邵阳市名校2023 年下学期期末考试
高二年一期数学试卷
时量：120 分钟 满分：150 分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.）
1．已知 a (1, 2,1)，b ( 2,3,1)，则 (a b) b （ ）
A． 19 B． 9 C．9 D．19
2．直线 ax 2y 6 0与直线3x a 5 y 3 0平行，则a （ ）
A． 6 B．1 C． 6或1 D．3
2
3 x y
2
．双曲线 1的焦点到渐近线的距离为（ ）
3 6
A 6． B． 2 C． 3 D． 6
3
4．已知 Sn 为等差数列 an 的前 n项和，若 S4 14,S6 S2 22，则 S6 （ ）
A．26 B．27 C．28 D．29
5．设函数 f (x) x ln x，则曲线 y f (x)在点 (1, f (1))处的切线方程为（ ）
A． 2x y 1 0 B． x y 1 0 C． x y 2 0 D． 2x y 2 0
6．某地政府召集 5家企业的负责人开会，其中甲企业有 2人到会，其余 4家企业各有
1人到会，会上有 3人发言，则这 3人来自 3家不同企业的可能情况的种数为
A．14 B．20 C．16 D．48
7．已知等比数列 an 的前 n项和为 Sn ,a3 9,a6 243，若关于 n的不等式
3an 2S2n 730 0恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． , 27 B． ,54
C． , 27 D． ,54
8．设 a ln3，b 3 ln2， c 2 ln 3，则 a、b、 c的大小关系是（ ）
A． a b c B．b c a
C． c a b D． c b a
试卷第 1页，共 4页
{#{QQABIQCEggCIAAAAAQhCQwk6CACQkACAAIoOABAEsAAACQNABAA=}#}
二、多选题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.）
9．下列求导运算正确的是（ ）
(x 1) 1 1A． 2 B． (x cos x) sin xx x
2 2
C． ( x ) 2x xx x D． f (x) sin(2x 1)，则 f (x) 2 cos(2x 1)e e
10．已知等差数列 an 的前 n项和为 Sn， S10 0， S15 25，则（ ）
A． a5 0 B． an 的前 n项和中 S5最小
S 0 S C．使 n 时 n的最大值为 9 D．数列 n 的前 10项和为 15 n
11．已知直线 l过抛物线C : y2 4x的焦点 F，且与抛物线C交于 A x1, y1 ,B x2 , y2 两
点，点M 为C的准线与 x轴的交点，则下列结论正确的是（ ）
A．若 x1 x2 5，则 AB 7
B．过C的焦点的最短弦长为 4
π
C．当 AF 2FB时，直线 l的倾斜角为 3
D．存在 2条直线 l，使得 AF BM BF AM 成立
12．已知边长为 2的正方体 ABCD— A1B1C1D1，E为 AD
中点，F为 A1C1中点，则（ ）
A 10．EF与BD1所成角的正弦值为
10
V 2B． F ECD 3
C 5．若平面 A1BC1与平面CC1E的交线为 l，则直线 l与 BE所成角的余弦值为 5
D．若 D在平面 A1C1B内的投影为点 O，则 AO 2
三、填空题（本大题共 4小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡中的横线上.）
6
13 x 1 ． 的二项展开式的常数项为
x
1
14．若函数 f (x) x2 2 f (0) cos x x，则 f ( )的值为
2 6
15．已知直线 l : x my 1 0与圆C : x2 y2 4x 2 3y 2 0相交，则当圆C截直线 l所
得的弦长最短时，直线 l的方程为 .
16．若函数 f x 1 x 2 mx lnx 有极值,则函数 f (x)的极值之和的取值范围是 .
2
试卷第 2页，共 4页
{#{QQABIQCEggCIAAAAAQhCQwk6CACQkACAAIoOABAEsAAACQNABAA=}#}
四、解答题（本大题共 6小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（10分）已知圆 C的圆心为点 2, 2 ，且与坐标轴相切.
(1)求圆 C的方程；
(2)求直线 l : x y 2 0被圆 C所截得的弦长.
18．（12分）已知等差数列 an 满足 a1 a2 10， a4 a3 2．
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)设等比数列 bn 满足b2 a3，b3 a7 ，求数列 bn 的前 n项和．
19．（12分）四棱锥 P ABCD中，BC / /AD，BC 平面 PAB，PA AB BC 2AD 2，
E为 AB的中点，且 PE EC .
