人教新课标A版必修2数学4.2 直线、圆的位置关系同步检测
一、选择题
1．圆 与 轴相交于 两点，则弦 所对的圆心角的大小为( )
A． B． C． D．
2．过点 可作圆 的两条切线，则实数a的取值范围为（ ）
A． 或 B．
C． 或 D． 或
3．若过点 的直线 与圆 的圆心的距离记为 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．直线 与圆 相交于A、B两点，则AB的长度等于（ ）
A．1 B． C． D．
5．直线y=x+b与曲线 有且只有一个交点，则 的取值范围是 （ ）
A． B． 或
C． 或 D．
6．若直线 过点 ，斜率为1，圆 上恰有1个点到 的距离为1，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
7．圆 与直线 的交点个数是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．与m有关
8．设点 ，若在圆 上存在点 ，使得 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
9．如果直线l将圆： 平分，且不通过第四象限，那么l的斜率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．圆x2+y2+2x=0和x2+y2﹣4y=0的公共弦所在直线方程为（ ）
A．x﹣2y=0 B．x+2y=0 C．2x﹣y=0 D．2x+y=0
11．过点 与圆 相交的所有直线中，被圆截得的弦最长的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
12．从直线l：x＋y＝1上一点P向圆C：x2＋y2＋4x＋4y＋7＝0引切线，则切线长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
13．一条光线从点 射出，经 轴反射后与圆 相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
14．已知圆C的半径为 ，圆心在 轴的正半轴上，直线 与圆C相切，则圆C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
15．曲线 与直线 有两个不同的交点时，实数k的取值范围是 （ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
16．直线 被曲线 截得的弦长等于 ．
17．过圆 内一点 作两条相互垂直的弦 , 当 时, 四边形 的面积为 .
18．圆 ，过点 的直线 与圆相交于 两点， ,则直线 的方程是 ．
19．若经过点 的直线与圆 相切，则圆心坐标是 ；半径为 ；切线在 轴上的截距是 ．
20．已知点 关于直线 的对称点为 ，则圆 ： 关于直线 对称的圆 的方程为 ；圆 与圆 的公共弦的长度为
三、解答题
21．已知已知圆 经过 、 两点，且圆心C在直线 上，求解：
（1）求圆C的方程；
（2）若直线 与圆 C 总有公共点，求实数 K 的取值范围.
22．已知圆 的圆心为原点 ，且与直线 相切。
（1）求圆 的方程；
（2）过点 (8,6)引圆O的两条切线 ，切点为 ，求直线 的方程.
23．设直线 和圆 相交于点 。
（1）求弦 的垂直平分线方程；
（2）求弦 的长。
24．如图，已知过点 的光线，经 轴上一点 反射后的射线 过点 .
（1）求点 的坐标；
（2）若圆 过点 且与 轴相切于点 ，求圆 的方程.
25．已知圆心在 轴上的圆 过点 和 ，圆 的方程为 ．
（1）求圆 的方程；
A．设 ， ， 依题意得，圆 的圆心为线段 的垂直平分线 与 轴的交点 ． 因为直线 的方程为 ，即 ， 所以圆心 的坐标为 ． 所以圆 的方程为 ．
（2）由圆 上的动点 向圆 作两条切线分别交 轴于 ， 两点，求 的取值范围．
A．设圆 上的动点 的坐标为 ， 则 ， 即 ， 解得 ． 设点 ， ， 则直线 ： ，即 ， 因为直线 与圆 相切，所以 ， 化简得 ． ① 同理得 ， ② 由①②知 ， 为方程 的两根， 即 所以 ． 因为 ， 所以 ． 令 ，因为 ，所以 ． 所以 ， 当 时， ， 当 时， ． 所以 的取值范围为 ．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】直线与圆相交的性质
【解析】解答：由题可知，根据圆的标准方程 ，令 ，解得
，因此 , ,在 中，
, , ,因此 为直角三角形，
即 ,故弦 所对的圆心角的大小为 ,故选D.
分析：本题主要考查了直线与圆相交的性质，解决问题的关键是根据所给条件求出交点坐标，然后运用勾股定理计算即可.
2．【答案】D
【知识点】圆的切线方程
【解析】解答：圆 的圆心（a，0）且 而且（a，a）在圆外， 或 故选D
分析：本题主要考查了圆的切线方程，解决问题的关键是根据国A点的切线条数得到关于a的不等式，计算即可.
