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人教版八年级数学下册第十七章《勾股定理》单元复习与检测（解析版）
选择题（本大题共有10个小题，每小题4分，共40分）
如图，一棵大树在一次强台风中于离地面10m处折断倒下，倒下部分的树梢到树的距离为24m，
则这棵大树折断处到树顶的长度是（ ）
A．10m B．15m C．26m D．30m
【答案】C
【分析】根据勾股定理求出大树折断部分的高度即可求解．
【详解】】解：如图所示：
∵△ABC是直角三角形，AB=10m，AC=24m，
故选C
2 ．以下列各组数据为三角形的三边，能构成直角三角形的是（ ）
A．1cm，2cm，3cm B．2cm，2cm，2cm
C．4cm，2cm，2cm D．，，1cm
【答案】D
【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行判断即可．
【详解】解：A、12+32≠32，故不能构成直角三角形；
B、22+22≠22，故不能构成直角三角形；
C、22+22≠42，故不能构成直角三角形；
D、12+（）2＝（）2，故能构成直角三角形；
故选：D．
3．如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，正方形A，B，C的面积分别是，，，则正方形的面积是（ ）．
【答案】17
【分析】根据勾股定理有，
，，
等量代换即可求正方形D的面积．
【详解】如图，
根据勾股定理可知，
∵，
，
，
∴，
∴正方形D的面积=49-8-10-14=17（cm2）；
故答案为：17．
4 .等腰三角形的底边长为24，底边上的高为5，它的腰长为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】D
【分析】在等腰三角形的腰和底边高线所构成的直角三角形中，
根据勾股定理即可求得等腰三角形的腰长．
【详解】如图：
BC=24．AD=5，
△ABC中，AB=AC，AD⊥BC；
∴BD=DC=BC=12；
Rt△ABD中，AD=5，BD=12；
由勾股定理，得：AB==13．
故选D．
5．如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要（ ）
A．4米 B．5米 C．6米 D．7米
【答案】D
【分析】先求出的长，利用平移的知识可得出地毯的长度．
【详解】解∶在中，米，
故可得地毯长度米，
故选：D．
6．如图，AD⊥CD，CD=4，AD=3，∠ACB=90°，AB=13，则 BC 的长是（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
【答案】C
【分析】直接利用勾股定理得出AC的长，进而求出BC的长．
【详解】解：∵AD⊥CD，CD=4，AD=3，∴AC==5．
∵∠ACB=90°，AB=13，∴BC==12．
故选C．
7 . 如图，长方体长、宽、高分别为4cm，3cm，12cm，则BD′=（ ）cm
A．13 B．15 C．16 D．19
【答案】A．
【详解】解：如图，连接BD，
则BD==5cm，
BD′==13cm
故选：A．
8 .如图，透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm，底面周长为10cm，
在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，
且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（ ）
A．13cm B．2cm C． cm D．2cm
【答案】A
【详解】试题解析：如图：
∵高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，
此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处，
∴A′D=5cm，BD=12-3+AE=12cm，
∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
连接A′B，则A′B即为最短距离，
A′B=（cm）．
故选A．
9 . 我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”
是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），
如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是a和b，
那么ab的值为（ ）
A．49 B．25 C．12 D．10
【答案】C
【详解】试题解析：如图，∵大正方形的面积是25，
∴c2=25，
∴a2+b2=c2=25，
∵直角三角形的面积是（25-1）÷4=6，
又∵直角三角形的面积是ab=6，
∴ab=12．
故选C.
