人教新课标A版选修4-1数学2.3圆的切线的性质及判定定理同步检测
一、选择题
1．如图,直线l与☉O相切于点A,B是l上任一点（与A不重合）,则△OAB是（ ）
A．等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
2．如图,直线l与☉O相切,P是l上任一点,当OP⊥l时,则（ ）
A．P不在☉O上 B．P在☉O上
C．P不可能是切点 D．OP大于☉O的半径
3．直线l与☉O相切于点P,在经过点P的所有直线中,经过点O的直线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条
4．如图,PA为☉O的切线,A为切点,已知PA=4,OA=3,则cos∠APO的值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图,CB为☉O的直径,P是CB的延长线上一点,且OB=BP,∠AOC=120°,则PA与☉O的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定
6．下列说法:①与圆有公共点的直线是圆的切线;②垂直于圆的半径的直线是圆的切线;③与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线;④过直径的端点,且垂直于此直径的直线是圆的切线.其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
7．如图,AB与☉O切于点B,AO=6 cm,AB=4 cm,则☉O的半径r等于（ ）
A．4 cm B．2 cm C．2 cm D． cm
8．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，D是AB上一点，且AD=2DB，以D为圆心，DB为半径的圆与AC相切，则sin A等于（ ）
A． B． C． D．
9．如图,PB与☉O相切于点B,OP交☉O于点A,BC⊥OP于点C,OA=3,OP=4,则AC等于（ ）
A． B． C． D．不确定
二、填空题
10．如图,DB,DC是☉O的两条切线,A是圆上一点,已知∠D=46°,则∠A= °.
11．如图,圆O的直径AB=8,C为圆周上一点,BC=4,过点C作圆的切线l,过点A作直线l的垂线AD,点D为垂足,AD与圆O交于点E,则线段AE的长为 .
12．如图,在半径分别为5 cm和3 cm的两个同心圆中,大圆的弦AB与小圆相切于点C,则弦AB的长为 cm.
13．在Rt△ABC中,AC⊥CB,AB=12,AC=6,以C为圆心,作与AB相切的圆C,则☉C的半径r= .
14．如图,已知PA与圆O相切于点A,半径OC⊥OP,AC交PO于点B,OC=1,OP=2,则PB= .
15．已知△ABC内接于☉O,过点A作直线EF.如图已知AB为直径,要使得EF是☉O的切线,还需添加的条件是（必须写出三种情况）:
① 或② 或③ .
三、解答题
16．如图,已知AB为半圆O的直径,直线MN切半圆于点C,AD⊥MN于点D,BE⊥MN于点E,BE交半圆于点F,AD=3 cm,BE=7 cm,求☉O的半径r.
17．如图,AB经过☉O上一点C,且OA=OB,AC=CB,求证:直线AB是☉O的切线.
18．如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O交BC于点D,过点D作☉O的切线交AC于E.求证:DE⊥AC.
19．如图,已知∠C=90°,点O在AC上,CD为☉O的直径,☉O切AB于点E,若BC=5,AC=12,求☉O的半径.
20．如图,AB是☉O的直径,AE平分∠BAF交☉O于点E,过E作直线与AF垂直,交AF的延长线于点D,且交AB的延长线于点C.求证:CD是☉O的切线.
21．如图,AB是☉O的直径,BC是☉O的切线,切点为B,OC平行于弦AD,求证:DC是☉O的切线
22．如图,BE是☉O的直径,点A在EB的延长线上,弦PD⊥BE,垂足为点C,连接OD,且∠AOD=∠APC.求证:AP是☉O的切线.
23．已知圆内接△ABC中，D为BC上一点，且△ADC为正三角形，点E为BC的延长线上一点，AE为圆O的切线．
（1）求∠BAE 的度数；
（2）求证：CD2 =BD·EC
24．如图,D是☉O的直径AB的延长线上一点,PD是☉O的切线,P是切点,∠D=30°.求证:PA=PD.
25．如图,☉O内切于△ABC的边于点D,E,F,AB=AC,连接AD交☉O于点H,直线HF交BC的延长线于点G.
