人教版数学科目九年级上册第24章第3节正多边形和圆课时练习
一、选择题
1．（人教版数学科目九年级上册第24章第3节正多边形和圆课时练习）如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是( )
A． cm B． C． D．1cm
【答案】A
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】连接AC，过B作BD⊥AC于D；
∵AB=BC，
∴△ABC是等腰三角形，
∴AD=CD；
∵此多边形为正六边形，
∴
∴∠ABD= =60°
∴∠BAD=30°，AD=AB·cos30°=
∴a= cm
故选A
【分析】连接AC，作BD⊥AC于D；根据正六边形的特点求出∠ABC的度数，再由等腰三角形的性质求出∠BAD的度数，由特殊角的三角函数值求出AD的长，进而可求出AC的长．
2．（人教版数学科目九年级上册第24章第3节正多边形和圆课时练习）已知正三角形的边长为12，则这个正三角形外接圆的半径是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】如图所示，连接OB，作OD⊥BC，
∵BC=12，
∴BD= BC=6，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠OBD=30°，
∴
故选C
【分析】根据题意画出图形，连接OB，作OD⊥BC，由垂径定理可得到BD= BC，再由等边三角形的性质可得到∠OBD的度数，由特殊角的三角函数值即可求解．
3．（人教版数学科目九年级上册第24章第3节正多边形和圆课时练习）等边三角形的内切圆半径，外接圆半径和高的比是( )
A． B．2：3：4 C． D．1：2：3
【答案】D
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】图中内切圆半径是OD，外接圆的半径是OC，高是AD，
因而AD=OC+OD；
在直角△OCD中，∠DOC=60°，
则OD：OC=1：2，
因而OD：OC：AD=1：2：3，
所以内切圆半径，外接圆半径和高的比是1：2：3．
故选D．
【分析】过中心作边的垂线，连接半径，把内切圆半径，外接圆半径和高，中心角之间的计算转化为解直角三角形．
4．（人教版数学科目九年级上册第24章第3节正多边形和圆课时练习）有一个边长为50cm的正方形洞口，要用一个圆盖去盖住这个洞口，那么圆盖的直径至少应为( )
A．50cm B． C．
【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】根据题意，知圆盖的直径至少应为正方形的对角线的长；再根据勾股定理，得圆盖的直径至少应为： ，故选C．
【分析】根据圆与其内切正方形的关系，易得圆盖的直径至少应为正方形的对角线的长，已知正方形边长为50cm，进而由勾股定理可得答案．
5．（人教版数学科目九年级上册第24章第3节正多边形和圆课时练习）如图，在平面直角坐标系中，边长为6的正六边形ABCDEF的对称中心与原点O重合，点A在x轴上，点B在反比例函数 位于第一象限的图象上，则k的值为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】
连接OB，过B作BG⊥OA于G，
∵ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB=60°，
∵OB=OA，
∴△AOB是等边三角形，
∴OB=OA=AB=6，
∵BG⊥OA，
∴∠BGO=90°，
∴∠OBG=30°，
∴OG= OB=3，由勾股定理得：BG=
即B的坐标是
∵B点在反比例函数 上，
∴k=3×
故选B．
【分析】连接OB，过B作BG⊥OA于G，得出等边三角形OBA，求出OB，求出OG、BG，得出B的坐标，即可去除答案．
6．（人教版数学科目九年级上册第24章第3节正多边形和圆课时练习）如图是一个正八边形，图中空白部分的面积等于20，则阴影部分的面积等于( )
A． B．20 C．18 D．
【答案】B
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】作出正方形ABCD．
△AEF中，AE=x，则AF=x，EF= ，正八边形的边长是
则正方形的边长是
根据题意得：
解得： 则阴影部分的面积是：
故选B．
【分析】设直角△AEF中，AE=x，则AF=x，EF= ，正八边形的边长是 ．根据空白部分的面积是20即可列方程求得x的值，然后利用矩形和三角形的面积求解．
7．（人教版数学科目九年级上册第24章第3节正多边形和圆课时练习）正n边形的一个外角为60°，外接圆半径为4，则它的边长为( )
A．4 B．2 C． D．
【答案】A
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】∵正n边形的一个外角为60°，
∴n=360°÷60°=6，
