人教新课标A版必修2数学2.3 直线、平面垂直的判定及其性质
一、选择题
1．（人教新课标A版必修2数学2.3 直线、平面垂直的判定及其性质）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是CD上的动点，则直线B1P与直线BC1所成的角等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
2．（人教新课标A版必修2数学2.3 直线、平面垂直的判定及其性质）在下列关于直线l、m与平面α、β的命题中，真命题是（ ）
A．若l β，且α⊥β，则l⊥α B．若l⊥β，且α∥β，则l⊥α
C．若α∩β=m，且l⊥m，则l∥α D．若l⊥β，且α⊥β，则l∥α
3．（人教新课标A版必修2数学2.3 直线、平面垂直的判定及其性质）设α、β、γ为平面，m、n、l为直线，则m⊥β的一个充分条件是（ ）
A．α⊥β，α∩β=l，m⊥l B．α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γ
C．α⊥γ，β⊥γ，m⊥α D．n⊥α，n⊥β，m⊥α
4．（人教新课标A版必修2数学2.3 直线、平面垂直的判定及其性质）一个棱锥的侧棱长都相等，那么这个棱锥（ ）
A．一定是正棱锥 B．一定不是正棱锥
C．是底面为圆内接多边形的棱锥 D．是底面为圆外切多边形的棱锥
5．（人教新课标A版必修2数学2.3 直线、平面垂直的判定及其性质）一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是（ ）
A．垂直 B．平行 C．相交不垂直 D．不确定
6．（人教新课标A版必修2数学2.3 直线、平面垂直的判定及其性质）有垂直于同一平面的两条直线（ ）
A．平行 B．垂直 C．相交 D．异面
7．（人教新课标A版必修2数学2.3 直线、平面垂直的判定及其性质）如图所示，AB⊥平面BCD，∠BCD=90°则图中互相垂直的平面有（ ）
A．3对 B．2对 C．1对 D．4对
8．（人教新课标A版必修2数学2.3 直线、平面垂直的判定及其性质）设l，m为两条不同的直线，α为一个平面，m∥α，则”l⊥α”是”l⊥m”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．（人教新课标A版必修2数学2.3 直线、平面垂直的判定及其性质）ABCD为正方形，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，则平面PAB与平面PBC，平面PAB与平面PAD的位置关系是（ ）
A．平面PAB与平面PAD，PBC垂直
B．它们都分别相交且互相垂直
C．平面PAB与平面PAD垂直，与平面PBC相交但不垂直
D．平面PAB与平面PBC垂直，与平面PAD相交但不垂直
10．（人教新课标A版必修2数学2.3 直线、平面垂直的判定及其性质）已知直线l及两个平面α、β，下列命题正确的是（ ）
A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l∥α，l∥β，则α⊥β
C．若l⊥α，l⊥β，则α∥β D．若l⊥α，l⊥β，则α⊥β
11．（人教新课标A版必修2数学2.3 直线、平面垂直的判定及其性质）已知：直线l⊥平面α，直线m 平面β，下面四个命题正确的是（ ）
A．α∥β l与m异面 B．l∥m α⊥β
C．α⊥β l∥m D．l⊥m α∥β
12．（人教新课标A版必修2数学2.3 直线、平面垂直的判定及其性质）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列4个命题中正确的个数为（ ）
①若m∥α，n α，则m∥n
②若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n③若m α，n β且m⊥n，则α⊥β
④若m，n是异面直线，m α，n β，m∥β，则n∥α
A．1 B．2 C．3 D．4
13．（人教新课标A版必修2数学2.3 直线、平面垂直的判定及其性质）下列命题中错误的是（ ）
A．如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于平面β
B．如果α⊥β，那么α内所有直线都垂直于平面β
C．如果平面α不垂直平面β，那么α内一定不存在直线垂直于平面β
D．如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，那么l⊥γ
14．（人教新课标A版必修2数学2.3 直线、平面垂直的判定及其性质）三棱锥P﹣ABC的高为PH，若三个侧面两两垂直，则H为△ABC的（ ）
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
15．（人教新课标A版必修2数学2.3 直线、平面垂直的判定及其性质）在空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，则△ABC的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
二、填空题
16．（人教新课标A版必修2数学2.3 直线、平面垂直的判定及其性质）如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的序号是 ．
①BD∥平面CB1D1；
②AC1⊥BD；
③AC1⊥平面CB1D1；
④异面直线AD与CB1所成角为60°．
17．（人教新课标A版必修2数学2.3 直线、平面垂直的判定及其性质）在正四棱锥P﹣ABCD中，PA= AB，M是BC的中点，G是△PAD的重心，则在平面PAD中经过G点且与直线PM垂直的直线有 条．
18．（人教新课标A版必修2数学2.3 直线、平面垂直的判定及其性质）EC垂直Rt△ABC的两条直角边，D是斜边AB的中点，AC=6，BC=8，EC=12，则DE的长为 ．
19．（人教新课标A版必修2数学2.3 直线、平面垂直的判定及其性质）如图，直线AB⊥平面BCD，∠BCD=90°，则图中直角三角形的个数为 ．
20．（人教新课标A版必修2数学2.3 直线、平面垂直的判定及其性质）设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是 ．
①若m α，n β，m∥n，则α∥β
