新人教版数学九年级上册21.2.2公式法 同步训练
一、选择题
1．（新人教版数学九年级上册21.2.2公式法 同步训练）下列关于x的一元二次方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（新人教版数学九年级上册21.2.2公式法 同步训练）方程 的根是（ ）
A． B．
C． D．没有实数根
3．（新人教版数学九年级上册21.2.2公式法 同步训练）下列方程中，没有实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（新人教版数学九年级上册21.2.2公式法 同步训练）一元二次方程 的实数根的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．无法判断1
5．（新人教版数学九年级上册21.2.2公式法 同步训练）关于x的一元二次方程 ax2-3x+2=0有两个不相等的实数根，那么a的取值范围是（ ）
A．且a≠0
B．
C．且a≠0
D．
6．（新人教版数学九年级上册21.2.2公式法 同步训练）关于x的一元二次方程 的实数根说法正确的是（ ）
A．没有实数根 B．有一个实数根
C．有两个不相等的实数根 D．有实数根
7．（新人教版数学九年级上册21.2.2公式法 同步训练）关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，k的取值为（ ）
A． B． C． D．
8．（新人教版数学九年级上册21.2.2公式法 同步训练）关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，k的取值为（ ）
A． B． C． D．
9．（新人教版数学九年级上册21.2.2公式法 同步训练）关于x的一元二次方程 没有实数根，k的取值为（ ）
A． B． C． D．
10．（新人教版数学九年级上册21.2.2公式法 同步训练）一元二次方程 的实数根为（ ）
A．没有实数根 B．
C． D．
11．（新人教版数学九年级上册21.2.2公式法 同步训练）如果关于x的一元二次方程 有实数根，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
12．（新人教版数学九年级上册21.2.2公式法 同步训练）三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程 的一个实数根，则该三角形的周长是（ ）
A．20 B．20或24 C．26 D．28
13．（新人教版数学九年级上册21.2.2公式法 同步训练）一元二次方程 的根是（ ）
A． B． ，
C． ， D．
14．（新人教版数学九年级上册21.2.2公式法 同步训练）已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，那么m的值为（ ）
A． B． C． D．
15．（新人教版数学九年级上册21.2.2公式法 同步训练）已知关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，那么m的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
16．（新人教版数学九年级上册21.2.2公式法 同步训练）一元二次方程 的求根公式是 ．
17．（新人教版数学九年级上册21.2.2公式法 同步训练）一元二次方程 的一般形式是 ．
18．（新人教版数学九年级上册21.2.2公式法 同步训练）不解方程，判断下列方程实数根的情况：
①方程 有 个实数根；
②方程 有 个实数根．
19．（新人教版数学九年级上册21.2.2公式法 同步训练）关于 的一元二次方程 有实数根，则m的取值范围是 ．
20．（新人教版数学九年级上册21.2.2公式法 同步训练）关于x的方程 是一元二次方程，那么m的值为 ．
三、解答题
21．（新人教版数学九年级上册21.2.2公式法 同步训练）用公式法解方程：
（1） ；
（2）
（3）
（4）
22．（新人教版数学九年级上册21.2.2公式法 同步训练）关于x的一元二次方程 的一个根是0，求n的值．
23．（新人教版数学九年级上册21.2.2公式法 同步训练）已知关于x的方程x(x－k)＝2－k的一个根为2．
（1）求k的值；
（2）求方程2y(2k－y)＝1的解．
24．（新人教版数学九年级上册21.2.2公式法 同步训练）如果关于 的一元二次方程 的各项系数之和等于8，求 的值．
25．（新人教版数学九年级上册21.2.2公式法 同步训练）已知：关于 的方程 ．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是 ，求另一个根及 值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】A中 ，∴方程没有实数根；B中 ，∴该方程有两个不相等的实数根；C中的 ，∴该方程有两个不相等的实数根；D中的 ，∴该方程有两个相等的实数根．
【分析】其中 ，当△＜0时，方程没有实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＞0时，方程有两个不相等的实数根．
2．【答案】C
