人教新课标A版必修2数学2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系同步练习
一、选择题
1．有下列四个命题：
①三个点可以确定一个平面；
②圆锥的侧面展开图可以是一个圆面；
③底面是等边三角形，三个侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；
④过球面上任意两不同点的大圆有且只有一个．
其中正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ）
A．l1⊥l2，l2⊥l3 l1∥l3
B．l1⊥l2，l2∥l3 l1⊥l3
C．l1∥l2∥l3 l1，l2，l3共面
D．l1，l2，l3共点 l1，l2，l3共面
4．下列四个命题中错误的是（ ）
A．若直线a、b互相平行，则直线a、b确定一个平面
B．若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线
C．若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线
D．两条异面直线不可能垂直于同一个平面
5．若两条异面直线所成的角为90°，则称这对异面直线为“理想异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“理想异面直线对”的对数为（ ）
A．24 B．48 C．72 D．78
6．若a⊥b，b⊥c，则有（ ）
A．a∥c B．a⊥c
C．c异面 D．A，B，C选项都不正确
7．用a、b、c表示三条不同的直线，y表示平面，给出下列命题：（ ）
①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；
③若a∥y，b∥y，则a∥b；④若a⊥y，b⊥y，则a∥b．
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
8．若P两条异面直线l，m外的任意一点，则（ ）
A．过点P有且仅有一条直线与l，m都平行
B．过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直
C．过点P有且仅有一条直线与l，m都相交
D．过点P有且仅有一条直线与l，m都异面
9．关于两条不同的直线m、n与两个不同的平面α、β，下列命题正确的是（ ）
A．m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n B．m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n
C．m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n D．m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n
10．若Rt△ABC的斜边BC在平面α内，顶点A在α外，则△ABC在α上的射影是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．一条线段或一钝角三角形
11．如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（ ）
A．BD∥平面CB1D1
B．AC1⊥BD
C．AC1⊥平面CB1D1
D．异面直线AD与CB1所成的角为60°
12．已知直线l、m，平面α、β，则下列命题中假命题是（ ）
A．若α∥β，l α，则l∥β
B．若α∥β，l⊥α，则l⊥β
C．若α⊥β，α∩β=l，m α，m⊥l，则m⊥β
D．若l∥α，m α，则l∥m
13．在空间，下列命题正确的是（ ）
A．平行直线的平行投影重合
B．平行于同一直线的两个平面平行
C．垂直于同一平面的两个平面平行
D．垂直于同一平面的两条直线平行
14．关于直线l，m及平面α，β，下列命题中正确的是（ ）
A．若l∥α，α∩β=m，则l∥m B．若l∥α，m∥α，则l∥m
C．若l⊥α，l∥β，则α⊥β D．若l∥α，m⊥l，则m⊥α
15．设a、b是两条互不垂直的异面直线，过a、b分别作平面α、β，对于下面四种情况：①b∥α，②b⊥α，③α∥β，④α⊥β．其中可能的情况有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
16．下列命题中正确的是（ ）
A．若直线l∥平面M，则直线l的垂线必平行于平面M
B．若直线l与平面M相交，则有且只有一个平面经过l且与平面M垂直
C．若直线a，b 平面M，a，b相交，且直线l⊥a，l⊥b，则l⊥M
D．若直线a∥平面M，直线b⊥a，则b⊥M
二、填空题
17．空间内五个点中的任意三点都不共线，由这五个点为顶点只构造出四个三棱锥，则这五个点最多可以确定 个平面．
18．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是棱C1D1、C1C的中点．以下四个结论：
①直线AM与直线CC1相交；
②直线AM与直线BN平行；
③直线AM与直线DD1异面；
④直线BN与直线MB1异面．
其中正确结论的序号为 ．
（注：把你认为正确的结论序号都填上）
19．空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．若AC=BD，则四边形EFGH是 ．
