2015年快乐暑假初三升初四衔接复习部分——正方形（含答案）
文档属性
| 名称 | 2015年快乐暑假初三升初四衔接复习部分——正方形（含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 109.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2015-07-15 21:12:56 | ||
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文档简介
2015年快乐暑假初三升初四衔接复习——正方形（含答案）
一、知识梳理
知识点1：正方形的性质和判定
1、正方形的 ， ；
2、正方形的对角线 。
3、 的菱形是正方形。4、 的菱形是正方形。
5、 的矩形是正方形。6、 的矩形是正方形。
二、典例解析
1、（2015 荆州）如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F．
（1）证明：PC=PE；
（2）求∠CPE的度数；
（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．
2、（2015 北塘区二模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D在边AB上，连接CD，将线段CD绕点C顺时针旋转90°至CE位置，连接AE．
（1）求证：AB⊥AE．
（2）若点D为AB中点，求证：四边形ADCE是正方形．
巩固提升
3、（2015 日照）小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使 ABCD为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（ ）
A．①② B． ②③ C． ①③ D． ②④
4、（2015 常州模拟）下列命题，其中正确命题的个数为（ ）
（1）等边三角形是中心对称图形；
（2）一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；
（3）两条对角线互相垂直的矩形是正方形；
（4）两条对角线互相垂直的四边形是菱形．
A．1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
5、（2015 崇明县二模）已知在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，那么下列条件中能判定这个四边形是正方形的是（ ）
A．AC=BD AB∥CD，AB=CD B． AD∥BC，∠A=∠C
C．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD D． AO=CO，BO=DO，AB=BC
拔高训练
（2015 乐陵市模拟）如图，已知小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A1B1C1D1；把正方形A1B1C1D1边长按原法延长一倍得到正方形A2B2C2D2；以此进行下去…，则正方形AnBnCnDn的面积为（ ）
A．（）n B． 5n C． 5n﹣1 D． 5n+1
（6题图） （7题图） （8题图）
7、（2015 徐州）如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，第n个正方形的边长为 ．
8、（2015 天水）正方形OA1B1C1、A1A2B2C2、A2A3B3C3，按如图放置，其中点A1、A2、A3在x轴的正半轴上，点B1、B2、B3在直线y=﹣x+2上，则点A3的坐标为 ．
五、课堂检测
9、（2015 黑龙江）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，不添加任何辅助线，请添加一个条件 ，使四边形ABCD是正方形（填一个即可）．
（9题图） （10题图） （11题图）
（2015春 启东市模拟）如图，在四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，DP⊥AB于P．若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是 ．
11、（2013 菏泽）如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为（ ）
A．16 B．17 C．18 D．19
（12） （13）
12、（2014 宜宾）如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…An分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是（ ）
A．n B．n﹣1 C．（）n﹣1 D．n
13、（2014 苏州模拟）如图，四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB、BC、CD、DA的中点．若四边形EFGH为菱形，则对角线AC、BD应满足条件 _________ ．
14、（2015 鄂州）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE．
（1）求证：BE=CE．
（2）求∠BEC的度数．
15、（2013 湘潭）在数学活动课中，小辉将边长为和3的两个正方形放置在直线l上，如图1，他连结AD、CF，经测量发现AD=CF．
（1）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，如图2，试判断AD与CF还相等吗？说明你的理由；
（2）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图3，请你求出CF的长．
2015年快乐暑假初三升初四衔接复习——正方形参考答案