∵正六边形的外接圆半径与边长相等，
∴正六边形的边长为4．
故选A．
【分析】首先根据外角的度数求出正多边形的边数，正六边形的外接圆半径与边长相等求解．
8．（人教版数学科目九年级上册第24章第3节正多边形和圆课时练习）如图，等边三角形ABC内接于⊙O，若边长为 cm，则⊙O的半径为( )
A．6cm B．4cm C．2cm D．
【答案】B
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】作OD⊥BC于D点，连接OB，
∵等边三角形ABC内接于⊙O，BC=
∴∠OBD= ∠ABC=30°，BD=DC= BC=
∴OB=
故选B．
【分析】作OD⊥BC于D点，连接OB，构造直角三角形利用解直角三角形的知识求得OB的长即可．
9．（北师大版数学九年级下册第三章第八节《圆内接正多边形》同步检测）正多边形的中心角是36°，那么这个正多边形的边数是（ ）
A．10 B．8 C．6 D．5
【答案】A
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】设这个正多边形的边数是n，
∵正多边形的中心角是36°，
∴360°
n =36°，解得n=10．
故选A．
【分析】设这个正多边形的边数是n，再根据正多边形的中心角是36°求出n的值即可．
10．（人教版数学科目九年级上册第24章第3节正多边形和圆课时练习）若正多边形的一个外角为60°，则这个正多边形的中心角的度数是( ).
A．30° B．60° C．90° D．120°
【答案】B
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】∵正多边形的一个外角为60°，
∴正多边形的边数为 =6，
其中心角为 =60°
故选B
【分析】根据正多边形的外角和是360°求出正多边形的边数，再求出其中心角．
11．（华师大版数学九年级下册第27章27.4正多边形和圆 同步练习）如图，以正六边形ADHGFE的一边AD为边向外作正方形ABCD，则∠BED的度数为（ ）
A．30° B．45° C．50° D．60°
【答案】B
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：∵正六边形ADHGFE的内角为120°，
正方形ABCD的内角为90°，
∴∠BAE=360°﹣90°﹣120°=150°，
∵AB=AE，
∴∠BEA=×（180°﹣150°）=15°，
∵∠DAE=120°，AD=AE，
∴∠AED==30°，
∴∠BED=15°+30°=45°．
故选B．
【分析】根据正六边形ADHGFE的内角为120°，正方形ABCD的内角为90°，求出∠BEA=30°，∠AED=30°，据此即可解答．
12．（人教版数学科目九年级上册第24章第3节正多边形和圆课时练习）若一个正六边形的半径为2，则它的边心距等于( ).
A．2 B．1 C． D．
【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】已知正六边形的半径为2，则正六边形ABCDEF的外接圆半径为2，
连接OA，作OM⊥AB于点M，
得到∠AOM=30°，
则OM=OA cos30°=
则正六边形的边心距是
故选C．
【分析】根据正六边形的边长与外接圆的半径相等，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出．
13．（人教版数学科目九年级上册第24章第3节正多边形和圆课时练习）正六边形的半径是6，则这个正六边形的面积为( ).
A．24 B．54 C． D．
【答案】D
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】连接正六边形的中心O和两个顶点D、E，
得到△ODE，
因为∠DOE=360°× =60°，
又因为OD=OE，
所以∠ODE=∠OED=（180°-60°）÷2=60°，
则三角形ODE为正三角形，
∴OD=OE=DE=6，
∴ OD OE sin60°= ×6×6×
正六边形的面积为6×
故选D．
【分析】边长为6的正六边形可以分成六个边长为6的正三角形，计算出正六边形的面积即可．
14．（人教版数学科目九年级上册第24章第3节正多边形和圆课时练习）边长为1的正六边形的内切圆的半径为( ).
A．2 B．1 C． D．
【答案】D
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】如图，连接OA、OB，OG；
∵六边形ABCDEF是边长为1的正六边形，
∴△OAB是等边三角形，
∴OA=AB=1，
∴OG=OA sin60°=1× =
∴边长为a的正六边形的内切圆的半径为
故选D．
【分析】根据题意画出图形，利用正六边形中的等边三角形的性质求解即可．
15．（人教版数学科目九年级上册第24章第3节正多边形和圆课时练习）下列正多边形中，中心角等于内角的是( ).
