常州市教育学会学业水平监测
高二数学
2024年1月
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题
卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将答题卡交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的，
1.A-C=
分天
A.63
B.10
C.2111
D.0
2.用最小二乘法得到一组数据(：)=1,2,3,4,5,6)的线性回归方程为少=2x+3,
若2=30，则2=
A.11
.B.13.,
C.63D.78
3.方程之+
2+k8-k
=1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为
A.k>-2
B.k<8
C.-2D.-24,已知双曲线亡-二=1的左右焦点分别为R,5,点P在双曲线上，P=7,
916
则PF=
以这
A.13
B.10
C.1
D.13或1
5.定义：“各位数字之和为8的三位数叫幸运数”，比如116,431，则所有幸运数的个数为
A.21
B.35
C.36
D.45
6.已知正项等比数列{am}的前n项和为S,若S6=6,则8S3+S,的最小值为
A.18
B.24W2
C.30
D.33
7.已知圆M:x2+y2+4x=0和圆Nx2+y2-4y-12=0相交于A,B两点，点P是圆
M上任意一点，则PA+P弓的取值范围是
A.[22,4+2]
B.[4-2,4+2]
c.[4-2,22]
D.[4-22,4+22]
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8.经过双曲线C-少
12=1(6>0)的右焦点F作该双曲线的一条渐近线的垂线1，垂足
为M,且1交另一条渐近线于点N,若3网=5MF,则b的值为
A.26
B.4
C.2
D.5
二、选择题：本题共4小题，每小恩5分，共20分.在每小题给出的途项中，有多项符
合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
如
9.点4(-2,1)，Ba,1-a),过A,B的直线为1，下列说法正确的有
题
A,若a=1,则直线1的方程为x+3y-1=0
B.若a=-1,则直线1的倾斜角为牙
C.任意实数a,都有4B≥V5
只有
D.存在两个不同的实数Q,能使直线1在x,y轴上的截距互为相反数
10.甲、乙、丙等6人排成一列，下列说法正确的有
A.若甲和乙相邻，共有240种排法B.若甲不排第一个共有480种排法
C.若甲与丙不湘邻，共有480种排法D.若甲在乙的前面，共有360种排法
11.己知直线：mx-y-m=0(m∈)与圆0：x2+y2=r2(c>0)交于A,B两点，点2为
线段AB的中点，且点T的坐标为3,0).当m=1时，AB=V4,则
A.r=2
B.AB到的最小值为2√5
C.存在点A,使∠AT0=45°
D.存在m,使00.T=-员
12.在等比数列{an}中，a2>0,4+a2<0,Tn为数列{an}的前n项积，下列说法正确的有
A.-1B.410+41<0
C.若(ao-1(a2-1)<0,则Tn的最大项为Ti
D.若(ag+1(a1+)<0,则Tn的最小项为Iio
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
为
13.(x2-y)°的展开式中，各项系数的绝对值之和为
14.己知等差数列{an}的公差不为0，其前n项和为Sn，且S,S2,S4成等比数列，
则+=
a1+a2,
15.在平面直角坐标系xOy中，A,B为抛物线C:y2=4x上两个不同的点，F为抛物线
的焦点，若AF=3FB,则△OAB的面积为
16.已知椭圆C:号+之=1a>b>o)的离心率为e,点Tb,0),若椭圆C上存在四个不同
的点到点T的距离相等，则e的取值范围为
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高二数学参考答案 2024 年 1 月
一、选择题：
1．C 2．D 3．D 4．A 5．C 6．C 7．B 8．D
二、选择题：
9．ABD 10．ACD 11．AD 12．AC
三、填空题：
4 3 5 1
13．64 14．3 15． 16． ， 1
3 2
四、解答题：
1
17．解：（1）由已知，40 岁以上（含 40 岁）的人数为 200 =100，40 岁以下的人数
2
2
为100．每日平均运动低于 1 万步的人数为 200 = 80．由此得如下列联表：
5
每日平均运动 每日平均运动
总计
1 万步或以上 低于 1 万步
40 岁以上
80 20 100
（含 40 岁）
40 岁以下 40 60 100
总计 120 80 200
…………………………… 5 分
2 200 （80 60 40 20）
2 100
（2）K = = 10.828 ，
120 80 100 100 3
所以有99.9%的把握认为该市市民每日平均运动的步数与年龄有关．……………… 10 分
2
18．解：（1）因为 Sn + Sn 1 = 0，
an
2
所以 S
2 2
n Sn 1 = (Sn Sn 1)(Sn + Sn 1) = (Sn Sn 1) = 2，
an
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{#{QQABaQCEggggAAJAAAhCQwXYCAOQkAEACAoOQAAMoAAASBFABAA=}#}
所以 S2 S2 = 2（常数）． n n 1
所以 S 2n 是以 1 为首项，2 为公差的等差数列． …………………………… 4 分
（2） S2 =1+ 2(n 1) = 2n 1，且 an 0n ，
所以 Sn = 2n 1． …………………………… 6 分
当 n≥2时， Sn 1 = 2n 3 ，
an = Sn Sn 1 = 2n 1 2n 3 ． …………………………… 8 分
n =1时， a1 =1不满足上式，
1,n =1,
所以 an = . …………………………… 12 分
2n 1 2n 3,n≥2
19．解：（1）由已知得椭圆的左右焦点分别为 F1( 1,0), F2 (1,0)，
2a = AF1 + AF2 = 4，所以 a = 2，