②若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥α
③若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β
④若α⊥β，α∩β=n，m⊥n，则m⊥α
21．（人教新课标A版必修2数学2.3 直线、平面垂直的判定及其性质）在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P在AD上运动，设∠ABP=θ，将△ABP沿BP折起，使得平面ABP垂直于平面BPDC，AC长最小时θ的值为 ．
22．（人教新课标A版必修2数学2.3 直线、平面垂直的判定及其性质）斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AC=BC=2，∠A1AC=∠C1CB=60°，且平面ACC1A1⊥平面BCC1B1，则A1B的长度为 ．
三、解答题
23．（人教新课标A版必修2数学2.3 直线、平面垂直的判定及其性质）如如图，SD垂直于正方形ABCD所在的平面， ．
（1）求证：BC⊥SC；
（2）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SC所成角的大小．
24．（人教新课标A版必修2数学2.3 直线、平面垂直的判定及其性质）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC为等腰直角三角形，∠B=90°，D为棱BB1上一点，且平面DA1C⊥平面AA1C1C．
（1）求证：D点为棱BB1的中点；
（2）判断四棱锥A1﹣B1C1CD和C﹣A1ABD的体积是否相等，并证明．
25．（人教新课标A版必修2数学2.3 直线、平面垂直的判定及其性质）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为 的正方形，E为PC的中点，PB=PD．平面PBD⊥平面ABCD．
（1）证明：PA∥平面EDB．
（2）求三棱锥E﹣BCD与三棱锥P﹣ABD的体积比．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】连接A1D，B1C，则BC1⊥B1C，BC1⊥DC，B1C∩DC=C BC1⊥平面A1B1CD，B1P 平面A1B1CD，
∴BC1⊥B1P，即B1P与BC1所成的角等于90°．
故选D
【分析】连接A1D，B1C，可知BC1⊥平面A1B1CD，于是BC1⊥B1P．从而得出直线B1P与直线BC1所成的角．
2．【答案】B
【知识点】直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】A不正确，由面面垂直的性质定理可推出；C不正确，可能l α；
B正确，由线面垂直的定义和定理，面面平行的性质定理可推出；
D不正确，由面面垂直的性质定理可知，α∩β=m，且l⊥m，l⊥β，则l α；
故选B．
【分析】根据线面垂直的定义和定理，注意紧扣面面垂直的性质定理的条件逐项判断，分析可得答案．
3．【答案】D
【知识点】直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】α⊥β，α∩β=l，m⊥l，根据面面垂直的判定定理可知，缺少条件m α，故不正确；
α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γ，而α与β可能平行，也可能相交，则m与β不一定垂直，故不正确；
α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，而α与β可能平行，也可能相交，则m与β不一定垂直，故不正确；
n⊥α，n⊥β， α∥β，而m⊥α，则m⊥β，故正确
故选D
【分析】根据面面垂直的判定定理可知选项A是否正确，根据平面α与平面β的位置关系进行判定可知选项B和C是否正确，根据垂直于同一直线的两平面平行，以及与两平行平面中一个垂直则垂直于另一个平面，可知选项D正确．
4．【答案】C
【知识点】直线与平面垂直的判定
【解析】解答：如图，以四棱锥A﹣BCED为例，设顶点A在底面的射影为O
连接OB、OC、OE、OD，
∵AO⊥平面BCED，AB=AC=AE=AD
∴Rt△AOB≌Rt△AOC≌Rt△AOE≌Rt△AOD
∴OB=OC=OE=OD
以O为圆心，OB长为半径画圆，则C、E、D三点都在这个圆上
所以四边形BCED为圆内接四边形
对于其它棱锥的情况可以类似地进行证明
故选C
分析：根据线面垂直的有关定理，可由侧棱长相等推出它们在底面的射影长（各条线段）相等，由此可由顶点在底面的射影为圆心，某条射影线段长为半径画圆，则底面其它顶点都在这个圆上，由此不难选出正确答案．
5．【答案】A
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】一条直线和三角形的两边同时垂直，
根据直线与平面的判定定理可知，该直线垂直与三角形所在平面．
直线与平面垂直，根据线面垂直的性质可知与平面内任意一直线垂直．
故这条直线和三角形的第三边的位置关系是垂直．
故选A
【分析】根据直线与平面的判定定理可知，直线与平面内两相交直线垂直则垂直与这个平面，再根据线面垂直的性质可知，该直线垂直与平面内任意直线，从而得到结论．
6．【答案】A
【知识点】直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】根据直线与平面垂直的性质定理，垂直于同一平面的两条直线平行，
故选A．
【分析】根据直线与平面垂直的性质定理直接可得答案．
7．【答案】A
【知识点】直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】由AB⊥平面BCD，又AB 平面ABC、平面ABD，
所以平面ABC⊥平面BCD，平面ABD⊥平面BCD；
由AB⊥平面BCD可得：CD⊥AB，又CD⊥BC，所以CD⊥平面ABC，
又CD 平面ACD，故平面ABC⊥平面ACD．
故选A．
【分析】根据面面垂直的判定定理，条件AB⊥平面BCD，BC⊥CD，只需考虑AB所在平面与平面BCD之间的关系即可；由BC⊥CD，考虑BC、CD所在平面的垂直关系即可．
8．【答案】A
【知识点】直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】∵m∥α，则“l⊥α”时，“l⊥m”成立，