20．设m、n是平面α外的两条直线，给出列下命题：①m⊥α，m⊥n，则n∥α；②m⊥n，n∥α，则m⊥α；③m⊥α，n∥α，则m⊥n；④m∥α，n∥α，则m∥n．请将正确命题的序号填在横线上 ．
21．阅读以下命题：
①如果a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的所有平面；
②如果直线a和平面a满足a∥a，那么a与a内的任意直线平行；
③如果直线a，b和平面a满足a∥a，b∥a，那么a∥b；
④如果直线a，b和平面a满足a∥b，a∥a，b a，那么b∥a；
⑤如果平面α⊥平面x，平面β⊥平面x，α∩β=l，那么l⊥平面x．
请将所有正确命题的编号写在横线上 ．
22．给出下列命题：
①三点确定一个平面；
②在空间中，过直线外一点只能作一条直线与该直线平行；
③若平面α上有不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β；
④若直线a、b、c满足a⊥b、a⊥c，则b∥c．
其中正确命题的个数是 ．
三、解答题
23．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AB，AA1的中点，求证：三条直线DA，CE，D1F交于一点．
24．已知空间四边形ABCD，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是边BC、DC的三等分点（如图），
求证：
（1）对角线AC、BD是异面直线；
（2）直线EF和HG必交于一点，且交点在AC上．
25．求证：正四面体ABCD中相对的两棱（即异面的两棱）互相垂直．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】平面的基本性质及推论
【解析】【解答】当三点共线时，不能确定平面，故①错误；
由圆锥的母线一定比底面半径大，可得圆锥的侧面展开图是一个圆心角不超过2π的扇形，故②错误；
底面是等边三角形，三个侧面都是等腰三角形的三棱锥不一定是正三棱锥，故③错误；
如果两点是球的两个极点，则过两点的大圆有无数个，故④错误
故选A
【分析】根据公理2我们可判断①的对错，根据圆锥的几何特征我们可以判断②的真假，根据棱锥的几何特征我们可以判断③的正误，根据球的几何特征，我们可以判断④的真假，进而得到结论．
2．【答案】C
【知识点】平面的基本性质及推论
【解析】【解答】根据两条平行直线、两条相交直线确定一个平面，可得CD、BC、BB1、AA1、C1D1符合条件．
故选C．
【分析】根据平行六面体的结构特征和公理2的推论进行判断，即找出与AB和CC1平行或相交的棱．
3．【答案】B
【知识点】平面的基本性质及推论
【解析】【解答】对于A，通过常见的图形正方体，从同一个顶点出发的三条棱两两垂直，得到A错
对于B，∵l1⊥l2，∴l1，l2所成的角是90°，
又∵l2∥l3∴l1，l3所成的角是90°
∴l1⊥l2得到B对
对于C，例如三棱柱中的三侧棱平行，但不共面，故C错
对于D，例如三棱锥的三侧棱共点，但不共面，故D错
故选B
【分析】通过两条直线垂直的充要条件两条线所成的角为90°；判断出B对；通过举常见的图形中的边、面的关系说明命题错误．
4．【答案】C
【知识点】平面的基本性质及推论；异面直线的判定
【解析】【解答】A、由两条直线平行确定一个平面判断正确，故A不对；
B、根据三棱锥的四个顶点知，任意三点都不共线，故B不对；
C、若两条直线没有公共点，则这两条直线异面或平行，故C对；
D、根据线面垂直的性质定理知，这两条直线平行，即不可能，故D不对．
故选C．
【分析】根据公理2以及推论判断A和B，由线线位置关系的定义判断C，利用线面垂直的性质定理和异面直线的定义判断D．
5．【答案】D
【知识点】异面直线的判定
【解析】解答：先把连接正方体各顶点的所有直线有三种形式．
分别是正方体的棱，有12条，各面对角线，有12条，体对角线，有4条．
分几种情况考虑
第一种，各棱之间构成的“理想异面直线对”，每条棱有4条棱和它垂直，∴共有 =24对
第二种，各面上的对角线之间构成的“理想异面直线对”，每相对两面上有2对互相垂直的异面对角线，∴共有 =6对
第三种，各棱与面上的对角线之间构成的“理想异面直线对”，每条棱有2条面上的对角线和它垂直，共有2×12=24对
第四种，各体对角线与面上的对角线之间构成的“理想异面直线对”，每条体对角线有6条面上的对角线和它垂直，共有6×4=24对
最后，把各种情况得到的结果相加，得，24+6+24+24=78对
故选D
分析：可把连接正方体各顶点的所有直线分成3组，棱，面上的对角线，体对角线，分别组合，找出可能的”理想异面直线对”，再相加即可．
6．【答案】D
【知识点】异面直线的判定
【解析】【解答】∵a⊥b，b⊥c，
则a与c可能平行，也可能相交，也可能异面
故A，B，C均不正确
故选D
【分析】由线线垂直的定义及几何特征，可得当a⊥b，b⊥c时，a与c可能平行，也可能相交，也可能异面，比照四个答案，可得结论．
7．【答案】C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】根据平行直线的传递性可知①正确；
在长方体模型中容易观察出②中a、c还可以平行或异面；
③中a、b还可以相交；
④是真命题，
故答案应选：C
【分析】判断线与线、线与面、面与面之间的关系，可将线线、线面、面面平行（垂直）的性质互相转换，进行证明，也可将题目的中直线放在空间正方体内进行分析．
8．【答案】B
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】解答：设过点P的直线为n，若n与l、m都平行，则l、m平行，与l、m异面矛盾，故选项A错误；
