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北师版七年级数学下册第四章《三角形》单元检测试卷（解析版）
选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分）
1 . 小明不小心把一块三角形形状的玻璃打碎成了三块，
如图①②③，他想要到玻璃店去配一块大小形状完全一样的玻璃，你认为应带（ ）
A．① B．② C．③ D．①和②
【答案】C
【分析】已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角，根据三角形全等的判定方法，即可求解．
【详解】第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；
第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃.
故选C.
2 . 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．5cm 2cm 3cm B．5cm 2cm 2cm
C．5cm 2cm 4cm D．5cm 12cm 6cm
【答案】C
【分析】根据三角形的三边关系进行分析判断．
【详解】解：根据三角形任意两边的和大于第三边，得
A、3＋2＝5，不能组成三角形，不符合题意；
B、2＋2＝4＜5，不能组成三角形，不符合题意；
C、4＋2＝6＞5，能够组成三角形，符合题意；
D、5＋6＝11＜12，不能组成三角形，不符合题意．
故选：C．
如图，△ABC≌△EDF，AF＝20，EC＝8，则AE等于（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】A
【详解】根据三角形全等的性质可得：AC=EF，
则AE=CF，
根据AF=20，EC=8，可得：AE=(20-8)÷2=6，
故选A．
4 . 如图，将一副三角板按如图的方式放置，图中等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查三角形的综合应用，熟练掌握三角板的构成及三角形的外角性质是解题关键．
根据三角板的每个角度及三角形的有关性质求解．
【详解】在中由三角形外角性质可得：
，
，，
，
故选：B．
5 . 工人常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图：是一个任意角，
在边上分别取，移动角尺，使角尺两边相间的刻度分别与点M、N重合，
过角尺顶点C作射线，由此作法便可得其依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由作图可得，再加上公共边，可利用证明．
【详解】解：由题意得，
在和中
∴，
故选：A．
6 . 下列图形中，正确画出AC边上的高的是（ ）
A. B.C. D.
【答案】D
【分析】根据高的定义即可求解．
【详解】解：根据锐角三角形和钝角三角形的高线的画法，可得D选项中，BE是△ABC中AC边长的高，
故选：D．
7. 如图，点A，D，C，E在同一条直线上，AB∥EF，AB＝EF，∠B＝∠F，AE＝10，AC＝7，
则CD的长为（ ）
A．5.5 B．4 C．4.5 D．3
【答案】B
【详解】解：因为AB∥EF，所以∠A=∠E，
又AB=EF，∠B=∠F，
所以△ABC≌△EFD，
所以AC= ED =7，
又AE=10，
所以CE=3，
所以CD=ED-CE=7-3=4，
故选B．
8．等腰三角形的周长为24cm，腰长为xcm，则x的取值范围是（ ）
A．x＜6 B．6＜x＜12 C．0＜x＜12 D．x＞12
【答案】B
【详解】等腰三角形的周长为24cm，腰长为xcm，则底边长为24-2x，
根据三边关系，x+x＞24-2x，解得，x＞6；
x-x＜24-2x，解得，x＜12，
所x的取值范围是6＜x＜12．
故选B．
9 . 如图，已知，下列条件中，添加后仍不能判定的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有．
【详解】解；添加条件，结合条件，，不可以由证明，故A符合题意；
添加条件，结合条件，，可以由证明，故B不符合题意；
添加条件，结合条件，，可以由证明，故C不符合题意；
添加条件，结合条件，，可以由证明，故D不符合题意；
故选A．
10 .如图所示，，，，则下列结论：
①；②；③；④．
其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，证明，是解题的关键．
【详解】，，，
，
，，
，
即，故①正确．
，，，
，
.
又，
，即，故②正确.
，，，
，故④正确.
，，，
，
.
根据题目条件，不能判断出与的大小关系，
因此不能判断与是否相等，故③错误.
答案：B．
二、填空题（本大题共有8个小题，每小题4分，共32分）
11．生活中，自行车的车架大多设计成如图所示的三角形，这是因为三角形具有 ．
【答案】稳定性
【分析】本题考查的是三角形的性质，熟记三角形具有稳定性是解题的关键．根据三角形具有稳定性解答．
【详解】解：因为三角形具有稳定性，
故答案为：稳定性．
12 .如图，在中，是延长线上一点，，，则等于 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
故答案为：．
13 .如图，要测池塘两端A，B的距离，小明先在地上取一个可以直接到达A和B的点C，
连接并延长到D，使；连接并延长到E，使，
由和全等得到．那么判定其全等的依据是 （用三个字母表示）．
【答案】
【分析】本题主要考查了用证明三角形全等．
【详解】解：根据题意可得：，，且对应边的夹角，
∴由可证明．
故答案为：.