“l⊥m”时，l与α可能平行也可能相交，
故“l⊥α”是“l⊥m”的充分不必要条件
故选A
【分析】由线面垂直的性质，我们可以判断出“l⊥α”时，“l⊥m”是否成立，根据线面垂直的判定方法，及几何特征，我们可以判断“l⊥m”时，“l⊥α”是否成立，根据判断出的结论，结合充分必要条件的定义，即可得到答案．
9．【答案】A
【知识点】平面与平面垂直的判定
【解析】解答：由于BC⊥AB，由PA垂直于正方形ABCD所在平面，所以BC⊥PA，
易证BC⊥平面PAB，则平面PAB⊥平面PBC；又AD∥BC，故AD⊥平面PAB，
则平面PAD⊥平面PAB．
故选A．
分析：由于PA垂直于正方形ABCD所在平面，所以PA所在的平面与底面垂直，又ABCD为正方形，故又存在一些线线垂直关系，从而可以得到线面垂直，进而可以判定面面垂直．
10．【答案】C
【知识点】平面与平面平行的判定
【解析】【解答】因为平行与同一直线的两个平面可以是相交的也可以是平行的，故A，B错．
又因为垂直与同一直线的两个平面平行，故C对，D错．
故选 C．
【分析】因为平行与同一直线的两个平面可以是相交的也可以是平行的，故A，B错．再利用垂直与同一直线的两个平面平行可得结论C对，D错．即可得到答案．
11．【答案】B
【知识点】平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】由题意知直线l⊥平面α，直线m 平面β，
A选项，此选项中的命题不正确，因为根据α∥β可得出l⊥平面β，由于不能排除l与m相交的情况，故得不出两线异面的结论；
B选项，此选项中的命题正确，由题设条件知，l∥m可得出m⊥平面α，又直线m 平面β 故可得α⊥β
C选项，此选项中的命题错误，由α⊥β及直线l⊥平面α，可得，l∥β或直线l 平面β，故l与m相交、平行异面都有可能；
D选项，此选项错误，因为l⊥m，线l⊥平面α可得m∥α或直线m 平面α，故两平面相交平行都有可能，所以不正确，
综上，B选项中的命题是正确的
故选B
【分析】由题意，直线l⊥平面α，直线m 平面β，依次对四个选项中的命题进行判断，得出正确选项即可，A选项由线线的位置关系判断，B选项由面面垂直的条件判断，C选项由线面平行的条件判断，D选项由面面平行的条件判断．
12．【答案】A
【知识点】平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】若m∥α，n α，则m与n可能平行也可能异面，故①错误；
若α⊥β，m⊥α，则m∥β或m β，又由n⊥β，则m⊥n，故②正确；
若m α，n β且m⊥n，则α与β可能平行也可能相交，故③错误；
若m，n是异面直线，m α，n β，m∥β，则n与α可能平行也可能相交，故④错误；
故选A
【分析】根据空间中直线与直线位置关系的定义，我们可以判断①的对错；根据面面垂直，线面垂直的性质及线线垂直的定义，我们可以判断②的对错；根据面面垂直的判定方法我们能判断③的正误；根据线面平行的判定方法我们可以判断④的真假，进而得到答案．
13．【答案】B
【知识点】平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】如果α⊥β，则α内与两平面的交线平行的直线都平行于面β，故可推断出A命题正确．
B选项中α内与两平面的交线平行的直线都平行于面β，故B命题错误．
C根据平面与平面垂直的判定定理可知C命题正确．
D根据两个平面垂直的性质推断出D命题正确．
故选B
【分析】如果α⊥β，则α内与两平面的交线平行的直线都平行于面β，进而可推断出A命题正确；α内与两平面的交线平行的直线都平行于面β，故可判断出B命题错误；根据平面与平面垂直的判定定理可知C命题正确；根据两个平面垂直的性质推断出D命题正确．
14．【答案】C
【知识点】平面与平面垂直的性质
【解析】解答：如图所示，
三个侧面两两垂直，可看成正方体的一角，则AP⊥面PBC，
而BC 平面PBC∴AP⊥BC而PH⊥面ABC，BC 面ABC
∴PH⊥BC，又AP∩PH=P，
∴BC⊥面APH，而AH 面APH
∴AH⊥BC，同理可得CH⊥AB
故H为△ABC的垂心
故选：C
分析：先画出图形，三个侧面两两垂直，可看成正方体的一角，根据BC⊥面APH，而AH 面APH，推出AH⊥BC，同理可推出CH⊥AB，得到H为△ABC的垂心．
15．【答案】B
【知识点】直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的性质
【解析】解答：作AE⊥BD，交BD于E，
∵平面ABD⊥平面BCD
∴AE⊥面BCD，BC 面BCD
∴AE⊥BC，而DA⊥平面ABC，BC 平面ABC
∴DA⊥BC，又∵AE∩AD=A
∴BC⊥面ABD，而AB 面ABD
∴BC⊥AB即△ABC为直角三角形
故选B．
分析：作AE⊥BD，交BD于E，根据平面与平面垂直的性质定理可知AE⊥面BCD，再根据线面垂直的判定定理可知BC⊥面ABD，从而得到△ABC为直角三角形．
16．【答案】④
【知识点】直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】由正方体的性质得，BD∥B1D1，所以，BD∥平面CB1D1；故①正确．
由正方体的性质得 AC⊥BD，而AC是AC1在底面ABCD内的射影，由三垂线定理知，AC1⊥BD，故②正确．
由正方体的性质得 BD∥B1D1，由②知，AC1⊥BD，所以，AC1⊥B1D1，同理可证AC1⊥CB1，
故AC1垂直于平面CB1D1内的2条相交直线，所以，AC1⊥平面CB1D1，故③成立．
异面直线AD与CB1所成角就是BC与CB1所成角，故∠BCB1为异面直线AD与CB1所成角，
等腰直角三角形BCB1中，∠BCB1=45°，故④不正确．
故答案为：④．
【分析】利用正方体的性质，利用线线平行的判定，线面平行、垂直的判定和性质，逐一分析研究各个选项的正确性．
17．【答案】无数
【知识点】直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】设正四棱锥的底面边长为a，则侧棱长为 a．
由PM⊥BC，
∴PM= a．
连接PG并延长与AD相交于N点
则PN= a，MN=AB=a，
∴PM2+PN2=MN2，
∴PM⊥PN，又PM⊥AD，
∴PM⊥面PAD，
∴在平面PAD中经过G点的任意一条直线都与PM垂直．
故答案为无数．