由于l、m只有唯一的公垂线，而过点P与公垂线平行的直线只有一条，故B正确；
对于选项C、D可参考下图的正方体，设AD为直线l，A′B′为直线m，若点P在P1点，则显然无法作出直线与两直线都相交，故选项C错误；若P在P2点，则由图中可知直线CC′及D′P2均与l、m异面，故选项D错误．
故选B．
分析：选项A由反证法得出判断；选项B由异面直线的公垂线唯一得出判断；选项C、D可借用图形提供反例．
9．【答案】C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】若m∥α，n∥β且α∥β，则m与n可能平行与可能异面，故A错误；
若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n，故B错误；
当n∥β且α∥β时，存在直线l α，使l∥n，又由m⊥α，故m⊥l，则m⊥n，故C正确；
若n⊥β且α⊥β，则n∥α或n α，若m∥α，则m与n可能平行，也可能垂直，也可能相交，故D错误；
故选C
【分析】根据空间中面面平行及线面平行的性质，我们易判断A的对错，根据线线垂直的判定方法，我们易判断出B的真假；根据空间中直线 与直线垂直的判断方法，我们可得到C的正误；根据线面平行及线面平行的性质，我们易得到D的对错，进而得到结论．
10．【答案】D
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】从当平面ABC⊥α时，△ABC在α上的射影是一条线段，
结合选择支，A、B、C都不正确，
故选D．
【分析】根据三角形所在平面与底面的位置关系，可以找出特殊情形，判断△ABC在α上的射影，得到正确选项．
11．【答案】D
【知识点】棱柱的结构特征；空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】解：A中因为BD∥B1D1，正确；B中因为AC⊥BD，由三垂线定理知正确；
C中有三垂线定理可知AC1⊥B1D1，AC1⊥B1C，故正确；
D中显然异面直线AD与CB1所成的角为45°
故选D
【分析】A中因为BD∥B1D1可判，B和C中可由三垂线定理进行证明；而D中因为CB1∥D1A，所以∠D1AD即为异面直线所成的角，∠D1AD=45°
12．【答案】D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】∵l∥α，m α，∴l与平面α没有公共点，
∵m α，∴直线l与m也没有公共点，
即 直线l与m平行或为异面直线．
故选D．
【分析】根据线面的位置关系的定义和面面垂直的性质定理，逐项验证．
13．【答案】D
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】平行直线的平行投影重合，还可能平行，A错误．
平行于同一直线的两个平面平行，两个平面可能相交，B错误．
垂直于同一平面的两个平面平行，可能相交，C错误．
故选D．
【分析】由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理，可以很容易得出答案．
14．【答案】C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】A不对，由线面平行的性质定理知必须l β；
B不对，由面面平行的判定定理知两条直线必须相交；
D不对，有条件有可能m α；
C正确，由l∥β知在β内有与l平行的直线，再由l⊥α和面面垂直的判定定理得α⊥β．
故选C．
【分析】由线面平行的性质定理和面面平行的判定定理判断A、B；再由线面和面面垂直的定理判断C、D．
15．【答案】C
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】：①可能，过a上一点作与b平行的直线确定的平面α，则b∥α；
②不可能，当a与b不垂直时，否则有b⊥a与已知矛盾；③可能，由面面平行的定义知；
④可能，面面垂直的性质定理；
故选C．
【分析】由异面直线的定义，线面平行的判定定理、面面平行的定义和面面垂直的性质定理判断．
16．【答案】C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】若直线l∥平面M，则直线l的垂线必平行于平面M，不正确，直线l的垂线也可能与平面M相交；
若直线l与平面M相交，则有且只有一个平面经过l且与平面M垂直，不正确，当直线l垂直平面时，有无数个平面与平面M垂直；
若直线a，b 平面M，a，b相交，且直线l⊥a，l⊥b，则l⊥M，根据线面垂直的判定定理可知正确；
若直线a∥平面M，直线b⊥a，则b与M相交或平行，故不正确；
故选C
【分析】对于选项A中直线l的垂线也可能与平面M相交，对于选项B当直线l垂直平面时，有无数个平面与平面M垂直，对于选项C根据线面垂直的判定定理进行判定，对于选项D列举出所以可能即可．
17．【答案】7
【知识点】平面的基本性质及推论
【解析】【解答】空间内五个点中的任意三点都不共线，由这五个点为顶点只构造出四个三棱锥，
则其中四个点在一个平面内，组成一个四棱锥，所以这五个点最多可以确定7个平面．
故答案为：7
【分析】先确定这五个点构成的几何体的形状，是一个四棱锥，然后可求确定平面的个数．
18．【答案】③④
【知识点】异面直线的判定
【解析】【解答】∵直线CC1在平面CC1D1D上，
而M∈平面CC1D1D，A 平面CC1D1D，
∴直线AM与直线CC1异面，故①不正确，
