江苏省南通市2023-2024学年高二上学期期末数学考试(含答案)

2023~2024学年（上）高二期末质量监测
数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名 准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效.
3.本卷满分为150分，考试时间为120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.数列的通项公式可能是（ ）
A. B. C. D.
2.圆和圆的位置关系为（ ）
A.相离 B.相交 C.外切 D.内切
3.某校文艺部有7名同学，其中高一年级3名，高二年级4名.从这7名同学中随机选3名组织校文艺汇演，则两个年级都至少有1名同学入选的选法种数为（ ）
A.12 B.30 C.34 D.60
4.已知是抛物线的焦点，点在上，则（ ）
A. B. C. D.
5.设是等比数列的前项和，若，则（ ）
A.48 B.90 C.96 D.162
6.已知椭圆，直线经过点与交于两点.若是线段的中点，则的方程为（ ）
A. B.
C. D.
7.已知平行六面体中，，则（ ）
A. B. C. D.
8.已知是双曲线的右焦点，直线与交于两点.若的周长为，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列等式中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10.已知曲线，则（ ）
A.关于原点对称 B.关于轴对称
C.关于直线对称 D.为的一个顶点
11.已知正方体的棱长为分别是棱的中点，则（ ）
A. B.是平面的一个法向量
C.共面 D.点到平面的距离为
12.已知数列中，.在和之间插入1个数，和之间插入2个数，和之间插入个数，，使得构成的新数列是等差数列，则（ ）
A.的公差为6
B.和之间插入的2个数是19和25
C.
D.
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.直线经过的定点坐标为__________.
14.写出符合下列两个条件的一个双曲线的标准方程为__________.
①实轴长为4；②渐近线方程为
15.第三届“一带一路”国际高峰论坛于2023年10月在北京召开，某记者与参会的5名代表一起合影留念（6今站成一排）.若记者不站两端，且代表甲与代表乙相邻的不同排法方式有__________种.
16.已知圆是上的两个动点，且.设，，则的最大值为__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（10分）
记为数列的前项和.
（1）若为等差数列，且，求的最小值；
（2）若为等比数列，且，求的值.
18.（12分）
如图，在正四棱柱中，分别为和的中点.
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
19.（12分）
在平面直角坐标系中，已知直线经过抛物线的焦点，与交于两点，与的准线交于点.
（1）求的值；
（2）若成等差数列，求.
20.（12分）
如图，在四棱锥中，平面，.
（1）求二面角的正弦值；
（2）在棱上确定一点，使异面直线与所成角的大小为，并求此时点到平面的距离.
21.（12分）
已知数列满足，数列的前项和满足.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和
22.（12分）
已知椭圆的左 右焦点分别为，过点作不与坐标轴垂直的直线交于两点，点的坐标为.
（1）证明：；
（2）设点关于轴的对称点为，求的面积的最大值.
2023~2024学年（上）高二期末质量监测数学
参考答案及评分标准
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C B C B D B A
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
题号 9 10 11 12
答案 BCD ACD BC ABD
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 14.或 14.144 15.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（10分）
【解】（1）设的公差为，
由条件，得
解得.
由，
解得或.
因为，所以的最小值为7.
（2）设的公比为，
由条件，得.
将代入，得.
所以，
所以.
18.（12分）
（1）【证】在正四棱柱中，以
为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系.
因为，则，
，
所以.
因为，
所以，即.
（2）【解】由，得.
设平面的法向量，
由即
令，得，即.
设直线与平面所成角的大小为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为.
19.（12分）
【解】（1）因为抛物线的焦点为，
所以，即
所以的方程为.
设直线的方程为，
由消得，
设，则.
又，所以，
所以.
（2）因为成等差数列，
所以，且，
即.
又，解得，
由，解得.
所以.
20.（12分）
【解】（1）以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系.
因为，
所以，
则.
设平面的法向量，
由即取.
设平面的法向量，
由即取.
设二面角的大小为，则
，
所以.
（2）设，则
.
因为异面直线与所成角的大小为，
所以，
解得.
此时，
所以点到平面的距离.
21.（12分）
【解】（1）由，得.
因为，所以，
所以，
所以是首项为2，公比为2的等比数列.
所以，即.
由，①
得，②
①-②，得，
即，
即.
当时，，所以，
所以，
因为符合上式，所以.
（2）由（1）知，.
所以
③
所以，④
③-④，得，
所以.
22.（12分）
（1）【证】由题意，.
设直线的方程为，
由消得.
设，
则.
要证.
即证直线的斜率之和.
因为，
而
所以得证，
所以的倾斜角互补，即.
（2）【解】由（1）及值圆的对称性可知，直线经过点.
设直线的方程为，
由消得.
设，
则且，即.
所以
所以.
又点到直线的距离为，
所以的面积
设，则，且.
当，即时，面积的最大值为.