球的外接、内切问题 -2024届高三数学二轮专题复习 课件（共30张PPT）
文档属性
| 名称 | 球的外接、内切问题 -2024届高三数学二轮专题复习 课件（共30张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-01-26 18:27:06 | ||
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文档简介
(共30张PPT)
专题：与球有关的内切与外接问题二、球与多面体的接、切
定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，
则称这个多面体是这个球的内接多面体，
这个球是这个 。
定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，
则称这个多面体是这个球的外切多面体，
这个球是这个 。
一、
球体的体积与表面积
①
②
多面体的外接球
多面体的内切球
棱切：
一个几何体各个面分别与另一个几何体各条棱相切。
图3
图4
图5
2、球心和截面圆心的连线垂直于截面
O
A
B
C
D
d
r
R
3、球心到截面的距离与球的半径R及截面的半径的关系：
性质1：用一个平面去截球，截面是圆面；用一个平面去
截球面， 截线是圆。
大圆--截面过球心，半径等于球半径；小圆--截面不过球心
有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.
⑴正方体的内切球直径＝
⑵正方体的外接球直径＝
⑶与正方体所有棱相切的球直径＝
探究一： 若正方体的棱长为a，则
①若球为正方体
的外接球
若球为正方体的内切球，则
2R=a
③若球与正方体的各棱相切，则
⑴正方体的内切球直径＝
⑵正方体的外接球直径＝
⑶与正方体所有棱相切的球直径＝
探究一： 若正方体的棱长为a，则
a
(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝ .
一、直接法
变式题：一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为 .
1、求正方体的外接球的有关问题
例1、若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 .
2、求长方体的外接球的有关问题
例2、一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3 ，则此球的表面积为 .
解析：关键是求出球的半径，因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径。长方体体对角线长为 ，故球的表面积为 .
变式题：已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
C
中截面
设棱长为1
球的外切正方体的棱长等于球直径。
A
B
C
D
D1
C1
B1
A1
O
例1 甲球内切于正方体的各面，乙球内切于该正方体的各条棱，
丙球外接于该正方体，则三球表面面积之比为( )
A. 1:2:3 B. C. D.
球与棱柱的组合体问题
A
B
C
D
D1
C1
B1
A1
O
中截面
正方形的对角线等于球的直径。
.
球内切于正方体的棱
设棱长为1
A
B
C
D
D1
C1
A1
O
B1
对角面
球的内接正方体的对角线等于球直径。
球外接于正方体
设棱长为1
1. 已知长方体的长、宽、高分别是 、 、1 ，求长方体的外接球的体积。变题：2. 已知球O的表面上有P、A、B、C四点，且PA、PB、PC两两互相垂直，若PA=3,PB=4,PC=5，求这个球的表面积和体积。沿对角面截得：ACBPO半球的半径为R，一正方体的四个顶点在半球的底面上，另四个顶点在球面上，求正方体的棱长球与正四面体的切与接
⑴正四面体的内切球直径＝
⑵正四面体的外接球直径＝
⑶与正四面体所有棱相切的球直＝
探究二： 若正四面体的棱长为a，则
求棱长为a的正四面体外接球、内切球及棱切球的半径．
[解] 设正四面体A—BCD的高为AO1，外接
球球心为O，半径为R，如图所示．
A
B
C
D
O
A
B
C
D
O
求正四面体外接球的半径
求正方体外接球的半径
解法2：
典型：正四面体ABCD的棱长为a，求其内切球半径r与外接球半径R.
思考：若正四面体变成正三棱锥，方法是否有变化？
1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等
2、正多面体的内切球和外接球的球心重合
3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合
4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理
5、体积分割是求内切球半径的通用做法
1.正方体的内切球、棱切球、外接球
设正方体的棱长为a,则: 正方体的内切球、外接球、棱切球直径
径分别为:
2.正四面体的内切球、棱切球、外接球
设正四面体的棱长为a,则: 正四面体的内切球、棱切球、外接球
半径分别为:
圆锥的内切球
圆锥的外接球
圆锥内接正四棱柱
结论：
1.正方体的外接球的球心是体对角线的交点，半径是体对角线的一半
2.正方体的内切球的球心是体对角线的交点，半径是棱长的一半
3.与正方体的棱都相切的球的球心是体对角线的交点，半径是面对角线长的一半
A
B
C
D
D1
C1
B1
A1
O
球内接正方体
球外切正方体（切面）
球外切正方体（切棱）
思维升华
空间几何体与球接、切问题的求解方法
(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解.
(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解.
