河南省南阳市部分中学2023-2024学年高一上学期期末联考数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 河南省南阳市部分中学2023-2024学年高一上学期期末联考数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 786.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-01-26 18:40:36 | ||
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文档简介
南阳市部分中学2023-2024学年高一上学期期末联考
数学试题
一、单选题
1．已知，，若集合，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
2．已知点在幂函数的图象上，设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
3．函数的图象是（ ）
A． B．
C． D．
4．从某公司生产的产品中任意抽取12件，得到它们的质量（单位：kg）如下：7.9，9.0，8.9，8.6，8.4，8.5，8.5，8.5，9.9，7.8，8.3，8.0，则这组数据的四分位数不可能是（ ）
A．8.75 B．8.15 C．9.9 D．8.5
5．心理学家有时间用函数测定在时间t（单位：min）内能够记忆的量L，其中A表示需要记忆的量，k表示记忆率．假设一个学生需要记忆的量为200个单词，此时L表示在时间t内该生能够记忆的单词个数．已知该生在5min内能够记忆20个单词，则k的值约为（ ）
A．0.021 B．0.221 C．0.461 D．0.661
6．已知，若是的最小值，则实数t的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数，正实数a，b满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数既是二次函数又是幂函数，若函数，则（ ）
A．2023 B．2024 C．4046 D．4047
二、多选题
9．下列说法中正确的有（ ）
A．命题，，则命题p的否定是，
B．“”是“”的必要条件
C．若命题“，”是真命题，则a的取值范围为
D．“”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件
10．已知一组样本数据，现有一组新的，则与原样本数据相比，新的样本数据（ ）
A．平均数不变 B．中位数不变 C．极差变小 D．方差变小
11．若函数在上满足：对任意的，当时，恒有，则称函数为“理想函数”．下列函数能被称为“理想函数”的有（ ）
A． B．
C． D．
12．数学上，高斯符号（Gauss mark）是指对取整符号和取小符号的统称，用于数论等领域．定义在数学特别是数论领域中，有时需要略去一个实数的小数部分只研究它的整数部分，或需要略去整数部分研究小数部分，因而引入高斯符号．设，用表示不超过x的最大整数．比如：，，，，…，已知函数，则下列说法不正确的是（ ）
A．的值域为 B．在为减函数
C．方程无实根 D．方程仅有一个实根
三、填空题
13．某校教师男女人数之比为，该校所有教师进行1分钟限时投篮比赛．现记录了每个教师1分钟命中次数，已知男教师命中次数的平均数为17，方差为16，女教师命中次数的平均数为8，方差为16，那么全体教师1分钟限时投篮次数的方差为______．
14．已知函数在上有一个零点，用二分法求零点的近似值（精确度为0.1）时，至少需要进行______次中点函数值的计算．
15．已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是______．
16设函数，给出下列四个结论：
①对，方程都有3个实数根；
②，使得；
③若互不相等的实数满足，则的取值范围是．
其中所有正确结论的序号是______．
四、解答题
17．（1）计算
（2）计算．
18，函数的定义域为集合A，集合，．
（1）求集合A，B；
（2）设，，且p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