A．正三角形 B．正四边形 C．正六边形 D．正八边形
【答案】B
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】设正边形的边数是n．
根据题意得：
解得：n=4．
故选B．
【分析】设正边形的边数是n，根据中心角等于内角，就可以得到一个关于n的方程，解方程就可以解得n的值.
二、填空题
16．（人教版数学科目九年级上册第24章第3节正多边形和圆课时练习）如图，AD是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠BAD= ．
【答案】72°
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：∵正五边形ABCDE的内角和为（5﹣2）×180°=540°，
∴∠E=×540°=108°，∠BAE=108°
又∵EA=ED，
∴∠EAD=×（180°﹣108°）=36°，
∴∠BAD=∠BAE﹣∠EAD=72°，
故答案是：72°．
【分析】利用多边形内角和公式求得∠E的度数，在等腰三角形AED中可求得∠EAD的读数，进而求得∠BAD的度数．
17．（人教版数学科目九年级上册第24章第3节正多边形和圆课时练习）正六边形ABCDEF的边长为2，则对角线AE的长为 .
【答案】
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】如图所示，
过点F作FG⊥AE于点G，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AFE=120°，AF=EF，
∴FG是AE的垂直平分线，∠GAF=30°，
∴AG=AF cos30°=2×
∴AE=2AG=
故答案为：
【分析】根据题意画出图形，过点F作FG⊥AE于点G，先根据正六边形的性质得出∠AFE的度数，再由AF=EF可知FG是AE的垂直平分线，∠GAF=30°，根据锐角三角函数的定义即可得出AG的长，进而得出结论．
18．（人教版数学科目九年级上册第24章第3节正多边形和圆课时练习）△OAB是以正多边形相邻的两个顶点A，B与它的中心O为顶点的三角形，若△OAB的一个内角为70°，则该正多边形的边数为 .
【答案】9
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】当∠OAB=70°时，∠AOB=40°，则多边形的边数是：360÷40=9；当∠AOB=70°时，360÷70结果不是整数，故不符合条件．故答案是：9．
【分析】分∠OAB=70°和∠AOB=70°两种情况进行讨论即可求解．
19．（人教版数学科目九年级上册第24章第3节正多边形和圆课时练习）已知一个圆的半径为5cm，则它的内接正六边形的边长为 .
【答案】5cm
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】如图，连接OA，OB，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB= ×360°=60°，
∴△OAB是等边三角形，
∴AB=OA=OB=5cm，
即它的内接六边形的边长为：5cm．
故答案为：5cm．
【分析】首先根据题意画出图形，六边形ABCDEF是正六边形，易得△OAB是等边三角形，又由圆的半径为5cm，即可求得它的内接六边形的边长．
20．（人教版数学科目九年级上册第24章第3节正多边形和圆课时练习）若一边长为40cm的等边三角形硬纸板刚好能不受损地从用铁丝围成的圆形铁圈中穿过，则铁圈直径的最小值为 cm．（铁丝粗细忽略不计）
【答案】
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】在直角△ABD中，AB=40cm，∠BAD=30°，
则AD=AB cos30°=40×
故答案是：
【分析】三角形能刚好不受损地通过铁丝做成的圆圈说明该圆的直径应该等于等边三角形的高．
三、解答题
21．（人教版数学科目九年级上册第24章第3节正多边形和圆课时练习）如图，正方形ABCD是⊙O的内接正方形，延长BA到E，使AE=AB，连接ED．
（1）求证：直线ED是⊙O的切线；
（2）连接EO交AD于点F，求证：EF=2FO．
