人教新课标A版必修4数学1.6 三角函数模型的简单应用同步检测
一、选择题
1．如图为一半径为3m的水轮，水轮中心O距水面2m，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y（m）与时间x（t）满足函数关系y=Asin（ωx+φ）+2则（ ）
A．ω= ，A=5 B．ω= ，A=5
C．ω= ，A=3 D．ω= ，A=3
2．M，N是曲线y=πsinx与曲线y=πcosx的两个不同的交点，则|MN|的最小值为（ ）
A．π B． C． D．2π
3．稳定房价是我国今年实施宏观调控的重点，国家最近出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响．北京市某房地产介绍所对本市一楼群在今年的房价作了统计与预测：发现每个季度的平均单价y（每平方米面积的价格，单位为元）与第x季度之间近似满足：y=500sin（ωx+ ）+9500 （ ＞0），已知第一、二季度平均单价如下表所示：
x 1 2 3
y 10000 9500 ？
则此楼群在第三季度的平均单价大约是 （ ）
A．10000元 B．9500元 C．9000元 D．8500元
4．要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD=120°，CD=40m，则电视塔的高度为（ ）
A．10 m B．20m C．20 m D．40m
5．已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与B的距离为（ ）
A．akm B． akm C． akm D．2akm
6．在一个圆形波浪实验水池的中心有三个振动源，假如不计其它因素，在t秒内，它们引发的水面波动可分别由函数 和 描述，如果两个振动源同时启动，则水面波动由两个函数的和表达，在某一时刻使这三个振动源同时开始工作，那么，原本平静的水面将呈现的状态是（ ）
A．仍保持平静 B．不断波动
C．周期性保持平静 D．周期性保持波动
二、填空题
7．如图所示，PA，PB是⊙O的切线，AC是⊙O的直径，∠P=40°，则∠BAC= ．
8．如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD．已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿着DC走到C用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为 米．
9．动点A（x，y）在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t=0时，点A的坐标是（ ， ），则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于 t（单位：秒）的函数的单调递增区间是 ．
10．在一幢10米高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为60°，塔基的俯角为45°，那么这座塔吊的高是 ．
11．某港口在一天24小时内的潮水的高度近似满足关系 ，其中0≤t≤24，S的单位是m，t的单位是h，则18点时潮水起落的速度是 ．
12．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数 （x=1，2，3，…，12）来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为 ℃
13．现有甲乙两船，其中甲船在某岛B的正南方A处，A与B相距7公里，甲船自A处以4公里/小时的速度向北方向航行，同时乙船以6公里/小时的速度自B岛出发，向北60°西方向航行，问 分钟后两船相距最近．
14．一个匀速旋转的摩天轮每12分钟转一周，最低点距地面2米，最高点距地面18米，P是摩天轮轮周上一定点，从P在最低点时开始计时，则16分钟后P点距地面的高度是 ．
15．如图，一条直角走廊宽为1.5m，一转动灵活的平板手推车，其平板面为矩形，宽为1m．问：要想顺利通过直角走廊，平板手推车的长度不能超过 米．
16．国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P=Asin（ωπt+ ）+60（美元）[t（天），A＞0，ω＞0]，现采集到下列信息：最高油价80美元，当t=150（天）时达到最低油价，则ω= ．
17．在一个半径为2的半圆上截取一个矩形，则矩形的最大面积为 ．
三、解答题
18．如图，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y=Asinωx（A＞0，ω＞0）x∈[0，4]的图象，且图象的最高点为 ；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP=120°
（1）求A，ω的值和M，P两点间的距离；
（2）应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？