（1）求证:圆心O在AD上;
（2）求证:CD=CG;
（3）若AH∶AF=3∶4,CG=10,求HF的长.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】圆的切线的判定定理的证明；圆的切线的性质定理的证明
【解析】【解答】∵l与☉O相切,∴l⊥OA.∴OA⊥AB.∴∠OAB=90°,△OAB是直角三角形
【分析】本题主要考查了圆的切线的性质及判定定理，解决问题的关键是根据圆的切线的性质及判定定理分析即可
2．【答案】B
【知识点】圆的切线的判定定理的证明；圆的切线的性质定理的证明
【解析】【解答】由于OP⊥l,则P是l与☉O的切点,则点P在☉O上
【分析】本题主要考查了圆的切线的性质及判定定理，解决问题的关键是根据圆的切线的性质及判定定理分析即可
3．【答案】A
【知识点】圆的切线的判定定理的证明；圆的切线的性质定理的证明
【解析】【解答】过P且垂直于l的直线仅有1条,此时点O在该垂线上,故选A
【分析】本题主要考查了圆的切线的性质及判定定理，解决问题的关键是根据圆的切线的性质及判定定理分析即可
4．【答案】C
【知识点】圆的切线的判定定理的证明；圆的切线的性质定理的证明
【解析】解答：由PA为☉O的切线,知OA⊥PA.
在Rt△OAP中,
由勾股定理,得OP= =5.
故cos∠APO= .
分析：本题主要考查了圆的切线的性质及判定定理，解决问题的关键是根据圆的切线的性质及判定定理分析计算即可
5．【答案】B
【知识点】圆的切线的判定定理的证明；圆的切线的性质定理的证明
【解析】【解答】如图,连接AB.
∵∠AOC=120°,
∴∠AOB=60°.
又OA=OB,
∴△AOB是等边三角形,
∴OB=AB.
又OB=BP,∴AB=BP,∴∠P=∠BAP.
又∠OBA=60°,∴∠P=30°.
又∠AOB=60°,∴∠OAP=90°.
∴OA⊥AP,则PA与☉O相切.
【分析】本题主要考查了圆的切线的性质及判定定理，解决问题的关键是根据圆的切线的性质及判定定理结合所给条件分析计算即可
6．【答案】C
【知识点】圆的切线的判定定理的证明；圆的切线的性质定理的证明
【解析】【解答】与圆有公共点的直线,可能是切线,也可能与圆相交,则①不正确;②不符合切线判定定理的条件,缺少过半径外端的条件;很明显③④正确.
【分析】本题主要考查了圆的切线的性质及判定定理，解决问题的关键是根据圆的切线的性质及判定定理结合所给条件分析即可
7．【答案】B
【知识点】圆的切线的判定定理的证明；圆的切线的性质定理的证明
【解析】解答：如图,连接OB,则OB=r且OB⊥AB,
故OB=r= =2 （cm）.
分析：本题主要考查了圆的切线的性质及判定定理，解决问题的关键是根据圆的切线的性质及判定定理结合所给条件计算即可
8．【答案】C
【知识点】圆的切线的判定定理的证明；圆的切线的性质定理的证明
【解析】【解答】如图，设AC与圆相切于E点，连接DE，
则DE⊥AC，DE=DB，
则AD=2ED，
故在Rt△ADE中，sin A= .
故选C.
【分析】本题主要考查了圆的切线的性质及判定定理，解决问题的关键是根据圆的切线的性质及判定定理结合所给条件分析计算即可解决
9．【答案】A
【知识点】圆的切线的判定定理的证明；圆的切线的性质定理的证明
【解析】解答：如图,连接OB,
则OB⊥PB,OB=OA=3.
又∵BC⊥OP,∴在Rt△OBP中,有OB2=OC·OP.
∴OC= .
∴AC=OA-OC=3- .
分析：本题主要考查了圆的切线的性质及判定定理，解决问题的关键是根据圆的切线的性质及判定定理结合所给条件构造辅助线计算即可
10．【答案】67
【知识点】圆的切线的判定定理的证明；圆的切线的性质定理的证明
【解析】【解答】如图,连接OB,OC,
则OB⊥BD,OC⊥CD,
故∠DBO+∠DCO=90°+90°=180°,
则四边形OBDC内接于一个圆.
则有∠BOC=180°-∠D=180°-46°=134°,
所以∠A= ∠BOC= ×134°=67°.
【分析】本题主要考查了圆的切线的性质及判定定理，解决问题的关键是根据圆的切线的性质及判定定理结合所给几何图形满足条件构造辅助线计算即可
11．【答案】4
【知识点】圆的切线的判定定理的证明；圆的切线的性质定理的证明
【解析】【解答】如图,连接OC,连接BE交OC于点F,
则OC⊥l,BE⊥AD.
又AD⊥l,所以AD∥OC,OC⊥BE.
又直径AB=8,
则OB=OC=4.
又BC=4,故△OBC是等边三角形.
则F是OC的中点.
所以AE=2OF=OC=4.
【分析】本题主要考查了圆的切线的性质及判定定理，解决问题的关键是根据圆的切线的性质及判定定理结合试题图形满足条件计算即可
12．【答案】8
【知识点】圆的切线的判定定理的证明；圆的切线的性质定理的证明
【解析】【解答】如图,连接OA,OC,OB,
则OC⊥AC.