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】这个方程的根是 ，所以选择C．
【分析】一元二次方程的求根公式为 ．
3．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】A中的 ，所以该方程有两个不相等的实数根；B中的 ，所以方程有两个相等的实数根；C中的 ，所以该方程没有实数根；D中的 ，所以该方程有两个不相等的实数根．
【分析】其中 ，当△＜0时，方程没有实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＞0时，方程有两个不相等的实数根．
4．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】所给的一元二次方程中的 ，所以该方程有两个相等的实数根即一个实数根．
【分析】当△＝0时，方程有两个相等的实数根即一个实数根．
5．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵所给方程有两个不相等的实数根，
∴△=（-3）2-4a×2>0，
解得
又∵a≠0
∴a的取值范围为
且a≠0
故选A。
【分析】一元二次方程有两个不相等的实数根，那么△=b2-4ac>0 ，解所得到的不等式即可求得a的取值范围．
6．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程根的判别式及应用；偶次方的非负性
【解析】【解答】∵ ，∴所给的一元二次方程有实数根，可能有两个也可能有一个，所以选择D．
【分析】在遇到关于一元二次方程实数根的个数时，我们一般优先考虑用根的判别式来解题．
7．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵这个方程的有两个不相等的实数根，∴ ，∴ ．
【分析】一元二次方程有两个不相等的实数根，即根据 即可求得k的取值范围．
8．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵这个方程的有两个相等的实数根，∴ ，∴ ．
【分析】一元二次方程有两个相等的实数根，即根据 即可求得k的取值范围．
9．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵这个方程没有实数根，∴ ，∴ ．
【分析】一元二次方程有两个不相等的实数根，即根据 即可求得k的取值范围．
10．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵这个方程中 ，∴所给方程没有实数根．
【分析】解一元二次方程的时候，可以计算 ，当方程没有实数根时可以简化计算．
11．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵这个方程中 ，∴ ，又∵所给方程为关于x的一元二次方程，∴a≠0，∴ ．
【分析】当所给的一元二次方程的二次项系数含字母时，需要确保该系数不为0．
12．【答案】B
【知识点】公式法解一元二次方程；三角形三边关系
【解析】【解答】根据求根公式 ，∴该方程的根为 ，根据三角形的三边可知这两个数据都可以和8、6组成三角形，∴该三角形的周长是20或24．
【分析】涉及三角形三边的时候需要根据“任意两边和大于第三边，任意两边和小于第三边”来检验三边能否组成三角形．
13．【答案】D
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】将所给的一元二次方程整理成一般形式 ，∵ ，根据求根公式 ，∴ ．
【分析】应用求根公式解一元二次方程必须是一元二次方程的一般形式： ．
14．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴ ，
∴ ，∵是一元二次方程，∴ ，∴ ．
【分析】先按照题意与根的判别式与0的关系求得m的取值范围，再根据一元二次方程的定义保证二次项的系数不为0．
15．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，∴ ，∴ ．
【分析】先按照题意与根的判别式与0的关系求得m的值，再根据一元二次方程的定义保证二次项的系数不为0．
16．【答案】
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】一元二次方程 的求根公式是 ．
【分析】用公式法解一元二次方程必须是一元二次方程的一般形式．
17．【答案】
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】去括号得 ，移项、合并同类项得 ，所以所给的一元二次方程的一般形式为 ．
【分析】将一元二次方程化为一般形式是用公式法解一元二次方程的前提条件．
18．【答案】两；一
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】（1）因为 ，所以此方程有两个实数根；（2）因为 ，所以此方程有一个实数根．
【分析】可以根据判别式 与0的大小关系判断一元二次方程的实数根的个数．
19．【答案】m≤1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵关于x的一元二次方程有实数根，∴ ，∴m≤1．
