江西省景德镇市乐平中学2023-2024学年高二上学期1月期末考试数学试题（含解析）

乐平中学2023—2024学年度上学期高二期末考试
数学试卷
考试范围：选择性必修一；考试时间：150分钟；
第I卷（选择题）
一、单选题
1．华为在过去几年面临了来自美国政府的封锁和限制，但华为并没有放弃，在自主研发和国内供应链的支持下，成功突破了封锁，实现了5G功能某手机商城统计了最近5个月华为手机的实际销量，如下表所示：
若y与x线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（ ）
时间x（月） 1 2 3 4 5
销售量y（万部） 0.5 0.8 1.0 1.2 1.5
A．样本中心点为（3，1.0） B．由表中数据可知，变量y与x呈正相关
C． D．预测x=7时华为手机销量约为1.86（万部）
2．设分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线交于M，N两点，若，且，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线及其准线分别交于P，Q两点，，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
4．已知点在直线上，点在圆上，则下列说法不正确的是（ ）
A．点到直线的最大距离为8
B．若直线被圆所截得的弦长最大，则
C．若直线为圆的切线，则的取值范围为
D．若点也在圆上，则到直线的距离的最大值为3
5．已知贵州某果园中刺梨单果的质量（单位：）服从正态分布，且，若从该果园的刺梨中随机选取100个单果，则质量在的单果的个数的期望为（ ）
A．20 B．60 C．40 D．80
6．在三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA=1，PB=2，PC=3，三角形ABC重心为G，则点P到直线AG的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．某校有甲、乙等5名同学到4个社区参加志愿服务活动，要求每名同学只能去1个社区，每个社区至少安排1名同学，则甲、乙2人被分配到同1个社区的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知双曲线的焦距为2c，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点．设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．点A，B为圆上的两点，点为直线上的一个动点，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，且AB为圆的直径时，的面积最大值为3
B．从点向圆引两条切线，切点为A，B，线段的最小值为
C．A，B为圆上的任意两点，在直线上存在一点，使得
D．当时，的最大值为
10．有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（ ）
A．分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有90种分法；
B．分给甲、乙丙三人中，一人4本，另两人各1本，有90种分法；
C．分给甲乙每人各2本，分给丙丁每人各1本，有90种分法；
D．分给甲乙丙丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有1080种分法；
11．如图是直四棱柱ABCD—A1B1C1D1，底面ABCD是边长为1的正方形，侧核AA1=2，点E，F，H分别为棱DD1，D1C，BB1的中点，则（ ）
A．点在平面内 B．直线与平面所成的角为
C．平面 D．异面直线与所成的角的余弦值为
12．经过抛物线的焦点的直线交于A，B两点，为坐标原点，设，的最小值是4，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若点是线段的中点，则直线的方程为
D．若，则直线的倾斜角为或
第II卷（非选择题）
三、填空题
13．如图，在三棱锥中，，点在线段BC上，且，则直线AD与直线PC所成角的余弦值为______．