19．在辽阔的草原上，一骑士从某一出发点沿着与正东方向逆时针成 的方向前进m千米后，再按逆时针方向偏转θ角方向再前进m千米，如此进行下去，正当他前进的路程为3m千米时，恰好处在出发点正北方向．问：（1）求θ的值；（2）他能回到原出发地吗？至少需多少路程？
（1）求θ的值；
（2）他能回到原出发地吗？至少需多少路程？
20．在△ABC中，已知内角A、B、C成等差数列，边AC=6．设内角A=x，△ABC的周长为y．
（1）求函数y=f（x）的解析式和定义域；
（2）求y的最大值．．
21．如图，AP表示发动机的连杆，OA表示它的曲柄．当A在圆上作圆周运动时，P在x轴上作直线运动，求P点的横坐标．为什么当α是直角时，∠P是最大？
22．如图，某小区准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，△ABC外的地方种草，其余地方种花．若BC=a，∠ABC=θ，设△ABC的面积为S1，正方形PQRS的面积为S2，将比值 称为“规划合理度”．
（1）试用a，θ表示S1和S2；
（2）若a为定值，当θ为何值时，“规划合理度”最小？并求出这个最小值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】解答：已知水轮每分钟旋转4圈
∴ω=
又∵半径为3m，水轮中心O距水面2m，
∴最高点为5，即A=3，
故选D．
分析：根据题意，水轮旋转一周所用的时间为一个周期，由周期公式，T= 求解；A为最大振幅，由图象知到最高点时即为A值．
2．【答案】C
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】解答：要求|MN|的最小值在，只要在一个周期内解即可
∵πsinx=πcosx 解得x= 或x=
得到两个点为（， ）和（ ）
得到|MN|= =
故选C
分析：|MN|的最小值即一个周期内两个交点的距离；列出方程求出两个交点坐标，据两点的距离公式求出|MN|的最小值．
3．【答案】C
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】解答：由表格数据可知，10000=500sin（ω+ ）+9500，9500=500sin（2ω+ ）+9500
∴sin（ω+ ）=1，sin（2ω+ ）=0
∴ω=
∴x=3时，y=500sin（ ）+9500=9000元
故选C．
分析：根据表格数据可求的三角函数模型，再利用三角函数模型可求此楼群在第三季度的平均单价．
4．【答案】D
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】解答：由题可设AB=x，则 ，
在△DBC中，∠BCD=120°，CD=40，由余弦定理得BD2=BC2+CD2﹣2BC CD cos∠DCB
即：（ ）2=（40）2+x2﹣2×40 x cos120°
整理得：x2﹣20x﹣800=0
解得x=40或x=﹣20（舍）
所以，所求塔高为40米 ．
故选D．
分析：设出AD=x，进而根据题意可表示出BD，DC，进而在△DBC中利用余弦定理建立方程求得x．
5．【答案】B
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】解答：由图可知，∠ACB=120°，
由余弦定理
cos∠ACB=
= =﹣ ，
则AB= a（km）．
故选B．
分析：先根据题意确定∠ACB的值，再由余弦定理可直接求得|AB|的值．
6．【答案】A
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】解答：∵ +
=sint+sint cos +cost sin +sint cos +cost sin
=sint﹣ sint+ cost﹣ sint﹣ cost
=sint﹣sint=0
即三个振动源同时开始工作时，水面仍保持平静
故选A
分析：由题目中如果两个振动源同时启动，则水面波动由两个函数的和表达，则在某一时刻使这三个振动源同时开始工作，水面波动由三个函数的和表达，我们计算出 + 值，然后结合实际问题即可得到答案．
7．【答案】20°
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】连接OP，
根据切线的性质可知，AP=BP，∠DAP=∠DPB= ∠P= ×40°=20°，
在△ADP与△BPD中，AP=BP，DP=DP，∠DAP=∠DPB=20°，
∴△ADP≌△BPD，OP⊥AB，
∴∠DAP=90°﹣∠DAP=90°﹣20°=70°，
∵AP是⊙O的切线，AC是直径，
∴∠OAP=90°，
∴∠BAC=∠OAP﹣∠DAP=90°﹣70°=20°．
【分析】连接OP，根据切线的性质可求出△ADP≌△BPD及∠APD的度数，根据直角三角形的性质可求出∠DAP的度数，由切线的性质定理解答即可．
8．【答案】50
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】设该扇形的半径为r米，连接CO．
由题意，得CD=150（米），OD=100（米），∠CDO=60°
在△CDO中，CD2+OD2﹣2CD OD cos60°=OC2
即， 网
解得r=50 （米）．
【分析】连接OC，由CD∥OA知∠CDO=60°，可由余弦定理得到OC的长度．
