2023 年秋期高中教育阶段学业质量监测
高二年级 数学
（考试时间：120 分钟 总分：150 分）
注意事项：
1 .答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2 .回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在
本卷上无效。
3 .考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5 分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
1．直线 x 3y 1 0的倾斜角为
π π 2π 5π
A． B． C． D．
6 3 3 6
2．若直线 x my 1 0与直线 2x y 3 0 相互平行，则m 的值为
1 1
A． 2 B． 1 C． D．
2 2
1 2
3．甲、乙两人独立地破译一份密码，已知甲、乙能破译的概率分别为 ， ，则密码被成功破
2 3
译的概率为
1 1 2 5
A． B． C． D．
6 3 3 6
4．已知等比数列{a }的前 nn 项和为 Sn ，若 S2 3， S6 9S3 ，则a1
A． 2 B． 1 C．1 D． 2
5．袋子中装有 4 个大小质地完全相同的球，其中 2 个白球，2 个红球，从中不放回地依次随机摸
出 2 个球．记事件 A =“第一次摸到白球”，事件 B = “第二次摸到白球”，事件C = “两个球颜色
相同”
A．事件 A与事件 B 互斥 B．事件 A与事件 B 独立
C．事件 A与事件 B 对立 D．事件C 包含事件 A B
2 1
6．已知棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1 ，点 P 满足 AP AB AD AA1 ，则P 到CD的距
3 3
离为
1 2 5 5
A． B． C． D．
3 3 3 6
高二年级数学试卷 第 1 页 共 4 页
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2 y
2
7． F ， F1 2 是双曲线 x 1的左、右焦点， P 是双曲线上一点，且 PF1 2 PF2 ，则△PF1F2
3
的面积为
15
A． B． 15 C． 4 D．2 15
2
8．已知 A，B是圆C ： x2 y2 3上的动点，且1 AB 2 2 ， P 是圆C ： (x 3)
2
2 (y 4)
2 1上
的动点，则 PA PB 的取值范围是
A．[8，12] B．[6，10] C．[10，14] D．[6，14]
二、选择题：本题共 4小题，每小题5 分，共 20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求。全部选对的得5 分，部分选对的得 2分，有选错的得0 分。
9．已知向量 a (2x，1，1) ，b (1， y，2) ，则
1
A．若 x ， y 2，则a b
4
B．若 x 1， y 1，则a b
1 2
C．若 x ， y 1，则 cos a，b
2 3
1 1 1 2
D．若 x ， y 1，则向量a在向量b上的投影向量 c ( ， ， )
2 3 3 3
10．已知事件 A， B ，且P(A) 0.6 ，P(B) 0.3，则下列结论正确的是
A．若 B A，则P(A B) 0.3，P(AB) 0.6
B．若 A， B 互斥，则P(A B) 0.9，P(AB) 0
C．若 A， B 相互独立，则P(A B) 0.9，P(AB) 0
D．若 A， B 相互独立，则P(AB) 0.28， P(AB) 0.42
11．已知圆C ： (x 5)2 (y 5)2 9 ， A(2，0)，B(0，2)，则
A．在圆C 上存在点 P ，使得 BP 3
B．在圆C 上存在点 P ，使得点 P 到直线 AB 的距离为5
C．在圆C 上存在点 P ，使得 APB 90°
D．在圆C 上存在点 P ，使得 AP BP 4
12．已知抛物线 E ： y
2 4x 的焦点为 F ，直线 x my 1(m R) 与 E 交于 A，B 两点，则下列说
法正确的是
A．设O为坐标原点，则△AOB面积的最小值为 2
9
B．若 AF 2 BF ，则 AB
2
AF 1
C．设M ( 1，0) ，则 的最小值为
AM 2
2 2
D．过 A，B 分别作直线 x 1的垂线，垂足分别为C ， D ，则 CF DF 4 AF BF
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三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．已知等差数列{an}的前 7 项和 S7 14，a3 1，则a5 ．
14．在棱长为 2的正四面体 ABCD中，M 为CD的中点，则 AM BC ．
2 2
15． 过定点 A的直线mx y 1 0与过定点 B 的直线 x my 3 0交于点P ，则 PA PB ．
x2 y2
16． 已知 F1，F2 是椭圆C ： 1(a b 0) 的左、右焦点，若在直线 l ：x a上存在点P ，
a2 b2
使得 F1PF2 45°，则椭圆C 的离心率的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6 小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（10 分）
已知圆C 过点O(0，0) ， A(0，4)，且圆心在直线 y x 上．
（1）求圆C 的方程；
（2）过M ( 4，0)作圆C 的切线，求切线方程．
18．（12 分）
2S
已知数列 a 的前 n项和为n S ，且n a1 1，{
n }是公差为 1 的等差数列．
an
（1）求 a 的通项公式； n
1
（2）设bn ，求数列 bn 的前 n项和T ． n
an 1 an
19．（12 分）