1、（1）证明：在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，
在△ABP和△CBP中，，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴PA=PC，
∵PA=PE，∴PC=PE；
（2）由（1）知，△ABP≌△CBP，∴∠BAP=∠BCP，∴∠DAP=∠DCP，
∵PA=PC，∴∠DAP=∠E，∴∠DCP=∠E，
∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），
∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPF=∠EDF=90°；
（3）在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA=PC，∠BAP=∠BCP，
∵PA=PE，∴PC=PE，∴∠DAP=∠DCP，
∵PA=PC，∴∠DAP=∠E，∴∠DCP=∠E
∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），
∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，
即∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=180°﹣120°=60°，
∴△EPC是等边三角形，∴PC=CE，∴AP=CE；
2、（1）解：∵∠ACB=90°，∴∠BCD+∠ACD=90°，
∵∠DCE=90°，∴∠ACD+∠ACE=90°，∴∠BCD=∠ACE，
在△CBD与△CAE中，∵，∴△CBD≌△CAE（SAS），∴∠B=∠CAE，
∵∠B+∠BAC=90°，∴∠BAC+∠EAC=90°，∴AB⊥AE；
（2）证明：∵点D为AB中点，∴∠ADC=90°，
∵∠DCE=90°，∠BAE=90°，∴四边形ADCE是矩形，
∴CD=CE，∴四边形ADCE是正方形．
B 4、A 5、C 6、B 7、（）n﹣1 8、（，0）
∠BAD=90° 10、 3 11．B．12．B．13． AC=BD
14、（1）证明：∵四边形ABCD为正方形∴AB=AD=CD，∠BAD=∠ADC=90°
∵三角形ADE为正三角形∴AE=AD=DE，∠EAD=∠EDA=60°
∴∠BAE=∠CDE=150°
在△BAE和△CDE中，∴△BAE≌△CDE∴BE=CE；
（2）∵AB=AD，AD=AE，∴AB=AE，∴∠ABE=∠AEB，
又∵∠BAE=150°，∴∠ABE=∠AEB=15°，
同理：∠CED=15°
∴∠BEC=60°﹣15°×2=30°．
15、解：（1）AD=CF．
理由如下：在正方形ABCO和正方形ODEF中，AO=CO，OD=OF，∠AOC=∠DOF=90°，
∴∠AOC+∠COD=∠DOF+∠COD，
即∠AOD=∠COF，
在△AOD和△COF中，，∴△AOD≌△COF（SAS），∴AD=CF；
（2）与（1）同理求出CF=AD，
如图，连接DF交OE于G，则DF⊥OE，DG=OG=OE，
∵正方形ODEF的边长为，
∴OE=OD=×=2，∴DG=OG=OE=×2=1，∴AG=AO+OG=3+1=4，
在Rt△ADG中，AD===，∴CF=AD=．
一、知识梳理
知识点1：正方形的性质和判定
1、正方形的 ， ；
2、正方形的对角线 。
3、 的菱形是正方形。4、 的菱形是正方形。
5、 的矩形是正方形。6、 的矩形是正方形。
二、典例解析
1、（2015 荆州）如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F．
（1）证明：PC=PE；
（2）求∠CPE的度数；
（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．
2、（2015 北塘区二模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D在边AB上，连接CD，将线段CD绕点C顺时针旋转90°至CE位置，连接AE．
（1）求证：AB⊥AE．
（2）若点D为AB中点，求证：四边形ADCE是正方形．
巩固提升
3、（2015 日照）小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使 ABCD为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（ ）
A．①② B． ②③ C． ①③ D． ②④
4、（2015 常州模拟）下列命题，其中正确命题的个数为（ ）
（1）等边三角形是中心对称图形；
（2）一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；
（3）两条对角线互相垂直的矩形是正方形；
（4）两条对角线互相垂直的四边形是菱形．
A．1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
5、（2015 崇明县二模）已知在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，那么下列条件中能判定这个四边形是正方形的是（ ）
A．AC=BD AB∥CD，AB=CD B． AD∥BC，∠A=∠C
C．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD D． AO=CO，BO=DO，AB=BC
拔高训练
（2015 乐陵市模拟）如图，已知小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A1B1C1D1；把正方形A1B1C1D1边长按原法延长一倍得到正方形A2B2C2D2；以此进行下去…，则正方形AnBnCnDn的面积为（ ）
A．（）n B． 5n C． 5n﹣1 D． 5n+1
（6题图） （7题图） （8题图）