【答案】（1）证明：（1）连接OD．
∵四边形ABCD为正方形，AE=AB．
∴AE=AB=AD，∠EAD=∠DAB=90°，
∴∠EDA=45°，∠ODA=45°，
∴∠ODE=∠ADE+∠ODA=90°，
∴直线ED是⊙O的切线．
（2）证明：作OM⊥AB于M，
∵O为正方形的中心，
∴M为AB中点，
∴AE=AB=2AM，AF∥OM，
∴
∴EF=2FO．
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】（1）连接OD，只需证明OD⊥DE．根据正方形的性质得到AE=AD，则∠ADE=45°．又∠ADO=45°则证明了结论；（2）作OM⊥AB于M．根据平行线分线段成比例定理进行证明．
22．（人教版数学科目九年级上册第24章第3节正多边形和圆课时练习）已知：如图，边长为2的正五边形ABCDE内接于⊙O，AB、DC的延长线交于点F，过点E作EG∥CB交BA的延长线于点G．
（1）求证： ；
（2）证明：EG与⊙O相切，并求AG、BF的长．
【答案】（1）证明：（1）易证五边形ABCDE的外角∠FCB=∠EAG=∠FBC，
∵EG∥CB，
∴∠EAG=∠FBC．
∴△EAG∽△FBC．
∴ ，即BC AE=AG BF．
又∵BC=AE=AB，
∴ ①
（2）连接EF，由（1）可知FB=FC，即△FBC为等腰三角形，易知BA=CD，
∴FA=FD，∴EF⊥BC且EF平分BC，∴EF过圆心O．又∵EG∥CB，∴EF⊥EG，∴EG与⊙O相切．∴ ．由（1）可知∠G=∠EAG，∴EG=EA=2，设AG=x，则 ，解得
∴AG= ，代入①中可得：BF=
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】欲证 ，可证△EAG∽△FBC及正五边形ABCDE的特点得出；求AG、BF的长，需连接EF，易证明EF⊥BC，得出EF⊥EG，依据EG与⊙O相切，用切线的性质得出．
23．（人教版数学科目九年级上册第24章第3节正多边形和圆课时练习）已知一个正三角形和一个正六边形的周长相等，求它们的面积的比值．
【答案】解：设它们的周长是1．根据题意，得
正三角形的边长是 ，正六边形的边长是
则正三角形的边心距是 ，正六边形的边心距是
则正三角形的面积是 ，正六边形的面积是
则它们的面积比是2：3．
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】根据正多边形的面积等于周长与边心距的乘积的一半，所以只需根据它们的周长计算其边心距；在由正多边形的半径、边心距和边长组成的直角三角形中，根据锐角三角函数的概念可以分别求得它们的边心距，再进一步计算其面积，从而得到其比值．
24．（人教版数学科目九年级上册第24章第3节正多边形和圆课时练习）已知A、B两点，求作：过A、B两点的⊙O及⊙O的内接正六边形ABCDEF．（要求用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不必写作法及证明．）
【答案】答：如图所示：首先以AB为直径作圆，在以AB的一半为半径在圆上截取相等的弧，然后顺次连接六个等分点即可．
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】根据题意可知作出以AB为直径的圆，且以AB的一半为半径的圆内接正六边形即可．
25．（人教版数学科目九年级上册第24章第3节正多边形和圆课时练习）如图①有一个宝塔，它的地基边缘是周长为26m的正五边形ABCDE（如图②），点O为中心．（下列各题结果精确到0.1m）
（1）求地基的中心到边缘的距离；
（2）已知塔的墙体宽为1m，现要在塔的底层中心建一圆形底座的塑像，并且留出最窄处为1.6m的观光通道，问塑像底座的半径最大是多少？
【答案】（1）解：作OM⊥AB于点M，连接OA、OB，则OM为边心距，∠AOB是中心角．
由正五边形性质得∠AOB=360°÷5=72°．
又AB= ×26=5.2，
∴AM=2.6，∠AOM=36°，
在Rt△AMO中，边心距OM=
（2）3.6-1-1.6=1（m）．
答：地基的中心到边缘的距离约为3.6m，塑像底座的半径最大约为1m．