14．随着经济的不断发展，城市的交通问题越来越严重，为倡导绿色出行，某公司员工小明选择了三种出行方式．已知他每天上班选择步行、骑共享单车和乘坐地铁的概率分别为0.2、0.3、0.5．并且小明步行上班不迟到的概率为0.91，骑共享单车上班不迟到的概率为0.92，乘坐地铁上班不迟到的概率为0.93，则某天上班小明退到的概率是______．
15．过点作斜率为的直线与椭圆相交于A，B两点，若是线段的中点，则椭圆的离心率为______．
16．已知点在正方体的表面上，到三个平面中的两个平面的距离相等，且到剩下一个平面的距离与到此正方体的中心的距离相等，则满足条件的点的个数为______．
四、解答题
17．解答下列两个小题：
（1）双曲线实轴长为2，且双曲线与椭圆的焦点相同，求双曲线的标准方程；
（2）已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且经过点，求双曲线的方程．
18．江西省从2021年开始，高考取消文理分科，实行“3+1+2”的模式，其中的“1”表示每位学生必须从物理、历史中选择且只能选择一个科目：某校高—年级有2000名学生（其中女生900人），该校为了解高一年级学生对物理、历史的选科情况，采用比例分配的分层抽样的方法抽取了200名学生进行间卷调查，其中选择历史的男生有40人，选择物理的女生有30人．
（1）利用以上信息完成下面的2×2列联表，根据小概率值a=0.005的独立性检验，能否认为学生性别与选择科目有关？
（2）某个外语学习小组共有7人，其中有3人选择了历史，4人选择了物理，随机抽取4人进行对话练习，用X表示抽中的4人中，选择历史的同学人数，求X的分布列及期望．
性别 选择物理 选择历史 总计
男生
女生
总计
附：，其中
0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001
2.70619 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
19．如图，已知四边形ABCD为梯形，，∠DAB=90°，BDD1B1为矩形，且平面BDD1B1⊥平面ABCD，又AB=AD=BB1=1，CD=2．
（1）证明：CB1上平面B1D1A；（2）求B1到平面ACD1的距离，
20．从①第4项的系数与第2项的系数之比是；②第3项与倒数第2项的二项式系数之和为36；这两个条件中任选一个，再解决补充完整的题目．
已知，且的二项展开式中，______．
（1）求的值；（2）①求二项展开式的中间项；②求的值．
21．已知椭圆的左，右焦点分别为，且与短轴的一个端点构成一个等腰直角三角形，点在椭圆上，过点作互相垂直且与轴不重合的两直线AB，CD分别交椭圆于A，B，C，D，且M，N分别是弦AB，CD的中点．
（1）求椭圆的方程；（2）求证：直线MN过定点；（3）求面积的最大值．
22．首届奥林匹克电竞周于2023年6月22日至25日在新加坡举行，这是国际奥委会旗下首个以“电子竞技（ESPORTS）”命名的线下赛事首届奥林匹克电竞周的设项非常谨慎，十款官方竞赛游戏相当于虚拟的射箭、棒球、国际象棋、自行车、舞蹈、赛车、帆船、射击、跆拳道和网球比赛、然而，与英雄联盟、王者荣耀、和平精英等杭州亚运会电竞项目相比，这十款游戏由国际奥委会、国际单项体育联合会以及游戏开发商基于真实体育运动规则和场景开发，通过虚拟现实技术来获得沉浸式运动体验。以虚拟跆拳道比赛为例，我国跆拳道奥运冠军吴静钰也受邀参赛，她将通过头戴式VR设备以及身上的感应装置，与对手在虚拟世界进行一对一非接触式比赛，不必担心现实中的风险和伤害已知该项赛事的后半段有四支战队参加，采取“双败淘汰赛制”，对阵表如图，赛程如下：
第一轮：四支队伍分别两两对阵（即比赛1和2），两支获胜队伍进入胜者组，两支失败队伍落入败者组．
第二轮：胜者组的两支队伍对阵（即比赛3），获胜队伍成为胜者组第一名，失败队伍落入败者组：第一轮落入败者组的两支队伍对阵（即比赛4），失败队伍（已两败）被淘汰（获得殿军），获胜队伍留在败者组．
第三轮：败者组的两支队伍对阵（即比赛5），失败队伍被海述（获得季军）：获胜队伍成为败者组第一名．
第四轮：败者组第一名和胜者组第一名决赛（即比赛6），争夺冠军．
假设每场比赛双方获胜的概率均为0.5，每场比赛之间相互独立．问：
（1）若第一轮队伍A和队伍D对阵，则他们仍能在决赛中对阵的概率是多少？