【分析】根据正四棱锥P﹣ABCD中，PA= AB，M是BC的中点，利用勾股定理即可求出PM与AB的关系，利用勾股定理证明PM⊥PN，利用线面垂直的判定定理可证PM⊥面PAD，因此可求平面PAD中经过G点且与直线PM垂直的直线的条数．
18．【答案】13
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】如图，EC⊥AC，EC⊥CB，CB∩CA=C
∴EC⊥面ABC
而CD 面ABC
∴EC⊥CD
∵AC=6，BC=8，EC=12，△ABC是直角三角形，D是斜边AB的中点，
∴CD=5，ED= =13
故答案为：13．
【分析】由EC垂直Rt△ABC的两条直角边，可知EC⊥面ABC，再根据D是斜边AB的中点，AC=6，BC=8，可求得CD的长，根据勾股定理可求得DE的长．
19．【答案】4
【知识点】直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】由题意AB⊥平面BCD，由直线和平面垂直的定义
∴①AB⊥BC， △ABC是直角三角形
②AB⊥BD， △ABD是直角三角形
又 ③∠BCD=90°△BCD是直角三角形
④AB⊥平面BCD AB⊥DC，又BC⊥DC，
由直线和平面垂直的判定定理，得 DC⊥面ABC，
∴DC⊥AC △ACD是直角三角形
故答案为4．
【分析】将条件直线AB⊥平面BCD进行转化，线面垂直 线线垂直．易得△ABC是直角三角形，△ABD是直角三角形，再结合∠BCD=90° DC⊥面ABC △ACD是直角三角形．
20．【答案】②
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】①若m α，n β，m∥n，则α∥β或α与β相交，故不正确；
②若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥α，由n⊥α，n⊥β可得α∥β，又因m⊥β，所以m⊥α．故正确；
③若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β不正确，也可能平行；
④若α⊥β，α∩β=n，m⊥n，则m⊥α，不正确，缺少条件m β；
故答案为：②
【分析】对于①两平面可能相交，对于②面面平行的性质可知正确，对于③当两平面平行时也符合条件，对于④对照线面垂直的性质定理可知缺少条件．
21．【答案】45°
【知识点】平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】过A作AH⊥BP于H，连CH，∴AH⊥平面BCDP．
∴在Rt△ABH中，AH=3sinθ，BH=3cosθ．
在△BHC中，CH2=（3cosθ）2+42﹣2×4×3cosθ×cos（90°﹣θ），
∴在Rt△ACH中，
AC2=25﹣12sin2θ，
∴θ=45°时，AC长最小．
答案：45°
【分析】折叠问题要注意变与不变，观察图形将AC的长度用已知的量AB，AD，θ的三角函数表示出来．再根据其形式来进行运算求值．
22．【答案】
【知识点】平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】取CC1中点M连接A1M与BM，
∵斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AC=BC=2，∠A1AC=∠C1CB=60°，
∴三角形A1CC1是等边三角形，四边形ACC1A1≌四边形BCC1B1
∴A1M⊥CC1，
∴BM⊥CC1，
∴A1M=BM=
又平面ACC1A1⊥平面BCC1B1，
∴角A1MB是二面角的平面角，故其是直角
∴在直角三角形A1MB由勾股定理可算得
A1B=
故应填
【分析】取CC1中点M连接A1M与BM，在直角三角形A1MB中用勾股定理求得A1B的长度即可．
23．【答案】（1）证明：
所以，BC⊥SC
（2）取SB，CD，BC的中点分别为P，Q，R，连接MP，PQ，QR，PR
则 ，又
所以∠RPQ为异面直线DM，SC所成角或其补角
计算易得∠RPQ=60°，即异面直线DM，SC所成角为60°
【知识点】直线与平面垂直的性质
【解析】【分析】（1）由已知中SD垂直于正方形ABCD所在的平面，我们可得BC⊥CD，进而由面面垂直的性质得到BC⊥平面SDC，再由线面垂直的性质可得BC⊥SC；（2）取SB，CD，BC的中点分别为P，Q，R，连接MP，PQ，QR，PR，由三角形中位线定理可得DM∥PQ，PR∥SC，我们可得∠RPQ为异面直线DM，SC所成角或其补角，解三角形RPQ即可得到答案．
24．【答案】（1）过点D作DE⊥A1C于E点，取AC的中点F，连BF，EF．
∵面DA1C⊥面AA1C1C且相交于A1C，面DA1C内的直线DE⊥A1C，
∴DE⊥面AA1C1C．
又∵面BAC⊥面AA1C1C且相交于AC，且△ABC为等腰三角形，易知BF⊥AC，
∴BF⊥面AA1C1C．由此知：DE∥BF，从而有D，E，F，B共面，又易知BB1∥面AA1C1C，
故有DB∥EF，从而有EF∥AA1，又点F是AC的中点，
所以 ，所以D点为棱BB1的中点．
（2）相等．证明：ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，
∴BB1⊥A1B1，BB1⊥BC，
又A1B1⊥B1C1，BC⊥AB，
∴A1B1⊥平面B1C1CD，BC⊥平面A1ABD（9分）
∴
∵D为BB1中点，
∴ =
【知识点】平面与平面垂直的性质
【解析】分析：（1）过点D作DE⊥A1C于E点，取AC的中点F，连BF，EF，推出 ，即可证明D点为棱BB1的中点；（2）求出四棱锥A1﹣B1C1CD的底面面积和高，再计算C﹣A1ABD的体积，即可判断体积相等．
25．【答案】（1）证明：连A、C交BD于O，连O、E，因为底面是正方形，所以，O是AC的中点，
又因为E是PC的中点，所以OE是△PAC的中位线，所以，OE∥PA，
又因为OE 平面DEB，PA 平面DEB，所以PA∥平面DEB．
（2）因为E是PC的中点，所以，E到平面ABCD的距离是P到平面ABCD的距离的一半，△BCD与△ABD的面积相等，
所以， ．
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的性质
【解析】分析：（1）连A、C交BD于O，则OE是△PAC的中位线，可得OE∥PA，从而证明PA∥平面DEB．（2）E到平面ABCD的距离是P到平面ABCD的距离的一半，△BCD与△ABD的面积相等，故体积之比等于 ．
