高中数学人教新课标A版必修2 第四章 圆与方程 4.3空间直角坐标系（包括4.3.1，4.3.2）
一、选择题
1．在空间直角坐标系中，点P(3，4，5)与Q(3，－4，－5)两点的位置关系是（ ）
A．关于x轴对称 B．关于xOy平面对称
C．关于坐标原点对称 D．以上都不对
2．在空间直角坐标系中，点 到平面yOz的距离是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
3．空间两点A，B的坐标分别为 ， ，则A，B两点的位置关系是 （ ）
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于z轴对称 D．关于原点对称
4．已知 ， ， ，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
5．在空间直角坐标系中，与点 ， ， 等距离的点的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．无数
6．在空间直角坐标系中，x轴上到点P(4，1，2)的距离为 的点共有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
7．在空间直角坐标系中，点 ，过点P作平面xOy的垂线PQ，则Q的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．已知A点坐标为A（1，1，1），B（3，3，3），点P在x轴上，且|PA|=|PB|，则P点坐标为（ ）
A．（6，0，0） B．（6，0，1） C．（0，0，6） D．（0，6，0）
二、填空题
9．在空间直角坐标系中，点 在xOz平面上的射影为M′点，则M′关于原点对称点的坐标是 .
10．点P在x轴上，它到点P1(0， ，3)的距离为到点P2(0,1，－1)的距离的2倍，则点P的坐标是 ．
三、解答题
11．如图所示为一个正方体裁下的一角P－ABC.|PA|＝a，|PB|＝b，|PC|＝c，则△ABC的重心G的坐标为 .
12．如图所示，过正方形ABCD的中心O作OP⊥平面ABCD，已知正方形的边长为2，OP=2，连接AP、BP、CP、DP，M、N分别是AB、BC的中点，以O为原点，射线OM、ON、OP分别为Ox轴、Oy轴、Oz轴的正方向建立空间直角坐标系．若E、F分别为PA、PB的中点，求A、B、C、D、E、F的坐标．
13．已知点A(1，1，0)，对于Oz轴正半轴上任意一点P，在Oy轴上是否存在一点B，使得PA⊥AB成立 若存在，求出B点的坐标；若不存在，说明理由.
14．已知A(1,2，－1)，B(2,0,2)．
（1）在x轴上求一点P，使|PA|＝|PB|；
（2）若xOz平面内的点M到点A的距离与到点B的距离相等，求点M的坐标满足的条件．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】空间直角坐标系；空间中的点的坐标
【解析】【解答】点P(3，4，5)与Q(3，－4，－5)两点的x坐标相同，而y、z坐标互为相反数，所以两点关于x轴对称．
故答案为：A。
【分析】由轴对称的定义可以解出。
2．【答案】A
【知识点】空间直角坐标系；空间中的点的坐标；空间中两点间的距离公式
【解析】【解答】点到平面yOz的距离就是点的横坐标的绝对值.
故答案为：A。
【分析】由题意可知，点到平面的距离为点的横坐标的绝对值。
3．【答案】B
【知识点】空间直角坐标系；空间中的点的坐标
【解析】【解答】因为A，B两点纵坐标相同，横坐标和竖坐标互为相反数，故A，B两点关于y轴对称.
故答案为：B。
【分析】由A、B两点坐标之间的关系可以得出答案。
4．【答案】C
【知识点】空间直角坐标系；空间中的点的坐标；空间中两点间的距离公式
【解析】【解答】由两点间的距离公式可得|AB|= ，|AC|= ，|BC|= ，从而|AC|2+|BC|2=|AB|2，所以△ABC是直角三角形.
故答案为：C。
【分析】通过两点之间的距离公式可以得到三角形三边的距离，通过勾股定理可以得到三角形为直角三角形。
5．【答案】D
【知识点】空间直角坐标系；空间中的点的坐标；空间中两点间的距离公式
【解析】【解答】由两点间距离公式可得|AB|= ，|BC|= ，|AC|= .易知A，B，C三点不共线，故可确定一个平面，在△ABC所在平面内可找到一点到A，B，C的距离相等，过该点与平面ABC垂直的直线上的每一点到A，B，C的距离均相等.