（2）已知队伍B在上述赛事后半段所参加的所有比赛中，败了两场，求在该条件下队伍B获得亚军的概率．
乐平中学2023-2024学年度上学期高二期末考试
数学参考答案
1．D
【分析】根据表格中数据的变换趋势，平均数的计算公式，以及回归直线方程，逐项判定，即可求解．
【详解】由表格数据可以计算出，，
则样本中心点为，即选项A说法正确；
从表格数据可得：y随着x的增加而增加，所以变量y与x正相关，即选项B说法正确；
将样本中心点代入，可得，即选项C说法正确；
由C可知线性回归方程为，
将代入可得，则选项D说法不正确．
故选：D．
2．A
【分析】设，中，由余弦定理得与的关系，中，由余弦定理得与的关系，可求的离心率．
【详解】如图，设，则．
由椭圆定义可得，
则在中，由余弦定理得:
，
即，解得，则．
在中，由余弦定理得，
又，所以，所以离心率．
故选：A．
3．B
【分析】由题意过点做垂直准线垂足为，根据、抛物线定义可得，从而可得，根据对称性即可选出答案．
【详解】如图所示：
过点做垂直准线垂足为，则，
由，则，则，
则，则，
所以由对称性可知直线的斜率．
故选：B．
4．C
【分析】求出圆心到直线距离的最大值，从而可求得到的最大距离，进而即可判断A；将圆心的坐标代入直线的方程，求出的值，即可判断B；利用圆心到直线的距离等于半径，结合点到直线的距离公式求出的值，进而即可判断C；分析可知当直线与圆相切时，到的距离的最大值，进而即可判断D．
【详解】对于A，由题意可知，直线过定点，圆的圆心为原点，半径为，
设圆心到直线的距离为，
当时，；当与直线不垂直时，，
则，所以点到的最大距离为，故A正确；
对于B，若被圆所截得的弦长最大，则直线过圆心，可得，所以，故B正确；
对于C，若为圆的切线，则，解得，故C错误；
对于D，若也在圆上，则直线与圆相切或相交，
当直线与圆相切时，到的距离取最大值，故D正确．
故选：C．
5．B
【分析】由正态分布对称性及已知得，又质量在的单果的个数，应用二项分布的期望公式求期望．
【详解】因为(单位)服从正态分布，且，
所以，
若从该果园的刺梨中随机选取100个单果，
则质量在的单果的个数，
所以．
故选：B
6．D
【分析】建立空间直角坐标系，确定各点坐标，得到，，计算在的投影为，在根据勾股定理计算得到答案．
【详解】如图所示：以为轴建立空间直角坐标系，
则，，，则．
，，
故在的投影为，
点到线的距离为．
故选：D．
7．B
【分析】由排列与组合的相关计算公式运算即可求解．
【详解】先在5名同学中选出2名同学分配到一个社区，有种分配方法，
再将另外3人分配到3个社区且每个社区各1人，则共有（种）分配方法，
其中甲、乙2人被分配到同一个社区的分法有（种），
则甲、乙2人被分配到同1个社区的概率为．
故选：B．
8．C
【分析】任取双曲线的一条渐近线为直线，由点到直线的距离公式，构造，，结合题目已知条件列不等式即可求出双曲线离心率的范围．
【详解】由题意可知，直线经过双曲线的右焦点，且垂直于轴，不妨设，
代入椭圆方程，又，所以，
所以，，任取双曲线的一条渐近线为直线，
由点到直线的距离公式可得点到渐近线的距离，
点到渐近线的距离，
所以，因为，
所以，因，所以，即，
所以，所以，
因为双曲线离心率，所以，
所以双曲线的离心率的取值范围为．
故选：C．
9．ABD
【分析】利用圆的性质及三角形面积公式计算可判定A；利用切线性质及余弦函数的单调性可判定B；
由B项可判定C项；根据定弦定角确定中点轨迹，结合平面向量的线性运算及圆的特征可判定D．
【详解】对于选项A，当为直径时，显然当时，
的面积取得最大值，所以A正确；
对于选项B，设，则，
所以越大，越小，
显然当点P在处时，最大，

此时，即，选项B正确；
对于选项C，由上可知当点P在处时，且为切线时，最大，
此时，即，
所以不存在符合的点，故选项C不正确；
对于D选项，设的中点D，则，
所以点D在以M为圆心，为半径的圆上，
易知，

设小圆半径为，则，则的最大值为，

故D正确．
故选：ABD
10．ABD
【分析】选项A，先从6本书中分给甲（也可以是乙或丙）2本；再从其余的4本书中分给乙2本；最后的2本书给丙．根据分步乘法原理把每一步的方法相乘，即得答案．选项B，先分堆再分配． 先把6本书分成3堆:4本、1本、1本；再分给甲 乙 丙三人．根据分步乘法原理把每一步的方法相乘，即得答案． 选项C，6本不同的书先分给甲乙每人各2本；再把其余2本分给丙丁．根据分步乘法原理把每一步的方法相乘，即得答案． 选项D，先分堆再分配． 先把6本不同的书分成4堆:2本、2本、1本、1本；再分给甲乙丙丁四人． 根据分步乘法原理把每一步的方法相乘，即得答案．