1 / 1人教新课标A版必修2数学2.3 直线、平面垂直的判定及其性质
一、选择题
1．（人教新课标A版必修2数学2.3 直线、平面垂直的判定及其性质）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是CD上的动点，则直线B1P与直线BC1所成的角等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】D
【知识点】直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】连接A1D，B1C，则BC1⊥B1C，BC1⊥DC，B1C∩DC=C BC1⊥平面A1B1CD，B1P 平面A1B1CD，
∴BC1⊥B1P，即B1P与BC1所成的角等于90°．
故选D
【分析】连接A1D，B1C，可知BC1⊥平面A1B1CD，于是BC1⊥B1P．从而得出直线B1P与直线BC1所成的角．
2．（人教新课标A版必修2数学2.3 直线、平面垂直的判定及其性质）在下列关于直线l、m与平面α、β的命题中，真命题是（ ）
A．若l β，且α⊥β，则l⊥α B．若l⊥β，且α∥β，则l⊥α
C．若α∩β=m，且l⊥m，则l∥α D．若l⊥β，且α⊥β，则l∥α
【答案】B
【知识点】直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】A不正确，由面面垂直的性质定理可推出；C不正确，可能l α；
B正确，由线面垂直的定义和定理，面面平行的性质定理可推出；
D不正确，由面面垂直的性质定理可知，α∩β=m，且l⊥m，l⊥β，则l α；
故选B．
【分析】根据线面垂直的定义和定理，注意紧扣面面垂直的性质定理的条件逐项判断，分析可得答案．
3．（人教新课标A版必修2数学2.3 直线、平面垂直的判定及其性质）设α、β、γ为平面，m、n、l为直线，则m⊥β的一个充分条件是（ ）
A．α⊥β，α∩β=l，m⊥l B．α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γ
C．α⊥γ，β⊥γ，m⊥α D．n⊥α，n⊥β，m⊥α
【答案】D
【知识点】直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】α⊥β，α∩β=l，m⊥l，根据面面垂直的判定定理可知，缺少条件m α，故不正确；
α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γ，而α与β可能平行，也可能相交，则m与β不一定垂直，故不正确；
α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，而α与β可能平行，也可能相交，则m与β不一定垂直，故不正确；
n⊥α，n⊥β， α∥β，而m⊥α，则m⊥β，故正确
故选D
【分析】根据面面垂直的判定定理可知选项A是否正确，根据平面α与平面β的位置关系进行判定可知选项B和C是否正确，根据垂直于同一直线的两平面平行，以及与两平行平面中一个垂直则垂直于另一个平面，可知选项D正确．
4．（人教新课标A版必修2数学2.3 直线、平面垂直的判定及其性质）一个棱锥的侧棱长都相等，那么这个棱锥（ ）
A．一定是正棱锥 B．一定不是正棱锥
C．是底面为圆内接多边形的棱锥 D．是底面为圆外切多边形的棱锥
【答案】C
【知识点】直线与平面垂直的判定
【解析】解答：如图，以四棱锥A﹣BCED为例，设顶点A在底面的射影为O
连接OB、OC、OE、OD，
∵AO⊥平面BCED，AB=AC=AE=AD
∴Rt△AOB≌Rt△AOC≌Rt△AOE≌Rt△AOD
∴OB=OC=OE=OD
以O为圆心，OB长为半径画圆，则C、E、D三点都在这个圆上
所以四边形BCED为圆内接四边形
对于其它棱锥的情况可以类似地进行证明
故选C
分析：根据线面垂直的有关定理，可由侧棱长相等推出它们在底面的射影长（各条线段）相等，由此可由顶点在底面的射影为圆心，某条射影线段长为半径画圆，则底面其它顶点都在这个圆上，由此不难选出正确答案．
5．（人教新课标A版必修2数学2.3 直线、平面垂直的判定及其性质）一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是（ ）
A．垂直 B．平行 C．相交不垂直 D．不确定
【答案】A
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】一条直线和三角形的两边同时垂直，
根据直线与平面的判定定理可知，该直线垂直与三角形所在平面．
直线与平面垂直，根据线面垂直的性质可知与平面内任意一直线垂直．
故这条直线和三角形的第三边的位置关系是垂直．
故选A
【分析】根据直线与平面的判定定理可知，直线与平面内两相交直线垂直则垂直与这个平面，再根据线面垂直的性质可知，该直线垂直与平面内任意直线，从而得到结论．
6．（人教新课标A版必修2数学2.3 直线、平面垂直的判定及其性质）有垂直于同一平面的两条直线（ ）
A．平行 B．垂直 C．相交 D．异面
【答案】A
【知识点】直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】根据直线与平面垂直的性质定理，垂直于同一平面的两条直线平行，
故选A．
【分析】根据直线与平面垂直的性质定理直接可得答案．
7．（人教新课标A版必修2数学2.3 直线、平面垂直的判定及其性质）如图所示，AB⊥平面BCD，∠BCD=90°则图中互相垂直的平面有（ ）
A．3对 B．2对 C．1对 D．4对
【答案】A
【知识点】直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】由AB⊥平面BCD，又AB 平面ABC、平面ABD，
所以平面ABC⊥平面BCD，平面ABD⊥平面BCD；
由AB⊥平面BCD可得：CD⊥AB，又CD⊥BC，所以CD⊥平面ABC，
又CD 平面ACD，故平面ABC⊥平面ACD．
故选A．
【分析】根据面面垂直的判定定理，条件AB⊥平面BCD，BC⊥CD，只需考虑AB所在平面与平面BCD之间的关系即可；由BC⊥CD，考虑BC、CD所在平面的垂直关系即可．