故答案为：D。
【分析】通过三点坐标可以求出三点不共线，推出三点确定一个平面，从而推出答案。
6．【答案】C
【知识点】空间中的点的坐标；空间中两点间的距离公式
【解析】【解答】设满足条件的点的坐标为(a，0，0)，则 ，即(a－4)2＝25，解得a＝9或a＝－1，所以满足条件的点为(9，0，0)或(－1，0，0)．
故答案为：C.
【分析】根据题意，可以设满足点的坐标为(a，0，0)，根据两点之间的距离公式可以列出方程，求解可得。
7．【答案】D
【知识点】空间直角坐标系；空间中的点的坐标；空间中两点间的距离公式
【解析】【解答】由于点Q在xOy内，故其竖坐标为0，又PQ⊥xOy平面，故点Q的横坐标、纵坐标分别与点P相同，从而点Q的坐标为 .
故答案为：D。
【分析】由题意可以得知点Q在xOy内、PQ⊥xOy平面，所以可以推出点Q的横纵坐标与点P相同，从而可以得到点Q坐标。
8．【答案】A
【知识点】空间中两点间的距离公式
【解析】【解答】解：∵点P在x轴上，
∴设P（x，0，0）
又∵|PA|=|PB|，
∴
解得；x=6．
故选A．
【分析】先根据题意设P（x，0，0），再利用平面上两点的距离公式表示出|PA|=|PB|，最后解一个关于x的方程即得结果．
9．【答案】(2,0,3)
【知识点】空间直角坐标系；空间中的点的坐标；空间中两点间的距离公式
【解析】【解答】M在xOz平面上的射影为 ，所以M′关于原点对称点的坐标为(2,0,3).
【分析】由射影的性质可以推出答案。
10．【答案】(1,0,0)或(－1,0,0)
【知识点】空间直角坐标系；空间中的点的坐标；空间中两点间的距离公式
【解析】【解答】点P在x轴上，则可设点P(x,0,0)，
则 ， .
∵|PP1|＝2|PP2|，∴ ，解得x＝±1.
∴所求点的坐标为(1,0,0)或(－1,0,0)．
【分析】根据空间直角坐标系中两点之间的距离公式可以求出。
11．【答案】
【知识点】空间直角坐标系；空间中的点的坐标；空间中两点间的距离公式
【解析】【解答】△ABC的重心G在xOy平面上的射影G′是△PAB的重心，其坐标为 ，而|G′G|＝ |PC|，∴G ．
【分析】由重心的性质可以得到重心G的坐标。
12．【答案】解：易求出B点坐标为(1，1，0).因为A，C，D与B点分别关于xOz平面、yOz平面、坐标原点对称，所以 ， ， .
又因为E，F分别为PA，PB的中点，且P(0，0，2)，所以 ， .
【知识点】空间直角坐标系；空间中的点的坐标；空间中两点间的距离公式
【解析】【分析】由题意可以得出B点的坐标，根据对称的条件可以求出A、C、D点的坐标，又由中点的性质可以求出E和F点的坐标。
13．【答案】解：如图，
若PA⊥AB成立，则AB⊥平面POA，所以AB⊥OA，
设B(0，y，0)，则有OA= ，|OB|=y，|AB|= .
由OB2=OA2+AB2，得 ，解得y=2，
所以存在这样的点B，当点B为(0，2，0)时，PA⊥AB成立.
【知识点】空间直角坐标系；空间中的点的坐标；空间中两点间的距离公式
【解析】【分析】先假设存在，设出点B的坐标，将直线垂直转化为求向量垂直，得到等式，观察是否有解。
14．【答案】（1）解：由于点P在x轴上，故可设P(a,0,0)，
由|PA|＝|PB|，得 ，
即a2－2a＋6＝a2－4a＋8，
解得a＝1，所以点P的坐标为(1,0,0)
（2）解：由于点M在平面xOz内，故可设M(x，0，z)，由|MA|＝|MB|，得 ，
整理得，x＋3z－1＝0.