14 如图所示，已知，，垂足分别为，，要使，
可增加的一个条件是 ．
【答案】
【分析】本题考查全等三角形判定．根据题干和两个条件，即已知一边及其对角对应相等，此时添加即可证明三角形全等，答案不唯一．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴此时若添加即可判定两个三角形全等，理由如下：
在和中，
，
∴（AAS）．
故答案为：（答案不唯一）．
15．如图，AD、AE分别是△ABC的角平分线和高，∠B＝50°，∠C＝70°，则∠DAE＝ °．
【答案】10
【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，再根据角平分线的定义求出∠BAD，根据直角三角形两锐角互余求出∠BAE，然后求解即可．
【详解】解：∵∠B=50°，∠C=70°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-50°-70°=60°，
∵AD是角平分线，
∴∠BAD=∠BAC=×60°=30°，
∵AE是高，
∴∠BAE=90°-∠B=90°-50°=40°，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=40°-30°=10°．
故答案为：10．
16 . 如图，，，则 °．
【答案】
【分析】此题考查了三角形的外角性质．延长交于，然后根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”列式进行计算即可得解．
【详解】解：如图，延长交于点，
由三角形的外角性质可知：，
∵，
∴，
同理：，
∴，
∴，
故答案为：．
17．△ABC中，AB＝5，BC＝3，则中线BD的取值范围是 ．
【答案】1＜BD＜4
【详解】延长BD到E，使BD=DE，连接AE，如图：
∵BD是△ABC中线，
∴AD=DC，
在△BDC和△EDA中，
∵，
∴△BDC≌△EDA.
∴BC=AE=3，
∵在△ABE中，根据三角形的三边关系定理得：5+3＞BE＞5-3，
∴2＜2BD＜8，
即1＜BD＜4.
故答案为1＜BD＜4.
18 . 如图，cm，cm，，
点P在线段上以的速度由点A向点B运动，
同时，点Q在线段上由点B向点D运动，它们运动的时间．
设点Q的运动速度为，若使得与全等，则x的值为 ．
【答案】2或
【分析】本题考查了动点问题中的全等，熟记全等三角形的性质定理是解题关键．
根据，分类讨论、即可求解．
【详解】解：由题意得：，
∵，
∴当时，，
即：，
解得：；
当时，
，
即：，
解得：；
∴
解得：；
故答案为：2或
三、解答题（本大题共有6个小题，共38分）
19 ．如图，点A，B，C，D在同一直线上，且，．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，先根据等式的性质得出，然后根据平行线的性质得出，再根据证明，最后根据全等三角形的性质即可得证．
【详解】证明：∵，
∴，即，
∵，
∴，
在和中
，
∴，
∴．
如图，已知，，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，以及全等三角形对应角相等．连接，即可根据得出，即可求证．
【详解】证明：连接，
在和中，
，
∴，
∴．
21.在△ABC中，已知∠B=50°，∠C=60°，AE⊥BC于E，AD平分∠BAC；求：∠DAE的度数．
【答案】∠DAE=5°．
【详解】试题分析：根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求得∠CAD的度数；在△AEC中，求出∠CAE的度数，从而可得∠DAE的度数．
试题解析：
∵在△ABC中，∠B=50°，∠C=60°，
∴∠BAC=180°﹣50°﹣60°=70°．
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAC=35°．
∵AE⊥BC于E，
∴∠CAE=90°﹣60°=30°，
∴∠DAE=∠CAD﹣∠CAE=35°﹣30°=5°．
22．如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=90°，∠DAE=90°，B，C，D
在同一条直线上．求证：BD=CE．
【答案】见解析
【分析】求出AD=AE，AB=AC，∠DAB=∠EAC，根据SAS证出△ADB≌△AEC即可．
【详解】证明：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴AD=AE，AB=AC．
又∵∠EAC=90°+∠CAD，∠DAB=90°+∠CAD，
∴∠DAB=∠EAC．
∴△ADB≌△AEC（SAS）．
∴BD=CE．
如图①，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，
过点A的直线l绕点A旋转，BD⊥l于D，CE⊥l于E.
(1)试说明：DE＝BD＋CE.
(2)当直线l绕点A旋转到如图②所示的位置时，(1)中结论是否成立？
若成立，请说明；若不成立，请探究DE，BD，CE又有怎样的数量关系，并写出探究过程．
【答案】(1) 见解析； (2)(1)中结论不成立．DE＝BD－CE. 探究过程见解析.
【分析】（1）由AAS证明△ABD≌△CAE，得到BD=AE，AD=CE，即可解决问题．（2）由AAS证明证明△ABD≌△CAE，得出BD=AE，AD=CE，即可得出结论．
【详解】(1)因为BD⊥l，CE⊥l，
所以∠ADB＝∠AEC＝90°.
所以∠DBA＋∠BAD＝90°.
又因为∠BAC＝90°，
所以∠BAD＋∠CAE＝90°.
所以∠DBA＝∠CAE.
因为AB＝AC，∠ADB＝∠CEA＝90°，
所以△ABD≌△CAE(AAS)．
所以AD＝CE，BD＝AE.
则AD＋AE＝BD＋CE，
即DE＝BD＋CE.
(2)(1)中结论不成立．
DE＝BD－CE.
同(1)说明△ABD≌△CAE，
所以BD＝AE，AD＝CE.