7、（2015 徐州）如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，第n个正方形的边长为 ．
8、（2015 天水）正方形OA1B1C1、A1A2B2C2、A2A3B3C3，按如图放置，其中点A1、A2、A3在x轴的正半轴上，点B1、B2、B3在直线y=﹣x+2上，则点A3的坐标为 ．
五、课堂检测
9、（2015 黑龙江）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，不添加任何辅助线，请添加一个条件 ，使四边形ABCD是正方形（填一个即可）．
（9题图） （10题图） （11题图）
（2015春 启东市模拟）如图，在四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，DP⊥AB于P．若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是 ．
11、（2013 菏泽）如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为（ ）
A．16 B．17 C．18 D．19
（12） （13）
12、（2014 宜宾）如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…An分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是（ ）
A．n B．n﹣1 C．（）n﹣1 D．n
13、（2014 苏州模拟）如图，四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB、BC、CD、DA的中点．若四边形EFGH为菱形，则对角线AC、BD应满足条件 _________ ．
14、（2015 鄂州）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE．
（1）求证：BE=CE．
（2）求∠BEC的度数．
15、（2013 湘潭）在数学活动课中，小辉将边长为和3的两个正方形放置在直线l上，如图1，他连结AD、CF，经测量发现AD=CF．
（1）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，如图2，试判断AD与CF还相等吗？说明你的理由；
（2）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图3，请你求出CF的长．
2015年快乐暑假初三升初四衔接复习——正方形参考答案
1、（1）证明：在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，
在△ABP和△CBP中，，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴PA=PC，
∵PA=PE，∴PC=PE；
（2）由（1）知，△ABP≌△CBP，∴∠BAP=∠BCP，∴∠DAP=∠DCP，
∵PA=PC，∴∠DAP=∠E，∴∠DCP=∠E，
∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），
∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPF=∠EDF=90°；
（3）在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA=PC，∠BAP=∠BCP，
∵PA=PE，∴PC=PE，∴∠DAP=∠DCP，
∵PA=PC，∴∠DAP=∠E，∴∠DCP=∠E
∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），
∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，
即∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=180°﹣120°=60°，
∴△EPC是等边三角形，∴PC=CE，∴AP=CE；
2、（1）解：∵∠ACB=90°，∴∠BCD+∠ACD=90°，
∵∠DCE=90°，∴∠ACD+∠ACE=90°，∴∠BCD=∠ACE，
在△CBD与△CAE中，∵，∴△CBD≌△CAE（SAS），∴∠B=∠CAE，
∵∠B+∠BAC=90°，∴∠BAC+∠EAC=90°，∴AB⊥AE；
（2）证明：∵点D为AB中点，∴∠ADC=90°，
∵∠DCE=90°，∠BAE=90°，∴四边形ADCE是矩形，
∴CD=CE，∴四边形ADCE是正方形．
B 4、A 5、C 6、B 7、（）n﹣1 8、（，0）
∠BAD=90° 10、 3 11．B．12．B．13． AC=BD
14、（1）证明：∵四边形ABCD为正方形∴AB=AD=CD，∠BAD=∠ADC=90°
∵三角形ADE为正三角形∴AE=AD=DE，∠EAD=∠EDA=60°
∴∠BAE=∠CDE=150°
在△BAE和△CDE中，∴△BAE≌△CDE∴BE=CE；
（2）∵AB=AD，AD=AE，∴AB=AE，∴∠ABE=∠AEB，
又∵∠BAE=150°，∴∠ABE=∠AEB=15°，
同理：∠CED=15°
∴∠BEC=60°﹣15°×2=30°．
15、解：（1）AD=CF．
理由如下：在正方形ABCO和正方形ODEF中，AO=CO，OD=OF，∠AOC=∠DOF=90°，
∴∠AOC+∠COD=∠DOF+∠COD，
即∠AOD=∠COF，
在△AOD和△COF中，，∴△AOD≌△COF（SAS），∴AD=CF；
（2）与（1）同理求出CF=AD，
如图，连接DF交OE于G，则DF⊥OE，DG=OG=OE，
∵正方形ODEF的边长为，
∴OE=OD=×=2，∴DG=OG=OE=×2=1，∴AG=AO+OG=3+1=4，
在Rt△ADG中，AD===，∴CF=AD=．