3．【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】解答：由已知，点 在圆 外，当直线 经过圆心 时，圆心到直线 的距离最小为0，圆心到点 的距离，是圆心到直线 的最大距离，此时 ，故选 .
分析：本题主要考查了直线与圆的位置关系，解决问题的关键是根据直线与圆的位置关系运用点到直线的距离公式计算即可.
4．【答案】D
【知识点】直线与圆相交的性质
【解析】解答：根据题意可知圆心到直线的距离是 ，根据圆中的特殊三角形，可知半弦长 ，所以弦长为 ，故选D.
分析：本题主要考查了直线与圆相交的性质，解决问题的关键是根据直线与圆相交运用有关公式计算弦长即可.
5．【答案】B
【知识点】直线与圆相交的性质
【解析】解答：由 ，可得，曲线方程表示一个在y轴右边的单位圆的一半，
则圆心坐标为（0，0），圆的半径r=1，
画出相应的图形，如图所示：
∵当直线y=x+b过（0，-1）时，把（0，-1）代入直线方程得：b=-1，
当直线y=x+b过（0，1）时，把（0，1）代入直线方程得：b=1，
∴当-1＜b≤1时，直线y=x+b与半圆只有一个交点时，
又直线y=x+b与半圆相切时，圆心到直线的距离d=r，即 ，
解得：b= （舍去）或b=- ，
综上，直线与曲线只有一个交点时，b的取值范围为-1＜b≤1或b=- ．故选B
分析：本题主要考查了直线与圆相交的性质，解决问题的关键是根据直线与圆的交点个数进行分析，利用待定系数法确定一次函数解析式，以及点到直线的距离公式；利用了数形结合的思想，根据题意得出此曲线表示在y轴右边的单位圆的一半，并画出相应的图形是解本题的关键.
6．【答案】B
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】解答：圆上有1个点到直线l的距离为1， 圆心到直线的距离等于3，圆心（0，0）到直线l：y=x+a的距离为 ,解得 ，故选B.
分析：本题主要考查了直线与圆的位置关系，解决问题的关键是解决本题的关键是求出圆心到直线的距离为3.
7．【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】把直线 化为
，令 ， ，解得 ，直线 过定点
，把 代入 ，说明定点 在圆内，则直线与圆必有2个交点.
【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，解决问题的关键是通过分析发现直线横过定点在圆内，然后得到直线与圆相交.
8．【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】解答：依题意，直线MN与圆 有公共点即可，即圆心 到直线MN的距离小于等于1即可，过 作 MN，垂足为A，在 中，因为 ，故 ，所以 ，则 ，解得 ．
分析：本题主要考查了直线与圆的位置关系，依题意，直线MN与圆 有公共点即可，即圆心 到直线MN的距离小于等于1即可，过 作 MN，垂足为A，然后根据有关条件通过解直角三角形解决问题.
9．【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】直线l将圆：x2+y2﹣2x﹣4y=0平分，直线过圆心，圆的方程可知圆心（1，2），且不通过第四象限，斜率最大值是2，排除B、C、D．
故选A．
【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，解决问题的关键是根据直线与圆的位置关系得到直线过点（1，2），且不通过第四象限，斜率最大值是2，运用排除方法得到选项.
10．【答案】B
【知识点】圆系方程；相交弦所在直线的方程
【解析】【解答】经过圆x2+y2+2x=0和x2+y2﹣4y=0的公共点的圆系方程为：x2+y2+2x+λ（x2+y2﹣4y）=0
令λ=﹣1，可得公共弦所在直线方程：x+2y=0
故选B
【分析】本题主要考查了相交弦所在直线的方程、圆系方程，解决问题的关键是根据所给两圆的方程运用圆系知识求解即可.
11．【答案】C
【知识点】直线和圆的方程的应用
【解析】解答：根据题意，由于过点 与圆 相交的所有直线中，被圆截得的弦最长的直线就是圆心与点P的连线的直线，即斜率为-1，那么根据点斜式方程可知，方程为 ，故可知结论为C.
分析：本题主要考查了直线和圆的方程的应用，解决问题的关键是根据直线和圆的位置关系进行发现得到所求直线方程即可.
12．【答案】C
【知识点】圆的切线方程
【解析】解答：圆的方程转化为 ，圆心 到直线的距离 ， 最短的切线长为
分析：本题主要考查了圆的切线方程，解决问题的关键是根据弦心距及圆的半径通过勾股定理计算即可.
