人教新课标A版必修4数学3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式同步检测
一、选择题
1．若 ，则 =（ ）
A． B． C． D．
2．已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．式子 的值为（ ）
A． B． C． D．1
4．已知 为锐角，且 , ，则 的值是（ ）
A． B．
C． D． 或
5．已知 ， ， （ ）
A． B． C． D．
6． ( )
A． B． C． D．
7．已知 为锐角， ，则 = （ ）
A． B． C． D．
8． （ ）
A． B． C． D．
9．已知 ，都是锐角， cos=，cos ，则 cos 的值为( )
A．- B． C． D．
10．已知 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
11．在三角形ABC中，若 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
12．已知 ，且 ，则 ( )
A． B． C． D．
13．已知 ， ，则 等于( )
A． B． C． D．
14．设函数 ，且其图像关于 轴对称，则函数 的一个单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
15．计算： ．
16． △ABC中，若 sin（π-A）= ， tan（π+B）= ，则cosC ．
17．已知 是方程 的两根，则 = .
18．设 ，且 ，则 的值为 ．
19．设当 时，函数 取得最大值，则 .
三、解答题
20．已知 ， 是第三象限角， .
（1）求 的值；
（2）求 的值．
21．已知函数 ， ，且 的最小正周期为 .
（1）若 ， ，求 的值；
（2）求函数 的单调增区间.
22．已知
（1）求 的值；
（2）求 的值
23．已知函数 ， ．
（1）求 的值；
（2）若 ， ，求 的值．
24．已知函数 ， ，求解下列问题
（1）求函数 的最大值和最小正周期；
（2）设 的内角 的对边分别 且 , ，若 求 值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】解答：由 所以 .故选C.
分析：由题观察所给条件直接利用和角公式展开解方程即可得到所求角的正切.
2．【答案】B
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】解答：∵ ， ，∴ ，∴ ，
∴ .
分析：由题观察所给条件，运用同角三角函数对应直接求解得到对应角的正切，然后运用正切的差角公式计算.
3．【答案】B
【知识点】两角和与差的余弦公式
【解析】解答：由两角和与差的余弦公式得
分析：由题观察所给式子逆用余弦的和角公式计算即可，主要考查学生对三角函数公式的灵活运用.
4．【答案】B
【知识点】两角和与差的余弦公式
【解析】解答： ，
.
分析：由题首先根据所给角的范围及对应三角函数值，不难得到其对应和的余弦值，属于两角和与差部分的基础题目.
5．【答案】D
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】解答：由 ①，
所以 ②，由①②可得 ③，
由①③得， ，故选D
分析：首先根据所给三角函数关系式利用差角公式展开，结合二倍角公式联立方程求得结果即可.
6．【答案】B
【知识点】两角和与差的正弦公式
【解析】解答：
，答案选B．
分析：由题观察所给角函数式子的调整，利用诱导公式，大角化小，化简到锐角，然后利用差角公式计算即可.
7．【答案】C
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】解答： 为锐角, , .
分析：由题根据所给角的范围及三角函数值，利用同角三角函数关系求得对应角的正切，然后利用正切的和角公式计算即可.
8．【答案】C
【知识点】两角和与差的正弦公式
【解析】解答：
.故选C.
分析：由题观察所给式子，进行有目的的拆角，使其拆分后能够化简，然后运用三角函数公式计算即可.
9．【答案】B
【知识点】两角和与差的余弦公式
【解析】【解答】因为 为锐角，所以 ，
因为， 都是锐角，所以 ，所以 .
.故B正确.
【分析】由题根据所求角与所给条件进行恰当的角的凑配，然后结合所给角的范围求解对应的三角函数值，然后运用差角公式计算即可.
10．【答案】B
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】解答：
．
分析：观察所求角与所给条件之间的联系，运用正切差角公式计算即可，难度不大.
11．【答案】A
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】解答：在三角形ABC中，
由题设 得： ，
即
所以， ,而 ，所以 ,所以， ，故选A．
分析：由题根据三角形内角和及有关诱导公式结合所给条件进行变换，进而利用正切的和角公式解决问题.
12．【答案】C
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】由 得：
解方程组： 得： 或
因为 ，所以 所以 不合题意，舍去
所以 ，所以 ，故选C.
【分析】由题化简所给条件然后根据化简结果结合同角三角函数的平方关系联立求得所给角的正弦、余弦，进而得到对应的正切值，然后利用正切的和角公式解决.
13．【答案】D
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式
【解析】解答：令 ，得
分析得
因而
.
