江苏省常州高级中学2023-2024学年高二上学期期末质量检查数学试题（含答案）

江苏省常州高级中学
2023~2024学年第一学期期末质量检查高二年级
数学试卷
说明：1.请将所有题目的答案填涂在答卷纸上.
2.本卷总分150分，考试时间120分钟。
一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.以椭圆的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线方程为（ ）
A. B. C. D.
2.已知的展开式中所有奇数项的二项式系数的和为，则展开式中有理项共有（ ）项
A.2 B.3 C.4 D.5
3.等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A.18 B.19 C.20 D.21
4.从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数字中任意取出三个不同的数，若这三个数的和为不小于9的奇数，则不同的取法有（ ）种.
A.54 B.53 C.47 D.46
5.已知数列满足，若，则数列的前10项和为（ ）
A. B. C. D.
6.在抛物线上取横坐标为和2的两点，，平行于直线的直线同时与抛物线和圆相切，则（ ）
A. B. C. D.
7.杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家.他在《详解九章算法》一节中，画了一个由二项式展开式的系数构成的三角形数阵，这就是著名的“杨辉三角”.在“杨辉三角”中，记每一行第个数组成的数列称为第斜列，该三角形数阵前5行如图所示，则该三角形数阵前2024行中第斜列各项之和为（ ）
A. B. C. D.
8.已知，为双曲线的左、右焦点，若过的直线与双曲线的左支交于，两点，记的内切圆的半径为，的内切圆的半径为，若，则此双曲线离心率的值为（ ）
A.2 B.3 C. D.4
二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9.下列结论中正确的是（ ）
A.若直线的方程，则直线的倾斜角为
B.已知曲线（，不全为0），则曲线的周长为
C.若直线与直线垂直，则
D.圆与圆的公切线条数为2
10.已知由样本数据组成的一个样本，根据最小二乘法求得线性回归方程为且，去除两个异常数据和后，得到新的线性回归直线的斜率为3，则下列结论中正确的是（ ）
A.相关变量，具有正相关关系
B.去除异常数据后，新的平均数
C.去除异常数据后的线性回归方程为
D.去除异常数据后，随值增加，的值增加速度变大
11.2023年国外某智库发布《尖端技术研究国家竞争力排名》的报告，涵盖了超音速、水下无人潜航器、量子技术、人工智能、无人机等二十多个领域.报告显示，中国在其中19个领域处于领先.某学生是科技爱好者，打算从这19个领域中选取，，，，这5个领域给班级同学进行介绍，每天随机介绍其中一个领域，且每个领域只在其中一天介绍，则下列结论中正确的是（ ）
A.，都在后3天介绍的方法种数为36
B.，相隔一天介绍的方法种数为36
C.不在第一天，不在最后一天介绍的方法种数为72
D.在，之前介绍的方法种数为40
12.在边长为2的等边三角形纸片中，取边的中点，在该纸片中剪去以为斜边且的直角三角形得到新的纸片，再取的中点，在纸片中剪去以为斜边且的直角三角形得到新的纸片，以此类推得到纸片，，…，，…，设的周长为，面积为，则（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共计20分.）
13.等比数列的前项和为，已知，，成等差数列，则等比数列的公比为______.
14.某单位为了调查性别与对工作的满意程度是否具有相关性，随机抽取了若干名员工，所得数据统计如下表所示，其中，且，若有的把握可以认为性别与对工作的满意程度具有相关性，则的值是______.
对工作满意 对工作不满意
男
女
附：，其中.
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
15.椭圆的左、右焦点分别为，，过右焦点作斜率为1的直线与椭圆相交，其中交点落在第一象限，若，则的值为______.
16.已知数列满足，若，则______.
四、解答题：（本题共6小题，共计70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知数列为等差数列，为公比为3的等比数列，且.
（1）证明：；
（2）若集合，求集合中的元素个数.
18.已知，是正整数，的展开式中的系数为15.
（1）求展开式中的系数的最小值；
（2）已知展开式中的二项式系数的最大值为，项的系数的最大值为，求.
19.某公司为了解年研发资金投入量（单位：亿元）对年销售额（单位：亿元）的影响.对公司近12年的年研发资金投入量和年销售额的数据，进行了对比分析，建立了两个模型：①，②，其中，，，均为常数，为自然对数的底数，并得到一些统计量的值.令，，（，，，…，），经计算得如下数据：
22 66 77 2 460 5
31250 220 3.08 14
（1）请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？
（2）根据（1）的分析及表中数据，求关于的回归方程.
附：（1）相关系数；
（2）线性回归方程中，的计算公式分别为：
，.
20.在数列中，，且对任意的，都有.
（1）证明：是等比数列，并求出的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
21.如图，已知抛物线的方程为，焦点为，过抛物线内一点作抛物线准线的垂线，垂足为，与抛物线交于点，已知，，.
（1）求的值；
（2）斜率为的直线过点，且与曲线交于不同的两点，，若存在，使得，求实数的取值范围.
22.定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于或等于4，则称这个数列为“数列”.
（1）已知等差数列的首项为1，其前项和满足对任意的都有，若数列为“数列”，求数列的通项公式；
（2）已知等比数列的首项和公比均为正整数，若数列为“数列”，且，，设，若数列也为“数列”，求实数的取值范围.
高二数学期末卷答案
1.C 2.C 3.B 4.B 5.D 6.A 7.C 8.D
9.BD 10.AD 11.ABD 12.BCD
13. 14.5 15. 16.5
17.【详解】（1）证明：设数列的公差为，则，
解得，所以原命题得证.
（2）由（1）知，所以，
因为，所以，因为，所以是偶数，
所以无正整数解，故集合中的元素个数为0.
18.【详解】（1）根据题意得，即，所以，
所以展开式中的的系数为，
故当或时，的系数的最小值为49.
（2）由（1）知，则，
因为的展开式的通项为，
令（*）即，因为，所以.
因为成立，所以，所以.
19.【详解】（1）设模型①和②的相关系数分别为，.
由题意可得，，
所以，由相关系数的相关性质可得，模型②的拟合程度更好.
（2）因为，可得，即，
可得，，
所以关于的线性回归方程为，即关于的回归方程为.
20.【详解】（1）证明：因为，所以.
因为，所以，
又，则有，所以，
所以是以为首项，为公比的等比数列.
所以，所以，
又，所以是以2为首项，2为公差的等差数列，
所以，所以.
（2）由（1）知，
则的奇数项为以为首项，4为公比的等比数列；偶数项是以，为公差的等差数列.
所以当为偶数，
当为奇数，.
综上，.
21【详解】（1）因为，则在中，，
由抛物线的定义得，，则，
由，，得.
所以整理得，
则或因为，所以.
（2）由（1）可知抛物线方程为：，设，，
设，联立，整理得：，
因为，所以，，.
；
又因为，则，将
代入（*）式得，因为存在，
使得，所以有对有解，而
所以，解得，或，因为，所以.
22.【详解】（1）设等差数列的公差为，则，由，得.
由题意得，对均成立，
当时，上式成立.当时，，又，
等差数列的通项公式为.
（2）等比数列得，由于数列为“数列”，且为正整数，，
.
在数列中，为最小项，由数列为“数列”可知，
要对恒成立，只需.又，即.
因为，，，，，.
当，时，，则.
令.
数列为递增数列，即.
若数列是“数列”，则对任意的都有，
即对任意的恒成立
所以，即，解得.