∵直线AM与直线BN异面，故②不正确，
∵直线AM与直线DD1既不相交又不平行，
∴直线AM与直线DD1异面，故③正确，
利用①的方法验证直线BN与直线MB1异面，故④正确，
总上可知有两个命题是正确的，
故答案为：③④
【分析】利用两条直线是异面直线的判断方法来验证①③④的正误，②要证明两条直线平行，从图形上发现这两条直线也是异面关系，得到结论．
19．【答案】菱形
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】作出如图的空间四边形，连接AC，BD可得一个三棱锥，将四个中点连接，得到一个四边形EFGH，
由中位线的性质知EH∥FG，EF∥HG
故四边形EFGH是平行四边形
又AC=BD，故有HG= AC= BD=EH
故四边形EFGH是菱形
故答案为菱形
【分析】作出如图的空间四边形，连接AC，BD可得一个三棱锥，将四个中点连接，得到一个四边形，可证明其是一个菱形．
20．【答案】①③
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】①m⊥α，m⊥n则根据与平面α的法向量垂直，则直线与平面平行，故正确
②m⊥n，n∥α，则m与α可能相交，也可能平行，故不正确
③与平面平行的直线与垂直的直线互相垂直，故正确
④m∥α，n∥α，则m与n可能平行、相交、异面
故答案为①③
【分析】据有关定理中的诸多条件，对每一个命题进行逐一进行是否符合定理条件去判定，不正确的只需取出反例即可．
21．【答案】④⑤
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系
【解析】解答①中的a、b可能都在同一个平面内，故①不正确．
②直线a和平面a的直线平行或者是异面直线，故②不正确．
③a和b平行、相交、或者是异面直线，故③不正确．
④因为平面外的2条直线中，如果有一个和这个平面平行，那么另一个也和这个平面平行．故④正确．
⑤如果2个平面都垂直于第三个平面，那么这2个平面的交线也垂直于第三个平面，故⑤正确．
综上，正确的命题是④⑤．
【分析】逐一分析各个命题，通过举反例、排除、筛选，得到正确的命题．
22．【答案】1个
【知识点】平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】如图：
①、不共线的三点确定一个平面，故①错．
②、不论是在空间中还是在平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故②正确．
③、如图所示：点A1、A、C到平面D1DBB1的距离都相等，但是平面A1ACC1与平面D1DBB1是相交关系，故③错．
④、如图所示：a⊥b、a⊥c，但是直线b、c相交，故④错．
故答案为：1个
【分析】①此命题考查的是公理3的内容：经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面．
②此命题考查的是平面的基本性质及推论：不论是在空间中还是在平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
③此命题考查的是平面与平面的位置关系．
④此命题考查的是空间中直线与直线之间的位置关系．
23．【答案】证明：连接EF、CD1、BA1，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，
点E，F分别是棱AB，AA1的中点，∴EF∥BA1， ，
又A1D1∥B1C1，A1D1=B1C1∴四边形A1BCD1为平行四边形，∴BA1∥CD1BA1=CD1
∴EF∥CD1， ∴四边形是梯形，
∴D1F与CE的延长线交于一个点，设为O点，
则有O∈D1F，D1F 平面AD1，
∴O∈平面AD1，同理O∈平面AC，且平面AD1∩平面AC=AD
∴O∈AD，∴三条直线DA，CE，D1F交于一点．
【知识点】平面的基本性质及推论
【解析】【分析】欲证：三条直线DA，CE，D1F交于一点，先将其中一条直线看成是两个平面的交线，再证明另外两条直线的交点是这两个平面的公共点，由平面的基本性质，从而证得三条直线交于一点．
24．【答案】（1）证明：假设对角线AC、BD在同一平面α内，
则A、B、C、D都在平面α内，这与ABCD是空间四边形矛盾，
∴AC、BD是异面直线．
（2）证明：∵E、H分别是AB、AD的中点，∴EH BD．
又F、G分别是BC、DC的三等分点，
∴FG BD．∴EH∥FG，且EH＜FG．
∴FE与GH相交．
设交点为O，又O在GH上，GH在平面ADC内，∴O在平面ADC内．
同理，O在平面ABC内．
从而O在平面ADC与平面ABC的交线AC上．
【知识点】平面的基本性质及推论；异面直线的判定
【解析】【分析】（1）利用反证法证明对角线AC、BD是共面直线，推出矛盾，从而证明是异面直；（2）说明直线EF和HG必交于一点，然后证明这点在平面ADC内．又在平面ABC内，必在它们的交线AC上．
25．【答案】证明：因为ABCD是正四面体，
各个面都是等边三角形，
取BC的中点E
∴AE⊥BC，DE⊥BC
∴BC⊥平面AED，
而AD 平面AED，
∴BC⊥AD，
同理可证AB⊥DC，AC⊥DB．
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【分析】因为ABCD是正四面体，各个面都是等边三角形，取BC的中点E，则有AE⊥BC，DE⊥BC，从而有BC⊥平面AED，易得结论．