(1)求证：BD 平面PEC；
(2)求二面角 E PC D的正弦值.
a a a a n
20．（12分）已知数列 an 的前 n项和为 Sn，且 1 2 3 n ．2 22 23 2n 2n
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)设b
1
n 4 a 4 a ，Tn为数列 bn 的前 n项和，试问：是否存在正整数m， n，n n 1
T 1使得 n m？若存在，求出满足条件的所有m， n的值；若不存在，请说明理由．12
试卷第 3页，共 4页
{#{QQABIQCEggCIAAAAAQhCQwk6CACQkACAAIoOABAEsAAACQNABAA=}#}
2 2
21．（12 x y分）已知椭圆C : 2 2 1 a b 0 的一个焦点与抛物线 y
2 4x的焦点相同，
a b
F1， F2为椭圆的左、右焦点，M 为椭圆上任意一点，△MF1F2 面积的最大值为 2.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设不过原点的直线： y kx m与椭圆C交于A、 B两点，直线 AF2与 BF2的斜率分别
为 k1、 k2，且 k1 k2 0，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.
22 12 f x eax ax．（ 分）已知 e ax2 ．
(1)当 a 1时，证明： f x 在 0, 上单调递增；
(2)若 f x 2恒成立，求 a的取值范围．
试卷第 4页，共 4页
{#{QQABIQCEggCIAAAAAQhCQwk6CACQkACAAIoOABAEsAAACQNABAA=}#}邵阳市名校2023 年下学期期末考试答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B B D B A C B D ACD BCD AB BD
6 3．【解析】由间接法得C6 C
2 C12 4 20 4 16，故选 C．
7 3．【解析】设等比数列 an 的公比为q，则 a 36 a3q ，即 243 9q ，解得 q 3，
a a3 9
n n
所以 1 2 2 1
a 1 q
q 3 ，所以an 3
n 1, S 1 3 1n ，1 q 2
因为3an 2S2n 730 0
729
恒成立，即3n 32n 1 730 n恒成立，即 3 n 恒成立，3
729 729 n 729
由基本不等式可得3n n 2 3
n 54，当且仅当3 n ，即 n 3时等号成立，3 3 3n
所以 54，即实数 的取值范围为 ,54 ．故选 B
2 ln x 2 1 ln x
8．【解析】构造函数 f x ，其中 x 0，则 f
x x
，
x2
当0 x e时， f (x) > 0，所以，函数 f x 在 0,e 上单调递增，
因为0 2 3 e，则 f 2 f 3 2ln 2 2ln 3，即 ，即 3 ln 2 2 ln3，
2 3
所以，b c，
8
因为35 243 256 28，故5ln3 8ln 2，即 ln 3 ln 2 3 ln 2，即 a b，5
因此， c b a .故选 D
10．【解析】设等差数列的首项为 a1，公差为d ，
S 10a a1 3 10 1 45d 0
所以 ，解得 ，
S15 15a1 105d 25
d 2 3
a 3 2 2n 11 a a n所以 n n 1 S
1 n 1， n2 10n n，3 3 3 2 3 3
10 11 1
对于 A： a5 0，故错误；3 3 3
1 2 10
对于 B： Sn n n
1 n 2 25 5 ，
3 3 3 3
由二次函数的性质可知 S 25n S5 min ，故正确；3
{#{QQABIQCEggCIAAAAAQhCQwk6CACQkACAAIoOABAEsAAACQNABAA=}#}
1 n2 10对于 C：令 n 0，解得0 n 10，所以n的最大值为9，故正确；
3 3
Sn 1 n 10
S 1
对于 D：因为 ，所以 n 是首项为 3，公差为 的等差数列，n 3 3 n 3
Sn 10 3 10 9 1所以 的前10项和为 15，故正确； 故选 BCD
n 2 3