19．抛掷一枚均匀的骰子2次，将第1次掷出的点数记为a，第2次掷出的点数记为b．
（1）求的概率；
（2）记事件A为“”，事件B为“”，若且事件A和事件B为相互独立事件，求m的值．
20．设D是函数定义域的一个子集，若存在，使得成立，则称是的一个“准不动点”，也称在区间D上存在准不动点．已知．
（1）若，求函数的准不动点；
（2）若函数在区间上存在准不动点，求实数a的取值范围．
21．第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，而亚运会志愿者的服务工作是举办一届成功的亚运会的重要保障．为配合亚运会志愿者选拔，某高校举行了志愿者选拔面试，面试成绩满分100分，现随机抽取了80名候选者的面试成绩，绘制成如下频率分布直方图．
（1）求a的值，并估计这80名候选者面试成绩平均值，众数，中位数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，中位数精确到0.1）
（2）乒乓球项目场地志愿服务需要3名志愿者，有3名男生和2名女生通过该项志愿服务选拔，需要通过抽签的方式决定最终的人选，现将3张写有“中签”和2张写有“未中签”字样的字条随机分配给每一位候选人，求中签者中男生比女生多的概率．
22．设，函数．
（1）若，求证：函数为奇函数；
（2）若，判断并证明函数的单调性；
（3）若，函数在区间上的取值范围是，求的范围．
南阳市部分中学2023-2024学年高一上学期期末联考
数学答案
1．B 2．B 3．B 4．C 5．A 6．C 7．B
8．D 【详解】函数既是二次函数又是幂函数，∴，∴为偶函数；
因为函数是R上的奇函数，
所以为定义域R上的奇函数；
，
．故选：D．
9．ACD
10．ACD 【详解】对于A，新数据的总和为：，与原数据总和相等，且数据个数都是n，因此平均数不变，A正确；
对于B，不妨设原数据为：1，2.5，3，中位数为2.5，则新数据为：1.75，2.75，2，中位数为2，B错误；
对于C，原数据极差为：，新数据极差为：，
而，即极差变小了，C正确；
对于D，由于两组数据的平均数不变，而极差变小，说明新数据相对原数据更集中于平均数，因此方差变小，D正确．故选：ACD．
11．ABD 【详解】不妨设，则由题意可得，即，由单调性定义可知，函数在上单调递增，即若在上单调递增，则称函数为“理想函数”．
A选项中，该函数在上单调递增，符合“理想函数”的定义；
B选项中，该函数在上单调递增，符合“理想函数”的定义；
C选项中，该函数在上单调递减，不符合“理想函数”的定义；
D选项中．该函数在上单调递增，符合“理想函数”的定义．
故选：ABD．
12．AB 【详解】由高斯函数的定义可得：当时，，则，
当时，，则，当时，，则，
当时，，则，当时，，则，
绘制函数图象如图所示，
对于A，由图可知，在上的值域为，不正确；
对于B，当时，的每段函数都是单调递减，但是在不是减函数，不正确；
对于C，由选项A知，在上的值域为，
所以方程无实根，正确：
对于D，当时，即，解得，
当时，即，解得，
结合函数图象知，方程仅有一个实根，正确．
故选：AB．
13．36 14．4 15．
16．②③
【详解】当时，的图象是开口向上、对称轴为直线的抛物线在y轴及左侧部分，
当时，的图象是对数函数的图象向上平移1个单位而得，如图，
对于①，观察图象知，当时，方程只有2个实数根，①错误；
对于②，当时，使得有成立，即与有交点，
而的图象与函数的图象关于y轴对称，
显然的图象与函数的图象有公共点，②正确；
对于③，不妨设互不相等的实数且，当满足时，
由图可知，即，当，，即时，，
当，，即时，，因此，
所以，③正确，
所以所有正确结论的序号是②③．
故答案为：②③
17．（1）0；（2）3
【详解】（1）
．
（2）
．
18．（1），；
（2）
【分析】（1）根据定义域列一元二次不等式求解集合A，由二次函数的性质求解值域，可得集合B；
（2）根据题意，可知集合C是A的真子集，分类讨论集合与两种情况，列不等式组求解．
【详解】（1）因为函数的定义域为集合A，
所以，解得，
函数，，对称轴为，
所以函数最大值为，又时，；
时，，所以最小值，
所以集合，集合
（2）∵，，且p是q的必要不充分条件，
∴集合C是A的真子集，
当时，，满足题意；
当时，得，
综上，实数m的取值范围为．
19．（1）；（2）7．