1 / 1人教新课标A版必修2数学2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系同步练习
一、选择题
1．有下列四个命题：
①三个点可以确定一个平面；
②圆锥的侧面展开图可以是一个圆面；
③底面是等边三角形，三个侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；
④过球面上任意两不同点的大圆有且只有一个．
其中正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【知识点】平面的基本性质及推论
【解析】【解答】当三点共线时，不能确定平面，故①错误；
由圆锥的母线一定比底面半径大，可得圆锥的侧面展开图是一个圆心角不超过2π的扇形，故②错误；
底面是等边三角形，三个侧面都是等腰三角形的三棱锥不一定是正三棱锥，故③错误；
如果两点是球的两个极点，则过两点的大圆有无数个，故④错误
故选A
【分析】根据公理2我们可判断①的对错，根据圆锥的几何特征我们可以判断②的真假，根据棱锥的几何特征我们可以判断③的正误，根据球的几何特征，我们可以判断④的真假，进而得到结论．
2．平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】平面的基本性质及推论
【解析】【解答】根据两条平行直线、两条相交直线确定一个平面，可得CD、BC、BB1、AA1、C1D1符合条件．
故选C．
【分析】根据平行六面体的结构特征和公理2的推论进行判断，即找出与AB和CC1平行或相交的棱．
3．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ）
A．l1⊥l2，l2⊥l3 l1∥l3
B．l1⊥l2，l2∥l3 l1⊥l3
C．l1∥l2∥l3 l1，l2，l3共面
D．l1，l2，l3共点 l1，l2，l3共面
【答案】B
【知识点】平面的基本性质及推论
【解析】【解答】对于A，通过常见的图形正方体，从同一个顶点出发的三条棱两两垂直，得到A错
对于B，∵l1⊥l2，∴l1，l2所成的角是90°，
又∵l2∥l3∴l1，l3所成的角是90°
∴l1⊥l2得到B对
对于C，例如三棱柱中的三侧棱平行，但不共面，故C错
对于D，例如三棱锥的三侧棱共点，但不共面，故D错
故选B
【分析】通过两条直线垂直的充要条件两条线所成的角为90°；判断出B对；通过举常见的图形中的边、面的关系说明命题错误．
4．下列四个命题中错误的是（ ）
A．若直线a、b互相平行，则直线a、b确定一个平面
B．若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线
C．若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线
D．两条异面直线不可能垂直于同一个平面
【答案】C
【知识点】平面的基本性质及推论；异面直线的判定
【解析】【解答】A、由两条直线平行确定一个平面判断正确，故A不对；
B、根据三棱锥的四个顶点知，任意三点都不共线，故B不对；
C、若两条直线没有公共点，则这两条直线异面或平行，故C对；
D、根据线面垂直的性质定理知，这两条直线平行，即不可能，故D不对．
故选C．
【分析】根据公理2以及推论判断A和B，由线线位置关系的定义判断C，利用线面垂直的性质定理和异面直线的定义判断D．
5．若两条异面直线所成的角为90°，则称这对异面直线为“理想异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“理想异面直线对”的对数为（ ）
A．24 B．48 C．72 D．78
【答案】D
【知识点】异面直线的判定
【解析】解答：先把连接正方体各顶点的所有直线有三种形式．
分别是正方体的棱，有12条，各面对角线，有12条，体对角线，有4条．
分几种情况考虑
第一种，各棱之间构成的“理想异面直线对”，每条棱有4条棱和它垂直，∴共有 =24对
第二种，各面上的对角线之间构成的“理想异面直线对”，每相对两面上有2对互相垂直的异面对角线，∴共有 =6对
第三种，各棱与面上的对角线之间构成的“理想异面直线对”，每条棱有2条面上的对角线和它垂直，共有2×12=24对
第四种，各体对角线与面上的对角线之间构成的“理想异面直线对”，每条体对角线有6条面上的对角线和它垂直，共有6×4=24对
最后，把各种情况得到的结果相加，得，24+6+24+24=78对
故选D
分析：可把连接正方体各顶点的所有直线分成3组，棱，面上的对角线，体对角线，分别组合，找出可能的”理想异面直线对”，再相加即可．
6．若a⊥b，b⊥c，则有（ ）
A．a∥c B．a⊥c
C．c异面 D．A，B，C选项都不正确
【答案】D
【知识点】异面直线的判定
【解析】【解答】∵a⊥b，b⊥c，
则a与c可能平行，也可能相交，也可能异面
故A，B，C均不正确
故选D
【分析】由线线垂直的定义及几何特征，可得当a⊥b，b⊥c时，a与c可能平行，也可能相交，也可能异面，比照四个答案，可得结论．
7．用a、b、c表示三条不同的直线，y表示平面，给出下列命题：（ ）
①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；
③若a∥y，b∥y，则a∥b；④若a⊥y，b⊥y，则a∥b．
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
【答案】C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】根据平行直线的传递性可知①正确；