13．【答案】D
【知识点】圆的切线方程；直线和圆的方程的应用
【解析】解答：由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点 ，设反射光线所在直线的斜率为 ，则反身光线所在直线方程为： ，即： .
又因为光线与圆相切， 所以， ,
整理： ，解得： ，或 ,故选D．
分析：本题主要考查了圆的切线方程、直线和圆的方程的应用，解决问题的关键是根据由光的反射原理知，计算反射光线所在方程根据直线与圆相切求解反射光线斜率.
14．【答案】D
【知识点】直线和圆的方程的应用
【解析】解答：设圆心C(a，0）(a>0),则圆的标准方程为: ,由题意圆心到直线距离等于半径得: ,解得: (不合,舍去), ,整理得, ,故选D.
分析：本题主要考查了直线和圆的方程的应用，解决问题的关键是根据所求圆满足的条件进行计算即可.
15．【答案】A
【知识点】直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】因为曲线 表示的图形是一个半圆. 直线 表示恒过点（2,4）的直线.如图所示.因为E(-2，1)，A(2，4).所以 .因为直线AC与圆相切.由圆心到直线的距离为半径可得. .解得 .所以符合题意的实数k的取值范围是 .故选A.
【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系、直线与圆相交的性质，解决问题的关键是通过所给直线恒过点及直线与圆的相交关系构造方程，通过数形结合进行计算计算即可.
16．【答案】
【知识点】直线与圆相交的性质
【解析】【解答】 ，圆心为 ，半径为5，圆心到直线的距离为 ，所以弦长为 .
【分析】本题主要考查了直线与圆相交的性质，解决问题的关键是根据直线与圆相交运用弦心距公式计算即可.
17．【答案】6
【知识点】直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】设弦 的中点分别为 ，连接 ，则 ，由 ，则四边形 为正方形，且 ，所以 ，在直角三角形 中， ，故 ，所以四边形 的面积为 ．
【分析】本题主要考查了直线和圆的方程的应用，解决问题的关键是根据直线与圆相交的性质结合有关几何性质进行分析计算即可.
18．【答案】 或
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】 半径为 ，因为，过点 的直线 与圆相交于 两点， ,所以，圆心C到直线l距离为1，x=2 是所求直线之一；设L的另一方程为 ，由 ，得 ，所以， ，综上知，直线 的方程是 或 .
【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，解决问题的关键是根据直线与圆相交的有关几何关系得到所求直线斜率然后得到其对应直线方程.
19．【答案】；； .
【知识点】圆的切线方程
【解析】【解答】根据题意，圆的方程可化为 ，所以其圆心坐标为 ，半径为 ，设圆的切线方程为 ，即 ，应用圆心到直线的距离为半径，得 ，整理得 ，即 ，解得 ，所以直线在 轴上的截距是 ．
【分析】本题主要考查了圆的切线方程，解决问题的关键是根据直线与圆相切的有关性质进行计算得到切线方程，然后解决有关问题.
20．【答案】；
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】解答因为圆 的方程为 ，所以 ，其圆心为 ，半径为 ，又因为点 关于直线 的对称点为 ，所以令 可得，其关于直线 的对称点为 ，所以圆 ： 关于直线 对称的圆 的圆心为 ，半径为 ，即圆 ： ；圆 与圆 的圆心的距离为 ，所以公共弦的长度为 ，故应填 ； ．
【分析】本题主要考查了圆与圆的位置关系、直线与圆的位置关系，解决问题的关键是通过取值得到P点坐标及其关于直线l的对称点的坐标，进而得到对称圆方程，通过两圆公共弦计算解决问题.
21．【答案】（1）解：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则
所以⊙C方程为x2+y2-6x-8y+24=0.
