【精品解析】人教新课标A版必修5数学1.1 正弦定理和余弦定理同步检测

人教新课标A版必修5数学1.1 正弦定理和余弦定理同步检测
一、选择题
1．在△ABC中， , , ,则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正弦定理
【解析】解答： ，
分析：由正弦定理公式可得 ，代入已知式子可得．
2．在△ABC中， 则B=（　　）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】C
【知识点】正弦定理
【解析】解答： ，
，故选C．
分析：由正弦定理知 ，故 ，代入已知式子可得．
3．已知 中, 的对边分别为 ，若 且 ,则 (　　)
A．2 B．4＋ C．4— D．
【答案】A
【知识点】正弦定理
【解析】解答：
，
由 可知, ,所以 , .
由正弦定理得 ,故选A.
分析：由两角和的正弦公式 ，代入已知式子可得 ，由正弦定理知 ，故 ，代入已知式子可得．
4．在△ABC中，已知a=2，b= ，∠C=15°，则∠A= （　　）。
A．30° B．45° C．60° D．120°
【答案】A
【知识点】余弦定理
【解析】解答：由余弦定理，得 = .∴
又由正弦定理，得sinA= ，
∵ b＞a时，∠B＞∠A，且0°＜∠A＜180°， ∴ ∠A=30°。
分析：由余弦定理，得 ，代入已知式子可得;
由正弦定理，得sinA= ，代入已知式子可得．
5．在△ABC中，已知 ，则 等于(　　)
A．6∶5∶4 B．7∶5∶3 C．3∶5∶7 D．4∶5∶6
【答案】B
【知识点】正弦定理的应用
【解析】解答 ，∴可令 ，
则 ，解得 .
分析：根据正弦定理 ,可得 ，解答此题只需找到a，b，c关系即可。
6．若△ABC的边角满足 ，则△ABC的形状是（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】D
【知识点】正弦定理的应用
【解析】解答：利用正弦定理化为角的关系可得
，
所以 ，
即 ，
即 ，
所以 ，结合角的范围知 或 ，即 或 ，即 或 ，可知△ABC为等腰或直角三角形.
分析：利用正弦定理化为角的关系,把角化边，由代入已知式子可得．
7．在△ABC中，如果 ，且B为锐角，试判断此三角形的形状（　　）。
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】C
【知识点】正弦定理的应用
【解析】解答：因为 ，所以 ，又因为B是锐角，所以
因为 ，所以 ，由正弦定理得 ，
即
所以cosC＝0，所以 所以 所以△ABC是等腰直角三角形。
分析：由对数运算性质可求得B，由 可得 .由代入已知式子可得．
8．若△ABC的内角A、B、C所对的边 满足 ，且 ，则 的值为（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【知识点】余弦定理
【解析】解答：由余弦定理，可得 ，可得 ，
解得 ，故选C.
分析：由余弦定理 ，由代入已知式子可得．
9．在 中，若 ，则边c的长度等于（　　）.
A． B． C． D．以上都不对
【答案】C
【知识点】余弦定理
【解析】解答： ：
代入化简 ，
分析：由余弦定理 ，由代入已知式子可得．
10．在 中，已知 , 则 为（　　）
A．等边三角形 B．等腰直角三角形
C．锐角非等边三角形 D．钝角三角形
【答案】B
【知识点】正弦定理的应用
【解析】解答： 由正弦定理得， ，在三角形中， ,
, 整理可得
,又 ,
,
是等腰直角三角形
分析：由正弦定理可以将 化为 ，由代入已知式子可得．
11．已知 ，则 的形状是（　　）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
【答案】B
【知识点】余弦定理的应用
【解析】解答：由余弦定理的推论可得 ，
，所以 ，即 为等腰三角形.故选B.
分析：由余弦定理的推论可得： ，由代入已知式子可得.
12． 中 的对边分别是 ，面积 ，则 的大小是（　　）
A．30° B．45° C．90° D．135°
【答案】B
【知识点】三角形中的几何计算
【解析】解答：由余弦定理的推论可得 ，
,将（1）（2）代入 ,化简得 ,因为 .
分析：由余弦定理的推论可得： 及三角形的面积公式 ，由代入已知式子可得．
13．在△ABC中，若最大角的正弦值是 ，则△ABC必是（　　）
A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形
【答案】C
【知识点】正弦定理的应用
【解析】解答：由题意可得最大角的的正弦值 ，所以最大值为 .