8．（人教新课标A版必修2数学2.3 直线、平面垂直的判定及其性质）设l，m为两条不同的直线，α为一个平面，m∥α，则”l⊥α”是”l⊥m”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】∵m∥α，则“l⊥α”时，“l⊥m”成立，
“l⊥m”时，l与α可能平行也可能相交，
故“l⊥α”是“l⊥m”的充分不必要条件
故选A
【分析】由线面垂直的性质，我们可以判断出“l⊥α”时，“l⊥m”是否成立，根据线面垂直的判定方法，及几何特征，我们可以判断“l⊥m”时，“l⊥α”是否成立，根据判断出的结论，结合充分必要条件的定义，即可得到答案．
9．（人教新课标A版必修2数学2.3 直线、平面垂直的判定及其性质）ABCD为正方形，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，则平面PAB与平面PBC，平面PAB与平面PAD的位置关系是（ ）
A．平面PAB与平面PAD，PBC垂直
B．它们都分别相交且互相垂直
C．平面PAB与平面PAD垂直，与平面PBC相交但不垂直
D．平面PAB与平面PBC垂直，与平面PAD相交但不垂直
【答案】A
【知识点】平面与平面垂直的判定
【解析】解答：由于BC⊥AB，由PA垂直于正方形ABCD所在平面，所以BC⊥PA，
易证BC⊥平面PAB，则平面PAB⊥平面PBC；又AD∥BC，故AD⊥平面PAB，
则平面PAD⊥平面PAB．
故选A．
分析：由于PA垂直于正方形ABCD所在平面，所以PA所在的平面与底面垂直，又ABCD为正方形，故又存在一些线线垂直关系，从而可以得到线面垂直，进而可以判定面面垂直．
10．（人教新课标A版必修2数学2.3 直线、平面垂直的判定及其性质）已知直线l及两个平面α、β，下列命题正确的是（ ）
A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l∥α，l∥β，则α⊥β
C．若l⊥α，l⊥β，则α∥β D．若l⊥α，l⊥β，则α⊥β
【答案】C
【知识点】平面与平面平行的判定
【解析】【解答】因为平行与同一直线的两个平面可以是相交的也可以是平行的，故A，B错．
又因为垂直与同一直线的两个平面平行，故C对，D错．
故选 C．
【分析】因为平行与同一直线的两个平面可以是相交的也可以是平行的，故A，B错．再利用垂直与同一直线的两个平面平行可得结论C对，D错．即可得到答案．
11．（人教新课标A版必修2数学2.3 直线、平面垂直的判定及其性质）已知：直线l⊥平面α，直线m 平面β，下面四个命题正确的是（ ）
A．α∥β l与m异面 B．l∥m α⊥β
C．α⊥β l∥m D．l⊥m α∥β
【答案】B
【知识点】平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】由题意知直线l⊥平面α，直线m 平面β，
A选项，此选项中的命题不正确，因为根据α∥β可得出l⊥平面β，由于不能排除l与m相交的情况，故得不出两线异面的结论；
B选项，此选项中的命题正确，由题设条件知，l∥m可得出m⊥平面α，又直线m 平面β 故可得α⊥β
C选项，此选项中的命题错误，由α⊥β及直线l⊥平面α，可得，l∥β或直线l 平面β，故l与m相交、平行异面都有可能；
D选项，此选项错误，因为l⊥m，线l⊥平面α可得m∥α或直线m 平面α，故两平面相交平行都有可能，所以不正确，
综上，B选项中的命题是正确的
故选B
【分析】由题意，直线l⊥平面α，直线m 平面β，依次对四个选项中的命题进行判断，得出正确选项即可，A选项由线线的位置关系判断，B选项由面面垂直的条件判断，C选项由线面平行的条件判断，D选项由面面平行的条件判断．
12．（人教新课标A版必修2数学2.3 直线、平面垂直的判定及其性质）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列4个命题中正确的个数为（ ）
①若m∥α，n α，则m∥n
②若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n③若m α，n β且m⊥n，则α⊥β
④若m，n是异面直线，m α，n β，m∥β，则n∥α
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】若m∥α，n α，则m与n可能平行也可能异面，故①错误；
若α⊥β，m⊥α，则m∥β或m β，又由n⊥β，则m⊥n，故②正确；
若m α，n β且m⊥n，则α与β可能平行也可能相交，故③错误；
若m，n是异面直线，m α，n β，m∥β，则n与α可能平行也可能相交，故④错误；
故选A
【分析】根据空间中直线与直线位置关系的定义，我们可以判断①的对错；根据面面垂直，线面垂直的性质及线线垂直的定义，我们可以判断②的对错；根据面面垂直的判定方法我们能判断③的正误；根据线面平行的判定方法我们可以判断④的真假，进而得到答案．
13．（人教新课标A版必修2数学2.3 直线、平面垂直的判定及其性质）下列命题中错误的是（ ）
A．如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于平面β
B．如果α⊥β，那么α内所有直线都垂直于平面β
C．如果平面α不垂直平面β，那么α内一定不存在直线垂直于平面β
D．如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，那么l⊥γ
【答案】B
【知识点】平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】如果α⊥β，则α内与两平面的交线平行的直线都平行于面β，故可推断出A命题正确．
B选项中α内与两平面的交线平行的直线都平行于面β，故B命题错误．
C根据平面与平面垂直的判定定理可知C命题正确．
D根据两个平面垂直的性质推断出D命题正确．
故选B
【分析】如果α⊥β，则α内与两平面的交线平行的直线都平行于面β，进而可推断出A命题正确；α内与两平面的交线平行的直线都平行于面β，故可判断出B命题错误；根据平面与平面垂直的判定定理可知C命题正确；根据两个平面垂直的性质推断出D命题正确．
14．（人教新课标A版必修2数学2.3 直线、平面垂直的判定及其性质）三棱锥P﹣ABC的高为PH，若三个侧面两两垂直，则H为△ABC的（ ）
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
【答案】C
【知识点】平面与平面垂直的性质
【解析】解答：如图所示，