（2）由
(1+k2)x2 (6+2k)x+9＝0
因为直线y=kx+3与⊙C总有公共点，则△=（6+2k）2-36（1+k2）≥0解得0≤k≤．
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，由⊙C经过点A（2，4）、B（3，5）两点，且圆心C在直线2x-y-2=0上，构造关于D，E，F的三元一次方程组，解方程组后可得⊙C的方程；
（2）若直线y=kx+3与⊙C总有公共点，则联立直线和圆的方程后，所得方程有根，即对应的△≥0，解不等式可得实数k的取值范围
22．【答案】（1）依题意得：圆 的半径 ，
所以圆 的方程为 。
（2） 是圆 的两条切线， 。 在以 为直径的圆上。点 的坐标为 ，则线段 的中点坐标为 。
以 为直径的圆方程为
化简得： , 为两圆的公共弦，
直线 的方程为 即 。
【知识点】圆的切线方程；直线与圆的位置关系；相交弦所在直线的方程
【解析】
分析：本题主要考查了圆的切线方程、直线与圆的位置关系、相交弦所在直线的方程，解决问题的关键是(1)根据弦心距关系求得半径即可解决问题；(2)根据 是圆 的两条切线，得到 ，所以 在以 为直径的圆上，根据所给条件可得一 为直径的圆方程为 ,联立两圆方程可得公共弦所在直线方程，
23．【答案】（1）圆方程可整理为： ，
所以，圆心坐标为 ，半径 ，
易知弦 的垂直平分线过圆心，且与直线 垂直，
而 ，所以，由点斜式方程可得： ，
整理得： 。即 的垂直平分线的方程为
（2）圆心 到直线 的距离 ，
故 。弦 的长为 。
【知识点】直线与圆相交的性质；相交弦所在直线的方程
【解析】【分析】本题主要考查了直线与圆相交的性质；相交弦所在直线的方程，解决问题的关键是根据所给直线与圆的性质求得AB的垂直平分线的方程即可；根据弦心距关系计算弦长即可.
24．【答案】（1）由光线的反射角与入射角相等可知，
点 关于 轴对称点 在射线 ，
射线 所在的直线方程为 ，
即 ，令 ，则 ，
点 的坐标为 .
（2）设圆 的方程为 ，
圆 与 轴相切于点 ，
，
圆 过点 ，
，
解得 ，
圆 的方程为 .
【知识点】直线和圆的方程的应用
【解析】分析：本题主要考查了直线和圆的方程的应用，解决问题的关键是（1）点 关于 轴对称点 在射线 ，所以先求入射光线所在直线的方程，然后再求与 轴的交点;（2）首先设圆的标准方程为 ，然后与 轴相切于点 得到圆心的纵坐标与半径相等，圆心的横坐标等于-1，又过点 ,代入求得圆的方程.
25．【答案】（1）设 ， ，
依题意得，圆 的圆心为线段 的垂直平分线 与 轴的交点 ．
因为直线 的方程为 ，即 ，
所以圆心 的坐标为 ．
所以圆 的方程为 ．
（2）设圆 上的动点 的坐标为 ，
则 ，
即 ，
解得 ．
设点 ， ，
则直线 ： ，即 ，
因为直线 与圆 相切，所以 ，
化简得 ． ①
同理得 ， ②
由①②知 ， 为方程 的两根，
即
所以
．
因为 ，
所以
．
令 ，因为 ，所以 ．
所以 ，
当 时， ，
当 时， ．
所以 的取值范围为 ．
【知识点】圆方程的综合应用
【解析】 分析：本题主要考查了圆方程的综合应用，解决问题的关键是（1）先设圆的标准方程，再利用已知条件可得 和 的值，即可得圆 的方程；（2）先设圆 上的动点 的坐标为 ，则可得 的取值范围，再写出 ， 的方程，可得 和 的坐标，进而可得 ，利用函数的单调性，可得 的最大值和最小值，即可得 的取值范围．
（1） 分析：本题主要考查了圆方程的综合应用，解决问题的关键是（1）先设圆的标准方程，再利用已知条件可得 和 的值，即可得圆 的方程；（2）先设圆 上的动点 的坐标为 ，则可得 的取值范围，再写出 ， 的方程，可得 和 的坐标，进而可得 ，利用函数的单调性，可得 的最大值和最小值，即可得 的取值范围．
（2） 分析：本题主要考查了圆方程的综合应用，解决问题的关键是（1）先设圆的标准方程，再利用已知条件可得 和 的值，即可得圆 的方程；（2）先设圆 上的动点 的坐标为 ，则可得 的取值范围，再写出 ， 的方程，可得 和 的坐标，进而可得 ，利用函数的单调性，可得 的最大值和最小值，即可得 的取值范围．
1 / 1人教新课标A版必修2数学4.2 直线、圆的位置关系同步检测
一、选择题
1．圆 与 轴相交于 两点，则弦 所对的圆心角的大小为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直线与圆相交的性质
【解析】解答：由题可知，根据圆的标准方程 ，令 ，解得
，因此 , ,在 中，
, , ,因此 为直角三角形，
即 ,故弦 所对的圆心角的大小为 ,故选D.