显然45°不合适，因为最大为45°，则不满足内角为180°，故只有最大角为135°，故 一定钝角三角形，故选C。
分析：由题意可得最大角为 ，反证法结合三角形的内角和可排除45°，可解此题。
14．在△ABC中，若 ，则△ABC的形状为（　　）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定
【答案】A
【知识点】正弦定理的应用
【解析】 解答：由题意可得 ，由正弦定理可得
所以 ，又 为钝角三角形。
分析：此题考查了正弦定理余弦定理的灵活应用，解决此类题型要注意冷静思考。
15．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】余弦定理的应用
【解析】 解答：由题意可得设顶角为C,
,由余弦定理可得 ，将 代入 化简可得 ,故选D.
分析：先由已知可得到三边之间的关系，再代入余弦定理解此题。
二、填空题
16．在△ABC中，已知 ，则此三角形的最大边的长为　 　．
【答案】
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】在△ABC中，大角对大边，故b为最大边长，A＝180°－(B＋C)＝
180°－(105°＋15°)＝60°.
据正弦定理 .
【分析】由正弦定理公式可得 ，代入已知式子可得．
17．△ABC中，C是直角， ，则 　 　.
【答案】
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】在△ABC中，由 得 ，利用正弦定理可得 ，又 ， ，故 ，即 ，解得 或 （舍去）.
【分析】由正弦定理公式可得 (R为外接圆的半径)， ,代入已知 式子可得．
18．在△ 中，角 所对的边分别为 ，已知 则 　 　
【答案】
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】在△ABC中， ，根据余弦定理可得： ，
【分析】由余弦定理公式可得 ，代入已知式子可得．
19．如图，在△ABC中，D为BC的中点， ，求 　 　
【答案】
【知识点】正弦定理的应用
【解析】【解答】在△ABC中，延长AD至E点，使AD=DE，在△ABE中， ，
，
由正弦定理得 ， .
∴AD的长为 .
【分析】构造直角三角形，根据正弦定理公式 ，代入已知式子可得．
20．在△ABC中， ，则 的最大值是　 　。
【答案】
【知识点】正弦定理的应用
【解析】【解答】在△ABC中，
【分析】根据正弦定理公式 ，代入已知式子可得．
三、解答题
21．在 中，已知 ，问：（1）求角B和 的值；（2）若 的边AB=5，求边AC的长．
（1）求角B和 的值；
（2）若 的边AB=5，求边AC的长．
【答案】（1）解：在△ABC中
,
（2）在△ABC中，由正弦定理得： ，
．
【解析】分析：（1）根据题意和同角三角函数的关系求得 和 的值，利用 ,求得B的大小，有因为A+B+C=π。（2）根据正弦定理可求。
22．在 中，角A、B、C所对应的边分别为 ．
（1）叙述并证明正弦定理
（2）设 ，求 的值．
【答案】（1）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对的正弦的比相等，
即： (R为外接圆的半径)。
有如下证明法：
a) 直角三角形中：sinA= ，sinB= ， sinC=1
即 c= ， c= ， c= ． ∴ = =
b) 斜三角形中
证明一：（等积法）在任意斜△ABC当中S△ABC=
两边同除以 即得： = =
证明二：（外接圆法）
如图所示，∠A＝∠D，∴ ，
同理 =2R， ＝2R
即：
（2）在△ABC中，因为 ，由正弦定理得： ,
又因为 ,则
解得 ,则 ，
【解析】分析：（1）通过三角函数定义法证明正弦定理即可。（2）在△ABC中，利用正弦定理、和差化积、诱导公式，二倍角公式即可求出 的值。
23．如图，在 中， 点D在BC边上，且 .
（1）求 ；
（2）求BD，AC的长．
【答案】（1）在 中，因为 cos∠ADC＝.
所以
（2）在 中，由正弦定理
在 中，由余弦定理得
所以 .
【解析】【分析】根据三角形边角之间的关系，结合余弦定理即可。
24．在 中，角 、 、 的对边分别是 ， ， 已知 .
（1）求 的值；
（2）若 求边 的值．
【答案】（1）由已知得 ，
由 得 ，∴ .
两边平方，得 .
（2）由 得
则由 得 .
由 得 (则
由余弦定理得 所以
【解析】分析：（1）根据诱导公式，二倍角公式和三角函数的平方关系，即可求出 .（2）在三角形当中，可得∠C的范围为 ，结合余弦定理即可。
25．如图，某海轮以30海里/时的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东60°，向北航行40分钟后到达B点，测得油井P在南偏东30°，海轮改为北偏东60°的航向再行驶80分钟到达C点. 求P、C间的距离.
【答案】解答：
由正弦定理得 ,
在
(海里)
答： 间的距离为 海里.
【解析】解答：
由正弦定理得 ,
在
(海里)
答： 间的距离为 海里.
分析：在 中，由正弦定理求得PB长，在 中，求得 间距离.