又∵OA=OB,
∴△OAB是等腰三角形.
∴AC=CB.
由题意知,OA=5 cm,OC=3 cm,
∴AC= =4（cm）.
∴AB=2AC=8（cm）.
【分析】本题主要考查了圆的切线的性质及判定定理，解决问题的关键是根据圆的切线的性质及判定定理结合所给图形构造辅助线极值即可
13．【答案】3
【知识点】圆的切线的判定定理的证明；圆的切线的性质定理的证明
【解析】解答：如图,设切点为D,连接CD,
则CD⊥AB,CD=r.
∵AC⊥CB,∴CD2=AD·BD.
又AB=12,AC=6,AC2=AD·AB,∴AD= =3.
∴BD=AB-AD=12-3=9.
∴CD2=3×9=27,
∴CD=3 .
分析：本题主要考查了圆的切线的性质及判定定理，解决问题的关键是根据圆的切线的性质及判定定理结合所给条件计算即可
【知识点】圆的切线的判定定理的证明；圆的切线的性质定理的证明
【解析】解答：如图,连接OA,
则OA⊥PA.
在△OAP中,∠PAO=90°,OP=2,OA=1,
则PA= ,∠P=30°,
∠POA=60°.
故∠AOC=∠AOP+∠BOC=60°+90°=150°.
又OA=OC,则∠BAO=15°.
所以∠PBA=∠BAO+∠AOP=15°+60°=75°.
在△PAB中,则∠PAB=180°-∠P-∠ABP=180°-30°-75°=75°.
所以∠PBA=∠PAB,
故PA=PB,所以PB=
分析：本题主要考查了圆的切线的性质及判定定理，解决问题的关键是根据圆的切线的性质及判定定理结合所给图形分析边角关系计算即可
15．【答案】∠CAF=∠B；AB⊥EF；∠BAC+∠CAF=90°（∠BAC与∠CAF互余）
【知识点】圆的切线的判定定理的证明；圆的切线的性质定理的证明
【解析】【解答】答案不唯一.如∠CAF=∠B,AB⊥EF,
∠BAC+∠CAF=90°（∠BAC与∠CAF互余）,
∠C=∠FAB,∠EAB=∠FAB等.
【分析】本题主要考查了圆的切线的性质及判定定理，解决问题的关键是根据圆的切线的性质及判定定理分析即可
16．【答案】解：如图,连接OC.
∵MN切半圆于点C,
∴OC⊥MN.
∵AD⊥MN,BE⊥MN,
∴AD∥OC∥BE.
∵OA=OB,
∴CD=CE.
∴OC= （AD+BE）= ×（3+7）=5（cm）.
∴☉O的半径为5 cm.
【知识点】圆的切线的判定定理的证明；圆的切线的性质定理的证明
【解析】【分析】本题主要考查了圆的切线的性质及判定定理，解决问题的关键是根据圆的切线的性质及判定定理结合所给条件构造辅助线计算即可
17．【答案】证明：如图,连接OC.
∵OA=OB,
∴△OAB是等腰三角形.
又∵AC=CB,∴OC⊥AB.
又∵OC是☉O的半径,
∴直线AB是☉O的切线.
【知识点】圆的切线的判定定理的证明；圆的切线的性质定理的证明
【解析】【分析】本题主要考查了圆的切线的性质及判定定理，解决问题的关键是根据所给条件转化为证明OC⊥AB即可
18．【答案】解答：连接OD,AD,如图.
∵AB为☉O的直径,
∴AD⊥BC.
∵AB=AC,即△ABC为等腰三角形,
∴AD为BC边上的中线,即BD=DC.
又∵OA=OB,∴OD为△ABC的中位线.
∴OD∥AC.
∵DE切☉O于D,∴OD⊥DE.∴DE⊥AC.
【知识点】圆的切线的判定定理的证明；圆的切线的性质定理的证明
【解析】【分析】本题主要考查了圆的切线的性质及判定定理，解决问题的关键是由于DE是☉O的切线,则OD⊥DE,故要证DE⊥AC,只需要证明OD∥AC即可.
19．【答案】解答：如图,连接OE,
∵AB与☉O相切于点E,
∴OE⊥AB,即∠OEA=90°.
∵∠C=90°,∠A=∠A,
∴△ACB∽△AEO,
∴
∵BC=5,AC=12,
∴AB=13,
∴
∴OE= .
即☉O的半径为 .
