第十七章 勾股定理 章末复习（含答案）
文档属性
| 名称 | 第十七章 勾股定理 章末复习（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 159.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-01-29 00:00:00 | ||
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文档简介
第十七章勾股定理
章末复习
【典例分析】
类型1 求直角三角形的边
【例1】如图，已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝.点D为BC边上一点，且BD＝2AD，∠ADC＝60°.求△ABC的周长(结果保留根号)．
【规范解答】
类型2 判断直角三角形
【例2】试说明以m2－n2，m2＋n2，2mn(m、n是正整数，且m＞n)为边长的三角形是直角三角形．
【思路分析】看三边长是否满足判定直角三角形的方法来判断三角形是不是直角三角形．
【规范解答】
【例3】某小区有一块四边形空地ABCD，如图所示，现计划在该空地上种植草皮，经测量，∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m.若每平方米草皮需200元，问需投入多少元？
【思路分析】欲求草皮的总投入，需要求草皮的总面积．由于ABCD是不规则四边形，无法直接计算，故连接BD，把它分成两个三角形来计算．
【规范解答】
【综合练习】
1．在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为 （ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．(遵义中考)如图①是第七届国际数学教育大会(ICME)会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图②所示的四边形OABC.若AB＝BC＝1，∠AOB＝30°，则点B到OC的距离为 （ ）
A. B. C．1 D．2
3．如图，直线l上有三个正方形a、b、c，若a、c的面积分别为5和11，则b的面积为( )
A．4 B．6 C．16 D．55
4．在△ABC中，AB＝，BC＝，AC＝，则 ( )
A．∠B＋∠C＝90° B．∠A＋∠C＝90°
C．∠A＋∠B＝90° D．∠B＝∠C
5．如图，有一圆柱形油罐，已知油罐底面的周长是12m，高AB是5m，要从A点环绕油罐建梯子，正好到A的正上方B点，梯子最短需要( )
A．12m B．13m C．17m D．20m
6．如图所示，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，BC∶AC∶AB＝ .
7．一架长250cm梯子斜靠在墙上，这时梯足与墙根距离为70cm，如果梯子顶端沿墙下滑40cm，那么梯足将向外侧滑动的距离为 .
8．下列命题中，其逆命题成立的是 (只填写序号)．
①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；④如果三角形的三边长a、b、c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
9．如图，从点A(0,2)发出的一束光，经x轴反射，过点B(4,3)，则这束光从点A到点B所经过路径的长为 .
10．如图，从高8米的电杆AC的顶部A处，向地面的固定点B处拉一根铁丝，若B点距电杆底部的距离为6米．现在准备一根长为9.9米长的铁丝，够用吗？请你说明理由．
11．如图，在四边形ABCD中，已知AB∶BC∶CD∶DA＝2∶2∶3∶1，且∠B＝90°，求∠BAD的度数．
12．如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝6，在△ABE中，DE是AB边上的高，且DE＝7，△ABE的面积为35，求∠C的度数．
13．在△ABC中，AB＝13，AC＝15，高AD＝12，求BC的长．
14．小明听说“武黄城际列车”已经开通．便设计了如下问题：如右图，以往从黄石A坐客车到武昌客运站B，现在可以在A坐城际列车到武汉青山站C，再从青山站C坐市内公共汽车到武昌客运站B．设AB＝80km，BC＝20km，∠ABC＝120°.请你帮助小明解决以下问题：
(1)求A、C之间的距离(参考数据≈4.6)；
(2)若客车的平均速度是60km/h，市内的公共汽车的平均速度为40km/h，城际列车的平均速度为180km/h，为了最短时间到达武昌客运站，小明应该选择哪种乘车方案？请说明理由．(不计候车时间)
1
参考答案
【典例分析】
类型1 求直角三角形的边
【例1】【规范解答】在Rt△ADC中，∵∠C＝90°，∠ADC＝60°，∴∠DAC＝30°，则AD＝2CD．∴4CD2＝CD2＋AC2，又AC＝，∴CD＝1，AD＝2，BD＝2AD＝4，∴BC＝BD＋CD＝5，在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB＝＝＝2.∴△ABC的周长＝AB＋BC＋AC＝2＋5＋.