9．【答案】[0，2]，[8，12]或（0，2），（8，12）
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】t=0时，点A的坐标是 （ ， ），
∴点A的初始角为30°，
当点A转过的角度在[0°，60°]或[240°，360°]时，
动点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调递增，
∵12秒旋转一周，
∴每秒转过的角度是360°÷12=30°，240°÷30=8，
则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调递增区间是[0，2]，[8，12]
故答案为：[0，2]，[8，12]或（0，2），（8，12）．
【分析】点A的初始角为60°，当点A转过的角度在[0°，30°]或[210°，360°]时，动点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调递增，再把角度区间转化为对应的时间区间
10．【答案】
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】由题意，AB=10米，∠DAE=60°，∠DAC=45°，可知ABCD是正方形，有此易得CD=AD=10米
再由，∠DAE=60°，在直角三角形ADE中可求得DE= AD=10
∴塔高为DE+CD=10+10 =
故答案为： 米
【分析】由题意，AB=10米，∠DAE=60°，∠DAC=45°，可先在直角三角形ABC中求出BC，再由AD⊥CE，得出DC，AD的长度，再求出DE即可得出塔吊的高度．
11．【答案】
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】由题意，∵
∴v=S'=
当t=18时，速度v=
故答案为
【分析】利用导数的物理意义，高度对时间的导数，从而得解．
12．【答案】16
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】据题意得28=a+A， =a﹣A
解得a=20，A=8
所以
令x=10得y= =16
故答案为：16
【分析】根据题意列出方程组，求出a，A，求出年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数；将x=10代入求出10月份的平均气温值．
13．【答案】30
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】假设经过x小时两船相距最近，甲乙分别行至C，D如图示
可知BC=7﹣4x，BD=6x，∠CBD=120°
CD2=BC2+BD2﹣2BC×BD×cosCBD=（7﹣4x）2+36x2+2×（7﹣4x）×6x×
=28x2﹣28x+49，
当x= 小时即 30分钟时距离最小
故答案为：30．
【分析】设经过x小时距离最小，然后分别表示出甲乙距离B岛的距离，再由余弦定理表示出两船的距离，最后根据二次函数求最值的方法可得到答案．
14．【答案】14
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】设P与地面高度与时间t的关系，f（t）=Asin（ωt+φ）+B（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π）），
由题意可知：A=8，B=10，T=12，所以ω= ，即 ，
又因为f（0）=2，故 ，得 ，
所以f（16）= =14．
故答案为：14．
【分析】由实际问题设出P与地面高度与时间t的关系，f（t）=Asin（ωt+φ）+B（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π）），由题意求出三角函数中的参数A，B，及周期T，利用三角函数的周期公式求出ω，通过初始位置求出φ，求出f（16）的值即可．
15．【答案】3 ﹣2
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】平板手推车的长度不能超过 x米，
则此时x为最大值，且此时平板手推车所形成的三角形：
ADE'为等腰直角三角形．
连接E与E'与AD交于点F，得：EE'=（3 ）/2
故：FE'=EE'﹣EF=（3 ）/2﹣1
又ADE'为等腰直角三角形
故得：AD=2AF=2FE'=3 ﹣2．
故答案为：3 ﹣2．
【分析】如图，先设平板手推车的长度不能超过 x米，则得出x为最大值时，此时平板手推车所形成的三角形：ADE'为等腰直角三角形．连接E与E'与AD交于点F，利用ADE'为等腰直角三角形即可求得平板手推车的长度不能超过多少米．
16．【答案】
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】因为国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P=Asin（ωπt+ ）+60（美元）[t（天），A＞0，ω＞0]，最高油价80美元，所以80=Asin（ωπt+ ）+60，因为sin（ωπt+ ）≤1，所以A=20，
