AB→+AA→1+2AB
→+2AD
→=- AB→2 +
→
2AD+AA
→
1=-2a+2b+c.
14.40
解析 设正项等比数列{an}的公比为q,则q>0,an>0,因为S30=13S10,S30+S10=140,所以q≠1,
S 210=10,S30=130,又由{an}是等比数列,所以S10,S20-S10,S30-S20 成等比数列,所以(S20-S10)=S10
(S 2 230-S20),即(S20-10)=10(130-S20),故S20-10S20-1200=0,解得S20=40或S20=-30,又S20>0,
所以S20=40.
15.2
解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),因为AB 中点的横坐标为2,则x1+x2=4,可得y1+y2=k(x1+x2)-4=
y2
k , 1=8x1, ( )( ) ( ), y2-y4 -4 1 8又由 两式相减得 可得 , 8可得 ,y22=8x2, y2-y1 y1+y2 =8x2-x1 x2-x =1 y1+ k=y2 4k-4
, =kx-2
,
解得k=-1或k=2 联立 y 整理得k2x2 (2 , - 4k+8)x+4=0,由Δ=(4k+8)2-16k2=64k+64>y =8x
0,解得k>-1,所以k=2.
n(n-1)
16. 2 +3
解析 数列{an}中,由3,4,6,9,13,18,24,…后项减前项,得1,2,3,4,5,6,…,
因此当n≥2时,an-an-1=n-1,an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=(n-1)+(n-2)
( )·( ) ( )
+…
n-1+1 n-1 nn-1
+1+3= +3= +3,而a1=3满足上式,所以该数列的通项公式为2 2 an=
n(n-1)
2 +3.
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17.解 (1)
-1+3
线段AB 的中点为(1,-2),直线AB 的斜率为 2 =1
,
所以线段AB 的垂直平分线为y+2=-(x-1),即y=-x-1,………………………………………… 2分
y=-2x, x=1,由 解得y=-x-1, y=-2,
所以圆心为C(1,-2),半径为|AC|= 1+(-2+3)2= 2,
所以圆C 的方程为(x-1)2+(y+2)2=2. ………………………………………………………………… 5分
(2)当直线l2 的斜率不存在时,
x=0,由 得 或 ,( y=-1x y=-3-1)2+(y+2)2=2,
即直线x=0与圆C 相交所得弦长为-1-(-3)=2,符合题意;………………………………………… 7分
当直线l2 的斜率存在时,设直线l2 的方程为y=kx+2,即kx-y+2=0,
|k+2+2| 15
由圆心C 到l2 的距离为 2-12=1,得 =1,解得k=- ,
1+k2 8
15
所以y=-8x+2
,即15x+8y-16=0,
综上所述,直线l2 的方程为x=0或15x+8y-16=0. ………………………………………………… 10分
18.证明 (1)∵2nSn+1-2(n+1)Sn=n(n+1),
S
∴ n+1
S 1
n+1-
n
n =
,
2
∴数列 Sn 1是以1为首项, 为公差的等差数列, …………………………………………………………2 2分n
Sn ( ) 1 n+1 n
(n+1)
∴n =1+ n-1 × =
,则
2 2 Sn=
,
2
∴当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n,…………………………………………………………………………… 4分
当n=1时,也满足上式,∴an=n.…………………………………………………………………………… 5分
(
() 9b2 1
+b9)
由题意知 , ,
2 =9b5=63 ∴b5=7
∴ { }
b5-bb d= 3等差数列 n 的公差 2 =1
,b1=b3-2d=3,
∴bn=n+2,…………………………………………………………………………………………………… 7分
1 1 1
