人教新课标A版必修4数学2.2 平面向量的线性运算同步检测
一、选择题
1．已知 ＝8， ＝5，则 的取值范围是( )
A．[5,13] B．[3,13] C．[8,13] D．[5,8]
【答案】B
【知识点】向量加法的三角形法则；向量加减混合运算
【解析】解答：当 与 异向时， 可取最大值13；当 与 同向时， 可取最小值3.所以 的取值范围是[3,13]．
分析：本题主要考查了向量的三角形法则、向量加减混合运算及其几何意义，解决问题的关键是根据平面向量的几何意义进行分析计算即可.
2．向量( ＋ )＋( ＋ )＋ 化简后为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量加法运算；向量加法的三角形法则
【解析】解答：因为( ＋ )＋( ＋ )＋ =( ＋ )＋( ＋ )＋ = ＋ + = ，故选A.
分析：本题主要考查了向量的加法及其几何意义、向量的三角形法则，解决问题的关键是根据向量的加法运算结合三角形法则进行化简即可.
3．已知平面上不共线的四点O、A、B、C.若 , 则 等于( )
A． B． C．2 D．3
【答案】D
【知识点】向量加法的三角形法则；向量加减混合运算
【解析】 解答：本题主要考查向量的运算,因为 ，
，
.
分析：本题主要考查了向量的三角形法则、向量加减混合运算及其几何意义，解决问题的关键是根据所给条件进行有目的的化简即可解决问题.
4．已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足 ＋ ＝ ，下列结论中正确的是( )
A．P在△ABC的内部 B．P在△ABC的边AB上
C．P在AB边所在直线上 D．P在△ABC的外部
【答案】D
【知识点】向量加法的三角形法则；向量加减混合运算
【解析】解答：由 ＋ ＝ 可得
＝ － ＝ ，∴四边形PBCA为平行四边形．
可知点P在△ABC的外部．选D.
分析：本题主要考查了向量加减混合运算及其几何意义、向量的三角形法则，解决问题的关键是根据向量的加减运算及三角形法则进行化简，结合向量共线的
5．向量( ＋ )＋( ＋ )＋ 等于( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】向量加减混合运算
【解析】解答：原式＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝ ＋0＝ .
分析：本题主要考查了向量的加减运算。
6．在四边形ABCD中,下列各式成立的是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量加法运算；向量加法的三角形法则
【解析】解答： 故A错误;
,故B错误;
,故C正确;
,故D错误
分析：本题主要考查了向量的加法及其几何意义、向量的三角形法则，解决问题的关键是根据向量满足的几何关系结合三角形法则运算即可.
7．在△ABC所在平面上有一点P,满足 ,则△PBC与△ABC的面积之比是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】向量加法的三角形法则；向量加减混合运算
【解析】解答：由 ,得 ,即 ,所以点P是CA边上的第二个三等分点,故 .
分析：本题主要考查了向量的三角形法则、向量加减混合运算及其几何意义，解决问题的关键是根据所给向量满足的条件得到 ，然后根据向量的几何意义进行分析即可.
8．在四边形ABCD中， ＝ ＋ ，则四边形ABCD一定是( )
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形
【答案】D
【知识点】平面向量加法运算；向量加法的三角形法则
【解析】解答：在四边形ABCD中， ＝ ＋ ，
又 ＝ ＋ ，∴ ＝ ，
∴四边形ABCD是平行四边形．
分析：本题主要考查了向量的三角形法则、向量的加法及其几何意义，解决问题的关键是根据向量三角形法则几何所给四边形满足的条件进行分析即可.
9．设P是△ABC所在平面内的一点， ＋ ＝2 ，则( )
A． ＋ ＝0 B． ＋ ＝0
C． ＋ ＝0 D． ＋ ＋ ＝0
【答案】C
【知识点】向量加法的三角形法则
【解析】解答：∵ ＋ ＝2 ，
∴由平行四边形法则，点P为线段AC的中点，
∴ ＋ ＝0.故选C.