当t=150（天）时达到最低油价，即sin（150ωπ+ ）=﹣1，
此时150ωπ+ =2kπ﹣ ，k∈Z，
因为ω＞0，所以令k=1，150ωπ+ =2π﹣ ，
解得ω= ．
故答案为： ．
【分析】通过三角函数的最大值，利用最高油价80美元，求出A，通过当t=150（天）时达到最低油价，求出ω．
17．【答案】8
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】设此矩形为ABCD，可得对角线AC是外接圆的一条直径，如图
设∠CAB=θ，则在Rt△ABC中，AC=4， ，
∴AB=4cosθ，BC=4sinθ
∴矩形ABCD的面积为S=AB×BC=4cosθ 4sinθ=16sinθcosθ，
∵sin2θ=2sinθcosθ
∴S=8sin2θ
∵sin2θ≤1，且2θ=90°时等号成立
∴当θ=45°时，Smax=8，此时矩形恰好是正方形
故答案为：8．
【分析】设矩形的对角形与一边的夹角为θ，利用直角三角形中三角函数的定义，可得矩形的两边长分别为2Rsinθ和2Rcosθ，因此矩形的面积为S=4R2sinθcosθ，代入题中数据再结合二倍角正弦公式的逆用，可得矩形面积的最大值．
18．【答案】（1）解：因为图象的最高点为
所以A= ，
由图知y=Asin x的周期为T=12，又T= ，所以ω= ，所以y=
所以M（4，3），P（8，0）
|MP|=
（2）解：在△MNP中，由正弦定理得
所以NP= ，MN=
设使折线段赛道MNP为L则
L=
=
所以L的最大值是 网
【解析】【分析】（1）由图得到A及周期，利用三角函数的周期公式求出ω，将M的横坐标代入求出M的坐标，利用两点距离公式求出|MP|（2）利用三角形的正弦定理求出NP，MN，求出折线段赛道MNP的长，化简三角函数，利用三角函数的有界性求出最大值．
19．【答案】（1）解：如图所示 ①
当点C在正北方向即cosθ+cos2θ+cos3θ=0cos（2θ﹣θ）+cos2θ+cos（2θ+θ）=02cosθcos2θ+cos2θ=0
又 ∴2cosθ+1＞0
∴cos2θ=0
∴
（2）解：能
∵∴以O，A，B，C
为顶点可作一个正八边形
∴至少需要8m千米回到原出发点
【解析】分析：（1）由已知中一骑士从某一出发点沿着与正东方向逆时针成 的方向前进m千米后，再按逆时针方向偏转θ角方向再前进m千米，我们可以画出满足条件的草图，并求出 、 ， 向量的坐标（含参数m，θ），由他前进的路程为3m千米时，恰好处在出发点正北方向，我们可以构造出满足条件的方程组，解方程组即可求出θ的值；（2）根据（1）的结论，可得若它要回到原点，则他的先进轨迹组成一个正八边形，进而得到答案．
20．【答案】（1）解：∵角A、B、C成等差数列∴2B=A+C
又A+B+C=π∴ 由A＞0，C＞0，得 ，即
由正弦定理得：
∴
∴
（2）解：
=
= ∵
∴
∴当 ，即 时，ymax=18
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【分析】（1）根据三个角成等差数列得到角B的大小，根据正弦定理写出三角形的边长，表示出三角形的周长，得到关于x的函数式．（2）根据上一问的结果，对三角函数进行恒等变形，得到y=Asin（x+φ）+b的形式，这样可以根据正弦曲线的性质做出函数的最大值．
21．【答案】解：过A作AB⊥OP设x为点P的横坐标，则x=OP=OB+BP=因为∠P随连杆位置的变化而改变，但连杆上下摆动的幅度是一样的，所以∠P的最大值是一样的．故可以考虑0≤α≤π内∠P变化的情况，由正弦定理得在0≤α≤π内，当 时，sinα的值最大，因而sin∠P的值也最大∵OA＜AP，∴∠P＜α，即∠P总是锐角．在 内，sin∠P是单调上升的，所以 时，∠P最大．
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】过A作AB⊥OP，设x为点P的横坐标，根据OP=OB+BP表示出x的表达式，根据虽然∠P随连杆位置的变化而改变但连杆上下摆动的幅度是一样，可得到∠P的最大值是一样，即只需0≤α≤π内∠P变化的情况，根据正弦定理可知 ，因为当 时sinα的值最大，进而可得到sin∠P的值也最大，再由正弦函数的性质可知此时P最大．
22．【答案】（1）解：在Rt△ABC中，AB=acosθ，AC=asinθ，
设正方形的边长为x则 ，
由BP+AP=AB，得 ，故
所以
（2）解： ，
令t=sin2θ，因为 ，
所以0＜2θ＜π，则t=sin2θ∈（0，1]
所以 ， ，
所以函数g（t）在（0，1]上递减，
因此当t=1时g（t）有最小值 ，
此时
所以当 时，“规划合理度”最小，最小值为 ．
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】分析：（1）据题知三角形ABC为直角三角形，根据三角函数分别求出AC和AB，求出三角形ABC的面积S1；设正方形PQRS的边长为x，利用三角函数分别表示出BQ和RC，利用BQ+QR+RC=a列出方程求出x，算出S2；（2）由比值 称为“规划合理度”，可设t=sin2θ来化简求出S1与S2的比值，利用三角函数的增减性求出比值的最小值即可求出此时的θ．