在长方体模型中容易观察出②中a、c还可以平行或异面；
③中a、b还可以相交；
④是真命题，
故答案应选：C
【分析】判断线与线、线与面、面与面之间的关系，可将线线、线面、面面平行（垂直）的性质互相转换，进行证明，也可将题目的中直线放在空间正方体内进行分析．
8．若P两条异面直线l，m外的任意一点，则（ ）
A．过点P有且仅有一条直线与l，m都平行
B．过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直
C．过点P有且仅有一条直线与l，m都相交
D．过点P有且仅有一条直线与l，m都异面
【答案】B
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】解答：设过点P的直线为n，若n与l、m都平行，则l、m平行，与l、m异面矛盾，故选项A错误；
由于l、m只有唯一的公垂线，而过点P与公垂线平行的直线只有一条，故B正确；
对于选项C、D可参考下图的正方体，设AD为直线l，A′B′为直线m，若点P在P1点，则显然无法作出直线与两直线都相交，故选项C错误；若P在P2点，则由图中可知直线CC′及D′P2均与l、m异面，故选项D错误．
故选B．
分析：选项A由反证法得出判断；选项B由异面直线的公垂线唯一得出判断；选项C、D可借用图形提供反例．
9．关于两条不同的直线m、n与两个不同的平面α、β，下列命题正确的是（ ）
A．m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n B．m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n
C．m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n D．m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n
【答案】C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】若m∥α，n∥β且α∥β，则m与n可能平行与可能异面，故A错误；
若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n，故B错误；
当n∥β且α∥β时，存在直线l α，使l∥n，又由m⊥α，故m⊥l，则m⊥n，故C正确；
若n⊥β且α⊥β，则n∥α或n α，若m∥α，则m与n可能平行，也可能垂直，也可能相交，故D错误；
故选C
【分析】根据空间中面面平行及线面平行的性质，我们易判断A的对错，根据线线垂直的判定方法，我们易判断出B的真假；根据空间中直线 与直线垂直的判断方法，我们可得到C的正误；根据线面平行及线面平行的性质，我们易得到D的对错，进而得到结论．
10．若Rt△ABC的斜边BC在平面α内，顶点A在α外，则△ABC在α上的射影是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．一条线段或一钝角三角形
【答案】D
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】从当平面ABC⊥α时，△ABC在α上的射影是一条线段，
结合选择支，A、B、C都不正确，
故选D．
【分析】根据三角形所在平面与底面的位置关系，可以找出特殊情形，判断△ABC在α上的射影，得到正确选项．
11．如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（ ）
A．BD∥平面CB1D1
B．AC1⊥BD
C．AC1⊥平面CB1D1
D．异面直线AD与CB1所成的角为60°
【答案】D
【知识点】棱柱的结构特征；空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】解：A中因为BD∥B1D1，正确；B中因为AC⊥BD，由三垂线定理知正确；
C中有三垂线定理可知AC1⊥B1D1，AC1⊥B1C，故正确；
D中显然异面直线AD与CB1所成的角为45°
故选D
【分析】A中因为BD∥B1D1可判，B和C中可由三垂线定理进行证明；而D中因为CB1∥D1A，所以∠D1AD即为异面直线所成的角，∠D1AD=45°
12．已知直线l、m，平面α、β，则下列命题中假命题是（ ）
A．若α∥β，l α，则l∥β
B．若α∥β，l⊥α，则l⊥β
C．若α⊥β，α∩β=l，m α，m⊥l，则m⊥β
D．若l∥α，m α，则l∥m
【答案】D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】∵l∥α，m α，∴l与平面α没有公共点，
∵m α，∴直线l与m也没有公共点，
即 直线l与m平行或为异面直线．
故选D．
【分析】根据线面的位置关系的定义和面面垂直的性质定理，逐项验证．
13．在空间，下列命题正确的是（ ）
A．平行直线的平行投影重合
B．平行于同一直线的两个平面平行
C．垂直于同一平面的两个平面平行
D．垂直于同一平面的两条直线平行
【答案】D
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】平行直线的平行投影重合，还可能平行，A错误．
平行于同一直线的两个平面平行，两个平面可能相交，B错误．
垂直于同一平面的两个平面平行，可能相交，C错误．
故选D．
【分析】由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理，可以很容易得出答案．