【分析】可根据根的判别式与0的关系求得m的取值范围．
20．【答案】1
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】∵关于x的方程是一元二次方程，∴ ，∴m＝1．
【分析】根据一元二次方程的定义可知 必须为二次项且必须不能为0，由此可得 ，从而求得m的值．
21．【答案】（1）解：∵
∴ ，
∴
∴方程的解为 ；
（2）解：∵ ，∴ ，∴
∴方程的解为 ；
（3）解：∵ ，∴ ，∴
∴方程的解为 ；
（4）解：将所给方程整理为一般形式
∴ ，
∴ ，
∴
∴方程的解为
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】使用公式法解一元二次方程的前提条件是：①一元二次方程为一般形式 ，② ．
22．【答案】解：将x＝0代入所给的方程中得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵当 时，所给方程不是一元二次方程，
∴ ．
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】先根据0是所给方程的一个根求出n的值，因为二次项的系数为n－1，所以n≠1．
23．【答案】（1）解：将x＝2代入所给的方程中得：
，解得 ；
（2）解：将 代入方程2y(2k－y)＝1中得方程2y(4－y)＝1，整理得 ∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】先根据2是所给方程的一个根求出k的值，将k的值代入（2）中可得到关于y的一元二次方程，整理成一般形式以后利用公式法解方程．
24．【答案】解：将所给的方程整理得： ，
∵这个方程的各项系数之和等于8，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵当 时，所给方程不是一元二次方程，
∴ ．
【知识点】多项式乘多项式；一元二次方程的定义及相关的量；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】先将所给的关于x的一元二次方程整理成一般形式，再根据题意列出关于m的方程即可求得m的值．
25．【答案】（1）证明：在关于 的方程中，
∵ ，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：将 代入所给的方程中得： ，
∴ ，
∴所给方程为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴方程的另一个根为 ．
【知识点】公式法解一元二次方程；偶次方的非负性
【解析】【分析】（1）求证方程的实数根的情况需借助判别式；（2）先根据 是所给方程的一个根求出k的值，再将k的值代入所给方程利用公式法求得另一个根．
1 / 1新人教版数学九年级上册21.2.2公式法 同步训练
一、选择题
1．（新人教版数学九年级上册21.2.2公式法 同步训练）下列关于x的一元二次方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】A中 ，∴方程没有实数根；B中 ，∴该方程有两个不相等的实数根；C中的 ，∴该方程有两个不相等的实数根；D中的 ，∴该方程有两个相等的实数根．
【分析】其中 ，当△＜0时，方程没有实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＞0时，方程有两个不相等的实数根．
2．（新人教版数学九年级上册21.2.2公式法 同步训练）方程 的根是（ ）
A． B．
C． D．没有实数根
【答案】C
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】这个方程的根是 ，所以选择C．
【分析】一元二次方程的求根公式为 ．
3．（新人教版数学九年级上册21.2.2公式法 同步训练）下列方程中，没有实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】A中的 ，所以该方程有两个不相等的实数根；B中的 ，所以方程有两个相等的实数根；C中的 ，所以该方程没有实数根；D中的 ，所以该方程有两个不相等的实数根．
【分析】其中 ，当△＜0时，方程没有实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＞0时，方程有两个不相等的实数根．
4．（新人教版数学九年级上册21.2.2公式法 同步训练）一元二次方程 的实数根的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．无法判断1
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】所给的一元二次方程中的 ，所以该方程有两个相等的实数根即一个实数根．
【分析】当△＝0时，方程有两个相等的实数根即一个实数根．
5．（新人教版数学九年级上册21.2.2公式法 同步训练）关于x的一元二次方程 ax2-3x+2=0有两个不相等的实数根，那么a的取值范围是（ ）
A．且a≠0
B．
C．且a≠0
