山西省朔州市怀仁市第一中学校2023-2024学年高二上学期1月期末数学试题（含解析）

2023~2024学年怀仁一中高二年级上学期期末考试
数学试题
（时间：120分钟 满分：150分）
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知等差数列中，，则数列的公差为（ ）
A.4 B.3 C.1 D.-1
2.在数列中，，则等于（ ）
A.-1 B.2 C. D.1
3.双曲线上的点到左焦点的距离为9，则点到右焦点的距离为（ ）
A.15 B.3 C.3或15 D.5或12
4.已知空间向量满足，且，则与的夹角大小为（ ）
A. B. C. D.
5.战国时期成书《墨经》有载日：“景，日之光反烛人，则景在日与人之间.”这是中国古代人民首次对平面镜反射的研究，体现了传统文化中的数学智慧.在平面直角坐标系中，一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）
A.或 B.或 C. D.
6.已知圆为圆内一点，将圆折起使得圆周过点（如图），然后将纸片展开，得到一条折痕，这样继续下去将会得到若干折痕，观察这些折痕围成的轮廓是一条圆锥曲线，则该圆锥曲线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
7.在三棱柱中，，则该三棱柱的体积为（ ）
A. B.3 C.4 D.
8.设等比数列的前项和为，若成等差数列，且，则等于（ ）
A.6 B.7 C.8 D.9
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知无穷等差数列的前项和为且，则（ ）
A.在数列中，最大 B.在数列中，最大
C. D.当时，
10.在空间直角坐标系中，，则（ ）
A.
B.异面直线与所成的角为
C.点关于轴的对称点为
D.直线与平面所成角的正弦值为
11.存栏数是指某一阶段，养殖场中牲畜的实际数量.某牧场2024年年初牛的存栏数为500，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出60头牛.设牧场从2024年起每年年初的计划存栏数依次为，其中，则下列结论正确的是（ ）（参考数据：）
A.
B.与的递推公式为
C.按照计划2030年年初存栏数首次突破1000
D.令，则
12.已知椭圆的左 右焦点分别为，离心率为，椭圆的上顶点为，且，双曲线和椭圆有相同的焦点，且双曲线的离心率为，为与的一个公共点.若，则（ ）
A. B.
C. D.
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若一个基底的基向量分别为，则__________.（用的线性组合表示）
14.在正项等比数列中，，则__________.
15.直线与抛物线交于两点，中点的横坐标为2，则__________.
16.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数的差或者高次差成等差数列.如数列，前后两项之差得到新数列，新数列为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列，对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”，现有高阶等差数列，其前7项分别为，则该数列的通项公式为__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（10分）已知圆经过两点，且圆心在直线上.
（1）求圆的方程；
（2）已知过点的直线与圆相交，被圆截得的弦长为2，求直线的方程.
18.（12分）已知数列的前项和为，且.
（1）求证：数列为等差数列，并求的通项公式；
（2）已知等差数列满足，其前9项和为63.令，设数列的前项和为，求证：.
19.（12分）若椭圆过抛物线的焦点，且与双曲线有相同的焦点.
（1）求椭圆的方程；
（2）不过原点的直线与椭圆交于两点，求面积的最大值以及此时直线的方程.
20.（12分）如图，在直四棱柱中，四边形为梯形，，点在线段上，且为的中点
.
（1）求证：平面；
（2）若直线与平面所成角的大小为，求平面与平面所成角的余弦值.
21.（12分）已知等差数列与正项等比数列满足，且既是等差数列，又是等比数列.
（1）求数列和的通项公式；
（2）令，数列的前项和为，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
22.（12分）已知双曲线分别是的左 右焦点.若的离心率，且点在上.
（1）求双曲线的方程；
（2）若过点的直线与双曲线的左 右两支分别交于两点（不同于双曲线的顶点），问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
2023~2024学年怀仁一中高二年级上学期期末考试
数学试题答案
1.B 等差数列中，，解得.
2.C 由题意得，则由可得，故数列的一个周期为3，从而.
3.A 设的左 右焦点分别为，则.因为，所以，则点在左支上，所以，故.
4.C 由题知，则，
所以，又，可得，即.
5.A 如图，设点与点关于轴对称，则点的坐标为，反射光线所在直线经过点，且与圆相切，设反射光线所在直线的斜率为，则反射光线所在直线的方程为，即，
圆的圆心为，半径，则由圆心到反射光线所在直线的距离等于半径，可得，
即，解得或.