三个侧面两两垂直，可看成正方体的一角，则AP⊥面PBC，
而BC 平面PBC∴AP⊥BC而PH⊥面ABC，BC 面ABC
∴PH⊥BC，又AP∩PH=P，
∴BC⊥面APH，而AH 面APH
∴AH⊥BC，同理可得CH⊥AB
故H为△ABC的垂心
故选：C
分析：先画出图形，三个侧面两两垂直，可看成正方体的一角，根据BC⊥面APH，而AH 面APH，推出AH⊥BC，同理可推出CH⊥AB，得到H为△ABC的垂心．
15．（人教新课标A版必修2数学2.3 直线、平面垂直的判定及其性质）在空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，则△ABC的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
【答案】B
【知识点】直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的性质
【解析】解答：作AE⊥BD，交BD于E，
∵平面ABD⊥平面BCD
∴AE⊥面BCD，BC 面BCD
∴AE⊥BC，而DA⊥平面ABC，BC 平面ABC
∴DA⊥BC，又∵AE∩AD=A
∴BC⊥面ABD，而AB 面ABD
∴BC⊥AB即△ABC为直角三角形
故选B．
分析：作AE⊥BD，交BD于E，根据平面与平面垂直的性质定理可知AE⊥面BCD，再根据线面垂直的判定定理可知BC⊥面ABD，从而得到△ABC为直角三角形．
二、填空题
16．（人教新课标A版必修2数学2.3 直线、平面垂直的判定及其性质）如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的序号是 ．
①BD∥平面CB1D1；
②AC1⊥BD；
③AC1⊥平面CB1D1；
④异面直线AD与CB1所成角为60°．
【答案】④
【知识点】直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】由正方体的性质得，BD∥B1D1，所以，BD∥平面CB1D1；故①正确．
由正方体的性质得 AC⊥BD，而AC是AC1在底面ABCD内的射影，由三垂线定理知，AC1⊥BD，故②正确．
由正方体的性质得 BD∥B1D1，由②知，AC1⊥BD，所以，AC1⊥B1D1，同理可证AC1⊥CB1，
故AC1垂直于平面CB1D1内的2条相交直线，所以，AC1⊥平面CB1D1，故③成立．
异面直线AD与CB1所成角就是BC与CB1所成角，故∠BCB1为异面直线AD与CB1所成角，
等腰直角三角形BCB1中，∠BCB1=45°，故④不正确．
故答案为：④．
【分析】利用正方体的性质，利用线线平行的判定，线面平行、垂直的判定和性质，逐一分析研究各个选项的正确性．
17．（人教新课标A版必修2数学2.3 直线、平面垂直的判定及其性质）在正四棱锥P﹣ABCD中，PA= AB，M是BC的中点，G是△PAD的重心，则在平面PAD中经过G点且与直线PM垂直的直线有 条．
【答案】无数
【知识点】直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】设正四棱锥的底面边长为a，则侧棱长为 a．
由PM⊥BC，
∴PM= a．
连接PG并延长与AD相交于N点
则PN= a，MN=AB=a，
∴PM2+PN2=MN2，
∴PM⊥PN，又PM⊥AD，
∴PM⊥面PAD，
∴在平面PAD中经过G点的任意一条直线都与PM垂直．
故答案为无数．
【分析】根据正四棱锥P﹣ABCD中，PA= AB，M是BC的中点，利用勾股定理即可求出PM与AB的关系，利用勾股定理证明PM⊥PN，利用线面垂直的判定定理可证PM⊥面PAD，因此可求平面PAD中经过G点且与直线PM垂直的直线的条数．
18．（人教新课标A版必修2数学2.3 直线、平面垂直的判定及其性质）EC垂直Rt△ABC的两条直角边，D是斜边AB的中点，AC=6，BC=8，EC=12，则DE的长为 ．
【答案】13
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】如图，EC⊥AC，EC⊥CB，CB∩CA=C
∴EC⊥面ABC
而CD 面ABC
∴EC⊥CD
∵AC=6，BC=8，EC=12，△ABC是直角三角形，D是斜边AB的中点，
∴CD=5，ED= =13
故答案为：13．
【分析】由EC垂直Rt△ABC的两条直角边，可知EC⊥面ABC，再根据D是斜边AB的中点，AC=6，BC=8，可求得CD的长，根据勾股定理可求得DE的长．
19．（人教新课标A版必修2数学2.3 直线、平面垂直的判定及其性质）如图，直线AB⊥平面BCD，∠BCD=90°，则图中直角三角形的个数为 ．
【答案】4
【知识点】直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】由题意AB⊥平面BCD，由直线和平面垂直的定义
∴①AB⊥BC， △ABC是直角三角形
②AB⊥BD， △ABD是直角三角形
又 ③∠BCD=90°△BCD是直角三角形
④AB⊥平面BCD AB⊥DC，又BC⊥DC，
由直线和平面垂直的判定定理，得 DC⊥面ABC，
∴DC⊥AC △ACD是直角三角形
故答案为4．
【分析】将条件直线AB⊥平面BCD进行转化，线面垂直 线线垂直．易得△ABC是直角三角形，△ABD是直角三角形，再结合∠BCD=90° DC⊥面ABC △ACD是直角三角形．
20．（人教新课标A版必修2数学2.3 直线、平面垂直的判定及其性质）设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是 ．
①若m α，n β，m∥n，则α∥β
②若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥α
③若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β
④若α⊥β，α∩β=n，m⊥n，则m⊥α
【答案】②
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】①若m α，n β，m∥n，则α∥β或α与β相交，故不正确；
②若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥α，由n⊥α，n⊥β可得α∥β，又因m⊥β，所以m⊥α．故正确；