所以点M的坐标满足的条件为x＋3z－1＝0
【知识点】空间直角坐标系；空间中的点的坐标；空间中两点间的距离公式
【解析】【分析】（1）根据题目给出的条件可以设点P的坐标，由|PA|＝|PB|，可以得到等式，求解可以得到点P的坐标。
（2）先设出点M的坐标，由|MA|＝|MB|可以得到等式，通过整理可得到点M的坐标满足的条件。
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一、选择题
1．在空间直角坐标系中，点P(3，4，5)与Q(3，－4，－5)两点的位置关系是（ ）
A．关于x轴对称 B．关于xOy平面对称
C．关于坐标原点对称 D．以上都不对
【答案】A
【知识点】空间直角坐标系；空间中的点的坐标
【解析】【解答】点P(3，4，5)与Q(3，－4，－5)两点的x坐标相同，而y、z坐标互为相反数，所以两点关于x轴对称．
故答案为：A。
【分析】由轴对称的定义可以解出。
2．在空间直角坐标系中，点 到平面yOz的距离是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
【答案】A
【知识点】空间直角坐标系；空间中的点的坐标；空间中两点间的距离公式
【解析】【解答】点到平面yOz的距离就是点的横坐标的绝对值.
故答案为：A。
【分析】由题意可知，点到平面的距离为点的横坐标的绝对值。
3．空间两点A，B的坐标分别为 ， ，则A，B两点的位置关系是 （ ）
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于z轴对称 D．关于原点对称
【答案】B
【知识点】空间直角坐标系；空间中的点的坐标
【解析】【解答】因为A，B两点纵坐标相同，横坐标和竖坐标互为相反数，故A，B两点关于y轴对称.
故答案为：B。
【分析】由A、B两点坐标之间的关系可以得出答案。
4．已知 ， ， ，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
【答案】C
【知识点】空间直角坐标系；空间中的点的坐标；空间中两点间的距离公式
【解析】【解答】由两点间的距离公式可得|AB|= ，|AC|= ，|BC|= ，从而|AC|2+|BC|2=|AB|2，所以△ABC是直角三角形.
故答案为：C。
【分析】通过两点之间的距离公式可以得到三角形三边的距离，通过勾股定理可以得到三角形为直角三角形。
5．在空间直角坐标系中，与点 ， ， 等距离的点的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．无数
【答案】D
【知识点】空间直角坐标系；空间中的点的坐标；空间中两点间的距离公式
【解析】【解答】由两点间距离公式可得|AB|= ，|BC|= ，|AC|= .易知A，B，C三点不共线，故可确定一个平面，在△ABC所在平面内可找到一点到A，B，C的距离相等，过该点与平面ABC垂直的直线上的每一点到A，B，C的距离均相等.
故答案为：D。
【分析】通过三点坐标可以求出三点不共线，推出三点确定一个平面，从而推出答案。
6．在空间直角坐标系中，x轴上到点P(4，1，2)的距离为 的点共有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
【答案】C
【知识点】空间中的点的坐标；空间中两点间的距离公式
【解析】【解答】设满足条件的点的坐标为(a，0，0)，则 ，即(a－4)2＝25，解得a＝9或a＝－1，所以满足条件的点为(9，0，0)或(－1，0，0)．
故答案为：C.
【分析】根据题意，可以设满足点的坐标为(a，0，0)，根据两点之间的距离公式可以列出方程，求解可得。
7．在空间直角坐标系中，点 ，过点P作平面xOy的垂线PQ，则Q的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】空间直角坐标系；空间中的点的坐标；空间中两点间的距离公式
【解析】【解答】由于点Q在xOy内，故其竖坐标为0，又PQ⊥xOy平面，故点Q的横坐标、纵坐标分别与点P相同，从而点Q的坐标为 .
故答案为：D。
【分析】由题意可以得知点Q在xOy内、PQ⊥xOy平面，所以可以推出点Q的横纵坐标与点P相同，从而可以得到点Q坐标。
8．已知A点坐标为A（1，1，1），B（3，3，3），点P在x轴上，且|PA|=|PB|，则P点坐标为（ ）
A．（6，0，0） B．（6，0，1） C．（0，0，6） D．（0，6，0）
【答案】A
【知识点】空间中两点间的距离公式
【解析】【解答】解：∵点P在x轴上，
∴设P（x，0，0）
又∵|PA|=|PB|，
∴
解得；x=6．
故选A．
【分析】先根据题意设P（x，0，0），再利用平面上两点的距离公式表示出|PA|=|PB|，最后解一个关于x的方程即得结果．
二、填空题
9．在空间直角坐标系中，点 在xOz平面上的射影为M′点，则M′关于原点对称点的坐标是 .