分析：本题主要考查了向量的三角形法则，解决问题的关键是根据所给向量满足条件运用平行四边形法则进行计算即可.
10．化简 － ＋ ＋ 的结果等于( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】向量加减混合运算
【解析】解答：原式＝( ＋ )＋( ＋ )＝ ＋0＝ .
分析：本题主要考查了向量加减混合运算及其几何意义，解决问题的关键是根据所给式子结合向量运算法则进行化简即可.
11．已知D,E,F分别为△ABC的边BC,CA,AB的中点,记 =a，=b.则下列命题中正确的个数是( )
① = a-b;② =a+ b;③ = a+ b;④0.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】向量加法的三角形法则；向量加减混合运算
【解析】解答：因为 -b-a,故①错误;因为 =a+ b,故②为正确;因为 b+ (-b-a)= (a+b),故③为正确；
因为 0,故④正确,选C.
分析：本题主要考查了向量的三角形法则、向量加减混合运算及其几何意义，解决问题的关键是根据所给向量满足条件结合题设条件进行发现判断即可.
12．已知△ABC为等腰直角三角形,且∠A=90°,有下列命题:
①
②
③
④
其中正确的命题的个数为 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】向量加法的三角形法则；向量加减混合运算
【解析】解答：如图所示,以AB,AC为邻边作ABDC,则它是正方形,根据向量加减法的几何意义可知题中四个命题都正确.
分析：本题主要考查了向量的三角形法则、向量加减混合运算及其几何意义，解决问题的关键是根据所给选项结合向量满足的几何关系进行计算分析即可.
13．在四边形ABCD中,若 =a, =b,且|a+b|=|a- b|,则四边形ABCD的形状是( ).
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【答案】B
【知识点】向量加法的三角形法则；向量加减混合运算
【解析】解答：以 为邻边作平行四边形,依据向量加法的平行四边形法则和向量减法的三角形法则可得a+b，a-b分别对应两条对角线.因为|a+b|=|a-b|,所以两条对角线相等,所以四边形ABCD是矩形.
分析：本题主要考查了向量的三角形法则、向量加减混合运算及其几何意义，解决问题的关键是根据向量的运算性质结合所给四边形满足的条件分析判断即可.
14．在平行四边形ABCD中，O是对角线的交点．下列结论正确的是( )
A． ＝ ， ＝
B． ＋ ＝
C． ＋ ＝ ＋
D． ＋ ＋ ＝
【答案】C
【知识点】平面向量加法运算；向量加法的三角形法则
【解析】解答：因为 ＋ ＝ ， ＋ ＝ ，所以 ＋ ＝ ＋ .
分析：本题主要考查了向量的加法及其几何意义、向量的三角形法则，解决问题的关键是根据所给向量满足的条件结合选项进行分析验证即可.
15．在△ABC中，D、E、F分别为AB、BC、CA的中点，则 ＋ 等于( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量加法运算；向量加法的三角形法则
【解析】解答：∵D、E、F分别为AB、BC、AC中点，
∴DE∥AF且DE＝AF，
∴ ＝ ，∴ ＋ ＝ ＋ ＝ .
分析：本题主要考查了向量的加法及其几何意义、向量的三角形法则，解决问题的关键是结合所给三角形满足的条件计算即可.
二、填空题
16．已知| |＝|a|＝3，| |＝|b|＝3，∠AOB＝90°，则|a＋b|＝ .
【答案】
【知识点】向量加法的三角形法则；向量加减混合运算
【解析】【解答】∵| |＝| |且∠AOB＝90°，∴|a＋b|为以 、 为两邻边的矩形的对角线的长，
∴|a＋b|＝3 .
【分析】本题主要考查了向量的三角形法则、向量加减混合运算及其几何意义，解决问题的关键是根据向量运算的三角形法则化简结合向量满足的几何关系进行计算即可.
17．若||＝5，与的方向相反，且||＝7，则＝ .
【答案】-
【知识点】平面向量数乘的运算
【解析】【解答】∵||＝5，||＝7，∴ ＝ ，又方向相反，∴a＝－ .