③若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β不正确，也可能平行；
④若α⊥β，α∩β=n，m⊥n，则m⊥α，不正确，缺少条件m β；
故答案为：②
【分析】对于①两平面可能相交，对于②面面平行的性质可知正确，对于③当两平面平行时也符合条件，对于④对照线面垂直的性质定理可知缺少条件．
21．（人教新课标A版必修2数学2.3 直线、平面垂直的判定及其性质）在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P在AD上运动，设∠ABP=θ，将△ABP沿BP折起，使得平面ABP垂直于平面BPDC，AC长最小时θ的值为 ．
【答案】45°
【知识点】平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】过A作AH⊥BP于H，连CH，∴AH⊥平面BCDP．
∴在Rt△ABH中，AH=3sinθ，BH=3cosθ．
在△BHC中，CH2=（3cosθ）2+42﹣2×4×3cosθ×cos（90°﹣θ），
∴在Rt△ACH中，
AC2=25﹣12sin2θ，
∴θ=45°时，AC长最小．
答案：45°
【分析】折叠问题要注意变与不变，观察图形将AC的长度用已知的量AB，AD，θ的三角函数表示出来．再根据其形式来进行运算求值．
22．（人教新课标A版必修2数学2.3 直线、平面垂直的判定及其性质）斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AC=BC=2，∠A1AC=∠C1CB=60°，且平面ACC1A1⊥平面BCC1B1，则A1B的长度为 ．
【答案】
【知识点】平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】取CC1中点M连接A1M与BM，
∵斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AC=BC=2，∠A1AC=∠C1CB=60°，
∴三角形A1CC1是等边三角形，四边形ACC1A1≌四边形BCC1B1
∴A1M⊥CC1，
∴BM⊥CC1，
∴A1M=BM=
又平面ACC1A1⊥平面BCC1B1，
∴角A1MB是二面角的平面角，故其是直角
∴在直角三角形A1MB由勾股定理可算得
A1B=
故应填
【分析】取CC1中点M连接A1M与BM，在直角三角形A1MB中用勾股定理求得A1B的长度即可．
三、解答题
23．（人教新课标A版必修2数学2.3 直线、平面垂直的判定及其性质）如如图，SD垂直于正方形ABCD所在的平面， ．
（1）求证：BC⊥SC；
（2）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SC所成角的大小．
【答案】（1）证明：
所以，BC⊥SC
（2）取SB，CD，BC的中点分别为P，Q，R，连接MP，PQ，QR，PR
则 ，又
所以∠RPQ为异面直线DM，SC所成角或其补角
计算易得∠RPQ=60°，即异面直线DM，SC所成角为60°
【知识点】直线与平面垂直的性质
【解析】【分析】（1）由已知中SD垂直于正方形ABCD所在的平面，我们可得BC⊥CD，进而由面面垂直的性质得到BC⊥平面SDC，再由线面垂直的性质可得BC⊥SC；（2）取SB，CD，BC的中点分别为P，Q，R，连接MP，PQ，QR，PR，由三角形中位线定理可得DM∥PQ，PR∥SC，我们可得∠RPQ为异面直线DM，SC所成角或其补角，解三角形RPQ即可得到答案．
24．（人教新课标A版必修2数学2.3 直线、平面垂直的判定及其性质）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC为等腰直角三角形，∠B=90°，D为棱BB1上一点，且平面DA1C⊥平面AA1C1C．
（1）求证：D点为棱BB1的中点；
（2）判断四棱锥A1﹣B1C1CD和C﹣A1ABD的体积是否相等，并证明．
【答案】（1）过点D作DE⊥A1C于E点，取AC的中点F，连BF，EF．
∵面DA1C⊥面AA1C1C且相交于A1C，面DA1C内的直线DE⊥A1C，
∴DE⊥面AA1C1C．
又∵面BAC⊥面AA1C1C且相交于AC，且△ABC为等腰三角形，易知BF⊥AC，
∴BF⊥面AA1C1C．由此知：DE∥BF，从而有D，E，F，B共面，又易知BB1∥面AA1C1C，
故有DB∥EF，从而有EF∥AA1，又点F是AC的中点，
所以 ，所以D点为棱BB1的中点．
（2）相等．证明：ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，
∴BB1⊥A1B1，BB1⊥BC，
又A1B1⊥B1C1，BC⊥AB，
∴A1B1⊥平面B1C1CD，BC⊥平面A1ABD（9分）
∴
∵D为BB1中点，
∴ =
【知识点】平面与平面垂直的性质
【解析】分析：（1）过点D作DE⊥A1C于E点，取AC的中点F，连BF，EF，推出 ，即可证明D点为棱BB1的中点；（2）求出四棱锥A1﹣B1C1CD的底面面积和高，再计算C﹣A1ABD的体积，即可判断体积相等．
25．（人教新课标A版必修2数学2.3 直线、平面垂直的判定及其性质）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为 的正方形，E为PC的中点，PB=PD．平面PBD⊥平面ABCD．
（1）证明：PA∥平面EDB．
（2）求三棱锥E﹣BCD与三棱锥P﹣ABD的体积比．
【答案】（1）证明：连A、C交BD于O，连O、E，因为底面是正方形，所以，O是AC的中点，
又因为E是PC的中点，所以OE是△PAC的中位线，所以，OE∥PA，
又因为OE 平面DEB，PA 平面DEB，所以PA∥平面DEB．
（2）因为E是PC的中点，所以，E到平面ABCD的距离是P到平面ABCD的距离的一半，△BCD与△ABD的面积相等，
所以， ．
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的性质
【解析】分析：（1）连A、C交BD于O，则OE是△PAC的中位线，可得OE∥PA，从而证明PA∥平面DEB．（2）E到平面ABCD的距离是P到平面ABCD的距离的一半，△BCD与△ABD的面积相等，故体积之比等于 ．
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