1 / 1人教新课标A版必修4数学1.6 三角函数模型的简单应用同步检测
一、选择题
1．如图为一半径为3m的水轮，水轮中心O距水面2m，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y（m）与时间x（t）满足函数关系y=Asin（ωx+φ）+2则（ ）
A．ω= ，A=5 B．ω= ，A=5
C．ω= ，A=3 D．ω= ，A=3
【答案】D
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】解答：已知水轮每分钟旋转4圈
∴ω=
又∵半径为3m，水轮中心O距水面2m，
∴最高点为5，即A=3，
故选D．
分析：根据题意，水轮旋转一周所用的时间为一个周期，由周期公式，T= 求解；A为最大振幅，由图象知到最高点时即为A值．
2．M，N是曲线y=πsinx与曲线y=πcosx的两个不同的交点，则|MN|的最小值为（ ）
A．π B． C． D．2π
【答案】C
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】解答：要求|MN|的最小值在，只要在一个周期内解即可
∵πsinx=πcosx 解得x= 或x=
得到两个点为（， ）和（ ）
得到|MN|= =
故选C
分析：|MN|的最小值即一个周期内两个交点的距离；列出方程求出两个交点坐标，据两点的距离公式求出|MN|的最小值．
3．稳定房价是我国今年实施宏观调控的重点，国家最近出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响．北京市某房地产介绍所对本市一楼群在今年的房价作了统计与预测：发现每个季度的平均单价y（每平方米面积的价格，单位为元）与第x季度之间近似满足：y=500sin（ωx+ ）+9500 （ ＞0），已知第一、二季度平均单价如下表所示：
x 1 2 3
y 10000 9500 ？
则此楼群在第三季度的平均单价大约是 （ ）
A．10000元 B．9500元 C．9000元 D．8500元
【答案】C
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】解答：由表格数据可知，10000=500sin（ω+ ）+9500，9500=500sin（2ω+ ）+9500
∴sin（ω+ ）=1，sin（2ω+ ）=0
∴ω=
∴x=3时，y=500sin（ ）+9500=9000元
故选C．
分析：根据表格数据可求的三角函数模型，再利用三角函数模型可求此楼群在第三季度的平均单价．
4．要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD=120°，CD=40m，则电视塔的高度为（ ）
A．10 m B．20m C．20 m D．40m
【答案】D
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】解答：由题可设AB=x，则 ，
在△DBC中，∠BCD=120°，CD=40，由余弦定理得BD2=BC2+CD2﹣2BC CD cos∠DCB
即：（ ）2=（40）2+x2﹣2×40 x cos120°
整理得：x2﹣20x﹣800=0
解得x=40或x=﹣20（舍）
所以，所求塔高为40米 ．
故选D．
分析：设出AD=x，进而根据题意可表示出BD，DC，进而在△DBC中利用余弦定理建立方程求得x．
5．已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与B的距离为（ ）
A．akm B． akm C． akm D．2akm
【答案】B
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】解答：由图可知，∠ACB=120°，
由余弦定理
cos∠ACB=
= =﹣ ，
则AB= a（km）．
故选B．
分析：先根据题意确定∠ACB的值，再由余弦定理可直接求得|AB|的值．
6．在一个圆形波浪实验水池的中心有三个振动源，假如不计其它因素，在t秒内，它们引发的水面波动可分别由函数 和 描述，如果两个振动源同时启动，则水面波动由两个函数的和表达，在某一时刻使这三个振动源同时开始工作，那么，原本平静的水面将呈现的状态是（ ）
A．仍保持平静 B．不断波动
C．周期性保持平静 D．周期性保持波动
【答案】A
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】解答：∵ +
=sint+sint cos +cost sin +sint cos +cost sin
=sint﹣ sint+ cost﹣ sint﹣ cost
=sint﹣sint=0
即三个振动源同时开始工作时，水面仍保持平静
故选A
分析：由题目中如果两个振动源同时启动，则水面波动由两个函数的和表达，则在某一时刻使这三个振动源同时开始工作，水面波动由三个函数的和表达，我们计算出 + 值，然后结合实际问题即可得到答案．
二、填空题
7．如图所示，PA，PB是⊙O的切线，AC是⊙O的直径，∠P=40°，则∠BAC= ．
【答案】20°
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】连接OP，
