无锡市第一中学2023-2024学年度第一学期阶段性质量检测试卷
高 一 数 学 2023.12
一、单选题（每小题5分，共40分）
1．已知集合，1，，，则（ ）
A． B．， C．，0，1， D．，0，
【解答】解：集合，1，，，，
则，0，1，．
故选：．
2．“是钝角”是“是第二象限角”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：若是钝角，则是第二象限角；反之，若是第二象限角，不一定是钝角，如．
“是钝角”是“是第二象限角”的充分非必要条件．
故选：．
3．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：．
故选：．
4．用二分法求函数在[0，1]上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【解答】解：根据题意，原来区间[0,1]的长度等于1，每经过二分法的一次操作，区间长度变为原来的一半，则经过次操作后，区间的长度为，
若，即.
故选：.
5．已知函数在上满足不等式，则实数的取值范围为（ ）
A．， B．， C．， D．
【解答】解：由题意可得，函数在上单调递增，
则，解得．
故选：．
6．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：因为 ,
所以.
故选：．
7．如图，假定，两点以相同的初速度（单位：单位秒），分别同时从，出发，点沿射线做匀速运动，，点沿线段（长度为单位）运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离，那么定义为的纳皮尔对数，函数表达式为，则从靠近的第一个五等分点移动到靠近的三等分点经过的时间约为（ ）（参考数据：，，
A．0.7秒 B．0.9秒 C．1.1秒 D．1.3秒
【解答】解：根据题意可知，，两点的初速度为单位秒．
设运动到靠近的第一个五等分点时，，则，解得．
设运动到靠近的三等分点时，，则，解得．
，
则从靠近的第一个五等分点移动到靠近的三等分点经过的时间约为0.9秒．
故选：．
8．已知函数若关于的方程有6个根，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：作出函数图像如图所示：
令，则可化为，
若有6个根，
结合图像可知方程在上有2个不相等的实根，
不妨设，，
则解得，
故，，
故选：．
二、多选题（每小题5分，共20分）
9．若非空集合，，满足：，，则（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：因为，，
所以，，所以，
对于：因为，所以，故正确；
对于：因为，所以不一定成立，故错误；
对于：因为，所以，故正确；
对于：因为，，所以，故正确．
故选：．
10．下列说法不正确的是（ ）
A．若函数的定义域为，，则函数的定义域为，
B．函数是减函数
C．函数的图象关于点成中心对称
D．幂函数在上为减函数，则的值为1或2
【解答】解：对于，函数的定义域为，，由得，
则函数的定义域为，，错误；
对于，函数在和上是减函数，在整个定义域内不为减函数，错误；
对于，函数的图象的对称中心为，
将函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到函数的图象，则函数的对称中心为，正确；
对于，因为函数为幂函数且在上为减函数，
所以，解得，错误．
故选：．
11．下列结论中，正确的结论有（ ）
A．函数的最小值是2
B．如果，，，那么的最大值为3
C．函数的最小值为
D．如果，，且，那么的最小值为2
【解答】解：：当时，，所以最小值不是2，故错误；
：由已知可得，解得，所以，当且仅当时成立，此时的最大值为3，故正确；
：函数，设，在[2，+∞)上单调递增，所以t=2时，取最大值；
：，
当且仅当时取得最小值为2，故正确．
故选：．
12．若函数在定义域内的某区间上单调递增，且在上也单调递增，则称在上是“强增函数”，则下列说法正确的是（ ）
A．若函数，则存在使是“强增函数”
B．若函数，则为定义在上的“强增函数”
C．若函数，则存在区间，使在上不是“强增函数”
D．若函数 在区间，上是“强增函数”，则
【解答】解：根据题意，设，依次分析选项：
对于， 在区间上为增函数，，
则在上是增函数，故在上为增函数，正确；
中，在上不是单调递增的，所以不符合“强增函数”定义，所以不正确；
中，在，上单调递增，而，，，显然，所以在，不是单调递增，