∴cn=ab =
1 1 ,
n n n(n+2)
=2 n-n+2
1
∴T 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n=2 1-3 + 2-4 + 3-5 +…+ n-1-n+1 + n-n+2
1
= 3 1 1- - ,…………………………………………………………………………………… 分2 2 n+1 n+2 11
1 1
∵ ,n+1+n+2>0
3
∴Tn< . …………………………………………………………………………………………………… 分4 12
19.解 (1)抛物线x2=4y 的焦点为(0,1),所以b=1,……………………………………………………… 1分
因为双曲线x2-y2=1的焦点坐标为(- 2,0),(2,0),
所以a2-b2=2,则a2=3,
x2
所以椭圆E 的方程为 +y2=1. …………………………………………………………………………… 分3 4
x2 2
( ,2)设A(x , + =11 y1),B(x2,y
y 2 2
2),联立 3 可得4x +6mx+3m -3=0,y=x+m,
因为直线l:y=x+m 与椭圆E 交于A,B 两点,
所以Δ=36m2-16(3m2-3)>0,解得m2<4,
3m 3m2-3
由根与系数的关系可得x1+x2=- ,x1x2= , ………………………………………………… 7分2 4
高二数学试题答案 第3页,共5页
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2 2
由弦长公式可得|AB|= 2· 3m 3m -3 2- 2 -4· 4 =2 12-3m2,
|m| 2
点O 到直线l的距离d= = |m|,…………………………………………………………………… 9分
2 2
1· · 1 2 2 1 3所以S△ABO=2 d |AB|=2×2|m|×2 12-3m
2= ( 2 )2 ,4× -3m -2 +12≤2
当且仅当m2=2,即m=± 2时取等号,…………………………………………………………………… 11分
3
所以△ABO 面积的最大值为 ,此时直线l的方程为2 y=x± 2.
……………………………………… 12分
20.(1)证明 方法一 连接AD1,由题意知,AE=CD=C1D1=2,AE∥CD,CD∥C1D1,
∴AE∥C1D1,∴四边形AEC1D1 为平行四边形,…………………………………………………………… 2分
∴C1E∥AD1,∵AD1 平面ADD1A1,C1E 平面ADD1A1,
∴C1E∥平面ADD1A1. ……………………………………………………………………………………… 5分
方法二 由题意可得CC1∥DD1,又DD1 平面ADD1A1,CC1 平面ADD1A1,
∴CC1∥平面ADD1A1.
连接CE,∵AE∥CD 且AE=CD,∴四边形ADCE 为平行四边形,则CE∥AD,
又AD 平面ADD1A1,CE 平面ADD1A1,∴CE∥平面ADD1A1.…………………………………… 2分
又CC1∩CE=C 且CC1,CE 平面CC1E,
∴平面ADD1A1∥平面CC1E.
又C1E 平面CC1E,∴C1E∥平面ADD1A1.……………………………………………………………… 5分
(2)解 连接DE,由题意可得△ADE 为等边三角形,故DE=2,
由DD1⊥平 面 ABCD 可 得∠D1ED 为 直 线 D1E 与 平 面 ABCD 所 成 的 角,故
∠D1ED=45°,则DD1=DE=2.
以D 为坐标原点,DC,DD1 所在直线分别为y,z 轴,过点D 且垂直于平面CDD1C1
的直线为x 轴,建立空间直角坐标系,如图所示,
则B1(3,5,2),C1(0,2,2),E(3,1,0),F 3,7,0 ,2 2
则EF→= 3 5 → →- , ,0 ,B1E=(0,-4,-2),C1E=(3,-1,-2).……………………………………… 7分2 2
设平面B1EF 的法向量为n1=(x1,y1,z1),
n ·EF→=0, 3 51 ,
则 即 -2x1+2y1=0n1·B E→1 =0, -4y1-2z1=0,
令y1= 3,得n1=(5,3,-23).