6.A 设点关于折痕的对称点为，则在圆周上，折痕为线段的垂直平分线，折痕与相交于点，如图所示，则有，可知，所以点的轨迹是以为左 右焦点的椭圆，其中长轴，焦距，所以点的轨迹方程为，即折痕围成轮廓的圆锥曲线的方程为.
7.D 设平面的法向量为，则令，则，则平面的一个法向量为，点到平面的距离，点到的距离，且，所以的面积，则三棱柱的体积.
8.C 由成等差数列可得，显然，即，解得或（舍去）.因为，即，所以，则，所以，即，故.
9.AD 因为且，所以，则等差数列的公差，则在数列中，最大，故正确，错误；因为，故错误；因为，所以当时，，故D正确.
10.ACD 对于项，因为，所以，故正确；对于项，设与所成的角为，则
，且，所以，故B不正确；对于C项，点关于轴的对称点与点的横坐标相同，纵坐标和竖坐标互为相反数，故正确；对于项，，设直线与平面所成的角为，则，故D正确.
11.ABD 由题意得，并且，故B正确；则，故A正确；设，则，则，则，
，即数列是首项为，公比为1.2的等比数列，则，则，令，则，则，故2031年年初存栏数首次突破1000，故C错误；，故D正确.
12.BD 因为，且，所以为等腰直角三角形.设椭圆的半焦距为，则，所以，则.在中，，设，双曲线的实半轴长为，则（在中，由余弦定理可得），故，故，又，所以，即，故
13.
解析由已知可得，为与的中点，所以.
所以
14.40
解析设正项等比数列的公比为，则，因为，所以，，又由是等比数列，所以成等比数列，所以，即，故，解得或，又，所以.
15.2
解析设，因为中点的横坐标为2，则，可得，又由，两式相减得，可得，可得，解得或，联立整理得，由0，解得，所以.
16.
解析数列中，由后项减前项，得，
因此当时，而满足上式，所以该数列的通项公式为.
17.解（1）线段的中点为，直线的斜率为，
所以线段的垂直平分线为，即，
由解得
所以圆心为，半径为，
所以圆的方程为.
（2）当直线的斜率不存在时，
由得或，
即直线与圆相交所得弦长为，符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
由圆心到的距离为，得，解得，
所以，即，
综上所述，直线的方程为或.
18.证明（1），
，
数列是以1为首项，为公差的等差数列，
，则，
当时，，
当时，也满足上式，.
（2）由题意知，
等差数列的公差，
，
，
，
，
.
19.解（1）抛物线的焦点为，所以，
因为双曲线的焦点坐标为，
所以，则，
所以椭圆的方程为.
（2）设，联立可得，
因为直线与椭圆交于两点，
所以，解得，
由根与系数的关系可得，
由弦长公式可得，
点到直线的距离，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以面积的最大值为，此时直线的方程为.
20.（1）证明方法一连接，由题意知，，
四边形为平行四边形，
平面平面，
平面.
方法二由题意可得，又平面平面，
平面.
连接且四边形为平行四边形，则，
又平面平面平面.
又且平面，
平面平面.
又平面平面
（2）解连接，由题意可得为等边三角形，故，
由平面可得为直线与平面所成的角，故
，则.
以为坐标原点，所在直线分别为轴，过点且垂直于平面
的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则，
则.
设平面的法向量为，
则即
令，得.
设平面的法向量为，
则即
令，得，
则，
所以平面与平面所成角的余弦值为.
21.解（1）因为既是等差数列，又是等比数列，所以，
又，设的公差为的公比为，
则
解得或（舍去），所以.
（2）由（1）可得，
所以，
，
所以
，
所以.
因为对任意的，不等式恒成立，
即对任意的，不等式恒成立，
令，
则，
所以单调递减，则的最大值为，
所以，即实数的取值范围为
22.解（1）设双曲线的半焦距为.
由题意可得
解得，
双曲线的方程为.
（2）为定值，理由如下：
由（1）知，设直线，
联立方程得消去，整理可得，
，且，
，
，
，同理.
直线过点且与双曲线的左 右两支分别交于两点，
两点在轴同侧，，此时，即.
，为定值.