某企业在招聘员工时，应聘者需要参加测试，测试分为初试和复试．初试从 5 道题中随机选
择 3 道题回答，每答对一题得 1 分，答错得 0 分，初试得分大于或等于 2 分才能参加复试．复试
每人回答 A， B 两道题，每答对一题得 2 分，答错得 1分．已知在初试 5 道题中甲有 3 道题能
1
答对，乙有 2 道题能答对；在复试的 A，B 两道题中，甲每题能答对的概率都是 ，乙每题能答
2
2
对的概率都是 ．
3
（1）求甲、乙两人各自能通过初试的概率；
（2）若测试总得分大于或等于 4 分为合格，请问：在参加完测试后，甲、乙合格的概率谁更
大？
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20．（12 分）
1
已知点 A(4，4)在抛物线C ： y2 2px(p 0)上，斜率为 的直线与C 交于P ，Q两点，记
2
直线 AP ， AQ的斜率分别为 k 1 ， k 2 ．
（1）证明： k1 k 2 为定值；
（2）若 PAQ 90°，求△PAQ的面积．
21．（12 分）
如图，在三棱柱 ABC A B C 中，四边形 ACC1A1是菱形，E ，F 分别是 AC ，A1B1的中点，1 1 1
A1E 平面 ABC ， ABC 90°．
（1）证明： BC EF ；
2 42
（2）若 AB 2，点 A1到平面 BCC1B1 的距离为 ，求直线EF 与平面 A1BC 所成角的正弦
7
值．
A1
C1
F
B1
E
A
C
B
22．（12 分）
x2 y2
已知双曲线 E ： 1(a 0，b 0) 的渐近线方程为 y 3x，点 A(2，3) 在E 上．
a2 b2
（1）求 E 的方程；
（2）设 B 是双曲线 E 的左顶点，过点 (2，0) 的直线 l 与 E 的右支交于P，Q两点，直线BP，
1
BQ分别与直线 x 交于M ，N 两点．试探究：是否存在定点T ，使得以MN 为直径的圆过点T ？
2
若存在，求点T 的坐标；若不存在，请说明理由．
高二年级数学试卷 第 4 页 共 4 页
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高二数学参考答案及评分意见
一、 选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
选项 A C D C D B B D ACD BD AB ABD
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
2
13．3 14．1 15．10 16．[ ，1)
2
四、解答题：本题共 6 小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（10 分）
解：（1）由题知，线段OA的中垂线方程为 y 2 ，由此可得圆心为C(2，2) ．2 分
于是，圆C 的半径为 r OC 2 2 ． ................................................................. 4 分
所以圆C 的方程为 (x 2)2 (y 2)2 8． ............................................................. 5 分
（2）由题知，切线的斜率存在，设切线 l 的方程为 y k(x 4) ．
即 l ： kx y 4k 0． ............................................................................................ 6 分
则圆心C(2，2) 到直线 l 的距离等于圆C 的半径2 2 ．
2k 2 4k
于是， d 2 2 ，即7k2 6k 1 0． ............................................ 7 分
k 2 1
1
解得 k 1或 k ． ................................................................................................ 8 分
7
所以切线方程为 x y 4 0或 x 7y 4 0 ． .................................................. 10 分
18．（12 分）
2Sn 2S1
解：（1）因为 (n 1)d n 1 ............................................................ 1 分
an a1
所以 2Sn (n 1)an． ①．
2Sn 1 nan 1 n≥2②． ............................................................................... 3 分
由① ②得： 2an (n 1)an nan 1 ，即 (n 1)an nan 1 ． ...................... 4 分
an an 1
所以 （ n≥2）
n n 1
an
所以 a1 (n 1)d a1 1． ...................................................................... 6 分
n
所以 an n． .................................................................................................... 7 分
1 1 1
（2）因为bn ． .................................................................. 9 分
(n 1) n n (n 1)
1 1 1 1 1 1 1 1 n
所以Tn (1 ) ( ) ( ) … ( ) 1 ．............. 12 分