【答案】(2,0,3)
【知识点】空间直角坐标系；空间中的点的坐标；空间中两点间的距离公式
【解析】【解答】M在xOz平面上的射影为 ，所以M′关于原点对称点的坐标为(2,0,3).
【分析】由射影的性质可以推出答案。
10．点P在x轴上，它到点P1(0， ，3)的距离为到点P2(0,1，－1)的距离的2倍，则点P的坐标是 ．
【答案】(1,0,0)或(－1,0,0)
【知识点】空间直角坐标系；空间中的点的坐标；空间中两点间的距离公式
【解析】【解答】点P在x轴上，则可设点P(x,0,0)，
则 ， .
∵|PP1|＝2|PP2|，∴ ，解得x＝±1.
∴所求点的坐标为(1,0,0)或(－1,0,0)．
【分析】根据空间直角坐标系中两点之间的距离公式可以求出。
三、解答题
11．如图所示为一个正方体裁下的一角P－ABC.|PA|＝a，|PB|＝b，|PC|＝c，则△ABC的重心G的坐标为 .
【答案】
【知识点】空间直角坐标系；空间中的点的坐标；空间中两点间的距离公式
【解析】【解答】△ABC的重心G在xOy平面上的射影G′是△PAB的重心，其坐标为 ，而|G′G|＝ |PC|，∴G ．
【分析】由重心的性质可以得到重心G的坐标。
12．如图所示，过正方形ABCD的中心O作OP⊥平面ABCD，已知正方形的边长为2，OP=2，连接AP、BP、CP、DP，M、N分别是AB、BC的中点，以O为原点，射线OM、ON、OP分别为Ox轴、Oy轴、Oz轴的正方向建立空间直角坐标系．若E、F分别为PA、PB的中点，求A、B、C、D、E、F的坐标．
【答案】解：易求出B点坐标为(1，1，0).因为A，C，D与B点分别关于xOz平面、yOz平面、坐标原点对称，所以 ， ， .
又因为E，F分别为PA，PB的中点，且P(0，0，2)，所以 ， .
【知识点】空间直角坐标系；空间中的点的坐标；空间中两点间的距离公式
【解析】【分析】由题意可以得出B点的坐标，根据对称的条件可以求出A、C、D点的坐标，又由中点的性质可以求出E和F点的坐标。
13．已知点A(1，1，0)，对于Oz轴正半轴上任意一点P，在Oy轴上是否存在一点B，使得PA⊥AB成立 若存在，求出B点的坐标；若不存在，说明理由.
【答案】解：如图，
若PA⊥AB成立，则AB⊥平面POA，所以AB⊥OA，
设B(0，y，0)，则有OA= ，|OB|=y，|AB|= .
由OB2=OA2+AB2，得 ，解得y=2，
所以存在这样的点B，当点B为(0，2，0)时，PA⊥AB成立.
【知识点】空间直角坐标系；空间中的点的坐标；空间中两点间的距离公式
【解析】【分析】先假设存在，设出点B的坐标，将直线垂直转化为求向量垂直，得到等式，观察是否有解。
14．已知A(1,2，－1)，B(2,0,2)．
（1）在x轴上求一点P，使|PA|＝|PB|；
（2）若xOz平面内的点M到点A的距离与到点B的距离相等，求点M的坐标满足的条件．
【答案】（1）解：由于点P在x轴上，故可设P(a,0,0)，
由|PA|＝|PB|，得 ，
即a2－2a＋6＝a2－4a＋8，
解得a＝1，所以点P的坐标为(1,0,0)
（2）解：由于点M在平面xOz内，故可设M(x，0，z)，由|MA|＝|MB|，得 ，
整理得，x＋3z－1＝0.
所以点M的坐标满足的条件为x＋3z－1＝0
【知识点】空间直角坐标系；空间中的点的坐标；空间中两点间的距离公式
【解析】【分析】（1）根据题目给出的条件可以设点P的坐标，由|PA|＝|PB|，可以得到等式，求解可以得到点P的坐标。
（2）先设出点M的坐标，由|MA|＝|MB|可以得到等式，通过整理可得到点M的坐标满足的条件。
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