所以存在区间，上，使在上不是“强增函数”，所以正确；
中，函数 在区间，上是“强增函数“，
则函数 在区间，上单调递增，则，解得，
在，上单调递增，所以，解得，所以满足条件时，所以正确．
故选：．
三、填空题（每小题5分，共20分）
13．计算________．
【解答】解：原式，
故答案为：．
14．已知扇形的面积为4，圆心角为2弧度，则该扇形的弧长为________．
【解答】解：设扇形的弧长为，圆心角大小为，半径为，扇形的面积为，
则：．解得，
扇形的弧长为，
故答案为：4．
15．已知函数在，上递增，则实数的取值范围是________．
【解答】解：令，由题意知：
在区间，上单调递增且，
，
又解得：
则实数的取值范围是，．
16．已知，是定义在上的函数，其中是偶函数，是奇函数，且，若对于，，都有成立，则实数的取值范围是________．
【解答】解：，则有，
又是偶函数，是奇函数，则，
故可得：，
因为对于，，都有，
即，
故在单调递减；
当时，满足题意；
当时，要满足题意，则，解得；
当时，要满足题意，则，解得；
综上所述，的取值范围为：．
故答案为：，．
四、解答题（共70分）
17．设全集，，，．
（1）当时，求，；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）令可得，解得，
所以，或
当时，，，
所以，
或．
（2）由“”是“”的充分不必要条件可得，集合是集合的真子集，
又，，，
所以，解得，
故实数的取值范围为．
18．已知，是关于的方程的两个根．
（1）求实数的值，
（2）求的值．
【解答】解：（1）依题意，△，解得或，
又，
所以，即，
解得或（舍去）．
（2）．
19．已知函数．
（1）解关于的不等式；
（2）若不等式有且仅有唯一整数解，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）因为，
所以当时，解得：；
当时，解得或；
当时，解得：；
当时，不等式无解；
当时，解得：；
综上所述，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为．
（2）当时不符合题意；
当时，解集为，则，解得，
所以．
20．杭州亚运会田径比赛10月5日迎来收官，在最后两个竞技项目男女马拉松比赛中，中国选手何杰以2小时13分02秒夺得男子组冠军，这是中国队亚运史上首枚男子马拉松金牌．人类长跑运动一般分为两个阶段，第一阶段为前1小时的稳定阶段，第二阶段为疲劳阶段．现有一名的复健马拉松运动员进行4小时长跑训练，假设其稳定阶段作速度为的匀速运动，该阶段每千克体重消耗体力表示该阶段所用时间），疲劳阶段由于体力消耗过大变为的减速运动表示该阶段所用时间）．疲劳阶段速度降低，体力得到一定恢复，该阶段每千克体重消耗体力，已知该运动员初始体力为，不考虑其他因素，所用时间为（单位：，回答下列问题：
（1）请写出该运动员剩余体力关于时间的函数；
（2）该运动员在4小时内何时体力达到最低值？最低值为多少？
【解答】解：（1）由题可先写出速度关于时间的函数，
代入△与△公式可得，
解得；
（2）①稳定阶段中，单调递减，此过程中的最小值（1）；
②疲劳阶段，
则有，
当且仅当，即时，“”成立，
所以疲劳阶段中体力最低值为，
由于，因此，在时，运动员体力有最小值．
21．设函数是定义上的奇函数．
（1）求的值；
（2）若不等式有解，求实数的取值范围；
（3）设，求在，上的最小值．
【解答】解：（1）因为是定义域为上的奇函数，
所以，所以，解得，，
当时，，则为奇函数，
故；
（2）有解，即有解，
所以，
因为，时，等号成立），
所以；
（3），即，
可令，可得函数在，递增，即，
，可得函数，，
由的对称轴为，可得时，取得最小值，
此时，解得，
则在，上的最小值为，此时．
22．若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“和一函数”．
（1）判断定义在区间上的函数是否为“和一函数”，并说明理由；
（2）若函数在定义域，上是“和一函数”．
①求ab的值；②求2b-a的取值范围．
【解答】解：（1）在区间上的函数不是“和一函数”，
理由：在上是减函数，，
当(1)时，对任意，(1)，不符合“和一函数”的定义，
故在区间上的函数不是“和一函数”；
（2）在，上是增函数，，，
，，
又在定义域，上是“和一函数”，
对任意，，，，存在，，使成立，
则，
，，
则，
，则，即．
，，解得，
则，
令，，
在上是减函数，在上是减函数，
(a)在上是减函数，则(a)(2)，
，