2 2 3 3 4 n n 1 n 1 n 1
高二数学参考答案 第 1 页 共 5 页
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19．（12 分）
解：（1）记初试的 5 道题为 a，b，c，d，e，甲会答的题为 a，b，c，乙会答的题为a，b，
从中选 3 道题，则样本空间为
{ (a，b，c)，(a，b，d) ，(a，b，e) ，(a，c，d) ，(a，c，e)，(a，d，e) ，(b，c，d) ，
(b，c，e)， (b，d，e)， (c，d，e)}．
设 R1 =“甲初试答对 2 道题”， R2 =“甲初试答对 3 道题”， R3 =“乙初试答对 2 道题”，
于是， R { (a，b，d) ， (a，b，e) ， (a，c，d) ， (a，c，e)1 ， (b，c，d) ， (b，c，e)}
R { (a，b，c)2 }
R { (a，b，c) ， (a，b，d)， (a，b，e)3 }． .................................... 2 分
6 1 7
所以甲通过初试的概率为 P1 ． ............................................................. 4 分
10 10
3
所以乙通过初试的概率为 P2 ． ...................................................................... 6 分
10
3 2 2 2
（2）由题知：乙合格的概率 P乙 ( ) ． ............................................ 8 分
10 3 15
6 1 2 3
甲初试得 2 分合格的概率为 P ( ) ．
10 2 20
1 1 3
甲初试得 3 分合格的概率 P [1 ( )
2 ] ． .......................................... 10 分
10 2 40
3 3 9
所以甲合格的概率为 P甲 ．
20 40 40
因为 P乙 P甲 ，所以甲合格的概率更大． ........................................................... 12 分
20．（12 分）
解：（1）由题知：16 8p，得 p 2 ，所以抛物线C 的方程为 y2 4x ．2 分
设直线PQ方程为 x 2y m ， B(t21，2t1)，B(t
2
2，2t2 )
x 2y m，
由 联立得 y
2 8y 4m 0
y2 4x ，
所以 2(t1 t
2
2 ) 8， (t1t2 ) 4m． ................................................................ 4 分
2t1 4 2t2 4 2 2 2(t1 t2 ) 8
又因为 k1 k2 0
t2
1 4 t
2
2 4 t1 2 t2 2 (t1 2)(t2 2)
所以 k1 k2 为定值0 ． .................................................................................... 6 分
高二数学参考答案 第 2 页 共 5 页
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（2）不妨设直线 AP 的方程为 y 4 x 4即 y x ，可得P(0，0)
所以 AP 4 2 ． .............................................................................................. 8 分
设直线 AQ 的方程为 y 4 (x 4)即 x y 8
x y 8，
由 联立得 y2 4y 32 0
y
2 4x ，
所以 yA yQ 4，所以 yQ 8
于是，Q(16， 8)，所以 AQ 12 2 ． ...................................................... 10 分
1 1
所以△PAQ的面积 S AP AQ 4 2 12 2 48． .................... 12 分
2 2
21．（12 分） A1
C1
F
（1）证明：因为 A1E 平面 ABC ，
B1
所以 A1E BC ，取BC 的中点M ，连接EM ， B1M
1
所以EM AB ，
2
又因为 BC AB，所以BC EM ， A E C
M
因为 EM A1E E B
所以BC 平面 EMB1A1，又因为EF 平面EMB1A1
所以 BC EF ． ................................................................................................. 6 分
（2）由（1）知BC 平面 EMB1A1
所以平面 BCC1B1 平面EMB1A
A1 F B1
1
B1M 平面 BCC1B1 平面EMB1A1
所以点 A1到平面 BCC1B1 的距离即为点 A1到平面B1M 的距离
H
过点 A1作 A1H B1M 交B1M 于点H
2 42
设 A1A 2a，所以 A E FM 3a， A1B1 2， A 1 1H
7
A1B
E M
△ 1
MB1
因为 A1B1H ∽△MB1F ，所以 A1H FM
A1
2 3a2 1 C1
F
即 2 42 3a 解得 a 2 ． B1
7
N
记 N EF A1M ，因为平面 BCC1B1 平面EMB1A1
所以直线EF 与平面 A1BC 所成角为 A1NF ， A
E C
5
（显然 A NF AMB ），在等腰△ANF 中， cos ANF ． M1 1 1 B
7
2 6
即直线EF 与平面 A1BC所成角正弦值为 ． ......................................... 12 分