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】（1）构造一个由正多边形的边心距、半边和半径组成的直角三角形．根据正五边形的性质得到半边所对的角是36°，再根据题意中的周长求得该正五边形的半边是26÷10=2.6，最后由该角的正切值进行求解；（2）根据（1）中的结论、塔的墙体宽为1m和最窄处为1.6m的观光通道，进行计算．
1 / 1人教版数学科目九年级上册第24章第3节正多边形和圆课时练习
一、选择题
1．（人教版数学科目九年级上册第24章第3节正多边形和圆课时练习）如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是( )
A． cm B． C． D．1cm
2．（人教版数学科目九年级上册第24章第3节正多边形和圆课时练习）已知正三角形的边长为12，则这个正三角形外接圆的半径是( )
A． B． C． D．
3．（人教版数学科目九年级上册第24章第3节正多边形和圆课时练习）等边三角形的内切圆半径，外接圆半径和高的比是( )
A． B．2：3：4 C． D．1：2：3
4．（人教版数学科目九年级上册第24章第3节正多边形和圆课时练习）有一个边长为50cm的正方形洞口，要用一个圆盖去盖住这个洞口，那么圆盖的直径至少应为( )
A．50cm B． C．
5．（人教版数学科目九年级上册第24章第3节正多边形和圆课时练习）如图，在平面直角坐标系中，边长为6的正六边形ABCDEF的对称中心与原点O重合，点A在x轴上，点B在反比例函数 位于第一象限的图象上，则k的值为( )
A． B． C． D．
6．（人教版数学科目九年级上册第24章第3节正多边形和圆课时练习）如图是一个正八边形，图中空白部分的面积等于20，则阴影部分的面积等于( )
A． B．20 C．18 D．
7．（人教版数学科目九年级上册第24章第3节正多边形和圆课时练习）正n边形的一个外角为60°，外接圆半径为4，则它的边长为( )
A．4 B．2 C． D．
8．（人教版数学科目九年级上册第24章第3节正多边形和圆课时练习）如图，等边三角形ABC内接于⊙O，若边长为 cm，则⊙O的半径为( )
A．6cm B．4cm C．2cm D．
9．（北师大版数学九年级下册第三章第八节《圆内接正多边形》同步检测）正多边形的中心角是36°，那么这个正多边形的边数是（ ）
A．10 B．8 C．6 D．5
10．（人教版数学科目九年级上册第24章第3节正多边形和圆课时练习）若正多边形的一个外角为60°，则这个正多边形的中心角的度数是( ).
A．30° B．60° C．90° D．120°
11．（华师大版数学九年级下册第27章27.4正多边形和圆 同步练习）如图，以正六边形ADHGFE的一边AD为边向外作正方形ABCD，则∠BED的度数为（ ）
A．30° B．45° C．50° D．60°
12．（人教版数学科目九年级上册第24章第3节正多边形和圆课时练习）若一个正六边形的半径为2，则它的边心距等于( ).
A．2 B．1 C． D．
13．（人教版数学科目九年级上册第24章第3节正多边形和圆课时练习）正六边形的半径是6，则这个正六边形的面积为( ).
A．24 B．54 C． D．
14．（人教版数学科目九年级上册第24章第3节正多边形和圆课时练习）边长为1的正六边形的内切圆的半径为( ).
A．2 B．1 C． D．
15．（人教版数学科目九年级上册第24章第3节正多边形和圆课时练习）下列正多边形中，中心角等于内角的是( ).
A．正三角形 B．正四边形 C．正六边形 D．正八边形
二、填空题
16．（人教版数学科目九年级上册第24章第3节正多边形和圆课时练习）如图，AD是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠BAD= ．
17．（人教版数学科目九年级上册第24章第3节正多边形和圆课时练习）正六边形ABCDEF的边长为2，则对角线AE的长为 .
18．（人教版数学科目九年级上册第24章第3节正多边形和圆课时练习）△OAB是以正多边形相邻的两个顶点A，B与它的中心O为顶点的三角形，若△OAB的一个内角为70°，则该正多边形的边数为 .
19．（人教版数学科目九年级上册第24章第3节正多边形和圆课时练习）已知一个圆的半径为5cm，则它的内接正六边形的边长为 .