类型2 判断直角三角形
【例2】【规范解答】因为(m2－n2)2＋(2mn)2＝m4－2m2n2＋n4＋4m2n2＝m4＋2m2n2＋n4＝(m2＋n2)2，所以m2－n2，m2＋n2,2mn(m、n是正整数，且m＞n)为边长的三角形是直角三角形．
类型3 勾股定理及其逆定理的应用
【例3】【规范解答】连接BD．在Rt△ABD中，AD＝4，AB＝3，所以BD2＝AD2＋AB2＝42＋32＝52.在△BDC中，因为BD2＋BC2＝52＋122＝132＝CD2.所以△BDC是直角三角形，所以S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BDC＝×3×4＋×5×12＝36(m2)．故需投入200×36＝7200(元)．
【综合练习】
1-5 ABCAB
6. 1∶1∶
7. 80cm
8. ①④
9.
10. 解：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝10,10＞9.9，所以绳子不够用．
11. 解：连接AC，设AB＝BC＝2x，CD＝3x，DA＝x，∵AC2＝AB2＋BC2＝8x2，AC2＋DA2＝9x2，CD2＝9x2.∴AC2＋DA2＝CD2，∴∠CAD＝90°，又∵∠BAC＝45°，∴∠BAD＝135°.
12. 解：∵DE＝7，S△ABE＝DE·AB＝35，∴AB＝10，∵AC＝8，BC＝6,62＋82＝102，∴AC2＋BC2＝AB2，由勾股定理逆定理得∠C＝90°.
13. 解：在Rt△ABD中，AB2＝AD2＋BD2，因此BD2＝132－122＝25，∴BD＝5，在Rt△ACD中，AC2＝AD2＋CD2，因此CD2＝152－122＝81，∴CD＝9.(1)如果AD在△ABC内，如图①，所以BC＝CD＋BD＝9＋5＝14；(2)如果AD在△ABD外，如图②，所以BC＝CD－BD＝9－5＝4.
14. 解：(1)如图，过点C作AB的垂线，交AB的延长线于E点，∵∠ABC＝120°，∴∠BCE＝30°.又∵BC＝20(km)，∴BE＝10(km)，CE＝10(km)．在△ACE中，∵AC2＝(80＋10)2＋(10)2＝8100＋300，∴AC＝20≈20×4.6＝92(km)；
(2)乘客车需时间t1＝＝1(小时)，乘列车需时间t2＝＋＝1(小时)，∵t2＜t1，∴选择城际列车．
章末复习
【典例分析】
类型1 求直角三角形的边
【例1】如图，已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝.点D为BC边上一点，且BD＝2AD，∠ADC＝60°.求△ABC的周长(结果保留根号)．
【规范解答】
类型2 判断直角三角形
【例2】试说明以m2－n2，m2＋n2，2mn(m、n是正整数，且m＞n)为边长的三角形是直角三角形．
【思路分析】看三边长是否满足判定直角三角形的方法来判断三角形是不是直角三角形．
【规范解答】
【例3】某小区有一块四边形空地ABCD，如图所示，现计划在该空地上种植草皮，经测量，∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m.若每平方米草皮需200元，问需投入多少元？
【思路分析】欲求草皮的总投入，需要求草皮的总面积．由于ABCD是不规则四边形，无法直接计算，故连接BD，把它分成两个三角形来计算．
【规范解答】
【综合练习】
1．在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为 （ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．(遵义中考)如图①是第七届国际数学教育大会(ICME)会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图②所示的四边形OABC.若AB＝BC＝1，∠AOB＝30°，则点B到OC的距离为 （ ）
A. B. C．1 D．2
3．如图，直线l上有三个正方形a、b、c，若a、c的面积分别为5和11，则b的面积为( )
A．4 B．6 C．16 D．55
4．在△ABC中，AB＝，BC＝，AC＝，则 ( )
A．∠B＋∠C＝90° B．∠A＋∠C＝90°
C．∠A＋∠B＝90° D．∠B＝∠C
5．如图，有一圆柱形油罐，已知油罐底面的周长是12m，高AB是5m，要从A点环绕油罐建梯子，正好到A的正上方B点，梯子最短需要( )
A．12m B．13m C．17m D．20m
6．如图所示，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，BC∶AC∶AB＝ .
7．一架长250cm梯子斜靠在墙上，这时梯足与墙根距离为70cm，如果梯子顶端沿墙下滑40cm，那么梯足将向外侧滑动的距离为 .