根据切线的性质可知，AP=BP，∠DAP=∠DPB= ∠P= ×40°=20°，
在△ADP与△BPD中，AP=BP，DP=DP，∠DAP=∠DPB=20°，
∴△ADP≌△BPD，OP⊥AB，
∴∠DAP=90°﹣∠DAP=90°﹣20°=70°，
∵AP是⊙O的切线，AC是直径，
∴∠OAP=90°，
∴∠BAC=∠OAP﹣∠DAP=90°﹣70°=20°．
【分析】连接OP，根据切线的性质可求出△ADP≌△BPD及∠APD的度数，根据直角三角形的性质可求出∠DAP的度数，由切线的性质定理解答即可．
8．如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD．已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿着DC走到C用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为 米．
【答案】50
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】设该扇形的半径为r米，连接CO．
由题意，得CD=150（米），OD=100（米），∠CDO=60°
在△CDO中，CD2+OD2﹣2CD OD cos60°=OC2
即， 网
解得r=50 （米）．
【分析】连接OC，由CD∥OA知∠CDO=60°，可由余弦定理得到OC的长度．
9．动点A（x，y）在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t=0时，点A的坐标是（ ， ），则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于 t（单位：秒）的函数的单调递增区间是 ．
【答案】[0，2]，[8，12]或（0，2），（8，12）
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】t=0时，点A的坐标是 （ ， ），
∴点A的初始角为30°，
当点A转过的角度在[0°，60°]或[240°，360°]时，
动点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调递增，
∵12秒旋转一周，
∴每秒转过的角度是360°÷12=30°，240°÷30=8，
则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调递增区间是[0，2]，[8，12]
故答案为：[0，2]，[8，12]或（0，2），（8，12）．
【分析】点A的初始角为60°，当点A转过的角度在[0°，30°]或[210°，360°]时，动点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调递增，再把角度区间转化为对应的时间区间
10．在一幢10米高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为60°，塔基的俯角为45°，那么这座塔吊的高是 ．
【答案】
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】由题意，AB=10米，∠DAE=60°，∠DAC=45°，可知ABCD是正方形，有此易得CD=AD=10米
再由，∠DAE=60°，在直角三角形ADE中可求得DE= AD=10
∴塔高为DE+CD=10+10 =
故答案为： 米
【分析】由题意，AB=10米，∠DAE=60°，∠DAC=45°，可先在直角三角形ABC中求出BC，再由AD⊥CE，得出DC，AD的长度，再求出DE即可得出塔吊的高度．
11．某港口在一天24小时内的潮水的高度近似满足关系 ，其中0≤t≤24，S的单位是m，t的单位是h，则18点时潮水起落的速度是 ．
【答案】
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】由题意，∵
∴v=S'=
当t=18时，速度v=
故答案为
【分析】利用导数的物理意义，高度对时间的导数，从而得解．
12．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数 （x=1，2，3，…，12）来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为 ℃
【答案】16
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】据题意得28=a+A， =a﹣A
解得a=20，A=8
所以
令x=10得y= =16
故答案为：16
【分析】根据题意列出方程组，求出a，A，求出年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数；将x=10代入求出10月份的平均气温值．
13．现有甲乙两船，其中甲船在某岛B的正南方A处，A与B相距7公里，甲船自A处以4公里/小时的速度向北方向航行，同时乙船以6公里/小时的速度自B岛出发，向北60°西方向航行，问 分钟后两船相距最近．