课时小结:解决与球有关的内切与外接问题的关键是：通过寻找恰当的过球心的截面,把立体问题转化为平面问题,通过解三角形求出球的半径R.
专题：与球有关的内切与外接问题二、球与多面体的接、切
定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，
则称这个多面体是这个球的内接多面体，
这个球是这个 。
定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，
则称这个多面体是这个球的外切多面体，
这个球是这个 。
一、
球体的体积与表面积
①
②
多面体的外接球
多面体的内切球
棱切：
一个几何体各个面分别与另一个几何体各条棱相切。
图3
图4
图5
2、球心和截面圆心的连线垂直于截面
O
A
B
C
D
d
r
R
3、球心到截面的距离与球的半径R及截面的半径的关系：
性质1：用一个平面去截球，截面是圆面；用一个平面去
截球面， 截线是圆。
大圆--截面过球心，半径等于球半径；小圆--截面不过球心
有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.
⑴正方体的内切球直径＝
⑵正方体的外接球直径＝
⑶与正方体所有棱相切的球直径＝
探究一： 若正方体的棱长为a，则
①若球为正方体
的外接球
若球为正方体的内切球，则
2R=a
③若球与正方体的各棱相切，则
⑴正方体的内切球直径＝
⑵正方体的外接球直径＝
⑶与正方体所有棱相切的球直径＝
探究一： 若正方体的棱长为a，则
a
(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝ .
一、直接法
变式题：一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为 .
1、求正方体的外接球的有关问题
例1、若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 .
2、求长方体的外接球的有关问题
例2、一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3 ，则此球的表面积为 .
解析：关键是求出球的半径，因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径。长方体体对角线长为 ，故球的表面积为 .
变式题：已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
C
中截面
设棱长为1
球的外切正方体的棱长等于球直径。
A
B
C
D
D1
C1
B1
A1
O
例1 甲球内切于正方体的各面，乙球内切于该正方体的各条棱，
丙球外接于该正方体，则三球表面面积之比为( )
A. 1:2:3 B. C. D.
球与棱柱的组合体问题
A
B
C
D
D1
C1
B1
A1
O
中截面
正方形的对角线等于球的直径。
.
球内切于正方体的棱
设棱长为1
A
B
C
D
D1
C1
A1
O
B1
对角面
球的内接正方体的对角线等于球直径。
球外接于正方体
设棱长为1
1. 已知长方体的长、宽、高分别是 、 、1 ，求长方体的外接球的体积。变题：2. 已知球O的表面上有P、A、B、C四点，且PA、PB、PC两两互相垂直，若PA=3,PB=4,PC=5，求这个球的表面积和体积。沿对角面截得：ACBPO半球的半径为R，一正方体的四个顶点在半球的底面上，另四个顶点在球面上，求正方体的棱长球与正四面体的切与接
⑴正四面体的内切球直径＝
⑵正四面体的外接球直径＝
⑶与正四面体所有棱相切的球直＝
探究二： 若正四面体的棱长为a，则
求棱长为a的正四面体外接球、内切球及棱切球的半径．
[解] 设正四面体A—BCD的高为AO1，外接
球球心为O，半径为R，如图所示．
A
B
C
D
O
A
B
C
D
O
求正四面体外接球的半径
求正方体外接球的半径
解法2：
典型：正四面体ABCD的棱长为a，求其内切球半径r与外接球半径R.
思考：若正四面体变成正三棱锥，方法是否有变化？
1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等
2、正多面体的内切球和外接球的球心重合
3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合
4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理
5、体积分割是求内切球半径的通用做法
1.正方体的内切球、棱切球、外接球
设正方体的棱长为a,则: 正方体的内切球、外接球、棱切球直径
径分别为:
2.正四面体的内切球、棱切球、外接球
设正四面体的棱长为a,则: 正四面体的内切球、棱切球、外接球
半径分别为:
圆锥的内切球
圆锥的外接球
圆锥内接正四棱柱
结论：
1.正方体的外接球的球心是体对角线的交点，半径是体对角线的一半
2.正方体的内切球的球心是体对角线的交点，半径是棱长的一半
3.与正方体的棱都相切的球的球心是体对角线的交点，半径是面对角线长的一半
A
B
C
D
D1
C1
B1
A1
O
球内接正方体
球外切正方体（切面）
球外切正方体（切棱）
思维升华
空间几何体与球接、切问题的求解方法
(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解.
(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解.
课时小结:解决与球有关的内切与外接问题的关键是：通过寻找恰当的过球心的截面,把立体问题转化为平面问题,通过解三角形求出球的半径R.
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