【分析】（1）列举出两次掷出的点数的所有结果，再利用古典概率概率公式结合对立事件概率公式计算即得．
（2）求出，并确定事件的结果数，利用相互独立事件的概率公式求出，再逐一验证即得．
【详解】（1）将2次掷出的点数记为，则所有的样本点为：
，，，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，，，，
共36个，且每个样本点出现的可能性相同，
使得的样本点有，，，，，，，，，共10个，
因此，显然与为对立事件，
所以．
（2）由（1）知，，由A和B相互独立，即知，
此时等价于事件“且”，因此中仅有一个样本点，即，则，
而，，，，，
因此当且仅当时，且，所以所求m的值为7．
20．（1）（2）
【详解】（1）若时，则，
因为，在R内均单调递增，则在R内单调递增，
且，则的解集为，
即的定义域为，
令，
即，解得，
故当，函数的准不动点为．
（2）因为在内恒成立，则在内恒成立，
因为，在内均单调递增，可知在内单调递增，
且，则，解得；
令，则，
整理得，可知与在内有交点，
且，，结合的单调性可得，解得；
综上所述：实数a的取值范围为．
21．（1），，众数为70，中位数为69.4．（2）
【详解】（1）由频率分布直方图可知，解得，
，
众数为70，
因为前2组的频率和为，前3组的频率和为，
所以中位数在第3组，设中位数为m，则
，解得，
所以中位数为69.4．
（2）记3名男生分别为A，B，C，记2名女生分别为a，b，则所有抽签的情况有：
未中签AB，中签Cab；未中签AC，中签Bab；未中签Aa，中签BCb；
未中签Ab，中签BCa；未中签BC，中签Aab；未中签Ba，中签ACb；
未中签Bb，中签ACa；未中签Ca，中签ABb；未中签Cb，中签ABa；
未中签ab，中签ABC，共有10种情况，
其中中签者中男生比女生多的有：未中签Aa，中签BCb；未中签Ab，中签BCa；未中签Ba，中签ACb；未中签Bb，中签ACa；未中签Ca，中签ABb；未中签Cb，中签ABa；未中签ab，中签ABC，共7种，
所以中签者中男生比女生多的概率为．
22．【详解】（1）当时，有且定义域为，∴，
综上有：的定义域关于原点对称且，即为奇函数；
（2）时，有，即定义域为R，结论为：在R上单调递增．
设对任意两个实数：，则
，
而，，，
，∴，即得证．
（3）当时，由（2）知在R上单调递增，结合题意有，
，得，即m，n是的两个不同的实根，
令，则，在上有两个不同实根，
故，可得，
所以的范围为．
数学试题
一、单选题
1．已知，，若集合，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
2．已知点在幂函数的图象上，设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
3．函数的图象是（ ）
A． B．
C． D．
4．从某公司生产的产品中任意抽取12件，得到它们的质量（单位：kg）如下：7.9，9.0，8.9，8.6，8.4，8.5，8.5，8.5，9.9，7.8，8.3，8.0，则这组数据的四分位数不可能是（ ）
A．8.75 B．8.15 C．9.9 D．8.5
5．心理学家有时间用函数测定在时间t（单位：min）内能够记忆的量L，其中A表示需要记忆的量，k表示记忆率．假设一个学生需要记忆的量为200个单词，此时L表示在时间t内该生能够记忆的单词个数．已知该生在5min内能够记忆20个单词，则k的值约为（ ）
A．0.021 B．0.221 C．0.461 D．0.661
6．已知，若是的最小值，则实数t的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数，正实数a，b满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数既是二次函数又是幂函数，若函数，则（ ）
A．2023 B．2024 C．4046 D．4047
二、多选题
9．下列说法中正确的有（ ）
A．命题，，则命题p的否定是，
B．“”是“”的必要条件
C．若命题“，”是真命题，则a的取值范围为
D．“”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件
10．已知一组样本数据，现有一组新的，则与原样本数据相比，新的样本数据（ ）