10 . 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CD⊥AB于D点，
N是AC，BC上的动点，且∠MDN=90°，下列结论∶
①AM=CN； ②四边形MDNC的面积为定值；
③AM2+BN2=MN2； ④NM平分∠CND．
其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】A
【详解】试题解析：∵∠ACB=90°，AC=BC，CD⊥AB，
∴∠ADC=∠BDC=90°，AD=BD=CD=AB，∠ACD=∠BCD=∠A=∠B=45°．
∵∠MDN=90°，
∴∠ADM=∠CDN．
在△AMD和△CND中，
，
∴△AMD≌△CND（ASA），
∴AM=CN，DM=DN，S△AMD=S△CND．
∴CM=BN．故①正确；
∵四边形MDNC的面积=S△CDM+S△CDN=S△CDM+S△ADM=S△ADC．故为定值，故②正确．
∵CM2+CN2=MN2，
∴BN2+AM2=MN2，故③正确．
当MN∥AB时，MN平分∠CND，故④不正确．
∴正确的有：①②③．
故选：A．
填空题（本大题共有8个小题，每小题4分，共32分）
11 .如图，在中，，以为边的正方形的面积分别为、．
若，，则的长为 ．
【答案】2
【分析】根据勾股定理求出，则可得出答案．本题考查的是勾股定理的应用，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
【详解】解：在中，，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：2．
12 .如图，学校有一块长方形花圃，有少数人为了走“捷径”，在花圃内走出一条不文明的“路”，
其实他们仅仅少走了 步路，却踩伤了花草（假设2步为1米）．
【答案】
【分析】根据勾股定理即可求解．
【详解】解：根据题意得，“路”的长度，即步，
是步，是步，共步，
∴少走了步，
故答案为：步．
13 .将一根24cm的筷子置于底面直径为8cm，高为15cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是 ．
【答案】7cm≤h≤9cm．
【分析】如图，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出h的取值范围．
【详解】
如图，当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长，
∴h=24 15=9cm；
当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短，
在Rt△ABD中，AD=8cm，BD=15cm，
∴AB= ==17cm，
∴此时h=24 17=7cm，
所以h的取值范围是7cm h 9cm.
故答案为7cm≤h≤9cm．
14 . 在△ABC中，点D为BC的中点，BD=3，AD=4，AB=5，则AC= .
【答案】5
【详解】试题分析：根据BD，AD，AB的长度可以判定△ABD为直角三角形，即AD⊥BC，又D为BC的中点，可以判定△ABC为等腰三角形，从而求得结果．
在△ABD中，已知AB=5，AD=4，BD=3，
满足AB2=AD2+BD2，
∴△ABD是直角三角形，
即AD⊥BC，
又∵D为BC的中点，
∴△ABC为等腰三角形，且AB=AC，
∴AC=5．
如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，
则△BED的周长为 ．
【答案】12
【详解】解：∵在△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=8，
∴AC=．
∵AD是∠BAC的角平分线，∠C=90°，DE⊥AB于点E，
∴DE=DC，∠DEA=∠C=90°，
又∵AD=AD，
∴△ADE≌△ADC，
∴AE=AC=6，
∴BE=AB-AE=4，
∴C△BDE=BD+DE+BE=BD+DC+BE=BC+BE=8+4=12．
故答案为：12．
16．如图，有一个圆柱，它的高等于，底面上圆的周长等于，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是______
【答案】
【分析】本题考查的是平面展开-最短路径问题，根据题意得出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段的长，求出，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：根据题意得出：蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段的长，
由题意得：，，
由勾股定理得：，
故答案为：
17 . 如图，等腰直角三角形的直角边长为，分别以它的三边为直径向上作半圆，
则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的运用，解答此题的关键是，根据图形中半圆的面积、三角形的面积与阴影部分的面积的关系，找出对应部分的面积，列式解答即可．先分别求出以、为直径的三个半圆的面积，再求出三角形的面积，阴影部分的面积是三角形的面积加以为直径和以为直径的两个半圆的面积再减去以为直径的半圆的面积．
【详解】解：∵，
∴
以为直径的半圆的面积：，
以为直径的半圆的面积：，
以为直径的半圆的面积：，
三角形的面积：，
阴影部分的面积：；
故答案是:．
如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，
已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用，表示直角三角形的两直角边（），
下列四个说法：
①，②，③，④.