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一、选择题
1．在△ABC中， , , ,则 （　　）
A． B． C． D．
2．在△ABC中， 则B=（　　）
A． B． C． 或 D． 或
3．已知 中, 的对边分别为 ，若 且 ,则 (　　)
A．2 B．4＋ C．4— D．
4．在△ABC中，已知a=2，b= ，∠C=15°，则∠A= （　　）。
A．30° B．45° C．60° D．120°
5．在△ABC中，已知 ，则 等于(　　)
A．6∶5∶4 B．7∶5∶3 C．3∶5∶7 D．4∶5∶6
6．若△ABC的边角满足 ，则△ABC的形状是（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
7．在△ABC中，如果 ，且B为锐角，试判断此三角形的形状（　　）。
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
8．若△ABC的内角A、B、C所对的边 满足 ，且 ，则 的值为（　　）
A．1 B． C． D．
9．在 中，若 ，则边c的长度等于（　　）.
A． B． C． D．以上都不对
10．在 中，已知 , 则 为（　　）
A．等边三角形 B．等腰直角三角形
C．锐角非等边三角形 D．钝角三角形
11．已知 ，则 的形状是（　　）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
12． 中 的对边分别是 ，面积 ，则 的大小是（　　）
A．30° B．45° C．90° D．135°
13．在△ABC中，若最大角的正弦值是 ，则△ABC必是（　　）
A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形
14．在△ABC中，若 ，则△ABC的形状为（　　）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定
15．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
16．在△ABC中，已知 ，则此三角形的最大边的长为　 　．
17．△ABC中，C是直角， ，则 　 　.
18．在△ 中，角 所对的边分别为 ，已知 则 　 　
19．如图，在△ABC中，D为BC的中点， ，求 　 　
20．在△ABC中， ，则 的最大值是　 　。
三、解答题
21．在 中，已知 ，问：（1）求角B和 的值；（2）若 的边AB=5，求边AC的长．
（1）求角B和 的值；
（2）若 的边AB=5，求边AC的长．
22．在 中，角A、B、C所对应的边分别为 ．
（1）叙述并证明正弦定理
（2）设 ，求 的值．
23．如图，在 中， 点D在BC边上，且 .
（1）求 ；
（2）求BD，AC的长．
24．在 中，角 、 、 的对边分别是 ， ， 已知 .
（1）求 的值；
（2）若 求边 的值．
25．如图，某海轮以30海里/时的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东60°，向北航行40分钟后到达B点，测得油井P在南偏东30°，海轮改为北偏东60°的航向再行驶80分钟到达C点. 求P、C间的距离.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】正弦定理
【解析】解答： ，
分析：由正弦定理公式可得 ，代入已知式子可得．
2．【答案】C
【知识点】正弦定理
【解析】解答： ，
，故选C．
分析：由正弦定理知 ，故 ，代入已知式子可得．
3．【答案】A
【知识点】正弦定理
【解析】解答：
，
由 可知, ,所以 , .
由正弦定理得 ,故选A.
分析：由两角和的正弦公式 ，代入已知式子可得 ，由正弦定理知 ，故 ，代入已知式子可得．
4．【答案】A
【知识点】余弦定理
【解析】解答：由余弦定理，得 = .∴
又由正弦定理，得sinA= ，
∵ b＞a时，∠B＞∠A，且0°＜∠A＜180°， ∴ ∠A=30°。
分析：由余弦定理，得 ，代入已知式子可得;
由正弦定理，得sinA= ，代入已知式子可得．
5．【答案】B
【知识点】正弦定理的应用
【解析】解答 ，∴可令 ，
则 ，解得 .
分析：根据正弦定理 ,可得 ，解答此题只需找到a，b，c关系即可。
6．【答案】D
【知识点】正弦定理的应用
【解析】解答：利用正弦定理化为角的关系可得
，
所以 ，
即 ，
即 ，
所以 ，结合角的范围知 或 ，即 或 ，即 或 ，可知△ABC为等腰或直角三角形.
分析：利用正弦定理化为角的关系,把角化边，由代入已知式子可得．
7．【答案】C
【知识点】正弦定理的应用
【解析】解答：因为 ，所以 ，又因为B是锐角，所以
因为 ，所以 ，由正弦定理得 ，
即
所以cosC＝0，所以 所以 所以△ABC是等腰直角三角形。
分析：由对数运算性质可求得B，由 可得 .由代入已知式子可得．
8．【答案】C
【知识点】余弦定理
【解析】解答：由余弦定理，可得 ，可得 ，
解得 ，故选C.