【分析】本题主要考查了向量数乘的运算及其几何意义，解决问题的关键是根据向量的有关运算性质计算即可.
18．设P为平行四边形ABCD所在平面内一点，则① ＋ ＝ ＋ ；② ＋ ＝ ＋ ；③ ＋ ＝ ＋ 中成立的序号为 ．
【答案】②
【知识点】向量加法的三角形法则；向量加减混合运算
【解析】【解答】以PA、PC为邻边作平行四边形PAEC，则PE与AC交于AC中点O，同样以PB、PD为邻边作平行四边形PBFD，对角线BD与PF交于BD中点O′，则O与O′重合，∴ ＋ ＝ ＋ .
【分析】本题主要考查了向量的三角形法则、向量加减混合运算及其几何意义，解决问题的关键是根据平行四边形的性质结合所给向量满足的关系进行分析即可.
19．在平行四边形ABCD中， ＝e1， ＝e2， ＝ ， ＝ ，则 ＝ (用e1，e2表示)．
【答案】－ e1＋ e2
【知识点】向量加法的三角形法则；向量加减混合运算；平面向量数乘的运算
【解析】【解答】∵ ＝ ＝ e2，∴ ＝－ e2，
∵ ＝ ， ＋ ＝ ＝ － ＝e2－e1，
∴ ＝ (e2－e1)，∴ ＝ ＋ ＝ (e2－e1)－ e2＝－ e1＋ e2.
【分析】本题主要考查了向量的三角形法则、向量加减混合运算及其几何意义、 向量数乘的运算及其几何意义，解决问题的关键是根据所给向量满足的条件结合平行四边形的有关性质计算即可.
20．已知x、y是实数，向量a，b不共线，若(x＋y－1)a＋(x－y)b＝0，则x＝ ，y＝ .
【答案】；
【知识点】平面向量数乘的运算
【解析】【解答】由已知得 , .
【分析】本题主要考查了向量数乘的运算及其几何意义，解决问题的关键是根据向量的向量数乘的运算及其几何意义解析列示计算即可.
三、解答题
21．若E，F，M，N分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证： ＝ .
【答案】证明：如图所示，连结AC，在△DAC中，
∵N，M分别是AD，CD的中点，
∴ ∥ ，且| |＝ | |，且 与 的方向相同．同理可得| |＝ | |且 与 的方向相同，故有| |＝| |，且 与 的方向相同，∴ ＝ .
【知识点】平面向量数乘的运算
【解析】【分析】本题主要考查了向量数乘的运算及其几何意义，解决问题的关键是根据所给向量满足条件结合平行四边形的有关性质计算即可.
22．点E、F分别为四边形ABCD的对角线AC、BD的中点，设 ＝a， ＝b，试用a，b表示 .
【答案】解答：如图所示，取AB中点P，连结EP，FP，
在△ABC中，EP是与BC平行的中位线，∴ ＝ ＝ a.
在△ABD中，FP是与AD平行的中位线，
∴ ＝ ＝－ b.在△EFP中，
＝ ＋ ＝－ ＋
＝－ a－ b＝－ (a＋b)．
【知识点】向量加法的三角形法则；向量加减混合运算；平面向量数乘的运算
【解析】【分析】本题主要考查了向量的三角形法则、向量加减混合运算及其几何意义、向量数乘的运算及其几何意义，解决问题的关键是根据所给向量满足的条件进行计算即可.
23．在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O且| |＝| |＝1， ＋ ＝ ＋ ＝0，cos∠DAB＝ .求| ＋ |与| ＋ |.
【答案】解答：∵ ＋ ＝ ＋ ＝0，∴ ＝ ， ＝ .
∴四边形ABCD为平行四边形．
又| |＝| |＝1，知四边形ABCD为菱形．
∵cos∠DAB＝ ，∠DAB ，
∴∠DAB＝ ，∴△ABD为正三角形．
∴| ＋ |＝| ＋ |＝| |＝2| |＝ .
| ＋ |＝| |＝| |＝1.
