湖北省恩施州高中教学联盟2023-2024学年高二上学期1月期末考试数学试题（含答案）

恩施州高中教育联盟2023年秋季学期高二年级期末考试
数学
考试满分：150分 考试用时：120分钟
祝考试顺利
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数，则（ ）
A．0 B．1 C． D．
2．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
3．设为椭圆的两个焦点，斜率不为0的直线过交椭圆于两点，则的周长是（ ）
A．25 B．20 C．15 D．10
4．若是相互独立事件，但不是互斥事件，则事件的概率是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，这是一半径为的水轮示意图，水轮圆心距离水面，已知水轮每逆时针转动一圈，若当水轮上点从水中浮出时（图中点）开始计时，则（ ）
A．点距离水面的高度与之间的函数关系式为
B．点第一次到达最高点需要
C．在水轮转动的一圈内，有的时间，点距离水面的高度不低于
D．当水轮转动时，点在水面下方，距离水面
6．已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线所在直线过点，则反射光线所在直线的方程是（ ）
A． B． C． D．
7．在中，，将沿翻折，使，则平面与平面夹角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知双曲线的左焦点为，右焦点为，双曲线的右支上一点，它关于原点的对称点为，满足，且，则双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列选项正确的有（ ）
A．若，则有最小值3 B．若，则有最大值1
C．若，则 D．若，则
10．如图，在棱长为2的正方体中，在线段（含端点）上运动，分别是的中点，则下列判断正确的是（ ）
A． B．与所成角的余弦值是
C．到直线的距离不是定值 D．三棱锥的体积为
11．已知抛物线的焦点为是抛物线上两点，点，下列说法正确的有（ ）
A．的准线方程为
B．若，则线段的中点到轴的距离为3
C．的周长的最小值为
D．以线段为直径的圆与的准线相切
12．已知平面内一点在圆上，分别过定点的两条直线与圆相交于点，则下列结论正确的是（ ）
A．动点的轨迹是除去点的一个圆
B．的最大值是
C．点到直线的距离的最小值为
D．动点的轨迹与圆一定没有交点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．函数的定义域为________．
14．已知数列满足，则________．
15．已知双曲线为坐标原点，不经过点的直线交双曲线于两点，且直线的斜率之和为0，则的斜率为________．
16．如图，在中，，过的中点的动直线与线段交于点，将沿直线向上翻折至，使得点在平面内的射影落在线段上，则斜线与平面所成角的正弦值的最大值为（ ）
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）
2023年12月21日，第十四届学校文化论坛在某市举行，志愿者的服务工作是会议举办的重要保障．现随机抽取了100名志愿者候选人的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组．绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0．3，第一组和第五组的频率相同．
（1）求，并估计这100名候选者面试成绩的第25百分位数．
（2）现从以上各组中采取按比例分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的志愿者．现计划从第一组和第二组抽取的人中，再随机抽取2名作为组长．求选出的2人来自不同组的概率．
18．（12分）
已知抛物线，点在上．
（1）求的方程；
（2）若点是的焦点，过作两条互相垂直的直线，直线与交于两点，直线与交于两点，求的最小值．
19．（12分）
在锐角中，角所对应的边分别为，已知．
（1）求的值；
（2）若，求面积的取值范围．
20．（12分）
已知在非零数列中，，数列的前项和．
（1）证明：数列为等差数列．
（2）求数列的通项公式．
（3）若数列满足，求数列的前项和．
21．（12分）
在四棱锥中，四边形为菱形，，且为的中点，为的中点，．
（1）证明：平面．
（2）若不是的中点，且直线与平面所成角的正切值为，求的值．
22．（12分）
已知动圆过定点，且在定圆的内部与其内切．
（1）求动圆圆心的轨迹方程．
（2）当过点的动直线与圆心的轨迹相交于两不同点时，在线段上取点，满足，则点是否在某条定直线上？若在，求该直线的方程；若不在，请说明理由．
恩施州高中教育联盟2023年秋季学期高二年级期末考试
数学参考答案
一、单选题：
1-8 ACBBDBCD
二、多选题：
9-12 BCD AB BC ABD
12．解：因为，即的斜率存在，所以直线的方程不能为，由圆的定义可知动点的轨迹是除去点的一个圆，选项A正确．
设，则，则的最大值是，选项B正确．
点到直线的距离的最小值为，选项C错误．
不经过点的动点的轨迹方程为，设圆心为，两圆没有交点，选项D正确．
答案选ABD．
三、填空题：
13． 14． 15． 16．
16．解：中，根据余弦定理，，根据正弦定理，得．
如图1，以底面点为空间原点建系，根据底面几何关系，得点，设点，翻折后点的投影在轴上，即，由，根据两点间距离公式，
可得，整理为．
图1 图2
如图2，在翻折过程中，作于点，则，
并且平面，
所以平面平面，
所以，即，其中．
又动点在线段上，设，所以，且．
由，得，
又因为，对应的的取值为，即，
所以．
故斜线与平面所成角的正弦值的最大值为．
（法二）经分析可知，为时所求值最大．设，则，所以即，斜线与平面所成角的正弦值的最大值为．
四、解答题：
17．解：（1）由题意可知，解得
因为，
设第25百分位数为，则，
解得，所以第25百分位数为63．
（2）根据分层随机抽样，和的频率比为，
在和中分别选取1人和5人，分别编号为和1，2，3，4，5，
则在这6人中随机抽取两个的样本空间包含的样本点有，，共15个，即，
记事件“2人来自不同组”，则包含的样本点有，共5个，
即，所以．
18．解：（1）因为点在上，所以，即．
（2）设，直线的方程为（直线斜率存在且不为0）．取方程得，
所以．
同理，直线与的交点满足．
由抛物线的定义可知，
当且仅当（或）时，等号成立．
19．解：（1），由正弦定理得，即，
由余弦定理得，因为，所以．
（2）在锐角中，，记的面积为．
由正弦定理得，即．
所以．（或
因为在锐角中，，所以，
解得，
则，故．
20．（1）证明：因为在非零数列中，，
两边同时除以，可得，
所以．又，所以，
所以是以1为首项，以为公差的等差数列．
（2）解：因为数列的前项和为，所以，
当时，，
又对也成立，所以．
（3）解：由（1）可知，，又由（2）可知
所以，可知为等差数列，
所以．
21．（1）证明：设的中点为，连接（图略），则，
又，
所以，即为平行四边形，即，
又平面平面，
所以平面．
（2）解：不妨设与平面所成的角为，则，即．
如图，连接．
易知两两垂直，以为坐标原点，直线，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，由，得，
所以．设平面的法向量为，则即令，得平面的一个法向量，
则，
解得或（舍去），即．
22．解：（1）设动圆和定圆切于点．动点到定点和定圆圆心的距离之和恰好等于定圆的半径，即．由椭圆定义可得动圆圆心的轨迹方程为．
（2）点在定直线上．理由如下．
设点．
由题设知均不为零，记，则且，
因为四点共线，将点代入轨迹方程得，所以点在椭圆外，又点在线段上，所以，
于是①，②．
又点在椭圆上，所以
③-④得，代入①②有，
即点在定直线上．