【答案】30
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】假设经过x小时两船相距最近，甲乙分别行至C，D如图示
可知BC=7﹣4x，BD=6x，∠CBD=120°
CD2=BC2+BD2﹣2BC×BD×cosCBD=（7﹣4x）2+36x2+2×（7﹣4x）×6x×
=28x2﹣28x+49，
当x= 小时即 30分钟时距离最小
故答案为：30．
【分析】设经过x小时距离最小，然后分别表示出甲乙距离B岛的距离，再由余弦定理表示出两船的距离，最后根据二次函数求最值的方法可得到答案．
14．一个匀速旋转的摩天轮每12分钟转一周，最低点距地面2米，最高点距地面18米，P是摩天轮轮周上一定点，从P在最低点时开始计时，则16分钟后P点距地面的高度是 ．
【答案】14
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】设P与地面高度与时间t的关系，f（t）=Asin（ωt+φ）+B（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π）），
由题意可知：A=8，B=10，T=12，所以ω= ，即 ，
又因为f（0）=2，故 ，得 ，
所以f（16）= =14．
故答案为：14．
【分析】由实际问题设出P与地面高度与时间t的关系，f（t）=Asin（ωt+φ）+B（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π）），由题意求出三角函数中的参数A，B，及周期T，利用三角函数的周期公式求出ω，通过初始位置求出φ，求出f（16）的值即可．
15．如图，一条直角走廊宽为1.5m，一转动灵活的平板手推车，其平板面为矩形，宽为1m．问：要想顺利通过直角走廊，平板手推车的长度不能超过 米．
【答案】3 ﹣2
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】平板手推车的长度不能超过 x米，
则此时x为最大值，且此时平板手推车所形成的三角形：
ADE'为等腰直角三角形．
连接E与E'与AD交于点F，得：EE'=（3 ）/2
故：FE'=EE'﹣EF=（3 ）/2﹣1
又ADE'为等腰直角三角形
故得：AD=2AF=2FE'=3 ﹣2．
故答案为：3 ﹣2．
【分析】如图，先设平板手推车的长度不能超过 x米，则得出x为最大值时，此时平板手推车所形成的三角形：ADE'为等腰直角三角形．连接E与E'与AD交于点F，利用ADE'为等腰直角三角形即可求得平板手推车的长度不能超过多少米．
16．国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P=Asin（ωπt+ ）+60（美元）[t（天），A＞0，ω＞0]，现采集到下列信息：最高油价80美元，当t=150（天）时达到最低油价，则ω= ．
【答案】
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】因为国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P=Asin（ωπt+ ）+60（美元）[t（天），A＞0，ω＞0]，最高油价80美元，所以80=Asin（ωπt+ ）+60，因为sin（ωπt+ ）≤1，所以A=20，
当t=150（天）时达到最低油价，即sin（150ωπ+ ）=﹣1，
此时150ωπ+ =2kπ﹣ ，k∈Z，
因为ω＞0，所以令k=1，150ωπ+ =2π﹣ ，
解得ω= ．
故答案为： ．
【分析】通过三角函数的最大值，利用最高油价80美元，求出A，通过当t=150（天）时达到最低油价，求出ω．
17．在一个半径为2的半圆上截取一个矩形，则矩形的最大面积为 ．
【答案】8
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】设此矩形为ABCD，可得对角线AC是外接圆的一条直径，如图
设∠CAB=θ，则在Rt△ABC中，AC=4， ，
∴AB=4cosθ，BC=4sinθ
∴矩形ABCD的面积为S=AB×BC=4cosθ 4sinθ=16sinθcosθ，
∵sin2θ=2sinθcosθ
∴S=8sin2θ
∵sin2θ≤1，且2θ=90°时等号成立
∴当θ=45°时，Smax=8，此时矩形恰好是正方形
故答案为：8．
【分析】设矩形的对角形与一边的夹角为θ，利用直角三角形中三角函数的定义，可得矩形的两边长分别为2Rsinθ和2Rcosθ，因此矩形的面积为S=4R2sinθcosθ，代入题中数据再结合二倍角正弦公式的逆用，可得矩形面积的最大值．
三、解答题
18．如图，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y=Asinωx（A＞0，ω＞0）x∈[0，4]的图象，且图象的最高点为 ；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP=120°
（1）求A，ω的值和M，P两点间的距离；
（2）应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？