【知识点】向量加法的三角形法则；向量加减混合运算
【解析】【分析】本题主要考查了向量的三角形法则、向量加减混合运算及其几何意义，解决问题的关键是根据所给向量满足条件进行化简计算即可，难度不大.
24．在水流速度大小为10km/h的河中，如果要使船实际以10 km/h大小的速度与河岸成直角横渡，求船行驶速度的大小与方向．
【答案】解：如图所示，OA表示水流方向， 表示垂直于对岸横渡的方向， 表示船行速度的方向，由 ＝ ＋ 易知| |＝| |＝10，又∠OBC＝90°，∴| |＝20，∴∠BOC＝30°，∴∠AOC＝120°，即船行驶速度为20km/h，方向与水流方向成120°角．
【知识点】向量加法的三角形法则；向量加减混合运算
【解析】【分析】本题主要考查了向量的三角形法则、向量加减混合运算及其几何意义，解决问题的关键是根据实际问题满足的几何关系结合向量的有关运算性质计算即可.
25．已知两个力F1、F2的方向互相垂直，且它们的合力F大小为10N，与力F1的夹角是60°，求力F1、F2的大小．
【答案】解：设 表示力F1， 表示力F2，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则 表示合力F，由题意易得| |＝| |cos60°＝5，| |＝| |sin60°＝5 ，
因此，力F1，F2的大小分别为5N和5 N.
【知识点】向量加法的三角形法则；向量加减混合运算
【解析】【分析】本题主要考查了向量的三角形法则、 向量加减混合运算及其几何意义，解决问题的关键是根据实际问题满足的几何关系结合向量的有关性质计算即可.
1 / 1人教新课标A版必修4数学2.2 平面向量的线性运算同步检测
一、选择题
1．已知 ＝8， ＝5，则 的取值范围是( )
A．[5,13] B．[3,13] C．[8,13] D．[5,8]
2．向量( ＋ )＋( ＋ )＋ 化简后为( )
A． B． C． D．
3．已知平面上不共线的四点O、A、B、C.若 , 则 等于( )
A． B． C．2 D．3
4．已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足 ＋ ＝ ，下列结论中正确的是( )
A．P在△ABC的内部 B．P在△ABC的边AB上
C．P在AB边所在直线上 D．P在△ABC的外部
5．向量( ＋ )＋( ＋ )＋ 等于( )
A． B． C． D．
6．在四边形ABCD中,下列各式成立的是( )
A． B．
C． D．
7．在△ABC所在平面上有一点P,满足 ,则△PBC与△ABC的面积之比是( )
A． B． C． D．
8．在四边形ABCD中， ＝ ＋ ，则四边形ABCD一定是( )
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形
9．设P是△ABC所在平面内的一点， ＋ ＝2 ，则( )
A． ＋ ＝0 B． ＋ ＝0
C． ＋ ＝0 D． ＋ ＋ ＝0
10．化简 － ＋ ＋ 的结果等于( )
A． B． C． D．
11．已知D,E,F分别为△ABC的边BC,CA,AB的中点,记 =a，=b.则下列命题中正确的个数是( )
① = a-b;② =a+ b;③ = a+ b;④0.
A．1 B．2 C．3 D．4
12．已知△ABC为等腰直角三角形,且∠A=90°,有下列命题:
①
②
③
④
其中正确的命题的个数为 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
13．在四边形ABCD中,若 =a, =b,且|a+b|=|a- b|,则四边形ABCD的形状是( ).
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
14．在平行四边形ABCD中，O是对角线的交点．下列结论正确的是( )
A． ＝ ， ＝
B． ＋ ＝
C． ＋ ＝ ＋
D． ＋ ＋ ＝
15．在△ABC中，D、E、F分别为AB、BC、CA的中点，则 ＋ 等于( )
A． B． C． D．
二、填空题
16．已知| |＝|a|＝3，| |＝|b|＝3，∠AOB＝90°，则|a＋b|＝ .