11．【解析】由拋物线的定义可得 AB AF BF x1 x2 p 5 2 7，所以 A正确；
当过抛物线C的焦点且与 x轴垂直时弦长最短，此时弦长为 4，所以 B正确；
x my 1
设直线 l的方程为 x my 1，联立方程组 ，整理得 y22 4my 4 0y 4x ，
可得 y1 y2 4m, y1y2 4，
当 AF 2FB时， y1 2y2，则 y1 y2 4m， y1y2 4，
解得 y2 2,B
1
, 2 ,k 2 2
π
，所以倾斜角不是 ，所以 C错误；
2 3
由 F 1,0 ,M 1,0 ，则 AF x1 1
2 y 21 my1 1 1
2 y 21 1 m 2 y 21 ，
BF x2 1
2 y 22 my2 1 1
2 y 22 1 m 2 y 22 ，
AM x 1 21 y 21 my1 1 1
2 y 21 1 m 2 y 21 4my1 4 ，
BM x2 1
2 y 22 my2 1 1
2 y 22 1 m 2 y 22 4my2 4 ，
2 2
2 1 m2 y2 4my 4
由 AF BM BF AM
AF AM y 1 1
，则 ，可得
1
2 2 ，化简可 BF BM y2 1 m y22 4my2 4
得 (my1y2 y1 y2 )(y1 y2 ) 0，
由 y1 y2，则my1y2 y1 y2 0，
将 y1 y2 4m， y1y2 4代入，则 4m 4m 0恒成立，所以 D错误. 故选 AB
12．【详解】如图，以 A点为坐标原点，AB为 x轴，AD为 y轴，AA1为
z轴建立空间直角坐标系，依题意可得 B（2，0，0）， A1（0，0，2），
C1（2，2，2），D1（0，2，2），E（0，1，0），F（1，1，2）.
∴ BD1 ( 2, 2, 2),EF (1,0, 2)，
{#{QQABIQCEggCIAAAAAQhCQwk6CACQkACAAIoOABAEsAAACQNABAA=}#}
∴ cos
B D 1 E F 2 15
| BD1 | | EF | 2 3 5 15
2
sin 1 15
210
∴ ，A错误；
15 15
S 1 1 ECD 2 1 1,V
2
F ECD 2 S ECD 3 ，B正确；2 3
由图可知，延长DD1到G，使得D1G DD1 ，连接 A1G，并取 A1G的中点，连接 EM ，
可知CC1 / /EM ，即平面CEC1与平面CEMC1为同一平面；
连接C1G, A1G，可知四边形 A1BC1G为平行四边形，即平面 A1BC1与平面 A1BC1G为同一平面；
又因为点C1,M既在平面 A1BC1内又在平面 CC1E内
所以平面 A1BC1与平面 CC1E的交线为MC1，
M为 A1G的中点，∴M（0，1，3），故MC1 (2,1, 1), EB (2, 1,0),
cos EB,MC E B M C∴ 11
30
，C错误；
| EB | |MC1 | 10
∵ BD C1D A1D A1B C1B A1C1 2 2，∴三棱锥D A1C1B为正三棱锥.
∵D在平面 A1C1B内的投影为点 O，∴O为△ A1C1B的中心，故
xA xC xB yA yc1 yB zA zC zO( 1 1 , 1 , 1 1 B ) ，
3 3 3
4 2 4 2 2 2
∴O( , , )， AO (
4 , 2 , 4) 4 2 4， | AO | 2 ，D正确. 故选 BD
3 3 3 3 3 3 3 3 3
13．20
1
14． / 【解析】因为 f x x 2 f 0 sin x 1，令 x 0，则 f 0 1，
6 6
所以 f x x 2sin x 1 f ，则 6 6
15． x 3y 1 0
【解析】由题意得 l : x my 1 0恒过点P 1,0 .
2
圆C : x2 2 y2 4x 2 3y 2 0的标准方程为 x 2 y 3 32，
{#{QQABIQCEggCIAAAAAQhCQwk6CACQkACAAIoOABAEsAAACQNABAA=}#}
所以圆心C 2, 3 ,r 3，且 PC 2 r，可知点 P在圆C内.
由直线与圆的几何性质知，当 PC l时，所截得弦长最短，
此时 kPC kl 1 m k
3 0
.即 pc 3 ， 2 1
所以直线 l的方程为 x 3y 1 0 .