【知识点】圆的切线的判定定理的证明；圆的切线的性质定理的证明
【解析】【分析】本题主要考查了圆的切线的性质及判定定理，解决问题的关键是根据圆的切线的性质及判定定理结合所给条件运用三角形相似性分析计算即可
20．【答案】解答：如图,连接OE.
∵OA=OE,∴∠1=∠2.
又∵AE平分∠BAF,
∴∠2=∠3.
∴∠1=∠3.
∴OE∥AD.
∵AD⊥CD,∴OE⊥CD.
∴CD与☉O相切于点E.
【知识点】圆的切线的判定定理的证明；圆的切线的性质定理的证明
【解析】【分析】本题主要考查了圆的切线的性质及判定定理，解决问题的关键是证明OE⊥CD即可
21．【答案】证明：连接OD,∵OC∥AD,
∴∠1=∠3,∠2=∠4.
又∵∠1=∠2,∴∠4=∠3.
∵OD=OB,OC=OC,∴△ODC≌△OBC.
∴∠ODC=∠OBC=90°.
又∵点D在圆上,∴DC是☉O的切线.
【知识点】圆的切线的判定定理的证明；圆的切线的性质定理的证明
【解析】【分析】本题主要考查了圆的切线的性质及判定定理，解决问题的关键是根据圆的切线的性质及判定定理结合所给条件分析构造辅助线证明即可
22．【答案】证明：连接OP,如图,
∵PD⊥BE,
∴∠OCD=90°.
∴∠ODC+∠COD=90°.
∵OD=OP,
∴∠ODC=∠OPC.
∵∠AOD=∠APC,∴∠OPC+∠APC=90°.
∴∠APO=90°,即AP⊥PO.
∴AP是☉O的切线.
【知识点】圆的切线的判定定理的证明；圆的切线的性质定理的证明
【解析】【分析】本题主要考查了圆的切线的性质及判定定理，解决问题的关键是根据圆的切线的性质及判定定理结合所给图形构造辅助线方向证明即可
23．【答案】（1）解：在△EAB与△ECA中，∵AE为圆O的切线，
∴∠EBA =∠EAC
又∠E公用，∴∠EAB =∠ECA
∵△ACD为等边三角形，
∴
（2）证明：∵AE为圆O的切线，
∴∠ABD=∠CAE
∵△ACD为等边三角形，
∴∠ADC =∠ACD，
∴∠ADB=∠ECA，
∴△ABD∽△EAC
∴ ，即
∵△ACD为等边三角形，
∴AD=AC=CD，
∴ CD2 =BD·EC
【知识点】圆的切线的判定定理的证明；圆的切线的性质定理的证明
【解析】【分析】本题主要考查了圆的切线的性质及判定定理，解决问题的关键是（1）在△EAB与△ECA中，因为AE为圆O的切线，所以∠EBA =∠EAC，∠EAB =∠ECA，因为△ACD为等边三角形，所以 ；（2）容易证明△ABD∽△EAC ，所以 ，即 ，因为△ACD为等边三角形，所以AD=AC=CD，所以 CD2 =BD·EC
24．【答案】证明：如图,连接OP,
∵PD是☉O的切线,P为切点.
∴PO⊥PD.∵∠D=30°,∴∠POD=60°.
又∵OA=OP,∴∠A=∠APO.
∴∠A=30°.∴∠A=∠D.
∴PA=PD.
【知识点】圆的切线的判定定理的证明；圆的切线的性质定理的证明
【解析】【分析】本题主要考查了圆的切线的性质及判定定理，解决问题的关键是欲证PA=PD,只要证明∠A=∠D=30°即可.
25．【答案】（1）证明：由题意知AE=AF,CF=CD,BD=BE,而AB=AC,
∴CD=CF=BE=BD.
∴D为BC的中点,
∴AD是∠BAC的平分线,
∴圆心O在AD上.
（2）证明：如图,连接DF.
∵O在AD上,
∴DH为直径,
∴∠DFH=90°.
∵CF=CD,∠CFD=∠FDC,
∴∠G=90°-∠FDC=90°-∠CFD=∠CFG,
∴CG=CF,∴CG=CD.
（3）解:∵∠AFH=90°-∠CFD=90°-∠FDC=∠FDA,又∠FAD为公共角,则△AHF∽△AFD.
∴
∴在Rt△HFD中,FH∶FD∶DH=3∶4∶5.
∵△HDF∽△DGF,
∴DF∶GF∶DG=3∶4∶5.
又∵CG=10,∴GD=20.
∴DF=3×20× =12,
∴FH= FD=9.