8．下列命题中，其逆命题成立的是 (只填写序号)．
①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；④如果三角形的三边长a、b、c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
9．如图，从点A(0,2)发出的一束光，经x轴反射，过点B(4,3)，则这束光从点A到点B所经过路径的长为 .
10．如图，从高8米的电杆AC的顶部A处，向地面的固定点B处拉一根铁丝，若B点距电杆底部的距离为6米．现在准备一根长为9.9米长的铁丝，够用吗？请你说明理由．
11．如图，在四边形ABCD中，已知AB∶BC∶CD∶DA＝2∶2∶3∶1，且∠B＝90°，求∠BAD的度数．
12．如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝6，在△ABE中，DE是AB边上的高，且DE＝7，△ABE的面积为35，求∠C的度数．
13．在△ABC中，AB＝13，AC＝15，高AD＝12，求BC的长．
14．小明听说“武黄城际列车”已经开通．便设计了如下问题：如右图，以往从黄石A坐客车到武昌客运站B，现在可以在A坐城际列车到武汉青山站C，再从青山站C坐市内公共汽车到武昌客运站B．设AB＝80km，BC＝20km，∠ABC＝120°.请你帮助小明解决以下问题：
(1)求A、C之间的距离(参考数据≈4.6)；
(2)若客车的平均速度是60km/h，市内的公共汽车的平均速度为40km/h，城际列车的平均速度为180km/h，为了最短时间到达武昌客运站，小明应该选择哪种乘车方案？请说明理由．(不计候车时间)
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参考答案
【典例分析】
类型1 求直角三角形的边
【例1】【规范解答】在Rt△ADC中，∵∠C＝90°，∠ADC＝60°，∴∠DAC＝30°，则AD＝2CD．∴4CD2＝CD2＋AC2，又AC＝，∴CD＝1，AD＝2，BD＝2AD＝4，∴BC＝BD＋CD＝5，在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB＝＝＝2.∴△ABC的周长＝AB＋BC＋AC＝2＋5＋.
类型2 判断直角三角形
【例2】【规范解答】因为(m2－n2)2＋(2mn)2＝m4－2m2n2＋n4＋4m2n2＝m4＋2m2n2＋n4＝(m2＋n2)2，所以m2－n2，m2＋n2,2mn(m、n是正整数，且m＞n)为边长的三角形是直角三角形．
类型3 勾股定理及其逆定理的应用
【例3】【规范解答】连接BD．在Rt△ABD中，AD＝4，AB＝3，所以BD2＝AD2＋AB2＝42＋32＝52.在△BDC中，因为BD2＋BC2＝52＋122＝132＝CD2.所以△BDC是直角三角形，所以S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BDC＝×3×4＋×5×12＝36(m2)．故需投入200×36＝7200(元)．
【综合练习】
1-5 ABCAB
6. 1∶1∶
7. 80cm
8. ①④
9.
10. 解：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝10,10＞9.9，所以绳子不够用．
11. 解：连接AC，设AB＝BC＝2x，CD＝3x，DA＝x，∵AC2＝AB2＋BC2＝8x2，AC2＋DA2＝9x2，CD2＝9x2.∴AC2＋DA2＝CD2，∴∠CAD＝90°，又∵∠BAC＝45°，∴∠BAD＝135°.
12. 解：∵DE＝7，S△ABE＝DE·AB＝35，∴AB＝10，∵AC＝8，BC＝6,62＋82＝102，∴AC2＋BC2＝AB2，由勾股定理逆定理得∠C＝90°.
13. 解：在Rt△ABD中，AB2＝AD2＋BD2，因此BD2＝132－122＝25，∴BD＝5，在Rt△ACD中，AC2＝AD2＋CD2，因此CD2＝152－122＝81，∴CD＝9.(1)如果AD在△ABC内，如图①，所以BC＝CD＋BD＝9＋5＝14；(2)如果AD在△ABD外，如图②，所以BC＝CD－BD＝9－5＝4.
14. 解：(1)如图，过点C作AB的垂线，交AB的延长线于E点，∵∠ABC＝120°，∴∠BCE＝30°.又∵BC＝20(km)，∴BE＝10(km)，CE＝10(km)．在△ACE中，∵AC2＝(80＋10)2＋(10)2＝8100＋300，∴AC＝20≈20×4.6＝92(km)；
(2)乘客车需时间t1＝＝1(小时)，乘列车需时间t2＝＋＝1(小时)，∵t2＜t1，∴选择城际列车．