【答案】（1）解：因为图象的最高点为
所以A= ，
由图知y=Asin x的周期为T=12，又T= ，所以ω= ，所以y=
所以M（4，3），P（8，0）
|MP|=
（2）解：在△MNP中，由正弦定理得
所以NP= ，MN=
设使折线段赛道MNP为L则
L=
=
所以L的最大值是 网
【解析】【分析】（1）由图得到A及周期，利用三角函数的周期公式求出ω，将M的横坐标代入求出M的坐标，利用两点距离公式求出|MP|（2）利用三角形的正弦定理求出NP，MN，求出折线段赛道MNP的长，化简三角函数，利用三角函数的有界性求出最大值．
19．在辽阔的草原上，一骑士从某一出发点沿着与正东方向逆时针成 的方向前进m千米后，再按逆时针方向偏转θ角方向再前进m千米，如此进行下去，正当他前进的路程为3m千米时，恰好处在出发点正北方向．问：（1）求θ的值；（2）他能回到原出发地吗？至少需多少路程？
（1）求θ的值；
（2）他能回到原出发地吗？至少需多少路程？
【答案】（1）解：如图所示 ①
当点C在正北方向即cosθ+cos2θ+cos3θ=0cos（2θ﹣θ）+cos2θ+cos（2θ+θ）=02cosθcos2θ+cos2θ=0
又 ∴2cosθ+1＞0
∴cos2θ=0
∴
（2）解：能
∵∴以O，A，B，C
为顶点可作一个正八边形
∴至少需要8m千米回到原出发点
【解析】分析：（1）由已知中一骑士从某一出发点沿着与正东方向逆时针成 的方向前进m千米后，再按逆时针方向偏转θ角方向再前进m千米，我们可以画出满足条件的草图，并求出 、 ， 向量的坐标（含参数m，θ），由他前进的路程为3m千米时，恰好处在出发点正北方向，我们可以构造出满足条件的方程组，解方程组即可求出θ的值；（2）根据（1）的结论，可得若它要回到原点，则他的先进轨迹组成一个正八边形，进而得到答案．
20．在△ABC中，已知内角A、B、C成等差数列，边AC=6．设内角A=x，△ABC的周长为y．
（1）求函数y=f（x）的解析式和定义域；
（2）求y的最大值．．
【答案】（1）解：∵角A、B、C成等差数列∴2B=A+C
又A+B+C=π∴ 由A＞0，C＞0，得 ，即
由正弦定理得：
∴
∴
（2）解：
=
= ∵
∴
∴当 ，即 时，ymax=18
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【分析】（1）根据三个角成等差数列得到角B的大小，根据正弦定理写出三角形的边长，表示出三角形的周长，得到关于x的函数式．（2）根据上一问的结果，对三角函数进行恒等变形，得到y=Asin（x+φ）+b的形式，这样可以根据正弦曲线的性质做出函数的最大值．
21．如图，AP表示发动机的连杆，OA表示它的曲柄．当A在圆上作圆周运动时，P在x轴上作直线运动，求P点的横坐标．为什么当α是直角时，∠P是最大？
【答案】解：过A作AB⊥OP设x为点P的横坐标，则x=OP=OB+BP=因为∠P随连杆位置的变化而改变，但连杆上下摆动的幅度是一样的，所以∠P的最大值是一样的．故可以考虑0≤α≤π内∠P变化的情况，由正弦定理得在0≤α≤π内，当 时，sinα的值最大，因而sin∠P的值也最大∵OA＜AP，∴∠P＜α，即∠P总是锐角．在 内，sin∠P是单调上升的，所以 时，∠P最大．
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】过A作AB⊥OP，设x为点P的横坐标，根据OP=OB+BP表示出x的表达式，根据虽然∠P随连杆位置的变化而改变但连杆上下摆动的幅度是一样，可得到∠P的最大值是一样，即只需0≤α≤π内∠P变化的情况，根据正弦定理可知 ，因为当 时sinα的值最大，进而可得到sin∠P的值也最大，再由正弦函数的性质可知此时P最大．
22．如图，某小区准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，△ABC外的地方种草，其余地方种花．若BC=a，∠ABC=θ，设△ABC的面积为S1，正方形PQRS的面积为S2，将比值 称为“规划合理度”．
（1）试用a，θ表示S1和S2；
（2）若a为定值，当θ为何值时，“规划合理度”最小？并求出这个最小值．
【答案】（1）解：在Rt△ABC中，AB=acosθ，AC=asinθ，
设正方形的边长为x则 ，
由BP+AP=AB，得 ，故
所以
（2）解： ，
令t=sin2θ，因为 ，
所以0＜2θ＜π，则t=sin2θ∈（0，1]
所以 ， ，
所以函数g（t）在（0，1]上递减，
因此当t=1时g（t）有最小值 ，
此时
所以当 时，“规划合理度”最小，最小值为 ．
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】分析：（1）据题知三角形ABC为直角三角形，根据三角函数分别求出AC和AB，求出三角形ABC的面积S1；设正方形PQRS的边长为x，利用三角函数分别表示出BQ和RC，利用BQ+QR+RC=a列出方程求出x，算出S2；（2）由比值 称为“规划合理度”，可设t=sin2θ来化简求出S1与S2的比值，利用三角函数的增减性求出比值的最小值即可求出此时的θ．
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