A．平均数不变 B．中位数不变 C．极差变小 D．方差变小
11．若函数在上满足：对任意的，当时，恒有，则称函数为“理想函数”．下列函数能被称为“理想函数”的有（ ）
A． B．
C． D．
12．数学上，高斯符号（Gauss mark）是指对取整符号和取小符号的统称，用于数论等领域．定义在数学特别是数论领域中，有时需要略去一个实数的小数部分只研究它的整数部分，或需要略去整数部分研究小数部分，因而引入高斯符号．设，用表示不超过x的最大整数．比如：，，，，…，已知函数，则下列说法不正确的是（ ）
A．的值域为 B．在为减函数
C．方程无实根 D．方程仅有一个实根
三、填空题
13．某校教师男女人数之比为，该校所有教师进行1分钟限时投篮比赛．现记录了每个教师1分钟命中次数，已知男教师命中次数的平均数为17，方差为16，女教师命中次数的平均数为8，方差为16，那么全体教师1分钟限时投篮次数的方差为______．
14．已知函数在上有一个零点，用二分法求零点的近似值（精确度为0.1）时，至少需要进行______次中点函数值的计算．
15．已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是______．
16设函数，给出下列四个结论：
①对，方程都有3个实数根；
②，使得；
③若互不相等的实数满足，则的取值范围是．
其中所有正确结论的序号是______．
四、解答题
17．（1）计算
（2）计算．
18，函数的定义域为集合A，集合，．
（1）求集合A，B；
（2）设，，且p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
19．抛掷一枚均匀的骰子2次，将第1次掷出的点数记为a，第2次掷出的点数记为b．
（1）求的概率；
（2）记事件A为“”，事件B为“”，若且事件A和事件B为相互独立事件，求m的值．
20．设D是函数定义域的一个子集，若存在，使得成立，则称是的一个“准不动点”，也称在区间D上存在准不动点．已知．
（1）若，求函数的准不动点；
（2）若函数在区间上存在准不动点，求实数a的取值范围．
21．第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，而亚运会志愿者的服务工作是举办一届成功的亚运会的重要保障．为配合亚运会志愿者选拔，某高校举行了志愿者选拔面试，面试成绩满分100分，现随机抽取了80名候选者的面试成绩，绘制成如下频率分布直方图．
（1）求a的值，并估计这80名候选者面试成绩平均值，众数，中位数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，中位数精确到0.1）
（2）乒乓球项目场地志愿服务需要3名志愿者，有3名男生和2名女生通过该项志愿服务选拔，需要通过抽签的方式决定最终的人选，现将3张写有“中签”和2张写有“未中签”字样的字条随机分配给每一位候选人，求中签者中男生比女生多的概率．
22．设，函数．
（1）若，求证：函数为奇函数；
（2）若，判断并证明函数的单调性；
（3）若，函数在区间上的取值范围是，求的范围．
南阳市部分中学2023-2024学年高一上学期期末联考
数学答案
1．B 2．B 3．B 4．C 5．A 6．C 7．B
8．D 【详解】函数既是二次函数又是幂函数，∴，∴为偶函数；
因为函数是R上的奇函数，
所以为定义域R上的奇函数；
，
．故选：D．
9．ACD
10．ACD 【详解】对于A，新数据的总和为：，与原数据总和相等，且数据个数都是n，因此平均数不变，A正确；
对于B，不妨设原数据为：1，2.5，3，中位数为2.5，则新数据为：1.75，2.75，2，中位数为2，B错误；
对于C，原数据极差为：，新数据极差为：，
而，即极差变小了，C正确；
对于D，由于两组数据的平均数不变，而极差变小，说明新数据相对原数据更集中于平均数，因此方差变小，D正确．故选：ACD．
11．ABD 【详解】不妨设，则由题意可得，即，由单调性定义可知，函数在上单调递增，即若在上单调递增，则称函数为“理想函数”．
A选项中，该函数在上单调递增，符合“理想函数”的定义；
B选项中，该函数在上单调递增，符合“理想函数”的定义；
C选项中，该函数在上单调递减，不符合“理想函数”的定义；
D选项中．该函数在上单调递增，符合“理想函数”的定义．