D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵所给方程有两个不相等的实数根，
∴△=（-3）2-4a×2>0，
解得
又∵a≠0
∴a的取值范围为
且a≠0
故选A。
【分析】一元二次方程有两个不相等的实数根，那么△=b2-4ac>0 ，解所得到的不等式即可求得a的取值范围．
6．（新人教版数学九年级上册21.2.2公式法 同步训练）关于x的一元二次方程 的实数根说法正确的是（ ）
A．没有实数根 B．有一个实数根
C．有两个不相等的实数根 D．有实数根
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程根的判别式及应用；偶次方的非负性
【解析】【解答】∵ ，∴所给的一元二次方程有实数根，可能有两个也可能有一个，所以选择D．
【分析】在遇到关于一元二次方程实数根的个数时，我们一般优先考虑用根的判别式来解题．
7．（新人教版数学九年级上册21.2.2公式法 同步训练）关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，k的取值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵这个方程的有两个不相等的实数根，∴ ，∴ ．
【分析】一元二次方程有两个不相等的实数根，即根据 即可求得k的取值范围．
8．（新人教版数学九年级上册21.2.2公式法 同步训练）关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，k的取值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵这个方程的有两个相等的实数根，∴ ，∴ ．
【分析】一元二次方程有两个相等的实数根，即根据 即可求得k的取值范围．
9．（新人教版数学九年级上册21.2.2公式法 同步训练）关于x的一元二次方程 没有实数根，k的取值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵这个方程没有实数根，∴ ，∴ ．
【分析】一元二次方程有两个不相等的实数根，即根据 即可求得k的取值范围．
10．（新人教版数学九年级上册21.2.2公式法 同步训练）一元二次方程 的实数根为（ ）
A．没有实数根 B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵这个方程中 ，∴所给方程没有实数根．
【分析】解一元二次方程的时候，可以计算 ，当方程没有实数根时可以简化计算．
11．（新人教版数学九年级上册21.2.2公式法 同步训练）如果关于x的一元二次方程 有实数根，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵这个方程中 ，∴ ，又∵所给方程为关于x的一元二次方程，∴a≠0，∴ ．
【分析】当所给的一元二次方程的二次项系数含字母时，需要确保该系数不为0．
12．（新人教版数学九年级上册21.2.2公式法 同步训练）三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程 的一个实数根，则该三角形的周长是（ ）
A．20 B．20或24 C．26 D．28
【答案】B
【知识点】公式法解一元二次方程；三角形三边关系
【解析】【解答】根据求根公式 ，∴该方程的根为 ，根据三角形的三边可知这两个数据都可以和8、6组成三角形，∴该三角形的周长是20或24．
【分析】涉及三角形三边的时候需要根据“任意两边和大于第三边，任意两边和小于第三边”来检验三边能否组成三角形．
13．（新人教版数学九年级上册21.2.2公式法 同步训练）一元二次方程 的根是（ ）
A． B． ，
C． ， D．
【答案】D
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】将所给的一元二次方程整理成一般形式 ，∵ ，根据求根公式 ，∴ ．
【分析】应用求根公式解一元二次方程必须是一元二次方程的一般形式： ．
14．（新人教版数学九年级上册21.2.2公式法 同步训练）已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，那么m的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴ ，
∴ ，∵是一元二次方程，∴ ，∴ ．
【分析】先按照题意与根的判别式与0的关系求得m的取值范围，再根据一元二次方程的定义保证二次项的系数不为0．
15．（新人教版数学九年级上册21.2.2公式法 同步训练）已知关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，那么m的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，∴ ，∴ ．
【分析】先按照题意与根的判别式与0的关系求得m的值，再根据一元二次方程的定义保证二次项的系数不为0．
二、填空题
16．（新人教版数学九年级上册21.2.2公式法 同步训练）一元二次方程 的求根公式是 ．
【答案】
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】一元二次方程 的求根公式是 ．