分析：由题利用角的变换的方法首先观察所求角与所给条件较的整体关系进行恰当拆分，然后利用和角公式计算即可.
14．【答案】C
【知识点】两角和与差的正弦公式
【解析】解答：函数 ，图像关于 轴对称，必有 所以： ，又因为： ，所以当 时， ，所以 ，所以 单调递减区间：由 解得： ，所以 的单调递减区间是： ，当 时，单调递减区间是： ，显然C正确．
分析：由题首先观察所给三角函数式子，运用差角公式化简，然后利用其关于y轴对称结合三角函数性质得到 ，然后运用整体方法得到函数的单调区间.
15．【答案】
【知识点】两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】因为
.
【分析】由题观察所给式子之间逆用三角函数差角公式计算即可，难度不大，属于基础题目.
16．【答案】
【知识点】两角和与差的余弦公式
【解析】【解答】由 sin（π-A）= 得sinA= ，由 tan（π+B）= 得tanB= ，所以B为锐角，且 sinB=，cosB= ，又sinA＜sinB 。所以 也为锐角cosA= ，故cosC=-cos（A+B）=-cosA+sinAsinB= .
【分析】由题根据所给条件结合角的范围分别计算其对应的正弦、余弦，然后根据角的范围得到对应的三角函数值，结合三角形内角和性质运用和角公式计算即可.
17．【答案】1
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】由题
.
【分析】本题考查两角和的正切公式， ，而 与 可由韦达定理得．
18．【答案】
【知识点】两角和与差的余弦公式
【解析】【解答】由题意得： ，因此
，
又 ，所以
【分析】本题考查三角函数求值等知识 ，意在考查灵活运用有关的基础知识解决问题的能力.
19．【答案】
【知识点】两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】 ，当 时 取得最大值，即 ，所以 .
【分析】由题首先运用三角函数差角公式化简所给三角函数，然后运用三角函数图象性质求得对应最大值时的角，进而得到所求角的余弦值.
20．【答案】（1）解：因为 是第三象限角， ，所以
所以
（2）解：因为 ， ，所以
【知识点】两角和与差的余弦公式；二倍角的正弦公式
【解析】分析：（1）因为 为第三象限角，可确定 ，然后由条件 的值与同角三角函数的基本关系式 可求出 ，最后利用正弦的二倍角公式可得 的值；（2）由（1），根据余弦的二倍角公式先计算出 ，然后根据 ，求出 ，最后由两角和的余弦公式将 展开，代入数值即可得到结果.
21．【答案】（1）解：因为 的最小正周期为 ，所以 ，解得 ．
由 ，得 ，即 ，所以 ， .因为 ，
所以 .
（2）解：函数
，
由 ，解得
所以函数 的单调增区间为
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】分析：（1）由已知可得 ，且由 ，得 ，解三角方程并注意 ，取相应范围的根；（2）将 变形为 ，利用复合函数的单调性，只需 ，解不等式并表示成区间的形式，即得单调递增区间.
22．【答案】（1）解：由
得 ，
（2）解：
【知识点】两角和与差的余弦公式
【解析】分析：（1）给值求值问题，首先要分析角之间关系，本题可化为同角，即
，因此只需由 根据同角三角函数关系求出： ， ，代入即得 （2）本题为二倍角关系，可利用二倍角的正余弦公式进行求解： ，
23．【答案】（1）解：由已知得
（2）解：因为 ，
又 ，故 ，即 ．
又 ，故 ．
所以 ，
．
所以
．
【知识点】两角和与差的余弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】分析：本题主要考查诱导公式、平方关系、倍角公式、两角和与差的余弦公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，直接代入 ，利用特殊角的三角函数值求 ；第二问，先将 代入，利用诱导公式变形，即得出 ，再利用平方关系，得到 ，代入到 和 中，利用倍角公式求值，最后将 用两角差的余弦公式展开，将 和 代入即可.
24．【答案】（1）解： f(x)=sinxcosx-cos x-
=(2sinxcosx)-(1+cos2x)-
=sin2x-cos2x-1
=sin2xcos-cos2xsin-1
=sin(2x-)-1
故 f(x)的最小正周期是π,最小值是 -2.
（2）解： f（C）=sin（2C-）-2=-1，
∴sin（2C-）=1，
∵0＜C＜π，
∴0＜2C＜2π，
∴-＜2C-＜，
∴2C-=，
∴C=.