分析：本题主要考查了直线与圆相交的性质，解决问题的关键是根据所给条件求出交点坐标，然后运用勾股定理计算即可.
2．过点 可作圆 的两条切线，则实数a的取值范围为（ ）
A． 或 B．
C． 或 D． 或
【答案】D
【知识点】圆的切线方程
【解析】解答：圆 的圆心（a，0）且 而且（a，a）在圆外， 或 故选D
分析：本题主要考查了圆的切线方程，解决问题的关键是根据国A点的切线条数得到关于a的不等式，计算即可.
3．若过点 的直线 与圆 的圆心的距离记为 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】解答：由已知，点 在圆 外，当直线 经过圆心 时，圆心到直线 的距离最小为0，圆心到点 的距离，是圆心到直线 的最大距离，此时 ，故选 .
分析：本题主要考查了直线与圆的位置关系，解决问题的关键是根据直线与圆的位置关系运用点到直线的距离公式计算即可.
4．直线 与圆 相交于A、B两点，则AB的长度等于（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【知识点】直线与圆相交的性质
【解析】解答：根据题意可知圆心到直线的距离是 ，根据圆中的特殊三角形，可知半弦长 ，所以弦长为 ，故选D.
分析：本题主要考查了直线与圆相交的性质，解决问题的关键是根据直线与圆相交运用有关公式计算弦长即可.
5．直线y=x+b与曲线 有且只有一个交点，则 的取值范围是 （ ）
A． B． 或
C． 或 D．
【答案】B
【知识点】直线与圆相交的性质
【解析】解答：由 ，可得，曲线方程表示一个在y轴右边的单位圆的一半，
则圆心坐标为（0，0），圆的半径r=1，
画出相应的图形，如图所示：
∵当直线y=x+b过（0，-1）时，把（0，-1）代入直线方程得：b=-1，
当直线y=x+b过（0，1）时，把（0，1）代入直线方程得：b=1，
∴当-1＜b≤1时，直线y=x+b与半圆只有一个交点时，
又直线y=x+b与半圆相切时，圆心到直线的距离d=r，即 ，
解得：b= （舍去）或b=- ，
综上，直线与曲线只有一个交点时，b的取值范围为-1＜b≤1或b=- ．故选B
分析：本题主要考查了直线与圆相交的性质，解决问题的关键是根据直线与圆的交点个数进行分析，利用待定系数法确定一次函数解析式，以及点到直线的距离公式；利用了数形结合的思想，根据题意得出此曲线表示在y轴右边的单位圆的一半，并画出相应的图形是解本题的关键.
6．若直线 过点 ，斜率为1，圆 上恰有1个点到 的距离为1，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】解答：圆上有1个点到直线l的距离为1， 圆心到直线的距离等于3，圆心（0，0）到直线l：y=x+a的距离为 ,解得 ，故选B.
分析：本题主要考查了直线与圆的位置关系，解决问题的关键是解决本题的关键是求出圆心到直线的距离为3.
7．圆 与直线 的交点个数是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．与m有关
【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】把直线 化为
，令 ， ，解得 ，直线 过定点
，把 代入 ，说明定点 在圆内，则直线与圆必有2个交点.
【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，解决问题的关键是通过分析发现直线横过定点在圆内，然后得到直线与圆相交.
8．设点 ，若在圆 上存在点 ，使得 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】解答：依题意，直线MN与圆 有公共点即可，即圆心 到直线MN的距离小于等于1即可，过 作 MN，垂足为A，在 中，因为 ，故 ，所以 ，则 ，解得 ．
分析：本题主要考查了直线与圆的位置关系，依题意，直线MN与圆 有公共点即可，即圆心 到直线MN的距离小于等于1即可，过 作 MN，垂足为A，然后根据有关条件通过解直角三角形解决问题.
9．如果直线l将圆： 平分，且不通过第四象限，那么l的斜率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】直线l将圆：x2+y2﹣2x﹣4y=0平分，直线过圆心，圆的方程可知圆心（1，2），且不通过第四象限，斜率最大值是2，排除B、C、D．
故选A．
【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，解决问题的关键是根据直线与圆的位置关系得到直线过点（1，2），且不通过第四象限，斜率最大值是2，运用排除方法得到选项.