14．关于直线l，m及平面α，β，下列命题中正确的是（ ）
A．若l∥α，α∩β=m，则l∥m B．若l∥α，m∥α，则l∥m
C．若l⊥α，l∥β，则α⊥β D．若l∥α，m⊥l，则m⊥α
【答案】C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】A不对，由线面平行的性质定理知必须l β；
B不对，由面面平行的判定定理知两条直线必须相交；
D不对，有条件有可能m α；
C正确，由l∥β知在β内有与l平行的直线，再由l⊥α和面面垂直的判定定理得α⊥β．
故选C．
【分析】由线面平行的性质定理和面面平行的判定定理判断A、B；再由线面和面面垂直的定理判断C、D．
15．设a、b是两条互不垂直的异面直线，过a、b分别作平面α、β，对于下面四种情况：①b∥α，②b⊥α，③α∥β，④α⊥β．其中可能的情况有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【答案】C
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】：①可能，过a上一点作与b平行的直线确定的平面α，则b∥α；
②不可能，当a与b不垂直时，否则有b⊥a与已知矛盾；③可能，由面面平行的定义知；
④可能，面面垂直的性质定理；
故选C．
【分析】由异面直线的定义，线面平行的判定定理、面面平行的定义和面面垂直的性质定理判断．
16．下列命题中正确的是（ ）
A．若直线l∥平面M，则直线l的垂线必平行于平面M
B．若直线l与平面M相交，则有且只有一个平面经过l且与平面M垂直
C．若直线a，b 平面M，a，b相交，且直线l⊥a，l⊥b，则l⊥M
D．若直线a∥平面M，直线b⊥a，则b⊥M
【答案】C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】若直线l∥平面M，则直线l的垂线必平行于平面M，不正确，直线l的垂线也可能与平面M相交；
若直线l与平面M相交，则有且只有一个平面经过l且与平面M垂直，不正确，当直线l垂直平面时，有无数个平面与平面M垂直；
若直线a，b 平面M，a，b相交，且直线l⊥a，l⊥b，则l⊥M，根据线面垂直的判定定理可知正确；
若直线a∥平面M，直线b⊥a，则b与M相交或平行，故不正确；
故选C
【分析】对于选项A中直线l的垂线也可能与平面M相交，对于选项B当直线l垂直平面时，有无数个平面与平面M垂直，对于选项C根据线面垂直的判定定理进行判定，对于选项D列举出所以可能即可．
二、填空题
17．空间内五个点中的任意三点都不共线，由这五个点为顶点只构造出四个三棱锥，则这五个点最多可以确定 个平面．
【答案】7
【知识点】平面的基本性质及推论
【解析】【解答】空间内五个点中的任意三点都不共线，由这五个点为顶点只构造出四个三棱锥，
则其中四个点在一个平面内，组成一个四棱锥，所以这五个点最多可以确定7个平面．
故答案为：7
【分析】先确定这五个点构成的几何体的形状，是一个四棱锥，然后可求确定平面的个数．
18．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是棱C1D1、C1C的中点．以下四个结论：
①直线AM与直线CC1相交；
②直线AM与直线BN平行；
③直线AM与直线DD1异面；
④直线BN与直线MB1异面．
其中正确结论的序号为 ．
（注：把你认为正确的结论序号都填上）
【答案】③④
【知识点】异面直线的判定
【解析】【解答】∵直线CC1在平面CC1D1D上，
而M∈平面CC1D1D，A 平面CC1D1D，
∴直线AM与直线CC1异面，故①不正确，
∵直线AM与直线BN异面，故②不正确，
∵直线AM与直线DD1既不相交又不平行，
∴直线AM与直线DD1异面，故③正确，
利用①的方法验证直线BN与直线MB1异面，故④正确，
总上可知有两个命题是正确的，
故答案为：③④
【分析】利用两条直线是异面直线的判断方法来验证①③④的正误，②要证明两条直线平行，从图形上发现这两条直线也是异面关系，得到结论．
19．空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．若AC=BD，则四边形EFGH是 ．
【答案】菱形
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】作出如图的空间四边形，连接AC，BD可得一个三棱锥，将四个中点连接，得到一个四边形EFGH，
由中位线的性质知EH∥FG，EF∥HG
故四边形EFGH是平行四边形
又AC=BD，故有HG= AC= BD=EH
故四边形EFGH是菱形
故答案为菱形
【分析】作出如图的空间四边形，连接AC，BD可得一个三棱锥，将四个中点连接，得到一个四边形，可证明其是一个菱形．
20．设m、n是平面α外的两条直线，给出列下命题：①m⊥α，m⊥n，则n∥α；②m⊥n，n∥α，则m⊥α；③m⊥α，n∥α，则m⊥n；④m∥α，n∥α，则m∥n．请将正确命题的序号填在横线上 ．
【答案】①③
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】①m⊥α，m⊥n则根据与平面α的法向量垂直，则直线与平面平行，故正确
②m⊥n，n∥α，则m与α可能相交，也可能平行，故不正确
③与平面平行的直线与垂直的直线互相垂直，故正确
④m∥α，n∥α，则m与n可能平行、相交、异面
故答案为①③
【分析】据有关定理中的诸多条件，对每一个命题进行逐一进行是否符合定理条件去判定，不正确的只需取出反例即可．