【分析】用公式法解一元二次方程必须是一元二次方程的一般形式．
17．（新人教版数学九年级上册21.2.2公式法 同步训练）一元二次方程 的一般形式是 ．
【答案】
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】去括号得 ，移项、合并同类项得 ，所以所给的一元二次方程的一般形式为 ．
【分析】将一元二次方程化为一般形式是用公式法解一元二次方程的前提条件．
18．（新人教版数学九年级上册21.2.2公式法 同步训练）不解方程，判断下列方程实数根的情况：
①方程 有 个实数根；
②方程 有 个实数根．
【答案】两；一
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】（1）因为 ，所以此方程有两个实数根；（2）因为 ，所以此方程有一个实数根．
【分析】可以根据判别式 与0的大小关系判断一元二次方程的实数根的个数．
19．（新人教版数学九年级上册21.2.2公式法 同步训练）关于 的一元二次方程 有实数根，则m的取值范围是 ．
【答案】m≤1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵关于x的一元二次方程有实数根，∴ ，∴m≤1．
【分析】可根据根的判别式与0的关系求得m的取值范围．
20．（新人教版数学九年级上册21.2.2公式法 同步训练）关于x的方程 是一元二次方程，那么m的值为 ．
【答案】1
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】∵关于x的方程是一元二次方程，∴ ，∴m＝1．
【分析】根据一元二次方程的定义可知 必须为二次项且必须不能为0，由此可得 ，从而求得m的值．
三、解答题
21．（新人教版数学九年级上册21.2.2公式法 同步训练）用公式法解方程：
（1） ；
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）解：∵
∴ ，
∴
∴方程的解为 ；
（2）解：∵ ，∴ ，∴
∴方程的解为 ；
（3）解：∵ ，∴ ，∴
∴方程的解为 ；
（4）解：将所给方程整理为一般形式
∴ ，
∴ ，
∴
∴方程的解为
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】使用公式法解一元二次方程的前提条件是：①一元二次方程为一般形式 ，② ．
22．（新人教版数学九年级上册21.2.2公式法 同步训练）关于x的一元二次方程 的一个根是0，求n的值．
【答案】解：将x＝0代入所给的方程中得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵当 时，所给方程不是一元二次方程，
∴ ．
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】先根据0是所给方程的一个根求出n的值，因为二次项的系数为n－1，所以n≠1．
23．（新人教版数学九年级上册21.2.2公式法 同步训练）已知关于x的方程x(x－k)＝2－k的一个根为2．
（1）求k的值；
（2）求方程2y(2k－y)＝1的解．
【答案】（1）解：将x＝2代入所给的方程中得：
，解得 ；
（2）解：将 代入方程2y(2k－y)＝1中得方程2y(4－y)＝1，整理得 ∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】先根据2是所给方程的一个根求出k的值，将k的值代入（2）中可得到关于y的一元二次方程，整理成一般形式以后利用公式法解方程．
24．（新人教版数学九年级上册21.2.2公式法 同步训练）如果关于 的一元二次方程 的各项系数之和等于8，求 的值．
【答案】解：将所给的方程整理得： ，
∵这个方程的各项系数之和等于8，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵当 时，所给方程不是一元二次方程，
∴ ．
【知识点】多项式乘多项式；一元二次方程的定义及相关的量；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】先将所给的关于x的一元二次方程整理成一般形式，再根据题意列出关于m的方程即可求得m的值．
25．（新人教版数学九年级上册21.2.2公式法 同步训练）已知：关于 的方程 ．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是 ，求另一个根及 值．
【答案】（1）证明：在关于 的方程中，
∵ ，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：将 代入所给的方程中得： ，
∴ ，
∴所给方程为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴方程的另一个根为 ．
【知识点】公式法解一元二次方程；偶次方的非负性
【解析】【分析】（1）求证方程的实数根的情况需借助判别式；（2）先根据 是所给方程的一个根求出k的值，再将k的值代入所给方程利用公式法求得另一个根．
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