16、 ( , 3)
【解析】 f (x)的定义域是 (0, )，
2
f (x) x 1 x mx 1 m ，
x x
f (x)存在极值， f (x) 0在 (0, )上有根，
即方程 x2 mx 1 0在 (0, )上有根．
设方程 x2 mx 1 0的两根为x x1， 2，
m2 4 0， x1 x2 m 0， x1x2 1，即m>2
f (x1) f (x
1
2 ) (x
2 2
1 x2 ) m(x1 x2 ) (lnx2 1
lnx2 )
1
(x x )21 2 x1x2 m(x1 x2 ) lnx1x
1 m2 1 m2 12 m
2 1 3
2 2 2
故函数 f (x)的极值之和的取值范围是 ( , 3)
17．【解析】（1）∵圆 C的圆心为点 2, 2 ，且与坐标轴相切，
∴圆 C的半径为 r 2 2， ∴圆 C的方程为 x 2 y 2 2 4 .
（2）∵圆 C的圆心C 2,2 ，
2 2 2 2
∴圆心 C到直线 l的距离为 2 . ∴所求的弦长为 2 22 2 2 2 .1 1
18．【解析】（1）因为 an 是等差数列，设数列 an 的公差为 d，
a1 a2 10 2a1 d 10
由
a4 a
，得
2 ，3 d 2
解得 d 2， a1 4， 所以 an a1 d n 1 4 2n 2 2n 2．
（2）因为b2 a3 2 3 2 8，b3 a7 2 7 2 16，
{#{QQABIQCEggCIAAAAAQhCQwk6CACQkACAAIoOABAEsAAACQNABAA=}#}
b
bn 是等比数列，则 bn 的公比 q 3 2， 所以b1 4b ，2
b1 1 qn 4 1 2n
所以数列 b 的前 n项和 S = 2n 2n n 4．1 q 1 2
19．【解析】（1）因为BC 平面 PAB，PE 平面 PAB，
所以 BC PE . 因为 PE EC， EC BC C ，EC，BC 平面 BCD，
所以 PE 平面 BCD，又 BD 平面 BCD， 所以 PE BD .
又因为 tan ABD tan BCE
1
，所以 ABD BCE， ABD CEB 90 ，即 BD CE .
2
因为 PE CE E，PE，CE 平面PEC， 所以 BD 平面PEC .
（2）由（1）得 PE AB，E为 AB的中点，所以 PB PA AB 2 .
以 E为坐标原点，EB，EP所在直线分别为 x轴，z轴，过点 E作 BC的平行线为 y轴，建
立空间直角坐标系 E xyz，
则 P 0,0, 3 ，C 1,2,0 ，D 1,1,0 ，B 1,0,0 ，
PC 1,2, 3 ，PD 1,1, 3 ， PE 0,0, 3 .
设平面 PCD的法向量为m x, y, z .
x 2y 3z 0
由 PC m 0，PD m 0得 ，
x y 3z 0
令 x 1，则 y= 2， z 3，即m 1, 2, 3 .
由（1）知平面 PEC的一个法向量为BD 2,1,0 ，
所以 cos m, BD
m B D 4 10
8 5 5 . 所以二面角 E PC D
15
m BD 的正弦值为 .5
a a a a n
20．【解析】（1）∵ 1 2 3 n2 3 n n ，①2 2 2 2 2
a 1
∴当 n 1时， 1 ，∴ a 1；
2 2 1
a a
当 n 2 a1 a2 3 n 1 时， 2 3
n 1
n 1 2 2 2 2 2n 1
，②
an n n 1 2 n由①－②得 n ，2 2n 2n 1 2n
∴ an 2 n，n 2， n Ν*．
{#{QQABIQCEggCIAAAAAQhCQwk6CACQkACAAIoOABAEsAAACQNABAA=}#}
当 n 1时， a1 2 1 1符合，∴ an 2 n， n Ν*．
（2）存在．
1 1 1 1
由（1）知 an 2 n，∴bn 4 an 4 an+1 n 2 n 3 n 2 n 3，
∴T
1 1 1 1
n
1 1 1 1
．
3 4 4 5 n 2 n 3 3 n 3
1 1 1 m 12令 ，得m 4 ．
3 n 3 12 n 3
∵m,n Ν*，∴n 3的可能值为 4，6，12，即 n的值为 1，3，9，对应的m的值为1,2,3，
∴存在正整数m,n T
1
，使得 n m．12
m,n m 1, m 2, m 3,因此满足条件的所有 的值为 n 1 或 n 3
或
n 9.