21．阅读以下命题：
①如果a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的所有平面；
②如果直线a和平面a满足a∥a，那么a与a内的任意直线平行；
③如果直线a，b和平面a满足a∥a，b∥a，那么a∥b；
④如果直线a，b和平面a满足a∥b，a∥a，b a，那么b∥a；
⑤如果平面α⊥平面x，平面β⊥平面x，α∩β=l，那么l⊥平面x．
请将所有正确命题的编号写在横线上 ．
【答案】④⑤
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系
【解析】解答①中的a、b可能都在同一个平面内，故①不正确．
②直线a和平面a的直线平行或者是异面直线，故②不正确．
③a和b平行、相交、或者是异面直线，故③不正确．
④因为平面外的2条直线中，如果有一个和这个平面平行，那么另一个也和这个平面平行．故④正确．
⑤如果2个平面都垂直于第三个平面，那么这2个平面的交线也垂直于第三个平面，故⑤正确．
综上，正确的命题是④⑤．
【分析】逐一分析各个命题，通过举反例、排除、筛选，得到正确的命题．
22．给出下列命题：
①三点确定一个平面；
②在空间中，过直线外一点只能作一条直线与该直线平行；
③若平面α上有不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β；
④若直线a、b、c满足a⊥b、a⊥c，则b∥c．
其中正确命题的个数是 ．
【答案】1个
【知识点】平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】如图：
①、不共线的三点确定一个平面，故①错．
②、不论是在空间中还是在平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故②正确．
③、如图所示：点A1、A、C到平面D1DBB1的距离都相等，但是平面A1ACC1与平面D1DBB1是相交关系，故③错．
④、如图所示：a⊥b、a⊥c，但是直线b、c相交，故④错．
故答案为：1个
【分析】①此命题考查的是公理3的内容：经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面．
②此命题考查的是平面的基本性质及推论：不论是在空间中还是在平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
③此命题考查的是平面与平面的位置关系．
④此命题考查的是空间中直线与直线之间的位置关系．
三、解答题
23．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AB，AA1的中点，求证：三条直线DA，CE，D1F交于一点．
【答案】证明：连接EF、CD1、BA1，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，
点E，F分别是棱AB，AA1的中点，∴EF∥BA1， ，
又A1D1∥B1C1，A1D1=B1C1∴四边形A1BCD1为平行四边形，∴BA1∥CD1BA1=CD1
∴EF∥CD1， ∴四边形是梯形，
∴D1F与CE的延长线交于一个点，设为O点，
则有O∈D1F，D1F 平面AD1，
∴O∈平面AD1，同理O∈平面AC，且平面AD1∩平面AC=AD
∴O∈AD，∴三条直线DA，CE，D1F交于一点．
【知识点】平面的基本性质及推论
【解析】【分析】欲证：三条直线DA，CE，D1F交于一点，先将其中一条直线看成是两个平面的交线，再证明另外两条直线的交点是这两个平面的公共点，由平面的基本性质，从而证得三条直线交于一点．
24．已知空间四边形ABCD，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是边BC、DC的三等分点（如图），
求证：
（1）对角线AC、BD是异面直线；
（2）直线EF和HG必交于一点，且交点在AC上．
【答案】（1）证明：假设对角线AC、BD在同一平面α内，
则A、B、C、D都在平面α内，这与ABCD是空间四边形矛盾，
∴AC、BD是异面直线．
（2）证明：∵E、H分别是AB、AD的中点，∴EH BD．
又F、G分别是BC、DC的三等分点，
∴FG BD．∴EH∥FG，且EH＜FG．
∴FE与GH相交．
设交点为O，又O在GH上，GH在平面ADC内，∴O在平面ADC内．
同理，O在平面ABC内．
从而O在平面ADC与平面ABC的交线AC上．
【知识点】平面的基本性质及推论；异面直线的判定
【解析】【分析】（1）利用反证法证明对角线AC、BD是共面直线，推出矛盾，从而证明是异面直；（2）说明直线EF和HG必交于一点，然后证明这点在平面ADC内．又在平面ABC内，必在它们的交线AC上．
25．求证：正四面体ABCD中相对的两棱（即异面的两棱）互相垂直．
【答案】证明：因为ABCD是正四面体，
各个面都是等边三角形，
取BC的中点E
∴AE⊥BC，DE⊥BC
∴BC⊥平面AED，
而AD 平面AED，
∴BC⊥AD，
同理可证AB⊥DC，AC⊥DB．
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【分析】因为ABCD是正四面体，各个面都是等边三角形，取BC的中点E，则有AE⊥BC，DE⊥BC，从而有BC⊥平面AED，易得结论．
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