分析：由余弦定理 ，由代入已知式子可得．
9．【答案】C
【知识点】余弦定理
【解析】解答： ：
代入化简 ，
分析：由余弦定理 ，由代入已知式子可得．
10．【答案】B
【知识点】正弦定理的应用
【解析】解答： 由正弦定理得， ，在三角形中， ,
, 整理可得
,又 ,
,
是等腰直角三角形
分析：由正弦定理可以将 化为 ，由代入已知式子可得．
11．【答案】B
【知识点】余弦定理的应用
【解析】解答：由余弦定理的推论可得 ，
，所以 ，即 为等腰三角形.故选B.
分析：由余弦定理的推论可得： ，由代入已知式子可得.
12．【答案】B
【知识点】三角形中的几何计算
【解析】解答：由余弦定理的推论可得 ，
,将（1）（2）代入 ,化简得 ,因为 .
分析：由余弦定理的推论可得： 及三角形的面积公式 ，由代入已知式子可得．
13．【答案】C
【知识点】正弦定理的应用
【解析】解答：由题意可得最大角的的正弦值 ，所以最大值为 .
显然45°不合适，因为最大为45°，则不满足内角为180°，故只有最大角为135°，故 一定钝角三角形，故选C。
分析：由题意可得最大角为 ，反证法结合三角形的内角和可排除45°，可解此题。
14．【答案】A
【知识点】正弦定理的应用
【解析】 解答：由题意可得 ，由正弦定理可得
所以 ，又 为钝角三角形。
分析：此题考查了正弦定理余弦定理的灵活应用，解决此类题型要注意冷静思考。
15．【答案】D
【知识点】余弦定理的应用
【解析】 解答：由题意可得设顶角为C,
,由余弦定理可得 ，将 代入 化简可得 ,故选D.
分析：先由已知可得到三边之间的关系，再代入余弦定理解此题。
16．【答案】
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】在△ABC中，大角对大边，故b为最大边长，A＝180°－(B＋C)＝
180°－(105°＋15°)＝60°.
据正弦定理 .
【分析】由正弦定理公式可得 ，代入已知式子可得．
17．【答案】
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】在△ABC中，由 得 ，利用正弦定理可得 ，又 ， ，故 ，即 ，解得 或 （舍去）.
【分析】由正弦定理公式可得 (R为外接圆的半径)， ,代入已知 式子可得．
18．【答案】
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】在△ABC中， ，根据余弦定理可得： ，
【分析】由余弦定理公式可得 ，代入已知式子可得．
19．【答案】
【知识点】正弦定理的应用
【解析】【解答】在△ABC中，延长AD至E点，使AD=DE，在△ABE中， ，
，
由正弦定理得 ， .
∴AD的长为 .
【分析】构造直角三角形，根据正弦定理公式 ，代入已知式子可得．
20．【答案】
【知识点】正弦定理的应用
【解析】【解答】在△ABC中，
【分析】根据正弦定理公式 ，代入已知式子可得．
21．【答案】（1）解：在△ABC中
,
（2）在△ABC中，由正弦定理得： ，
．
【解析】分析：（1）根据题意和同角三角函数的关系求得 和 的值，利用 ,求得B的大小，有因为A+B+C=π。（2）根据正弦定理可求。
22．【答案】（1）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对的正弦的比相等，
即： (R为外接圆的半径)。
有如下证明法：
a) 直角三角形中：sinA= ，sinB= ， sinC=1
即 c= ， c= ， c= ． ∴ = =
b) 斜三角形中
证明一：（等积法）在任意斜△ABC当中S△ABC=
两边同除以 即得： = =
证明二：（外接圆法）
如图所示，∠A＝∠D，∴ ，
同理 =2R， ＝2R
即：
（2）在△ABC中，因为 ，由正弦定理得： ,
又因为 ,则
解得 ,则 ，
【解析】分析：（1）通过三角函数定义法证明正弦定理即可。（2）在△ABC中，利用正弦定理、和差化积、诱导公式，二倍角公式即可求出 的值。
23．【答案】（1）在 中，因为 cos∠ADC＝.
所以
（2）在 中，由正弦定理
在 中，由余弦定理得
所以 .
【解析】【分析】根据三角形边角之间的关系，结合余弦定理即可。
24．【答案】（1）由已知得 ，
由 得 ，∴ .
两边平方，得 .
（2）由 得
则由 得 .
由 得 (则
由余弦定理得 所以
【解析】分析：（1）根据诱导公式，二倍角公式和三角函数的平方关系，即可求出 .（2）在三角形当中，可得∠C的范围为 ，结合余弦定理即可。
25．【答案】解答：
由正弦定理得 ,
在
(海里)
答： 间的距离为 海里.
【解析】解答：
由正弦定理得 ,
在
(海里)
答： 间的距离为 海里.
分析：在 中，由正弦定理求得PB长，在 中，求得 间距离.
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