故选：ABD．
12．AB 【详解】由高斯函数的定义可得：当时，，则，
当时，，则，当时，，则，
当时，，则，当时，，则，
绘制函数图象如图所示，
对于A，由图可知，在上的值域为，不正确；
对于B，当时，的每段函数都是单调递减，但是在不是减函数，不正确；
对于C，由选项A知，在上的值域为，
所以方程无实根，正确：
对于D，当时，即，解得，
当时，即，解得，
结合函数图象知，方程仅有一个实根，正确．
故选：AB．
13．36 14．4 15．
16．②③
【详解】当时，的图象是开口向上、对称轴为直线的抛物线在y轴及左侧部分，
当时，的图象是对数函数的图象向上平移1个单位而得，如图，
对于①，观察图象知，当时，方程只有2个实数根，①错误；
对于②，当时，使得有成立，即与有交点，
而的图象与函数的图象关于y轴对称，
显然的图象与函数的图象有公共点，②正确；
对于③，不妨设互不相等的实数且，当满足时，
由图可知，即，当，，即时，，
当，，即时，，因此，
所以，③正确，
所以所有正确结论的序号是②③．
故答案为：②③
17．（1）0；（2）3
【详解】（1）
．
（2）
．
18．（1），；
（2）
【分析】（1）根据定义域列一元二次不等式求解集合A，由二次函数的性质求解值域，可得集合B；
（2）根据题意，可知集合C是A的真子集，分类讨论集合与两种情况，列不等式组求解．
【详解】（1）因为函数的定义域为集合A，
所以，解得，
函数，，对称轴为，
所以函数最大值为，又时，；
时，，所以最小值，
所以集合，集合
（2）∵，，且p是q的必要不充分条件，
∴集合C是A的真子集，
当时，，满足题意；
当时，得，
综上，实数m的取值范围为．
19．（1）；（2）7．
【分析】（1）列举出两次掷出的点数的所有结果，再利用古典概率概率公式结合对立事件概率公式计算即得．
（2）求出，并确定事件的结果数，利用相互独立事件的概率公式求出，再逐一验证即得．
【详解】（1）将2次掷出的点数记为，则所有的样本点为：
，，，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，，，，
共36个，且每个样本点出现的可能性相同，
使得的样本点有，，，，，，，，，共10个，
因此，显然与为对立事件，
所以．
（2）由（1）知，，由A和B相互独立，即知，
此时等价于事件“且”，因此中仅有一个样本点，即，则，
而，，，，，
因此当且仅当时，且，所以所求m的值为7．
20．（1）（2）
【详解】（1）若时，则，
因为，在R内均单调递增，则在R内单调递增，
且，则的解集为，
即的定义域为，
令，
即，解得，
故当，函数的准不动点为．
（2）因为在内恒成立，则在内恒成立，
因为，在内均单调递增，可知在内单调递增，
且，则，解得；
令，则，
整理得，可知与在内有交点，
且，，结合的单调性可得，解得；
综上所述：实数a的取值范围为．
21．（1），，众数为70，中位数为69.4．（2）
【详解】（1）由频率分布直方图可知，解得，
，
众数为70，
因为前2组的频率和为，前3组的频率和为，
所以中位数在第3组，设中位数为m，则
，解得，
所以中位数为69.4．
（2）记3名男生分别为A，B，C，记2名女生分别为a，b，则所有抽签的情况有：
未中签AB，中签Cab；未中签AC，中签Bab；未中签Aa，中签BCb；
未中签Ab，中签BCa；未中签BC，中签Aab；未中签Ba，中签ACb；
未中签Bb，中签ACa；未中签Ca，中签ABb；未中签Cb，中签ABa；
未中签ab，中签ABC，共有10种情况，
其中中签者中男生比女生多的有：未中签Aa，中签BCb；未中签Ab，中签BCa；未中签Ba，中签ACb；未中签Bb，中签ACa；未中签Ca，中签ABb；未中签Cb，中签ABa；未中签ab，中签ABC，共7种，
所以中签者中男生比女生多的概率为．
22．【详解】（1）当时，有且定义域为，∴，
综上有：的定义域关于原点对称且，即为奇函数；
（2）时，有，即定义域为R，结论为：在R上单调递增．
设对任意两个实数：，则
，
而，，，
，∴，即得证．
（3）当时，由（2）知在R上单调递增，结合题意有，
，得，即m，n是的两个不同的实根，
令，则，在上有两个不同实根，
故，可得，
所以的范围为．
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