第六章 6.3.5平面向量数量积的坐标表示 课件(共19张PPT)

(共19张PPT)
第六章
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
人教A版（2019)
教学目标
学习目标 数学素养
1.经历两个向量数量积坐标表示得推导，会进行数量积得坐标运算. 1.逻辑推理素养、数学运算素养.
2.能根据向量数量积的定义推导出向量的模长公式、夹角公式以及垂直条件的坐标表示，并能简单应用. 2.逻辑推理素养、数学抽象素养.
温故知新
1.平面向量的数量积的定义及性质
2.平面向量数乘运算的坐标表示
.
设、是两个非零向量,它们的夹角为，是与方向相同的单位向量，则
⑴;
⑵ ;
⑶当与同向，;当与反向，.
特别地，或.
⑷.
或
.
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．
新知探究
∵,
又.
已知,怎样用与的坐标表示呢？
∴
.
∴.
这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和
平面向量数量积的 坐标表示
.
新知探究
.
.
⑴若,则，或.
如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别,那么
.
问题1.若,则及如何表示呢？
.
.
向量模的坐标公式
向量模的坐标公式
两点间距离公式
新知探究
⑵ .
⑶.
问题2.设是非零向量，,如何判断或计算与的夹角θ呢？
.
向量垂直的坐标公式
向量夹角的坐标公式
∵ ，
∴.
∵.
∴.
新知探究
【例1】已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，试判断△ABC的形状，并给出证明.
解：
∵=(2-1,3-2)=(1,1).
于是，.
=(-2-1,5-2)=(-3,3)
∴=1×(-3)+1×3=0.
则△ABC是直角三角形.
如图，在平面直角坐标系中画出点A,B,C,可以发现
△ABC是直角三角形.证明如下：
初试身手
1.已知向量＝(3，1)，＝(1，0)，.若⊥，则k＝________．
2.已知点A(1,-2),B(-3,2),C(2,y),且∠ABC=90°，则y= .
1.解：∵＝(3，1)，＝(1，0)，∴=(3+k,1)
又∵
，∴=3(3+k)+1=0,解得k=-.
-.
2.解：∵A(3，1)，B(1，0)，C(2,y),∴=(4,4),=(5,y-2).
又∵∠ABC=90°，即，
∴=4×5+4(y-2)=0,解得y=-3.
-3
新知探究
【例2】设=(5,-7)，=(-6,-4),求及与的夹角θ（精确到1°）.
解：
=5×(-6)+(-7)×(-4)
=-30+28=-2
∴用计算器计算可得
.
∵,.
利用计算工具可得θ≈92°.
初试身手
⑴∵，∴3x=4×9,即x=12,=(9,12).
∵θ∈[0,π],∴,即的夹角为.
⑵=(6,8)-(9,12)=(-3,-4)
.
又∵⊥，∴3×4+4y=0,即y=-3,=(4,-3).
，
=(3,4)+(4,-3)=(7,1).
3.已知平面向量＝(3，4)，＝(9，x)，＝(4，y)，且∥，⊥.
⑴求与；
⑵若，，求的夹角的大小；
⑶若＝(2，1)，且与的夹角为45°，求实数t的值．
解：
设的夹角为θ，则
初试身手
⑶由⑴知，=(4,-3),而＝(2，1)，
解得t=1或t=-3(舍去），则t=1.
∴=(4,-3)+t(2,1)=(2t+4,t-3)
∴,
又∵,.
而的夹角为45°，
∴=4t+8+t-3=5t+5.
3.已知平面向量＝(3，4)，＝(9，x)，＝(4，y)，且∥，⊥.
⑴求与；
⑵若，，求的夹角的大小；
⑶若＝(2，1)，且与的夹角为45°，求实数t的值．
解：
新知讲解
【例3】用向量方法证明两角差的余弦公式
.
证明：
.
如图, 在平面直角坐标系Oxy内作单位圆O, 以x轴的非负半轴为始边作角α, β, 它们的终边与单位圆O交点分别为A, B, 则
.
由向量数量积的坐标表示，有
.
设的夹角为θ,则
∴.
①
②
如图①，;如图②，.即.
则.
初试身手
设向量,则
4.用向量方法证明：对于任意的,恒有不等式
证明：
.
设的夹角为,则
∵,∴
即.
∴.
初试身手
5.已知的夹角为60°，且，求角．
∴.
∵的夹角为60°，∴.
又∵.
两边平方得,即.
解得.
∵.
整理得，.
解：
∴.
课堂小结
1.平面向量数量积的坐标表示
3.两个平面向量垂直的坐标表示
2.平面向量模的坐标表示
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和
.
.
4.两个平面向量夹角的余弦的坐标表示
.
作业布置
作业： P36-37 习题6.3 第8⑵⑶，9，10，14题.
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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