其中说法正确的是________
【答案】①②③
【详解】可设大正方形边长为a，小正方形边长为b，所以据题意可得a2=49,b2=4；
根据直角三角形勾股定理得a2=x2+y2，所以x2+y2=49，式①正确；
因为是四个全等三角形，所以有x=y+2，所以x-y=2，式②正确；
根据三角形面积公式可得 ，而大正方形的面积也等于四个三角形面积加上小正方形的面积，所以，化简得2xy+4=49，式③正确；
因为x2+y2=49，2xy+4=49，
所以
所以，因而式④不正确．
故答案为①②③
三、解答题（本大题共有7个小题，共38分）
19．如图，有一只小鸟在一棵高的大树树梢上捉虫子，
它的伙伴在离该树，高的一棵小树树梢．上发出友好的叫声，
它立刻以的速度飞向小树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？
【答案】这只小鸟至少才可能到达小树和伙伴在一起．
【分析】根据题意得： ，，，AB⊥BC，CD⊥BC，过点D作DE⊥AB于点E，连接AD，可得四边形BCDE是矩形， 然后在中，由勾股定理，即可求解．
【详解】解：如图，
根据题意得： ，，，AB⊥BC，CD⊥BC，
过点D作DE⊥AB于点E，连接AD，
∴∠B=∠C=∠BED=90°，
∴四边形BCDE是矩形，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理得：
，
∴小鸟所用的时间为．
答：这只小鸟至少才可能到达小树和伙伴在一起．
20 .如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠DBC=90°，若AD=4cm，AB=3cm，BC=12cm，求CD的长．
【答案】13cm
【详解】试题分析：先根据勾股定理求出BD的长，再根据勾股定理求得CD的长即可．
试题解析：∵∠BAD=∠DBC=90°，
∴△ADB、△BDC均是直角三角形，
由题意得，AD=4cm，AB=3cm，BC=12cm，
在Rt△ABD中，BD==5cm，
在Rt△BDC中，DC==13cm．
21 . 如图，是一块草坪，已知AD=12m，CD=9m，∠ADC=90°，AB=39m，BC=36m，求这块草坪的面积．
【答案】216平方米
【分析】连接AC，根据勾股定理计算AC，根据勾股定理的逆定理判定三角形ABC是直角三角形，根据面积公式计算即可．
【详解】连接AC，∵AD＝12，CD＝9，∠ADC＝90°，
∴AC==15，
∵AB＝39，BC＝36，AC=15
∴，
∴∠ACB=90°，
∴这块空地的面积为：==216（平方米），
故这块草坪的面积216平方米．
22．有一架秋千，当它静止时，踏板离地垂直高度，将它往前推送水平距离时，秋千踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，则绳索长为多少 ．
【答案】
【分析】设秋千的绳索长为，根据题意可得，利用勾股定理可得，再解方程即可得出答案．
【详解】解：在中，
，
设秋千的绳索长为，
则，
故，
解得：，
答：绳索AD的长度是．
故答案为：．
23 . 如图，在5×5的方格纸中，每一个小正方形的边长都为1．
（1）∠BCD是不是直角？请说明理由．
（2）求四边形ABCD的面积．
【答案】（1）∠BCD=90°，理由见解析；（2）14.5．
【分析】（1）连接BD，由于每一个小正方形的边长都为1，根据勾股定理可分别求出△BCD的三边长，根据勾股定理的逆定理即可判断出△BCD的形状；
（2）.
【详解】解：（1）∠BCD是直角，理由如下：连接BD，
∵BC==2，CD==，BD==5，
∴BC2+CD2=BD2
∴△BCD为直角，
（2）S四边形ABCD=S正方形AHEJ-S△BCE-S△ABH-S△ADI-S△DCF-S正方形DFJI，
所以S四边形ABCD=5×5-×4×2-×2×1-1×1-×4×1-×5×1，
=25-4-1-1-2-=．
24．一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，
(1)这个梯子的顶端距地面有多高？
(2)如果梯子的顶端下滑了4米到，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
【答案】(1)这个梯子的顶端距地面有24米
(2)梯子的底端在水平方向滑动了8米
【分析】（1）AC=25米，BC=7米，根据勾股定理即可求得的长；
（2）由题意得： =20米，根据勾股定理求得，根据即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：AC=25米，BC=7米，∠ABC=90°，
（米）
答：这个梯子的顶端距地面有24米；
（2）由题意得： =20米，
（米）
则：=15-7=8（米），
答：梯子的底端在水平方向滑动了8米．
25 .已知，如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=18cm．
动点P从点A出发，沿AB向点B运动，动点Q从点B出发，沿BC向点C运动，
如果动点P以2cm/s，Q以1cm/s的速度同时出发，设运动时间为t(s)，解答下列问题：
t为______时，△PBQ是等边三角形？
(2) P，Q在运动过程中，△PBQ的形状不断发生变化，
当t为何值时，△PBQ是直角三角形？说明理由．
【答案】(1)12；(2)当t为9或时，△PBQ是直角三角形，理由见解析.