7
其次，点 A 到平面 BCC B 的距离也可以用等体积法表示 1 1 1
高二数学参考答案 第 3 页 共 5 页
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设 AA1 2a，BC 2b，则V A1 BCB V V1 A BCB1 B1 ABC VA1 ABC
1 2 42 1
于是， S△BCB S1 △ABC A1E ，解得 a 2 ．（其余解法同上） 3 7 3
（2）法Ⅱ：空间向量运算法
取 BC中点 M ，连接ME，MF ，由（1）知MC，ME，MF 两两垂直，如图，建立空间直角坐标
系M xyz ．
A1 z
设 AA 2a，A E 3a，BC 2b， C11 1
F B1
则 A1(0，1， 3a)，B(0， 1， 3a)，C(b，0，0)，
设平面 BCC B 的法向量为n (x1，y1，z1) ， 1 1
y
x n MB 0，
A
1 y1 3az1 0， E C则有
n MC 0， bx1 0，
M
B
n (0， 3a，1) ． ................................................................................................... 8 分
2 42
由点 A 到平面 的距离为 ， 1 BCC1B1
7
| MA1 n | 2 3a 2 42 ，解得 a 2 ． ................................................... 9 分
| n | 3a2 1 7
E(0，1，0)，F(0，0， 6)，EF (0， 1， 6)，
AC 2 2 ，BC AB 2， BC (2，0，0)
设平面 A 的法向量为 ， 1BC m (x2，y2，z2)
m MA 0， y
则有 1 2
6z2 0，
m (0， 6，1)． ............................... 10 分
m BC 0， 2x2 0，
设直线EF 与平面 A1BC 所成角为 ，
EF m 0 6 6 2 6
sin | cos EF，m | | | | |
| EF || m | 7 7 7
2 6
即直线EF 与平面 A BC所成角正弦值为 ． ............................................. 12 分 1
7
高二数学参考答案 第 4 页 共 5 页
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22．（12 分）
b
解：（1）因为双曲线 E 的渐近线方程为 y 3x，所以 3
a
可得b2 3a2 ①． ....................................................................................................... 1 分
4 9
又因为点 A(2，3) 在 E 上，则 1②． ...................................................... 2 分
a2 b2
由①②可得： a2 1，b2 3．.............................................................................. 3 分
y2
所以 E 的方程为 x2 1． ................................................................................ 4 分
3
（2）设直线 l ： x my 2 (m R) ， P(x ，1，y1) Q(x2，y2 )．
x my 2，
由 联立得 (3m2 1)y2 12my 9 0 ．
3x
2 y2 3，
9 12m
于是， y1 y2 ， y1 y2 ． .......................................................... 6 分
3m2 1 3m2 1
y 1
因为直线BP方程为 y 1 (x 1) ，令 x
x1 1 2
1 3y
于是，M ( ， 1 ) ． ...................................................................................... 7 分
2 2my1 6
1 3y
同理可得， N ( ， 2 ) ． .............................................................................. 8 分
2 2my2 6
1 3y 1 3y
设定点T(s，t)，则MT (s ，t 1 ) ， NT (s ，t 2 )
2 2my1 6 2 2my2 6
1 3y 3y
于是， (s )2 (t 1 )(t 2 ) 0 ． .............................................. 9 分
2 2my1 6 2my2 6
1 2 2 3 y y 9 y y即 (s ) t ( 1 2 )t 1 2 0．
2 2 my 21 3 my2 3 4 m y1y2 3m(y1 y2 ) 9
1 9
于是， (s )2 t2 3tm 0 (m R)． .......................................................... 10 分
2 4
1 9
所以 2t 0， (s ) ．
2 4
1 3
于是， s ．
2 2
解得 s 2或 s 1，所以定点T 的坐标为 (2，0) 或者 ( 1，0) ． ....................... 12 分
高二数学参考答案 第 5 页 共 5 页
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