又因为AE－AD＝DE，
所以DE＝BD－CE.
24．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BE、CF相交于点P．
（1）若∠ABC=70°，∠ACB=50°，则∠BPC=________°；
（2）求证：∠BPC=180°﹣ （∠ABC+∠ACB）；
（3）若∠A=α，求∠BPC的度数．
【答案】（1）120°；（2）证明见解析；（3）∠BPC=90°+ .
【详解】试题分析：（1）根据已知条件求出∠ABC+∠ACB，再根据角平分线的定义求出∠PBC+∠PCB，然后利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解；（2）根据三角形的内角和和角平分线的定义即可得到结论；（3）根据三角形的内角和和角平分线的定义即可得到结论．
试题解析：（1）PBC+∠PCB= (∠ABC+∠ACB)=×120°=60°，
在△PBC中,∠BPC=180° (∠PBC+∠PCB)=180° 60°=120°
故答案为120；
（2）证明：∵∠ABC和∠ACB的平分线BE、CF相交于点P，
∴∠PBC=∠ABC, ∠PCB=∠ACB,
∵∠BPC +∠PBC+∠PCB=180°,
∴∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB)= 180°-(∠ABC +∠ACB) =180°-(∠ABC+∠ACB),
∴∠BPC=180°-(∠ABC+∠ACB)；
（3）在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∵由（2）可知：∠BPC=180°-(∠ABC+∠ACB)，
∴∠BPC=180°-(180°-∠A)，
∵∠A=，
∴∠BPC=180°-(180°-)=90°+ .
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
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选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分）
1 . 小明不小心把一块三角形形状的玻璃打碎成了三块，
如图①②③，他想要到玻璃店去配一块大小形状完全一样的玻璃，你认为应带（ ）
A．① B．② C．③ D．①和②
2 . 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．5cm 2cm 3cm B．5cm 2cm 2cm
C．5cm 2cm 4cm D．5cm 12cm 6cm
如图，△ABC≌△EDF，AF＝20，EC＝8，则AE等于（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
4 . 如图，将一副三角板按如图的方式放置，图中等于（ ）
A． B． C． D．
5 . 工人常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图：是一个任意角，
在边上分别取，移动角尺，使角尺两边相间的刻度分别与点M、N重合，
过角尺顶点C作射线，由此作法便可得其依据是（ ）
A． B． C． D．
6 . 下列图形中，正确画出AC边上的高的是（ ）
A. B.C. D.
7. 如图，点A，D，C，E在同一条直线上，AB∥EF，AB＝EF，∠B＝∠F，AE＝10，AC＝7，
则CD的长为（ ）
A．5.5 B．4 C．4.5 D．3
8．等腰三角形的周长为24cm，腰长为xcm，则x的取值范围是（ ）
A．x＜6 B．6＜x＜12 C．0＜x＜12 D．x＞12
9 . 如图，已知，下列条件中，添加后仍不能判定的是（ ）
A． B．
C． D．
10 .如图所示，，，，则下列结论：
①；②；③；④．
其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（本大题共有8个小题，每小题4分，共32分）
11．生活中，自行车的车架大多设计成如图所示的三角形，这是因为三角形具有 ．
12 .如图，在中，是延长线上一点，，，则等于 ．
13 .如图，要测池塘两端A，B的距离，小明先在地上取一个可以直接到达A和B的点C，
连接并延长到D，使；连接并延长到E，使，
由和全等得到．那么判定其全等的依据是 （用三个字母表示）．
14 如图所示，已知，，垂足分别为，，要使，
可增加的一个条件是 ．
15．如图，AD、AE分别是△ABC的角平分线和高，∠B＝50°，∠C＝70°，则∠DAE＝ °．
16 . 如图，，，则 °．
17．△ABC中，AB＝5，BC＝3，则中线BD的取值范围是 ．
18 . 如图，cm，cm，，
点P在线段上以的速度由点A向点B运动，
同时，点Q在线段上由点B向点D运动，它们运动的时间．
设点Q的运动速度为，若使得与全等，则x的值为 ．
三、解答题（本大题共有6个小题，共38分）
19 ．如图，点A，B，C，D在同一直线上，且，．求证：．
如图，已知，，求证：．
21.在△ABC中，已知∠B=50°，∠C=60°，AE⊥BC于E，AD平分∠BAC；求：∠DAE的度数．
22．如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=90°，∠DAE=90°，B，C，D
在同一条直线上．求证：BD=CE．
如图①，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，
过点A的直线l绕点A旋转，BD⊥l于D，CE⊥l于E.
试说明：DE＝BD＋CE.
当直线l绕点A旋转到如图②所示的位置时，(1)中结论是否成立？
若成立，请说明；若不成立，请探究DE，BD，CE又有怎样的数量关系，并写出探究过程．
24．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BE、CF相交于点P．
（1）若∠ABC=70°，∠ACB=50°，则∠BPC=________°；
（2）求证：∠BPC=180°﹣ （∠ABC+∠ACB）；
（3）若∠A=α，求∠BPC的度数．
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