17．若||＝5，与的方向相反，且||＝7，则＝ .
18．设P为平行四边形ABCD所在平面内一点，则① ＋ ＝ ＋ ；② ＋ ＝ ＋ ；③ ＋ ＝ ＋ 中成立的序号为 ．
19．在平行四边形ABCD中， ＝e1， ＝e2， ＝ ， ＝ ，则 ＝ (用e1，e2表示)．
20．已知x、y是实数，向量a，b不共线，若(x＋y－1)a＋(x－y)b＝0，则x＝ ，y＝ .
三、解答题
21．若E，F，M，N分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证： ＝ .
22．点E、F分别为四边形ABCD的对角线AC、BD的中点，设 ＝a， ＝b，试用a，b表示 .
23．在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O且| |＝| |＝1， ＋ ＝ ＋ ＝0，cos∠DAB＝ .求| ＋ |与| ＋ |.
24．在水流速度大小为10km/h的河中，如果要使船实际以10 km/h大小的速度与河岸成直角横渡，求船行驶速度的大小与方向．
25．已知两个力F1、F2的方向互相垂直，且它们的合力F大小为10N，与力F1的夹角是60°，求力F1、F2的大小．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】向量加法的三角形法则；向量加减混合运算
【解析】解答：当 与 异向时， 可取最大值13；当 与 同向时， 可取最小值3.所以 的取值范围是[3,13]．
分析：本题主要考查了向量的三角形法则、向量加减混合运算及其几何意义，解决问题的关键是根据平面向量的几何意义进行分析计算即可.
2．【答案】A
【知识点】平面向量加法运算；向量加法的三角形法则
【解析】解答：因为( ＋ )＋( ＋ )＋ =( ＋ )＋( ＋ )＋ = ＋ + = ，故选A.
分析：本题主要考查了向量的加法及其几何意义、向量的三角形法则，解决问题的关键是根据向量的加法运算结合三角形法则进行化简即可.
3．【答案】D
【知识点】向量加法的三角形法则；向量加减混合运算
【解析】 解答：本题主要考查向量的运算,因为 ，
，
.
分析：本题主要考查了向量的三角形法则、向量加减混合运算及其几何意义，解决问题的关键是根据所给条件进行有目的的化简即可解决问题.
4．【答案】D
【知识点】向量加法的三角形法则；向量加减混合运算
【解析】解答：由 ＋ ＝ 可得
＝ － ＝ ，∴四边形PBCA为平行四边形．
可知点P在△ABC的外部．选D.
分析：本题主要考查了向量加减混合运算及其几何意义、向量的三角形法则，解决问题的关键是根据向量的加减运算及三角形法则进行化简，结合向量共线的
5．【答案】C
【知识点】向量加减混合运算
【解析】解答：原式＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝ ＋0＝ .
分析：本题主要考查了向量的加减运算。
6．【答案】C
【知识点】平面向量加法运算；向量加法的三角形法则
【解析】解答： 故A错误;
,故B错误;
,故C正确;
,故D错误
分析：本题主要考查了向量的加法及其几何意义、向量的三角形法则，解决问题的关键是根据向量满足的几何关系结合三角形法则运算即可.
7．【答案】C
【知识点】向量加法的三角形法则；向量加减混合运算
【解析】解答：由 ,得 ,即 ,所以点P是CA边上的第二个三等分点,故 .
分析：本题主要考查了向量的三角形法则、向量加减混合运算及其几何意义，解决问题的关键是根据所给向量满足的条件得到 ，然后根据向量的几何意义进行分析即可.
8．【答案】D
【知识点】平面向量加法运算；向量加法的三角形法则
【解析】解答：在四边形ABCD中， ＝ ＋ ，
又 ＝ ＋ ，∴ ＝ ，
∴四边形ABCD是平行四边形．
分析：本题主要考查了向量的三角形法则、向量的加法及其几何意义，解决问题的关键是根据向量三角形法则几何所给四边形满足的条件进行分析即可.