【详解】对A，先从6本书中分给甲2本，有种方法；再从其余的4本书中分给乙2本，有种方法；最后的2本书给丙，有种方法．
所以不同的分配方法有种，故A正确；
对B，先把6本书分成3堆:4本、1本、1本，有种方法；再分给甲 乙 丙三人，所以不同的分配方法有种，故B正确；
对C，6本不同的书先分给甲乙每人各2本，有种方法；其余2本分给丙丁，有种方法．所以不同的分配方法有种，故C错误；
对D，先把6本不同的书分成4堆:2本、2本、1本、1本，有种方法；
再分给甲乙丙丁四人， 所以不同的分配方法有种，故D正确．
故选：．
【点睛】本题考查分步乘法原理和排列组合，考查学生的逻辑推理能力，属于中档题．
11．ACD
【分析】建立空间直角坐标系然后利用向量法逐项判断即可求解．
【详解】由题意知以为原点，所在直线为 轴建立空间直角坐标系，如图所示．
则，，，，，，
对A：，，所以，结合图可得，
所以，所以共面，故A正确；
对B：，设平面的 一个法向量为，，，
则，令，得，
设直线与平面所成的角为，
所以，所以，故B错误；
对C：，，所以，所以，
因为平面，平面，所以平面，故C正确；
对D：，，
所以，故D正确；
故选：ACD．
12．BC
【分析】设出直线的方程并与抛物线方程联立，化简写出根与系数关系，根据求得，由此对选项逐一分析，从而确定正确答案．
【详解】，由题意可知直线的斜率存在且不为，可设直线的方程为，
联立，得，
，
，
，
所以，当时等号成立，
所以，所以抛物线方程为，
所以，
所以，A选项错误；
，
所以，
，
所以，B正确；
因为点是线段的中点，所以，即，
所以直线的方程为，C正确；
，所以，即，所以，
因为，所以，即，解得（舍去），
又，故，所以，
所以直线的斜率为，直线的倾斜角为，D错误．
故选：BC
【点睛】求解直线和抛物线相交所得弦长，如果直线过焦点，此时直线的斜率存在且不为，故可设直线的方程为，这样的设法可以避免讨论直线的斜率是否存在，减少一定的运算量．
13．/
【分析】以为基底表示，利用向量的运算和夹角公式求解．
【详解】,
,
,
∵,
,
∴
,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴直线与直线所成角的余弦值为．
故答案为：．
14．
【分析】根据给定条件，利用对立事件及全概率公式计算即得．
【详解】记小明步行、骑共享单车、乘坐地铁上班的事件分别为，小明上班不迟到的事件为，
则，且两两互斥，依题意，，
，
因此，
所以某天上班他迟到的概率．
故答案为：
15．
【分析】本题考查点差法，根据点差法的知识，设点的坐标，代入曲线方程，作差，化简整理即可．
【详解】设则两式作差得
整理得
又是线段的中点，且直线的斜率为，
即
故答案为：．
16．
【分析】确定在平面上，根据得到的轨迹为平面内的一条抛物线，建立坐标系确定抛物线方程，计算交点得到答案．
【详解】若P到平面ABCD、距离相等，根据对称性知在平面上，
平面，平面，故平面平面，
故到平面的距离即到的距离，
设正方体的中心为，即，故的轨迹为平面内的一条抛物线，
不妨取正方体边长为，中点为，以所在的直线为轴，
以线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，
抛物线方程为，时，，故抛物线与棱和相交，
故共有个点满足条件．
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题考查了立体几何，抛物线的轨迹方程，意在考查学生的计算能力，空间想象能力和综合应用能力，其中根据题意得到动点的轨迹方程是解题的关键，
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据椭圆的标准方程求出其焦点坐标，确定的值，再根据双曲线的实轴长确定的值，然后求出，可写出双曲线标准方程；
（2）根据双曲线有相同的渐近线设方程，代入已知点的坐标，可求双曲线的标准方程．
【详解】（1）对 椭圆 ，因为，所以，所以焦点为，在轴上，
设双曲线 的方程为， 所以， 且，所以，
所以， 双曲线 的标准方程为；
（2） 双曲线与双曲线有相同的渐近线，