20．（人教版数学科目九年级上册第24章第3节正多边形和圆课时练习）若一边长为40cm的等边三角形硬纸板刚好能不受损地从用铁丝围成的圆形铁圈中穿过，则铁圈直径的最小值为 cm．（铁丝粗细忽略不计）
三、解答题
21．（人教版数学科目九年级上册第24章第3节正多边形和圆课时练习）如图，正方形ABCD是⊙O的内接正方形，延长BA到E，使AE=AB，连接ED．
（1）求证：直线ED是⊙O的切线；
（2）连接EO交AD于点F，求证：EF=2FO．
22．（人教版数学科目九年级上册第24章第3节正多边形和圆课时练习）已知：如图，边长为2的正五边形ABCDE内接于⊙O，AB、DC的延长线交于点F，过点E作EG∥CB交BA的延长线于点G．
（1）求证： ；
（2）证明：EG与⊙O相切，并求AG、BF的长．
23．（人教版数学科目九年级上册第24章第3节正多边形和圆课时练习）已知一个正三角形和一个正六边形的周长相等，求它们的面积的比值．
24．（人教版数学科目九年级上册第24章第3节正多边形和圆课时练习）已知A、B两点，求作：过A、B两点的⊙O及⊙O的内接正六边形ABCDEF．（要求用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不必写作法及证明．）
25．（人教版数学科目九年级上册第24章第3节正多边形和圆课时练习）如图①有一个宝塔，它的地基边缘是周长为26m的正五边形ABCDE（如图②），点O为中心．（下列各题结果精确到0.1m）
（1）求地基的中心到边缘的距离；
（2）已知塔的墙体宽为1m，现要在塔的底层中心建一圆形底座的塑像，并且留出最窄处为1.6m的观光通道，问塑像底座的半径最大是多少？
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】连接AC，过B作BD⊥AC于D；
∵AB=BC，
∴△ABC是等腰三角形，
∴AD=CD；
∵此多边形为正六边形，
∴
∴∠ABD= =60°
∴∠BAD=30°，AD=AB·cos30°=
∴a= cm
故选A
【分析】连接AC，作BD⊥AC于D；根据正六边形的特点求出∠ABC的度数，再由等腰三角形的性质求出∠BAD的度数，由特殊角的三角函数值求出AD的长，进而可求出AC的长．
2．【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】如图所示，连接OB，作OD⊥BC，
∵BC=12，
∴BD= BC=6，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠OBD=30°，
∴
故选C
【分析】根据题意画出图形，连接OB，作OD⊥BC，由垂径定理可得到BD= BC，再由等边三角形的性质可得到∠OBD的度数，由特殊角的三角函数值即可求解．
3．【答案】D
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】图中内切圆半径是OD，外接圆的半径是OC，高是AD，
因而AD=OC+OD；
在直角△OCD中，∠DOC=60°，
则OD：OC=1：2，
因而OD：OC：AD=1：2：3，
所以内切圆半径，外接圆半径和高的比是1：2：3．
故选D．
【分析】过中心作边的垂线，连接半径，把内切圆半径，外接圆半径和高，中心角之间的计算转化为解直角三角形．
4．【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】根据题意，知圆盖的直径至少应为正方形的对角线的长；再根据勾股定理，得圆盖的直径至少应为： ，故选C．
【分析】根据圆与其内切正方形的关系，易得圆盖的直径至少应为正方形的对角线的长，已知正方形边长为50cm，进而由勾股定理可得答案．
5．【答案】B
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】
连接OB，过B作BG⊥OA于G，
∵ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB=60°，
∵OB=OA，
∴△AOB是等边三角形，
∴OB=OA=AB=6，
∵BG⊥OA，
∴∠BGO=90°，
∴∠OBG=30°，
∴OG= OB=3，由勾股定理得：BG=
即B的坐标是
∵B点在反比例函数 上，
∴k=3×
故选B．
【分析】连接OB，过B作BG⊥OA于G，得出等边三角形OBA，求出OB，求出OG、BG，得出B的坐标，即可去除答案．
6．【答案】B