设平面C1EF 的法向量为n2=(x2,y2,z2),
n2·EF
→
=0
, 3 5
则 即 -2x2+2y2=0
,
n2·CE
→
1 =0,
3x2-y2-2z2=0,
令y2= 3,得n2=(5,3,23),…………………………………………………………………………… 10分
< n
·n 16 2
则cosn 1 21,n2>= ,|n1||n2|
=40=5
2
所以平面B1EF 与平面C1EF 所成角的余弦值为 . …………………………………………………… 分5 12
21.解 (1)因为b3-a3,20,a5+b2 既是等差数列,又是等比数列,所以b3-a3=a5+b2=20,
又a1=b1=3,设{an}的公差为d,{bn}的公比为q(q>0),
3q2 -(3+2d)=20,则 ………………………………………………………………………………………( 2分3+4d)+3q=20,
7
=3, q=-
,
2
解得 q 或 (舍去),所以an=2n+1,b nn=3.………………………………………………… 5分d=2 55
d=8
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(2)由(1)可得cn=an·b nn=(2n+1)×3,
所以S =3×31+5×32n +7×33+…+(2n+1)×3n,
3Sn=3×32+5×33+7×34+…+(2n+1)×3n+1,
所以-2S 1n=3×3+2×32+2×33+…+2×3n-(2n+1)×3n+1
2×32(1-3n-1)
=9+ (1-3 - 2n+1
)×3n+1=3n+1-(2n+1)×3n+1=-2n×3n+1,
所以Sn=n×3n+1. …………………………………………………………………………………………… 9分
因为对任意的n∈N*,不等式λSn≥n(an+2)恒成立,
2n+3
即对任意的n∈N*,不等式λ≥ 恒成立,
3n+1
2n+3
令dn= n+1 (n∈N
*),
3
2n+5 2n+3 2n+5-6n-9 -4n-4
则dn+1-dn= n+2 - n+1 = n+2 = n+2 <0,3 3 3 3
2n+3 5
所以dn=3n+1
单调递减,则{dn}的最大值为d1= ,9
5
所以λ≥ ,即实数λ的取值范围为 5,+∞ .…………………………………………………………… 12分9 9
22.解 (1)设双曲线C 的半焦距为c(c>0).
ce=a=2
,
由题意可得 16 36 ,……………………………………………………………………………………… 分2- =1
2
a b2
c2=a2+b2,
解得a=2,b=23,c=4,
x2 2
∴双曲线C 的方程为 -y =1.…………………………………………………………………………… 分4 12 4
(2) 1 1- 为定值,理由如下:|AF2| |BF2|
由(1)知F2(4,0),设直线l:x=my+4,A(x1,y1),B(x2,y2),
x2 y2 ,
联立方程得 4-12=1 消去x,整理可得(3m2-1)y2+24my+36=0,x=my+4,
∴3m2-1≠0,且Δ=144(m2+1)>0,
24m 36
∴y1+y2=- 2 ,y1y2= 2 ,……………………………………………………………………… 7分3m -1 3m -1
∵|AF|22 =(x1-4)2+y2=(m2 21 +1)y1,
∴|AF2|= m2+1|y1|,同理|BF2|= m2+1|y2|.
∵直线l过点F2 且与双曲线C 的左、右两支分别交于A,B 两点,
1
∴A,B 两点在x 轴同侧,∴y1y 2 22>0,此时3m -1>0,即m > .……………………………………… 分3 9
1 1 2 1 1 2∴ |AF2|
-|BF = + -2| |AF|22 |BF|22 |AF2|·|BF2|
1 1 2 1 1 2
=(m2+1)y2
+
1 (m2
- = + -
+1)y2 2 2 2 2 22 (m +1)|y1y2| (m +1)y1 (m +1)y2 (m2+1)y1y2
1 ( )2
= 2 ·
1 1 2 1 · y+ - = 1
+y2 -4y1y2
m +1 y2 21 y2 y1y2 m2+1 (y1y2)2
1 ·m
2+1 1 1
= 2 9 =
,
9 ∴
1 1
- = ,为定值.……………………………………………… 分m +1 |AF2| |BF| 3
12
2
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10.在空间直角坐标系Oxyx中，A(1,0,0),B(1,2,-2),C(0,0,-2),则
2023~2024学年怀仁一中高二年级上学期期末考试
A.0心花.Ai=4
出异面直线0C与AB所成的角为等