21．【解析】（1）由抛物线的方程 y2 4x得其焦点为 1,0 ，所以椭圆中 c 1，
当点M 为椭圆的短轴端点时，△MF1F2 面积最大，
S 1此时 2c b 2，所以b 2，则 a2 = b2 + c2 = 5，
2
x2 y2
所以椭圆的方程为 1；
5 4
（2）依题意，直线： y kx m，其中m 0， F2 1,0 ，
x2 y2
1 2 2 2
联立 5 4 ，消去 y，得 5k 4 x 10kmx 5m 20 0，
y kx m
100k 2m2则 4 5k 2 4 5m2 20 80 5k 2 m2 4 0 ，得5k2 4 m2，
2
A x , y ,B x , y x x 10km , x x 5m 20设 1 1 2 2 ，则 1 2 2 1 2 5k 4 5k 2 ， 4
k k kx1 m kx 2 m又 1 2 0 2kx x m k x x 2m 0x 1 1 x
，整理得 1 2 1 2 ，
2 1
2k 5m
2 20 10km
即 2 m k
2m 0，化简得m 5k，5k 4 5k 2 4
所以直线 l的方程为 y k x 5 ，因此直线 l 恒过定点，该定点坐标为 5,0 ．
22 x．【解析】（1）当 a 1时， f x e e x x 2 ，∴ f (x) ex e x 2x，
令 g x f x ex e x 2x，
{#{QQABIQCEggCIAAAAAQhCQwk6CACQkACAAIoOABAEsAAACQNABAA=}#}
则 g x ex e x 2 2 ex e x 2 0，当且仅当 x 0时取等号，
∴当 x 0, 时， g (x) 0， g x 是增函数，
∴ g x g 0 0，即 f (x) > 0， ∴ f x 在 0, 上单调递增.
（2） f x eax e ax ax2 定义域为R ，
∵ f x e ax eax a x 2 eax e ax ax 2 f x ，∴ f x 是偶函数，
若 f x 2恒成立，则只需考虑 f x 2在 0, 恒成立.
当 a 0时， f x 2，符合题意；
x x 2
当 a 1时， f x e e x ，由（1）知， f x 在 0, 上单调递增，
则当 x 0, 时， f x f 0 2，符合题意；
当 a 0,1时， f (x) aeax ae ax 2ax a(eax e ax 2x)，
令 h(x) eax e ax 2x ，则 h (x) a(e ax e ax ) 2，
当 a 1时， h (x) a(e ax e ax ) 2 a 2 e ax e ax 2 2a 2 0 ，
∴当 x 0, 时， h(x)单调递增，则 h x h 0 0，
∴ f (x) a h(x) 0，则 f x 在 0, 上单调递增，
∴ f x f 0 2，符合题意；
当 a<0时， h (x) a(e ax e ax ) 2 0 ，
∴当 x 0, 时， h(x)单调递减，则 h x h 0 0，
∴ f (x) a h(x) 0，则 f x 在 0, 上单调递增，
∴ f x f 0 2，符合题意；
当 0 a 1时，令 k(x) h (x) a(e ax e ax ) 2 ，
2
k (x) a 2(e ax e ax ) a [(e
ax )2 1]
∴
eax
，
当 x 0, 时， eax 1，则 k (x) 0，则 k x 在 0, 上单调递增，
{#{QQABIQCEggCIAAAAAQhCQwk6CACQkACAAIoOABAEsAAACQNABAA=}#}
1 ln 2 ln 2 ln 2
∵ k(0) 2a 2 0
， k( ln 2) a(e a e a ) 2 a e a 2 2 a 2 0 ，
a a a
1
则存在 x0 (0, ln
2)，使得 k(x0 ) 0成立，a a
∴当 x (0, x0 )时， k(x) 0，即 h (x) 0， h x 单调递减，∴ h x h 0 0，
∴ f (x) a h(x) 0，则 f x 在 (0, x0 )上单调递减，
∴ f x f 0 2，不符合题意，
综上可知， a的取值范围是 ,0 1, .
{#{QQABIQCEggCIAAAAAQhCQwk6CACQkACAAIoOABAEsAAACQNABAA=}#}