故的取值范围为．无锡市第一中学2023-2024学年度第一学期阶段性质量检测试卷
高 一 数 学 2023.12
一、单选题（每小题5分，共40分）
1．已知集合，1，，，则（ ）
A． B．， C．，0，1， D．，0，
2．“是钝角”是“是第二象限角”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知，则（ ）
A． B． C． D．
4．用二分法求函数在[0，1]上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．若函数在上满足，则实数的范围为（ ）
A．， B．， C．， D．
6．已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．如图，假定P，Q两点以相同的初速度（单位：单位秒），分别同时从A，C出发，点Q沿射线CD做匀速运动，CQ=x，点P沿线段AB（长度为单位）运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离（PB=y），那么定义x为y的纳皮尔对数，函数表达式为，则从靠近的第一个五等分点移动到靠近的三等分点经过的时间约为（ ）（参考数据：ln2≈0.7，ln3≈1.1，ln5≈1.6）
A．0.7秒 B．0.9秒 C．1.1秒 D．1.3秒
8．已知函数若关于的方程有6个根，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（每小题5分，共20分）
9．若非空集合，，满足：，，则（ ）
A． B． C． D．
10．下列说法不正确的是（ ）
A．若函数的定义域为，，则函数的定义域为，
B．函数是减函数
C．函数的图象关于点成中心对称
D．幂函数在上为减函数，则的值为1或2
11．下列结论中，正确的结论有（ ）
A．函数的最小值是2
B．如果，，，那么的最大值为3
C．函数的最小值为
D．如果，，且，那么的最小值为2
12．若函数在定义域内的某区间上单调递增，且在上也单调递增，则称在上是“强增函数”，则下列说法正确的是（ ）
A．若函数，则存在使是“强增函数”
B．若函数，则为定义在上的“强增函数”
C．若函数，则存在区间，使在上不是“强增函数”
D．若函数在区间，上是“强增函数”，则
三、填空题（每小题5分，共20分）
13．计算________．
14．已知扇形的面积为4，圆心角为2弧度，则该扇形的弧长为________．
15．已知函数在，上递增，则实数的取值范围是_____．
16．已知，是定义在上的函数，其中是偶函数，是奇函数，且，若对于，，都有成立，则实数的取值范围是________．
四、解答题（共70分）
17．（本小题10分）
设全集，，，．
（1）当时，求，；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
18．（本小题12分）
已知，是关于的方程的两个根．
（1）求实数的值；
（2）求的值．
19．（本小题12分）
已知函数．
（1）解不等式；
（2）若不等式有且仅有唯一整数解，求实数a的取值范围．
20．（本小题12分）
杭州亚运会田径比赛10月5日迎来收官，在最后两个竞技项目男女马拉松比赛中，中国选手何杰以2小时13分02秒夺得男子组冠军，这是中国队亚运史上首枚男子马拉松金牌．人类长跑运动一般分为两个阶段，第一阶段为前1小时的稳定阶段，第二阶段为疲劳阶段．现有一名60 kg的复健马拉松运动员进行4小时长跑训练，假设其稳定阶段作速度为v1=30 km/h的匀速运动，该阶段每千克体重消耗体力 Q1=t1×2v1（t1表示该阶段所用时间），疲劳阶段由于体力消耗过大变为v2=30-10t2的减速运动（t2表示该阶段所用时间）．疲劳阶段速度降低，体力得到一定恢复，该阶段每千克体重消耗体力，已知该运动员初始体力为Q0=10000 kJ，不考虑其他因素，所用时间为t（单位：h），回答下列问题：
（1）请写出该运动员剩余体力Q关于时间的函数Q(t)；
（2）该运动员在4小时内何时体力达到最低值？最低值为多少？
21．（本小题12分）
设函数是定义上的奇函数．
（1）求的值；
（2）若不等式有解，求实数的取值范围；
（3）设，求在，上的最小值．
22．（本小题12分）
若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“和一函数”．
（1）判断定义在区间上的函数是否为“和一函数”，并说明理由；
（2）若函数在定义域，上是“和一函数”．
①求ab的值；②求2b-a的取值范围．