【知识点】圆的切线的判定定理的证明；圆的切线的性质定理的证明
【解析】【分析】本题主要考查了圆的切线的性质及判定定理，解决问题的关键是根据圆的切线的性质及判定定理结合所给图形根据三角形相似性以及边角关系计算即可
1 / 1人教新课标A版选修4-1数学2.3圆的切线的性质及判定定理同步检测
一、选择题
1．如图,直线l与☉O相切于点A,B是l上任一点（与A不重合）,则△OAB是（ ）
A．等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
【答案】C
【知识点】圆的切线的判定定理的证明；圆的切线的性质定理的证明
【解析】【解答】∵l与☉O相切,∴l⊥OA.∴OA⊥AB.∴∠OAB=90°,△OAB是直角三角形
【分析】本题主要考查了圆的切线的性质及判定定理，解决问题的关键是根据圆的切线的性质及判定定理分析即可
2．如图,直线l与☉O相切,P是l上任一点,当OP⊥l时,则（ ）
A．P不在☉O上 B．P在☉O上
C．P不可能是切点 D．OP大于☉O的半径
【答案】B
【知识点】圆的切线的判定定理的证明；圆的切线的性质定理的证明
【解析】【解答】由于OP⊥l,则P是l与☉O的切点,则点P在☉O上
【分析】本题主要考查了圆的切线的性质及判定定理，解决问题的关键是根据圆的切线的性质及判定定理分析即可
3．直线l与☉O相切于点P,在经过点P的所有直线中,经过点O的直线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条
【答案】A
【知识点】圆的切线的判定定理的证明；圆的切线的性质定理的证明
【解析】【解答】过P且垂直于l的直线仅有1条,此时点O在该垂线上,故选A
【分析】本题主要考查了圆的切线的性质及判定定理，解决问题的关键是根据圆的切线的性质及判定定理分析即可
4．如图,PA为☉O的切线,A为切点,已知PA=4,OA=3,则cos∠APO的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆的切线的判定定理的证明；圆的切线的性质定理的证明
【解析】解答：由PA为☉O的切线,知OA⊥PA.
在Rt△OAP中,
由勾股定理,得OP= =5.
故cos∠APO= .
分析：本题主要考查了圆的切线的性质及判定定理，解决问题的关键是根据圆的切线的性质及判定定理分析计算即可
5．如图,CB为☉O的直径,P是CB的延长线上一点,且OB=BP,∠AOC=120°,则PA与☉O的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定
【答案】B
【知识点】圆的切线的判定定理的证明；圆的切线的性质定理的证明
【解析】【解答】如图,连接AB.
∵∠AOC=120°,
∴∠AOB=60°.
又OA=OB,
∴△AOB是等边三角形,
∴OB=AB.
又OB=BP,∴AB=BP,∴∠P=∠BAP.
又∠OBA=60°,∴∠P=30°.
又∠AOB=60°,∴∠OAP=90°.
∴OA⊥AP,则PA与☉O相切.
【分析】本题主要考查了圆的切线的性质及判定定理，解决问题的关键是根据圆的切线的性质及判定定理结合所给条件分析计算即可
6．下列说法:①与圆有公共点的直线是圆的切线;②垂直于圆的半径的直线是圆的切线;③与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线;④过直径的端点,且垂直于此直径的直线是圆的切线.其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
【答案】C
【知识点】圆的切线的判定定理的证明；圆的切线的性质定理的证明
【解析】【解答】与圆有公共点的直线,可能是切线,也可能与圆相交,则①不正确;②不符合切线判定定理的条件,缺少过半径外端的条件;很明显③④正确.
【分析】本题主要考查了圆的切线的性质及判定定理，解决问题的关键是根据圆的切线的性质及判定定理结合所给条件分析即可
7．如图,AB与☉O切于点B,AO=6 cm,AB=4 cm,则☉O的半径r等于（ ）
A．4 cm B．2 cm C．2 cm D． cm
【答案】B
【知识点】圆的切线的判定定理的证明；圆的切线的性质定理的证明
【解析】解答：如图,连接OB,则OB=r且OB⊥AB,
故OB=r= =2 （cm）.
分析：本题主要考查了圆的切线的性质及判定定理，解决问题的关键是根据圆的切线的性质及判定定理结合所给条件计算即可
8．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，D是AB上一点，且AD=2DB，以D为圆心，DB为半径的圆与AC相切，则sin A等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆的切线的判定定理的证明；圆的切线的性质定理的证明
【解析】【解答】如图，设AC与圆相切于E点，连接DE，
则DE⊥AC，DE=DB，
则AD=2ED，
故在Rt△ADE中，sin A= .
故选C.