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】作出正方形ABCD．
△AEF中，AE=x，则AF=x，EF= ，正八边形的边长是
则正方形的边长是
根据题意得：
解得： 则阴影部分的面积是：
故选B．
【分析】设直角△AEF中，AE=x，则AF=x，EF= ，正八边形的边长是 ．根据空白部分的面积是20即可列方程求得x的值，然后利用矩形和三角形的面积求解．
7．【答案】A
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】∵正n边形的一个外角为60°，
∴n=360°÷60°=6，
∵正六边形的外接圆半径与边长相等，
∴正六边形的边长为4．
故选A．
【分析】首先根据外角的度数求出正多边形的边数，正六边形的外接圆半径与边长相等求解．
8．【答案】B
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】作OD⊥BC于D点，连接OB，
∵等边三角形ABC内接于⊙O，BC=
∴∠OBD= ∠ABC=30°，BD=DC= BC=
∴OB=
故选B．
【分析】作OD⊥BC于D点，连接OB，构造直角三角形利用解直角三角形的知识求得OB的长即可．
9．【答案】A
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】设这个正多边形的边数是n，
∵正多边形的中心角是36°，
∴360°
n =36°，解得n=10．
故选A．
【分析】设这个正多边形的边数是n，再根据正多边形的中心角是36°求出n的值即可．
10．【答案】B
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】∵正多边形的一个外角为60°，
∴正多边形的边数为 =6，
其中心角为 =60°
故选B
【分析】根据正多边形的外角和是360°求出正多边形的边数，再求出其中心角．
11．【答案】B
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：∵正六边形ADHGFE的内角为120°，
正方形ABCD的内角为90°，
∴∠BAE=360°﹣90°﹣120°=150°，
∵AB=AE，
∴∠BEA=×（180°﹣150°）=15°，
∵∠DAE=120°，AD=AE，
∴∠AED==30°，
∴∠BED=15°+30°=45°．
故选B．
【分析】根据正六边形ADHGFE的内角为120°，正方形ABCD的内角为90°，求出∠BEA=30°，∠AED=30°，据此即可解答．
12．【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】已知正六边形的半径为2，则正六边形ABCDEF的外接圆半径为2，
连接OA，作OM⊥AB于点M，
得到∠AOM=30°，
则OM=OA cos30°=
则正六边形的边心距是
故选C．
【分析】根据正六边形的边长与外接圆的半径相等，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出．
13．【答案】D
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】连接正六边形的中心O和两个顶点D、E，
得到△ODE，
因为∠DOE=360°× =60°，
又因为OD=OE，
所以∠ODE=∠OED=（180°-60°）÷2=60°，
则三角形ODE为正三角形，
∴OD=OE=DE=6，
∴ OD OE sin60°= ×6×6×
正六边形的面积为6×
故选D．
【分析】边长为6的正六边形可以分成六个边长为6的正三角形，计算出正六边形的面积即可．
14．【答案】D
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】如图，连接OA、OB，OG；
∵六边形ABCDEF是边长为1的正六边形，
∴△OAB是等边三角形，
∴OA=AB=1，
∴OG=OA sin60°=1× =
∴边长为a的正六边形的内切圆的半径为
故选D．
【分析】根据题意画出图形，利用正六边形中的等边三角形的性质求解即可．
15．【答案】B
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】设正边形的边数是n．
根据题意得：
解得：n=4．
故选B．
【分析】设正边形的边数是n，根据中心角等于内角，就可以得到一个关于n的方程，解方程就可以解得n的值.