【分析】（1）根据等边三角形的性质解答即可；
（2）分两种情况利用直角三角形的性质解答即可．
【详解】(1)要使，△PBQ是等边三角形，即可得：PB=BQ，
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=18cm．
∴AB=36cm，
可得：PB=36-2t，BQ=t，
即36-2t=t，
解得：t=12
故答案为；12
(2)当t为9或时，△PBQ是直角三角形，
理由如下：
∵∠C=90°，∠A=30°，BC=18cm
∴AB=2BC=18×2=36(cm)
∵动点P以2cm/s，Q以1cm/s的速度出发
∴BP=AB-AP=36-2t，BQ=t
∵△PBQ是直角三角形
∴BP=2BQ或BQ=2BP
当BP=2BQ时，
36-2t=2t
解得t=9
当BQ=2BP时，
t=2(36-2t)
解得t=
所以，当t为9或时，△PBQ是直角三角形．
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人教版八年级数学下册第十七章《勾股定理》单元复习与检测
选择题（本大题共有10个小题，每小题4分，共40分）
如图，一棵大树在一次强台风中于离地面10m处折断倒下，倒下部分的树梢到树的距离为24m，
则这棵大树折断处到树顶的长度是（ ）
A．10m B．15m C．26m D．30m
2 ．以下列各组数据为三角形的三边，能构成直角三角形的是（ ）
A．1cm，2cm，3cm B．2cm，2cm，2cm
C．4cm，2cm，2cm D．，，1cm
3．如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，正方形A，B，C的面积分别是，，，则正方形的面积是（ ）．
4 . 等腰三角形的底边长为24，底边上的高为5，它的腰长为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
5．如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要（ ）
A．4米 B．5米 C．6米 D．7米
6．如图，AD⊥CD，CD=4，AD=3，∠ACB=90°，AB=13，则 BC 的长是（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
7 . 如图，长方体长、宽、高分别为4cm，3cm，12cm，则BD′=（ ）cm
A．13 B．15 C．16 D．19
8 . 如图，透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm，底面周长为10cm，
在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，
且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（ ）
A．13cm B．2cm C． cm D．2cm
9 . 我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”
是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），
如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是a和b，
那么ab的值为（ ）
A．49 B．25 C．12 D．10
10 . 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CD⊥AB于D点，
M、N是AC，BC上的动点，且∠MDN=90°，下列结论∶
①AM=CN； ②四边形MDNC的面积为定值；
③AM2+BN2=MN2； ④NM平分∠CND．
其中正确的是（ ）
①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
填空题（本大题共有8个小题，每小题4分，共32分）
11 .如图，在中，，以为边的正方形的面积分别为、．
若，，则的长为 ．
12 .如图，学校有一块长方形花圃，有少数人为了走“捷径”，在花圃内走出一条不文明的“路”，
其实他们仅仅少走了 步路，却踩伤了花草（假设2步为1米）．
13 .将一根24cm的筷子置于底面直径为8cm，高为15cm的圆柱形水杯中，
如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是 ．
14 . 在△ABC中，点D为BC的中点，BD=3，AD=4，AB=5，则AC= .
如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，
则△BED的周长为 ．
如图，有一个圆柱，它的高等于，底面上圆的周长等于，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，
它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是______
17 . 如图，等腰直角三角形的直角边长为，分别以它的三边为直径向上作半圆，
则图中阴影部分的面积是 ．
如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，
已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用，表示直角三角形的两直角边（），
下列四个说法：
①，②，③，④.
其中说法正确的是________
解答题（本大题共有7个小题，共38分）
19．如图，有一只小鸟在一棵高的大树树梢上捉虫子，
它的伙伴在离该树，高的一棵小树树梢．上发出友好的叫声，
它立刻以的速度飞向小树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？
20 .如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠DBC=90°，若AD=4cm，AB=3cm，BC=12cm，求CD的长．
21 . 如图，是一块草坪，已知AD=12m，CD=9m，∠ADC=90°，AB=39m，BC=36m，求这块草坪的面积．
22．有一架秋千，当它静止时，踏板离地垂直高度，将它往前推送水平距离时，秋千踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，则绳索长为多少 ．
23 . 如图，在5×5的方格纸中，每一个小正方形的边长都为1．
（1）∠BCD是不是直角？请说明理由．
（2）求四边形ABCD的面积．
24．一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，
(1)这个梯子的顶端距地面有多高？
(2)如果梯子的顶端下滑了4米到，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
25 . 已知，如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=18cm．
动点P从点A出发，沿AB向点B运动，动点Q从点B出发，沿BC向点C运动，
如果动点P以2cm/s，Q以1cm/s的速度同时出发，设运动时间为t(s)，解答下列问题：
t为______时，△PBQ是等边三角形？
(2) P，Q在运动过程中，△PBQ的形状不断发生变化，
当t为何值时，△PBQ是直角三角形？说明理由．
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