【分析】本题主要考查了圆的切线的性质及判定定理，解决问题的关键是根据圆的切线的性质及判定定理结合所给条件分析计算即可解决
9．如图,PB与☉O相切于点B,OP交☉O于点A,BC⊥OP于点C,OA=3,OP=4,则AC等于（ ）
A． B． C． D．不确定
【答案】A
【知识点】圆的切线的判定定理的证明；圆的切线的性质定理的证明
【解析】解答：如图,连接OB,
则OB⊥PB,OB=OA=3.
又∵BC⊥OP,∴在Rt△OBP中,有OB2=OC·OP.
∴OC= .
∴AC=OA-OC=3- .
分析：本题主要考查了圆的切线的性质及判定定理，解决问题的关键是根据圆的切线的性质及判定定理结合所给条件构造辅助线计算即可
二、填空题
10．如图,DB,DC是☉O的两条切线,A是圆上一点,已知∠D=46°,则∠A= °.
【答案】67
【知识点】圆的切线的判定定理的证明；圆的切线的性质定理的证明
【解析】【解答】如图,连接OB,OC,
则OB⊥BD,OC⊥CD,
故∠DBO+∠DCO=90°+90°=180°,
则四边形OBDC内接于一个圆.
则有∠BOC=180°-∠D=180°-46°=134°,
所以∠A= ∠BOC= ×134°=67°.
【分析】本题主要考查了圆的切线的性质及判定定理，解决问题的关键是根据圆的切线的性质及判定定理结合所给几何图形满足条件构造辅助线计算即可
11．如图,圆O的直径AB=8,C为圆周上一点,BC=4,过点C作圆的切线l,过点A作直线l的垂线AD,点D为垂足,AD与圆O交于点E,则线段AE的长为 .
【答案】4
【知识点】圆的切线的判定定理的证明；圆的切线的性质定理的证明
【解析】【解答】如图,连接OC,连接BE交OC于点F,
则OC⊥l,BE⊥AD.
又AD⊥l,所以AD∥OC,OC⊥BE.
又直径AB=8,
则OB=OC=4.
又BC=4,故△OBC是等边三角形.
则F是OC的中点.
所以AE=2OF=OC=4.
【分析】本题主要考查了圆的切线的性质及判定定理，解决问题的关键是根据圆的切线的性质及判定定理结合试题图形满足条件计算即可
12．如图,在半径分别为5 cm和3 cm的两个同心圆中,大圆的弦AB与小圆相切于点C,则弦AB的长为 cm.
【答案】8
【知识点】圆的切线的判定定理的证明；圆的切线的性质定理的证明
【解析】【解答】如图,连接OA,OC,OB,
则OC⊥AC.
又∵OA=OB,
∴△OAB是等腰三角形.
∴AC=CB.
由题意知,OA=5 cm,OC=3 cm,
∴AC= =4（cm）.
∴AB=2AC=8（cm）.
【分析】本题主要考查了圆的切线的性质及判定定理，解决问题的关键是根据圆的切线的性质及判定定理结合所给图形构造辅助线极值即可
13．在Rt△ABC中,AC⊥CB,AB=12,AC=6,以C为圆心,作与AB相切的圆C,则☉C的半径r= .
【答案】3
【知识点】圆的切线的判定定理的证明；圆的切线的性质定理的证明
【解析】解答：如图,设切点为D,连接CD,
则CD⊥AB,CD=r.
∵AC⊥CB,∴CD2=AD·BD.
又AB=12,AC=6,AC2=AD·AB,∴AD= =3.
∴BD=AB-AD=12-3=9.
∴CD2=3×9=27,
∴CD=3 .
分析：本题主要考查了圆的切线的性质及判定定理，解决问题的关键是根据圆的切线的性质及判定定理结合所给条件计算即可
14．如图,已知PA与圆O相切于点A,半径OC⊥OP,AC交PO于点B,OC=1,OP=2,则PB= .
【知识点】圆的切线的判定定理的证明；圆的切线的性质定理的证明
【解析】解答：如图,连接OA,
则OA⊥PA.
在△OAP中,∠PAO=90°,OP=2,OA=1,
则PA= ,∠P=30°,
∠POA=60°.
故∠AOC=∠AOP+∠BOC=60°+90°=150°.
又OA=OC,则∠BAO=15°.
所以∠PBA=∠BAO+∠AOP=15°+60°=75°.
在△PAB中,则∠PAB=180°-∠P-∠ABP=180°-30°-75°=75°.
所以∠PBA=∠PAB,
故PA=PB,所以PB=
分析：本题主要考查了圆的切线的性质及判定定理，解决问题的关键是根据圆的切线的性质及判定定理结合所给图形分析边角关系计算即可
15．已知△ABC内接于☉O,过点A作直线EF.如图已知AB为直径,要使得EF是☉O的切线,还需添加的条件是（必须写出三种情况）:
① 或② 或③ .