所以所求双曲线方程可设为：
又双曲线 经过点， 代入方程，
，即,
双曲线的标准方程为即．
18．(1)列联表见解析；能认为学生性别与选择科目有关
(2)分布列见解析；
【分析】（1）根据分层抽样得到抽取男生和女生的人数，进而得到列联表，求出的值比较即可；
（2）根据排列组合的知识求出各值时的概率即可，写出分布列，求出期望即可．
【详解】（1）根据采用比例分配的分层抽样得其中抽取男生的人数为人，则抽取女生人数为人，
则列联表如下：
性别 选择物理 选择历史 总计
男生 70 40 110
女生 30 60 90
总计 100 100 200
则，
能认为学生性别与选择科目有关；
（2）可能取值为，，，，
，
，
则的分布列如：
．
19．（1）证明见解析；（2）1．
【分析】（1）利用题干条件的长度关系，可得B1C⊥B1D1，B1C⊥AB1，即得证；
（2）利用等体积法，转化B1到平面ACD1的距离为三棱锥C AD1B1以平面ACD1为底面的高，即得解
【详解】（1）证明：∵BDD1B1为矩形，且平面BDD1B1⊥平面ABCD，
∴BB1⊥平面ABCD，DD1⊥平面ABCD，∴D1C＝，AD1＝，AB1＝．
在梯形ABCD中，∠DAB＝90°，AD＝AB＝1，DC＝2，∴AC＝，BD＝BC＝，从而B1C＝，
在△B1D1C中，D1C＝，B1D1＝BD＝，B1C＝，∴D1C2＝B1D＋B1C2，
B1C⊥B1D1．在△B1CA中，B1C＝，AB1＝，AC＝，∴AC2＝AB＋B1C2，
∴B1C⊥AB1．∵B1D1∩AB1＝B1，∴B1C⊥平面B1D1A．
（2）在△B1D1A中，AB1＝B1D1＝，AD1＝，则△B1D1A的面积S＝×()2＝，
∴三棱锥C AD1B1的体积V＝××＝，在△ACD1中，AC＝CD1＝，而AD1＝，
∴△ACD1的边AD1上的高h＝＝＝．
∴△ACD1的面积S1＝××＝，设点B1到平面ACD1的距离为d，
由等体积法得S△AD1C·d＝，∴××d＝，则d＝1，∴B1到平面ACD1的距离为1．
【点睛】本题考查了立体几何中线面垂直的证明以及点到平面距离的求解，考查了学生空间想象，综合分析，转化划归，逻辑推理能力，属于中档题
20．(1)条件选择见解析，
(2)①；②．
【分析】（1）由题意，根据系数、二项式系数等知识，列出等式，解出的值．
（2）由题意，利用通项公式求出二项展开式的中间项，再判断、、、、为正数，、、、为负数，再给赋值，从而求出的值．
【详解】（1）若选择①第4项的系数与第2项的系数之比是，
则有，
化简可得，求得或（舍去）．
若选择②第3项与倒数第2项的二项式系数之和为36，
则有，
化简可得，求得或（舍去）．
（2）由（1）可得，
①的二项展开式的中间项为．
②二项式展开式的通项公式为，
所以、、、、为正数，、、、为负数．
在中，令．
再令，可得，
∴．
21．(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据条件列出方程组求解；
（2）设直线的方程为，根据已知条件，利用韦达定理和中点公式求得，，然后按照其横坐标是否相等，分别研究直线的方程，从而得到结论；
（3）求得△MNF2面积关于的表达式，然后利用换元思想，设转化为关于的函数，利用函数的单调性求解得到．
【详解】（1）因为椭圆经过点，
所以，因为与短轴的一个顶点构成一个等腰直角三角形，
所以，
所以，解得，
所以椭圆方程为．
（2）证明：设直线的方程为，
则直线的方程为，
联立，消去得，
设，则,
所以，
由中点坐标公式得，
将的坐标中的用代换，得的中点，
当时，所在直线为，
当时，，直线的方程为，
整理得，
令，可得，即有，
所以直线过定点，且为．
（3）方法一：面积为．
令，
由，，在上，∴递增，则在上递减，所以当，即时，取得最大值为，
则面积的最大值为．
方法二：，
则面积，
令，则，当且仅当，
即时，面积的最大值为．
所以面积的最大值为．
22．解：（1）由题意可知，第一轮队伍A和队伍D对阵，则获胜队伍需要赢得比赛3的胜利，失败队伍需要赢得比赛4和比赛5的胜利，他们才能在决赛中对阵，所以所求的概率为．
（2）设表示队伍在比赛中胜利，表示队伍在比赛中失败，
设事件：队伍获得亚军，事件：队伍所参加的所有比赛中败了两场，
则事件包括，且这五种情况彼此互斥，进而．
事件包括且这两种情况互斥，
进而．
所以．
故队伍在败两场的情况下获得亚军的概率为．