∵sin（A+C）=2sinA，
∴sinB=2sinA，由正弦定理=, ①
∵由余弦定理得：c =a +b -2abcos，即a +b -ab=9，②
∴联立①、②解得a=，b=2
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；正弦定理
【解析】分析：（1）利用两角和与差的三角函数公式及二倍角公式将 化成 的形式，再根据正弦函数的性质求得.（2）由 ，结合余弦定理得： ；由 结合正弦定理得 ，解方程组可得 值．
1 / 1人教新课标A版必修4数学3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式同步检测
一、选择题
1．若 ，则 =（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】解答：由 所以 .故选C.
分析：由题观察所给条件直接利用和角公式展开解方程即可得到所求角的正切.
2．已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】解答：∵ ， ，∴ ，∴ ，
∴ .
分析：由题观察所给条件，运用同角三角函数对应直接求解得到对应角的正切，然后运用正切的差角公式计算.
3．式子 的值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【知识点】两角和与差的余弦公式
【解析】解答：由两角和与差的余弦公式得
分析：由题观察所给式子逆用余弦的和角公式计算即可，主要考查学生对三角函数公式的灵活运用.
4．已知 为锐角，且 , ，则 的值是（ ）
A． B．
C． D． 或
【答案】B
【知识点】两角和与差的余弦公式
【解析】解答： ，
.
分析：由题首先根据所给角的范围及对应三角函数值，不难得到其对应和的余弦值，属于两角和与差部分的基础题目.
5．已知 ， ， （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】解答：由 ①，
所以 ②，由①②可得 ③，
由①③得， ，故选D
分析：首先根据所给三角函数关系式利用差角公式展开，结合二倍角公式联立方程求得结果即可.
6． ( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两角和与差的正弦公式
【解析】解答：
，答案选B．
分析：由题观察所给角函数式子的调整，利用诱导公式，大角化小，化简到锐角，然后利用差角公式计算即可.
7．已知 为锐角， ，则 = （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】解答： 为锐角, , .
分析：由题根据所给角的范围及三角函数值，利用同角三角函数关系求得对应角的正切，然后利用正切的和角公式计算即可.
8． （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两角和与差的正弦公式
【解析】解答：
.故选C.
分析：由题观察所给式子，进行有目的的拆角，使其拆分后能够化简，然后运用三角函数公式计算即可.
9．已知 ，都是锐角， cos=，cos ，则 cos 的值为( )
A．- B． C． D．
【答案】B
【知识点】两角和与差的余弦公式
【解析】【解答】因为 为锐角，所以 ，
因为， 都是锐角，所以 ，所以 .
.故B正确.
【分析】由题根据所求角与所给条件进行恰当的角的凑配，然后结合所给角的范围求解对应的三角函数值，然后运用差角公式计算即可.
10．已知 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】解答：
．
分析：观察所求角与所给条件之间的联系，运用正切差角公式计算即可，难度不大.
11．在三角形ABC中，若 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】解答：在三角形ABC中，
由题设 得： ，
即
所以， ,而 ，所以 ,所以， ，故选A．
分析：由题根据三角形内角和及有关诱导公式结合所给条件进行变换，进而利用正切的和角公式解决问题.
12．已知 ，且 ，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】由 得：
解方程组： 得： 或
因为 ，所以 所以 不合题意，舍去
所以 ，所以 ，故选C.
【分析】由题化简所给条件然后根据化简结果结合同角三角函数的平方关系联立求得所给角的正弦、余弦，进而得到对应的正切值，然后利用正切的和角公式解决.
13．已知 ， ，则 等于( )
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式
【解析】解答：令 ，得
分析得
因而
.
分析：由题利用角的变换的方法首先观察所求角与所给条件较的整体关系进行恰当拆分，然后利用和角公式计算即可.
14．设函数 ，且其图像关于 轴对称，则函数 的一个单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两角和与差的正弦公式
【解析】解答：函数 ，图像关于 轴对称，必有 所以： ，又因为： ，所以当 时， ，所以 ，所以 单调递减区间：由 解得： ，所以 的单调递减区间是： ，当 时，单调递减区间是： ，显然C正确．
分析：由题首先观察所给三角函数式子，运用差角公式化简，然后利用其关于y轴对称结合三角函数性质得到 ，然后运用整体方法得到函数的单调区间.
二、填空题
15．计算： ．
【答案】
【知识点】两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】因为
.
【分析】由题观察所给式子之间逆用三角函数差角公式计算即可，难度不大，属于基础题目.
16． △ABC中，若 sin（π-A）= ， tan（π+B）= ，则cosC ．
【答案】
【知识点】两角和与差的余弦公式
【解析】【解答】由 sin（π-A）= 得sinA= ，由 tan（π+B）= 得tanB= ，所以B为锐角，且 sinB=，cosB= ，又sinA＜sinB 。所以 也为锐角cosA= ，故cosC=-cos（A+B）=-cosA+sinAsinB= .