16．【答案】72°
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：∵正五边形ABCDE的内角和为（5﹣2）×180°=540°，
∴∠E=×540°=108°，∠BAE=108°
又∵EA=ED，
∴∠EAD=×（180°﹣108°）=36°，
∴∠BAD=∠BAE﹣∠EAD=72°，
故答案是：72°．
【分析】利用多边形内角和公式求得∠E的度数，在等腰三角形AED中可求得∠EAD的读数，进而求得∠BAD的度数．
17．【答案】
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】如图所示，
过点F作FG⊥AE于点G，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AFE=120°，AF=EF，
∴FG是AE的垂直平分线，∠GAF=30°，
∴AG=AF cos30°=2×
∴AE=2AG=
故答案为：
【分析】根据题意画出图形，过点F作FG⊥AE于点G，先根据正六边形的性质得出∠AFE的度数，再由AF=EF可知FG是AE的垂直平分线，∠GAF=30°，根据锐角三角函数的定义即可得出AG的长，进而得出结论．
18．【答案】9
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】当∠OAB=70°时，∠AOB=40°，则多边形的边数是：360÷40=9；当∠AOB=70°时，360÷70结果不是整数，故不符合条件．故答案是：9．
【分析】分∠OAB=70°和∠AOB=70°两种情况进行讨论即可求解．
19．【答案】5cm
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】如图，连接OA，OB，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB= ×360°=60°，
∴△OAB是等边三角形，
∴AB=OA=OB=5cm，
即它的内接六边形的边长为：5cm．
故答案为：5cm．
【分析】首先根据题意画出图形，六边形ABCDEF是正六边形，易得△OAB是等边三角形，又由圆的半径为5cm，即可求得它的内接六边形的边长．
20．【答案】
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】在直角△ABD中，AB=40cm，∠BAD=30°，
则AD=AB cos30°=40×
故答案是：
【分析】三角形能刚好不受损地通过铁丝做成的圆圈说明该圆的直径应该等于等边三角形的高．
21．【答案】（1）证明：（1）连接OD．
∵四边形ABCD为正方形，AE=AB．
∴AE=AB=AD，∠EAD=∠DAB=90°，
∴∠EDA=45°，∠ODA=45°，
∴∠ODE=∠ADE+∠ODA=90°，
∴直线ED是⊙O的切线．
（2）证明：作OM⊥AB于M，
∵O为正方形的中心，
∴M为AB中点，
∴AE=AB=2AM，AF∥OM，
∴
∴EF=2FO．
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】（1）连接OD，只需证明OD⊥DE．根据正方形的性质得到AE=AD，则∠ADE=45°．又∠ADO=45°则证明了结论；（2）作OM⊥AB于M．根据平行线分线段成比例定理进行证明．
22．【答案】（1）证明：（1）易证五边形ABCDE的外角∠FCB=∠EAG=∠FBC，
∵EG∥CB，
∴∠EAG=∠FBC．
∴△EAG∽△FBC．
∴ ，即BC AE=AG BF．
又∵BC=AE=AB，
∴ ①
（2）连接EF，由（1）可知FB=FC，即△FBC为等腰三角形，易知BA=CD，
∴FA=FD，∴EF⊥BC且EF平分BC，∴EF过圆心O．又∵EG∥CB，∴EF⊥EG，∴EG与⊙O相切．∴ ．由（1）可知∠G=∠EAG，∴EG=EA=2，设AG=x，则 ，解得
∴AG= ，代入①中可得：BF=
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】欲证 ，可证△EAG∽△FBC及正五边形ABCDE的特点得出；求AG、BF的长，需连接EF，易证明EF⊥BC，得出EF⊥EG，依据EG与⊙O相切，用切线的性质得出．
23．【答案】解：设它们的周长是1．根据题意，得
正三角形的边长是 ，正六边形的边长是
则正三角形的边心距是 ，正六边形的边心距是
则正三角形的面积是 ，正六边形的面积是
则它们的面积比是2：3．
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】根据正多边形的面积等于周长与边心距的乘积的一半，所以只需根据它们的周长计算其边心距；在由正多边形的半径、边心距和边长组成的直角三角形中，根据锐角三角函数的概念可以分别求得它们的边心距，再进一步计算其面积，从而得到其比值．
24．【答案】答：如图所示：首先以AB为直径作圆，在以AB的一半为半径在圆上截取相等的弧，然后顺次连接六个等分点即可．
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】根据题意可知作出以AB为直径的圆，且以AB的一半为半径的圆内接正六边形即可．
25．【答案】（1）解：作OM⊥AB于点M，连接OA、OB，则OM为边心距，∠AOB是中心角．
由正五边形性质得∠AOB=360°÷5=72°．
又AB= ×26=5.2，
∴AM=2.6，∠AOM=36°，
在Rt△AMO中，边心距OM=
（2）3.6-1-1.6=1（m）．
答：地基的中心到边缘的距离约为3.6m，塑像底座的半径最大约为1m．
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】（1）构造一个由正多边形的边心距、半边和半径组成的直角三角形．根据正五边形的性质得到半边所对的角是36°，再根据题意中的周长求得该正五边形的半边是26÷10=2.6，最后由该角的正切值进行求解；（2）根据（1）中的结论、塔的墙体宽为1m和最窄处为1.6m的观光通道，进行计算．
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