C.点B关于x轴的对称点为(1，一2,2)
数学试题
OB与平面A0c所成角的正弦
11.行栏数是指某一阶段，养殖场中牲畜的实际数量.某牧场2024年年初牛的存栏数为500，预计
(时间：120分钟满分：150分)
以后每年存栏数的增长率为20片，且在每年年底卖出60头牛.设牧场从2024年起每年年初的
计划存栏数依次为c:c2,c,,…其中n∈N.则下列结论正确的是〔参考效稀：1.2≈
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项，只有一项是符合题
2.4883.1.2≈2.9860,1.2≈3.5832,1.21c≈6.1917)
日要求的
A.c2-540
1.已知等差数列{a中，a1十a6=2,a2十a3-8,则数列{an}的公垄为
()
B.c+1与c的递推公式为c+1=1.2c.一60
A.4
B.3
C.1
D.-1
C.按照讣划2030年年初存栏数首次突破1000
2.在数列{aa}中，a,-2,a+1a,=4n-1,则：e:等丁了
D).令Sa=c,十cg十G;十十cg则S1a8192
A.-1
B.2
c
I).1
2,已知椭圆C:乙+-1(a≥b>0)的左、有焦点分别为rF,离心率为e4糖圆C,的上更
3双曲线C:号-若-1上的点P到左焦点的距离为9，则点P到行斯点的距高为
()
点为M,且MF,·MF:-0,双曲线C:和椭圆(C,有相同的焦点，A双曲线C:的离心率为e2,
A.15
B.3
C.3或15
D.5或12
P为C与C:的个公共点.若∠和，PF:一于，则
()
1.已知空间向量a,bc满足|a|=2,|b!=3,c|=7,且a-b十c-0,则4与b的夹角大小为
A.2-2
3
B.e1e2=2
C.te
1D.e号-e=1
1.30
B.60°
C.120
).150
三、填空题：术题共4小题，每小题5分，共20分.
5,战国时期成书《墨经》有载可：“景，口之光反烛人，则景在日与人之间，”这是中国古代人民首次
13.如图所示，在平行六面体ABD-AB,C:D,中，M为A,C:与B,D
对平面镜反射的研究，体现了传统文化中的数学智慧.在平面直角坐标系)xy,~条光线从点
的交点，若个基底的基向量分别为AB-a,AD一b,AA,一c,则BM=
M(2,3)射山，经y轴反射后与圆C:x一6.x十y|4y+12=0相切，则反射光线所在直线的斜
·(用a,b,c的线性组合表示)
率为
)
14.在正项等比数列{an}中，5)=13Sw,Sw+S,-140,则5v=
A-号或是
B-7或-月
c
D.
15.直线y-x-2与抛物线y=8x交于A,B两点，AB中点的横坐标为2，
4
6.已知圆C:(x一1)2十y2=6,F(-1,》为圆内一点，将圆折起使得侧周过
则及一
点F(如图)，然后将纸片展开，得到一条折痕1，这样继续下去将会得到若干
16.南术数学家扬辉在详解九章算法和笄法通变木末·提出了一些新的垛积公式，所讨论的
折痕，观紫这些折痕围成的轮廓是一条圆锥曲线，则该圆排曲线的方程为
高阶等差数列与一般等差数列不问，前后州项之差不相等，但是逐项差数的差或者高次差成等
养数列.如数列1,3,6,10.前后两项之差得到新数列2.3,4.新数列2,3,4为等差数列，这样的数
A皆-1
&12-1
列称为二阶等差数列，对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”，现有高阶等
差数列{an},其前7项分别为3,4,6,9,13,18,24，则该数列的通项公式为am一
四，解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.·
17.(10分)已知圆C经过A(0,-3),B(2,-1)两点，且厨心C在直线11：y=-2x上.
7.在棱柱ABC-A1BC,中，A方=(0,2，一3)，AC-(2,0,3),A41一(-2,0，N3),则该三棱
(1)求圆C的方程；
柱的体积为
(2)已知过点P(0,2)的直线l:与圆(C相交，被圆C截得的弦长为2，求直线1：的方程
A.23
B.3
C.4
D.4w/3
8.设等比数列a}的前n项和为S,若S5,S1,S成等差数列且2(a十a)一a4,则等于()
A.6
B.7
.8
D.9
二、选择题：本题共4小题，每小樾分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题日要求.余
部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，
9.已知尤穷等差数列{an}的前n项和为S,S:心S2sHS:aS,则
()
A.在数列{an}中，a1最人
B.在数列{an}中，ago2:最大
C.a224P0
D.当n22021时ux0
高二数学试题第1页，共4页
高一数学试题第2顶，共4页