9．【答案】C
【知识点】向量加法的三角形法则
【解析】解答：∵ ＋ ＝2 ，
∴由平行四边形法则，点P为线段AC的中点，
∴ ＋ ＝0.故选C.
分析：本题主要考查了向量的三角形法则，解决问题的关键是根据所给向量满足条件运用平行四边形法则进行计算即可.
10．【答案】B
【知识点】向量加减混合运算
【解析】解答：原式＝( ＋ )＋( ＋ )＝ ＋0＝ .
分析：本题主要考查了向量加减混合运算及其几何意义，解决问题的关键是根据所给式子结合向量运算法则进行化简即可.
11．【答案】C
【知识点】向量加法的三角形法则；向量加减混合运算
【解析】解答：因为 -b-a,故①错误;因为 =a+ b,故②为正确;因为 b+ (-b-a)= (a+b),故③为正确；
因为 0,故④正确,选C.
分析：本题主要考查了向量的三角形法则、向量加减混合运算及其几何意义，解决问题的关键是根据所给向量满足条件结合题设条件进行发现判断即可.
12．【答案】D
【知识点】向量加法的三角形法则；向量加减混合运算
【解析】解答：如图所示,以AB,AC为邻边作ABDC,则它是正方形,根据向量加减法的几何意义可知题中四个命题都正确.
分析：本题主要考查了向量的三角形法则、向量加减混合运算及其几何意义，解决问题的关键是根据所给选项结合向量满足的几何关系进行计算分析即可.
13．【答案】B
【知识点】向量加法的三角形法则；向量加减混合运算
【解析】解答：以 为邻边作平行四边形,依据向量加法的平行四边形法则和向量减法的三角形法则可得a+b，a-b分别对应两条对角线.因为|a+b|=|a-b|,所以两条对角线相等,所以四边形ABCD是矩形.
分析：本题主要考查了向量的三角形法则、向量加减混合运算及其几何意义，解决问题的关键是根据向量的运算性质结合所给四边形满足的条件分析判断即可.
14．【答案】C
【知识点】平面向量加法运算；向量加法的三角形法则
【解析】解答：因为 ＋ ＝ ， ＋ ＝ ，所以 ＋ ＝ ＋ .
分析：本题主要考查了向量的加法及其几何意义、向量的三角形法则，解决问题的关键是根据所给向量满足的条件结合选项进行分析验证即可.
15．【答案】C
【知识点】平面向量加法运算；向量加法的三角形法则
【解析】解答：∵D、E、F分别为AB、BC、AC中点，
∴DE∥AF且DE＝AF，
∴ ＝ ，∴ ＋ ＝ ＋ ＝ .
分析：本题主要考查了向量的加法及其几何意义、向量的三角形法则，解决问题的关键是结合所给三角形满足的条件计算即可.
16．【答案】
【知识点】向量加法的三角形法则；向量加减混合运算
【解析】【解答】∵| |＝| |且∠AOB＝90°，∴|a＋b|为以 、 为两邻边的矩形的对角线的长，
∴|a＋b|＝3 .
【分析】本题主要考查了向量的三角形法则、向量加减混合运算及其几何意义，解决问题的关键是根据向量运算的三角形法则化简结合向量满足的几何关系进行计算即可.
17．【答案】-
【知识点】平面向量数乘的运算
【解析】【解答】∵||＝5，||＝7，∴ ＝ ，又方向相反，∴a＝－ .
【分析】本题主要考查了向量数乘的运算及其几何意义，解决问题的关键是根据向量的有关运算性质计算即可.
18．【答案】②
【知识点】向量加法的三角形法则；向量加减混合运算
【解析】【解答】以PA、PC为邻边作平行四边形PAEC，则PE与AC交于AC中点O，同样以PB、PD为邻边作平行四边形PBFD，对角线BD与PF交于BD中点O′，则O与O′重合，∴ ＋ ＝ ＋ .