【答案】∠CAF=∠B；AB⊥EF；∠BAC+∠CAF=90°（∠BAC与∠CAF互余）
【知识点】圆的切线的判定定理的证明；圆的切线的性质定理的证明
【解析】【解答】答案不唯一.如∠CAF=∠B,AB⊥EF,
∠BAC+∠CAF=90°（∠BAC与∠CAF互余）,
∠C=∠FAB,∠EAB=∠FAB等.
【分析】本题主要考查了圆的切线的性质及判定定理，解决问题的关键是根据圆的切线的性质及判定定理分析即可
三、解答题
16．如图,已知AB为半圆O的直径,直线MN切半圆于点C,AD⊥MN于点D,BE⊥MN于点E,BE交半圆于点F,AD=3 cm,BE=7 cm,求☉O的半径r.
【答案】解：如图,连接OC.
∵MN切半圆于点C,
∴OC⊥MN.
∵AD⊥MN,BE⊥MN,
∴AD∥OC∥BE.
∵OA=OB,
∴CD=CE.
∴OC= （AD+BE）= ×（3+7）=5（cm）.
∴☉O的半径为5 cm.
【知识点】圆的切线的判定定理的证明；圆的切线的性质定理的证明
【解析】【分析】本题主要考查了圆的切线的性质及判定定理，解决问题的关键是根据圆的切线的性质及判定定理结合所给条件构造辅助线计算即可
17．如图,AB经过☉O上一点C,且OA=OB,AC=CB,求证:直线AB是☉O的切线.
【答案】证明：如图,连接OC.
∵OA=OB,
∴△OAB是等腰三角形.
又∵AC=CB,∴OC⊥AB.
又∵OC是☉O的半径,
∴直线AB是☉O的切线.
【知识点】圆的切线的判定定理的证明；圆的切线的性质定理的证明
【解析】【分析】本题主要考查了圆的切线的性质及判定定理，解决问题的关键是根据所给条件转化为证明OC⊥AB即可
18．如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O交BC于点D,过点D作☉O的切线交AC于E.求证:DE⊥AC.
【答案】解答：连接OD,AD,如图.
∵AB为☉O的直径,
∴AD⊥BC.
∵AB=AC,即△ABC为等腰三角形,
∴AD为BC边上的中线,即BD=DC.
又∵OA=OB,∴OD为△ABC的中位线.
∴OD∥AC.
∵DE切☉O于D,∴OD⊥DE.∴DE⊥AC.
【知识点】圆的切线的判定定理的证明；圆的切线的性质定理的证明
【解析】【分析】本题主要考查了圆的切线的性质及判定定理，解决问题的关键是由于DE是☉O的切线,则OD⊥DE,故要证DE⊥AC,只需要证明OD∥AC即可.
19．如图,已知∠C=90°,点O在AC上,CD为☉O的直径,☉O切AB于点E,若BC=5,AC=12,求☉O的半径.
【答案】解答：如图,连接OE,
∵AB与☉O相切于点E,
∴OE⊥AB,即∠OEA=90°.
∵∠C=90°,∠A=∠A,
∴△ACB∽△AEO,
∴
∵BC=5,AC=12,
∴AB=13,
∴
∴OE= .
即☉O的半径为 .
【知识点】圆的切线的判定定理的证明；圆的切线的性质定理的证明
【解析】【分析】本题主要考查了圆的切线的性质及判定定理，解决问题的关键是根据圆的切线的性质及判定定理结合所给条件运用三角形相似性分析计算即可
20．如图,AB是☉O的直径,AE平分∠BAF交☉O于点E,过E作直线与AF垂直,交AF的延长线于点D,且交AB的延长线于点C.求证:CD是☉O的切线.
【答案】解答：如图,连接OE.
∵OA=OE,∴∠1=∠2.
又∵AE平分∠BAF,
∴∠2=∠3.
∴∠1=∠3.
∴OE∥AD.
∵AD⊥CD,∴OE⊥CD.
∴CD与☉O相切于点E.
【知识点】圆的切线的判定定理的证明；圆的切线的性质定理的证明
【解析】【分析】本题主要考查了圆的切线的性质及判定定理，解决问题的关键是证明OE⊥CD即可
21．如图,AB是☉O的直径,BC是☉O的切线,切点为B,OC平行于弦AD,求证:DC是☉O的切线
【答案】证明：连接OD,∵OC∥AD,
∴∠1=∠3,∠2=∠4.
又∵∠1=∠2,∴∠4=∠3.
∵OD=OB,OC=OC,∴△ODC≌△OBC.