所以b = 3 ，
x2 y2
所以C : + =1． …………………………… 4 分
4 3
（2）设直线 l 的方程为： y = x + m，M (x1, y1), N(x2 , y2 ),P(x0 , y0 )
x2 y2
+ =1 ，
联立消去 y 得：7x2 4 3 + 8mx + 4m2 12 = 0 ，
y = x + m ，
0 ，
8
所以 x1 + x2 = m ， …………………………… 7 分
7
4m2 12
x1 x2 = ．
7
由 = (8m)2 4 7 (4m2 12) = 48(7 m2) 0解得 7 m 7 ． ……………… 10 分
x + x
因为 x = 1 2
4 4 4
0 = m，所以 7 x0 7 ，
2 7 7 7
4 4
所以点 P 的横坐标的取值范围为 7， 7 ． ………………………… 12 分
7 7
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{#{QQABaQCEggggAAJAAAhCQwXYCAOQkAEACAoOQAAMoAAASBFABAA=}#}
20．解：（1）因为
8 8
(x2 2+ 2x + 3) = 2 + (x +1) = a0 + a1(x +1) + a2 (x +1)2 + + a16 (x +1)16 ，
r
所以T = C r 28 r
2
(x +1)
2r
r+1 8 = C
r 8 r
8 2 (x +1) ,r = 0,1,2, ,8 ． ……………………… 2 分
所以 a1 = a = = a = 0 ， a = C
n
3 15 2n 8 2
8 n ,n = 0,1,2, ,8 ．
n 8 n n+1 7 n
C8 2 ≥C8 2
令 ，则 ，所以 a
n 8 n n 1 9 n 2≤n≤3 n 的最大值为1792．…………………… 6 分
C8 2 ≥C8 2
（2）因为 f (5) 5 = 388
8 7
5 = (39 1) 5 = C08 39
8 + C1 7 7839 ( 1) + + C8 39( 1) +1 5．
…………………………… 9 分
所以 f (5) 5被13除的余数，即为 4 被13除的余数为9 ． ………………………… 12 分
21．解：（1）由 a3 + a4 =12,a5 + a7 = 22 得： a1 =1,d = 2，
所以 an = 2n 1． …………………………… 2 分
因为b = 2b n +1，所以bn+1 (n +1) = 2(bn nn+1 n )，
bn+1 (n +1)
因为b 1 = 2 0 ，所以bn n 0，所以 = 21 （常数）， bn n
所以 bn n 是等比数列，
所以b = 2nn + n ． …………………………… 6 分
（2）由已知： cn = b2n 1 = 2
2n 1 + (2n 1)． …………………………… 8 分
S2n = c1 + c2 c3 + c4 + c2n 1 + c2n
= ( 21 + 23 25 + 27 + 24n 3 + 24n 1 ) + 1+ 3 5 + 7 + (4n 3) + (4n 1)
24n+1 2
= + 2n ． …………………………… 12 分
5
22．解：（1）设 BF : x = ny +1, A(x1, y1 ) , B (x2 , y2 ) , D (x3 , y3 ) , y2 y1，
x = ny +1 ， y2 + y3 = 4n ，
由 得： y2 2 4ny 4 = 0，则 …………………………… 2 分
y = 4x ， y2 y3 = 4 ．
方法一：
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{#{QQABaQCEggggAAJAAAhCQwXYCAOQkAEACAoOQAAMoAAASBFABAA=}#}
y y y y 2ny2 y3 + 2( y2 + y
k 2 3 2 3
3 )
BQ + kDQ = + = + =
x2 +1 x3 +1 ny2 + 2 ny3 + 2 (ny2 + 2)(ny3 + 2)
2n( 4) + 2(4n)
= = 0 ，
(ny2 + 2)(ny3 + 2)
所以 BQF = DQF ． …………………………… 5 分
方法二：
设 l : x = my 1(m 0) ，
x = my 1 ， y1 + y2 = 4m ，
由 2 得： y
2 4my + 4 = 0 ，则
y = 4x ， y1y2 = 4 .
所以 y1 = y3 ．
又因为 A,D 都在抛物线上，所以 A,D 关于 x 轴对称，
所以 BQF = DQF ． …………………………… 5 分
（2）由（1）可知：△ BDQ 的内切圆圆心在 x 轴上，
所以设圆心M (a,0) , 1 a 1， l : x = my 1(m 0) , 且 D (x1, y1 ) ，
x = my 1 y1 + y2 = 4m
由 2 2 得： y 4my + 4 = 0 ，则 且 0 m
2 1 m 1，所以
y = 4x y1y2 = 4
y2 + y1 y2 + y1 4 4 4 1kBD = = = = = =
x2 x y
2 y21 y y 2 22 1 2 1 ( y + y ) 4y y 16m 16 m
2 1 ，
1 2 1 2
4 4
1
所以直线 BD : y = (x 1)，即
2 x m
2 1y 1 = 0． …………………………… 7 分
m 1
a +1 1 a
因为 dM l = dM BD = r ，所以 = = r ，
m2 +1 m
2
r2
r
1
所以 a = ，所以 1 a 1 r ，
4 m = =
4 =
r r r 4
1 r 1 2 4 15
因为 y = 在 r , 上单调减，所以m , ． …………………………… 10 分
r 4 2 3 3 8
100 289
所以 QA QB = ( 1+ m2 y1 )( 1+ m2 y2 ) = (1+ m2 ) y1y2 = 4(1+ m2 ) , ．
9 16
…………………………… 12 分
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{#{QQABaQCEggggAAJAAAhCQwXYCAOQkAEACAoOQAAMoAAASBFABAA=}#}