【分析】本题主要考查了向量的三角形法则、向量加减混合运算及其几何意义，解决问题的关键是根据平行四边形的性质结合所给向量满足的关系进行分析即可.
19．【答案】－ e1＋ e2
【知识点】向量加法的三角形法则；向量加减混合运算；平面向量数乘的运算
【解析】【解答】∵ ＝ ＝ e2，∴ ＝－ e2，
∵ ＝ ， ＋ ＝ ＝ － ＝e2－e1，
∴ ＝ (e2－e1)，∴ ＝ ＋ ＝ (e2－e1)－ e2＝－ e1＋ e2.
【分析】本题主要考查了向量的三角形法则、向量加减混合运算及其几何意义、 向量数乘的运算及其几何意义，解决问题的关键是根据所给向量满足的条件结合平行四边形的有关性质计算即可.
20．【答案】；
【知识点】平面向量数乘的运算
【解析】【解答】由已知得 , .
【分析】本题主要考查了向量数乘的运算及其几何意义，解决问题的关键是根据向量的向量数乘的运算及其几何意义解析列示计算即可.
21．【答案】证明：如图所示，连结AC，在△DAC中，
∵N，M分别是AD，CD的中点，
∴ ∥ ，且| |＝ | |，且 与 的方向相同．同理可得| |＝ | |且 与 的方向相同，故有| |＝| |，且 与 的方向相同，∴ ＝ .
【知识点】平面向量数乘的运算
【解析】【分析】本题主要考查了向量数乘的运算及其几何意义，解决问题的关键是根据所给向量满足条件结合平行四边形的有关性质计算即可.
22．【答案】解答：如图所示，取AB中点P，连结EP，FP，
在△ABC中，EP是与BC平行的中位线，∴ ＝ ＝ a.
在△ABD中，FP是与AD平行的中位线，
∴ ＝ ＝－ b.在△EFP中，
＝ ＋ ＝－ ＋
＝－ a－ b＝－ (a＋b)．
【知识点】向量加法的三角形法则；向量加减混合运算；平面向量数乘的运算
【解析】【分析】本题主要考查了向量的三角形法则、向量加减混合运算及其几何意义、向量数乘的运算及其几何意义，解决问题的关键是根据所给向量满足的条件进行计算即可.
23．【答案】解答：∵ ＋ ＝ ＋ ＝0，∴ ＝ ， ＝ .
∴四边形ABCD为平行四边形．
又| |＝| |＝1，知四边形ABCD为菱形．
∵cos∠DAB＝ ，∠DAB ，
∴∠DAB＝ ，∴△ABD为正三角形．
∴| ＋ |＝| ＋ |＝| |＝2| |＝ .
| ＋ |＝| |＝| |＝1.
【知识点】向量加法的三角形法则；向量加减混合运算
【解析】【分析】本题主要考查了向量的三角形法则、向量加减混合运算及其几何意义，解决问题的关键是根据所给向量满足条件进行化简计算即可，难度不大.
24．【答案】解：如图所示，OA表示水流方向， 表示垂直于对岸横渡的方向， 表示船行速度的方向，由 ＝ ＋ 易知| |＝| |＝10，又∠OBC＝90°，∴| |＝20，∴∠BOC＝30°，∴∠AOC＝120°，即船行驶速度为20km/h，方向与水流方向成120°角．
【知识点】向量加法的三角形法则；向量加减混合运算
【解析】【分析】本题主要考查了向量的三角形法则、向量加减混合运算及其几何意义，解决问题的关键是根据实际问题满足的几何关系结合向量的有关运算性质计算即可.
25．【答案】解：设 表示力F1， 表示力F2，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则 表示合力F，由题意易得| |＝| |cos60°＝5，| |＝| |sin60°＝5 ，
因此，力F1，F2的大小分别为5N和5 N.
【知识点】向量加法的三角形法则；向量加减混合运算
【解析】【分析】本题主要考查了向量的三角形法则、 向量加减混合运算及其几何意义，解决问题的关键是根据实际问题满足的几何关系结合向量的有关性质计算即可.
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