【分析】由题根据所给条件结合角的范围分别计算其对应的正弦、余弦，然后根据角的范围得到对应的三角函数值，结合三角形内角和性质运用和角公式计算即可.
17．已知 是方程 的两根，则 = .
【答案】1
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】由题
.
【分析】本题考查两角和的正切公式， ，而 与 可由韦达定理得．
18．设 ，且 ，则 的值为 ．
【答案】
【知识点】两角和与差的余弦公式
【解析】【解答】由题意得： ，因此
，
又 ，所以
【分析】本题考查三角函数求值等知识 ，意在考查灵活运用有关的基础知识解决问题的能力.
19．设当 时，函数 取得最大值，则 .
【答案】
【知识点】两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】 ，当 时 取得最大值，即 ，所以 .
【分析】由题首先运用三角函数差角公式化简所给三角函数，然后运用三角函数图象性质求得对应最大值时的角，进而得到所求角的余弦值.
三、解答题
20．已知 ， 是第三象限角， .
（1）求 的值；
（2）求 的值．
【答案】（1）解：因为 是第三象限角， ，所以
所以
（2）解：因为 ， ，所以
【知识点】两角和与差的余弦公式；二倍角的正弦公式
【解析】分析：（1）因为 为第三象限角，可确定 ，然后由条件 的值与同角三角函数的基本关系式 可求出 ，最后利用正弦的二倍角公式可得 的值；（2）由（1），根据余弦的二倍角公式先计算出 ，然后根据 ，求出 ，最后由两角和的余弦公式将 展开，代入数值即可得到结果.
21．已知函数 ， ，且 的最小正周期为 .
（1）若 ， ，求 的值；
（2）求函数 的单调增区间.
【答案】（1）解：因为 的最小正周期为 ，所以 ，解得 ．
由 ，得 ，即 ，所以 ， .因为 ，
所以 .
（2）解：函数
，
由 ，解得
所以函数 的单调增区间为
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】分析：（1）由已知可得 ，且由 ，得 ，解三角方程并注意 ，取相应范围的根；（2）将 变形为 ，利用复合函数的单调性，只需 ，解不等式并表示成区间的形式，即得单调递增区间.
22．已知
（1）求 的值；
（2）求 的值
【答案】（1）解：由
得 ，
（2）解：
【知识点】两角和与差的余弦公式
【解析】分析：（1）给值求值问题，首先要分析角之间关系，本题可化为同角，即
，因此只需由 根据同角三角函数关系求出： ， ，代入即得 （2）本题为二倍角关系，可利用二倍角的正余弦公式进行求解： ，
23．已知函数 ， ．
（1）求 的值；
（2）若 ， ，求 的值．
【答案】（1）解：由已知得
（2）解：因为 ，
又 ，故 ，即 ．
又 ，故 ．
所以 ，
．
所以
．
【知识点】两角和与差的余弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】分析：本题主要考查诱导公式、平方关系、倍角公式、两角和与差的余弦公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，直接代入 ，利用特殊角的三角函数值求 ；第二问，先将 代入，利用诱导公式变形，即得出 ，再利用平方关系，得到 ，代入到 和 中，利用倍角公式求值，最后将 用两角差的余弦公式展开，将 和 代入即可.
24．已知函数 ， ，求解下列问题
（1）求函数 的最大值和最小正周期；
（2）设 的内角 的对边分别 且 , ，若 求 值．
【答案】（1）解： f(x)=sinxcosx-cos x-
=(2sinxcosx)-(1+cos2x)-
=sin2x-cos2x-1
=sin2xcos-cos2xsin-1
=sin(2x-)-1
故 f(x)的最小正周期是π,最小值是 -2.
（2）解： f（C）=sin（2C-）-2=-1，
∴sin（2C-）=1，
∵0＜C＜π，
∴0＜2C＜2π，
∴-＜2C-＜，
∴2C-=，
∴C=.
∵sin（A+C）=2sinA，
∴sinB=2sinA，由正弦定理=, ①
∵由余弦定理得：c =a +b -2abcos，即a +b -ab=9，②
∴联立①、②解得a=，b=2
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；正弦定理
【解析】分析：（1）利用两角和与差的三角函数公式及二倍角公式将 化成 的形式，再根据正弦函数的性质求得.（2）由 ，结合余弦定理得： ；由 结合正弦定理得 ，解方程组可得 值．
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