∴∠ODC=∠OBC=90°.
又∵点D在圆上,∴DC是☉O的切线.
【知识点】圆的切线的判定定理的证明；圆的切线的性质定理的证明
【解析】【分析】本题主要考查了圆的切线的性质及判定定理，解决问题的关键是根据圆的切线的性质及判定定理结合所给条件分析构造辅助线证明即可
22．如图,BE是☉O的直径,点A在EB的延长线上,弦PD⊥BE,垂足为点C,连接OD,且∠AOD=∠APC.求证:AP是☉O的切线.
【答案】证明：连接OP,如图,
∵PD⊥BE,
∴∠OCD=90°.
∴∠ODC+∠COD=90°.
∵OD=OP,
∴∠ODC=∠OPC.
∵∠AOD=∠APC,∴∠OPC+∠APC=90°.
∴∠APO=90°,即AP⊥PO.
∴AP是☉O的切线.
【知识点】圆的切线的判定定理的证明；圆的切线的性质定理的证明
【解析】【分析】本题主要考查了圆的切线的性质及判定定理，解决问题的关键是根据圆的切线的性质及判定定理结合所给图形构造辅助线方向证明即可
23．已知圆内接△ABC中，D为BC上一点，且△ADC为正三角形，点E为BC的延长线上一点，AE为圆O的切线．
（1）求∠BAE 的度数；
（2）求证：CD2 =BD·EC
【答案】（1）解：在△EAB与△ECA中，∵AE为圆O的切线，
∴∠EBA =∠EAC
又∠E公用，∴∠EAB =∠ECA
∵△ACD为等边三角形，
∴
（2）证明：∵AE为圆O的切线，
∴∠ABD=∠CAE
∵△ACD为等边三角形，
∴∠ADC =∠ACD，
∴∠ADB=∠ECA，
∴△ABD∽△EAC
∴ ，即
∵△ACD为等边三角形，
∴AD=AC=CD，
∴ CD2 =BD·EC
【知识点】圆的切线的判定定理的证明；圆的切线的性质定理的证明
【解析】【分析】本题主要考查了圆的切线的性质及判定定理，解决问题的关键是（1）在△EAB与△ECA中，因为AE为圆O的切线，所以∠EBA =∠EAC，∠EAB =∠ECA，因为△ACD为等边三角形，所以 ；（2）容易证明△ABD∽△EAC ，所以 ，即 ，因为△ACD为等边三角形，所以AD=AC=CD，所以 CD2 =BD·EC
24．如图,D是☉O的直径AB的延长线上一点,PD是☉O的切线,P是切点,∠D=30°.求证:PA=PD.
【答案】证明：如图,连接OP,
∵PD是☉O的切线,P为切点.
∴PO⊥PD.∵∠D=30°,∴∠POD=60°.
又∵OA=OP,∴∠A=∠APO.
∴∠A=30°.∴∠A=∠D.
∴PA=PD.
【知识点】圆的切线的判定定理的证明；圆的切线的性质定理的证明
【解析】【分析】本题主要考查了圆的切线的性质及判定定理，解决问题的关键是欲证PA=PD,只要证明∠A=∠D=30°即可.
25．如图,☉O内切于△ABC的边于点D,E,F,AB=AC,连接AD交☉O于点H,直线HF交BC的延长线于点G.
（1）求证:圆心O在AD上;
（2）求证:CD=CG;
（3）若AH∶AF=3∶4,CG=10,求HF的长.
【答案】（1）证明：由题意知AE=AF,CF=CD,BD=BE,而AB=AC,
∴CD=CF=BE=BD.
∴D为BC的中点,
∴AD是∠BAC的平分线,
∴圆心O在AD上.
（2）证明：如图,连接DF.
∵O在AD上,
∴DH为直径,
∴∠DFH=90°.
∵CF=CD,∠CFD=∠FDC,
∴∠G=90°-∠FDC=90°-∠CFD=∠CFG,
∴CG=CF,∴CG=CD.
（3）解:∵∠AFH=90°-∠CFD=90°-∠FDC=∠FDA,又∠FAD为公共角,则△AHF∽△AFD.
∴
∴在Rt△HFD中,FH∶FD∶DH=3∶4∶5.
∵△HDF∽△DGF,
∴DF∶GF∶DG=3∶4∶5.
又∵CG=10,∴GD=20.
∴DF=3×20× =12,
∴FH= FD=9.
【知识点】圆的切线的判定定理的证明；圆的切线的性质定理的证明
【解析】【分析】本题主要考查了圆的切线的性质及判定定理，解决问题的关键是根据圆的切线的性质及判定定理结合所给图形根据三角形相似性以及边角关系计算即可
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