10．圆x2+y2+2x=0和x2+y2﹣4y=0的公共弦所在直线方程为（ ）
A．x﹣2y=0 B．x+2y=0 C．2x﹣y=0 D．2x+y=0
【答案】B
【知识点】圆系方程；相交弦所在直线的方程
【解析】【解答】经过圆x2+y2+2x=0和x2+y2﹣4y=0的公共点的圆系方程为：x2+y2+2x+λ（x2+y2﹣4y）=0
令λ=﹣1，可得公共弦所在直线方程：x+2y=0
故选B
【分析】本题主要考查了相交弦所在直线的方程、圆系方程，解决问题的关键是根据所给两圆的方程运用圆系知识求解即可.
11．过点 与圆 相交的所有直线中，被圆截得的弦最长的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】直线和圆的方程的应用
【解析】解答：根据题意，由于过点 与圆 相交的所有直线中，被圆截得的弦最长的直线就是圆心与点P的连线的直线，即斜率为-1，那么根据点斜式方程可知，方程为 ，故可知结论为C.
分析：本题主要考查了直线和圆的方程的应用，解决问题的关键是根据直线和圆的位置关系进行发现得到所求直线方程即可.
12．从直线l：x＋y＝1上一点P向圆C：x2＋y2＋4x＋4y＋7＝0引切线，则切线长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆的切线方程
【解析】解答：圆的方程转化为 ，圆心 到直线的距离 ， 最短的切线长为
分析：本题主要考查了圆的切线方程，解决问题的关键是根据弦心距及圆的半径通过勾股定理计算即可.
13．一条光线从点 射出，经 轴反射后与圆 相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
【答案】D
【知识点】圆的切线方程；直线和圆的方程的应用
【解析】解答：由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点 ，设反射光线所在直线的斜率为 ，则反身光线所在直线方程为： ，即： .
又因为光线与圆相切， 所以， ,
整理： ，解得： ，或 ,故选D．
分析：本题主要考查了圆的切线方程、直线和圆的方程的应用，解决问题的关键是根据由光的反射原理知，计算反射光线所在方程根据直线与圆相切求解反射光线斜率.
14．已知圆C的半径为 ，圆心在 轴的正半轴上，直线 与圆C相切，则圆C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】直线和圆的方程的应用
【解析】解答：设圆心C(a，0）(a>0),则圆的标准方程为: ,由题意圆心到直线距离等于半径得: ,解得: (不合,舍去), ,整理得, ,故选D.
分析：本题主要考查了直线和圆的方程的应用，解决问题的关键是根据所求圆满足的条件进行计算即可.
15．曲线 与直线 有两个不同的交点时，实数k的取值范围是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】因为曲线 表示的图形是一个半圆. 直线 表示恒过点（2,4）的直线.如图所示.因为E(-2，1)，A(2，4).所以 .因为直线AC与圆相切.由圆心到直线的距离为半径可得. .解得 .所以符合题意的实数k的取值范围是 .故选A.
【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系、直线与圆相交的性质，解决问题的关键是通过所给直线恒过点及直线与圆的相交关系构造方程，通过数形结合进行计算计算即可.
二、填空题
16．直线 被曲线 截得的弦长等于 ．
【答案】
【知识点】直线与圆相交的性质
【解析】【解答】 ，圆心为 ，半径为5，圆心到直线的距离为 ，所以弦长为 .
【分析】本题主要考查了直线与圆相交的性质，解决问题的关键是根据直线与圆相交运用弦心距公式计算即可.
17．过圆 内一点 作两条相互垂直的弦 , 当 时, 四边形 的面积为 .
【答案】6
【知识点】直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】设弦 的中点分别为 ，连接 ，则 ，由 ，则四边形 为正方形，且 ，所以 ，在直角三角形 中， ，故 ，所以四边形 的面积为 ．
【分析】本题主要考查了直线和圆的方程的应用，解决问题的关键是根据直线与圆相交的性质结合有关几何性质进行分析计算即可.
18．圆 ，过点 的直线 与圆相交于 两点， ,则直线 的方程是 ．
【答案】 或
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】 半径为 ，因为，过点 的直线 与圆相交于 两点， ,所以，圆心C到直线l距离为1，x=2 是所求直线之一；设L的另一方程为 ，由 ，得 ，所以， ，综上知，直线 的方程是 或 .
【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，解决问题的关键是根据直线与圆相交的有关几何关系得到所求直线斜率然后得到其对应直线方程.
19．若经过点 的直线与圆 相切，则圆心坐标是 ；半径为 ；切线在 轴上的截距是 ．
【答案】；； .
【知识点】圆的切线方程
【解析】【解答】根据题意，圆的方程可化为 ，所以其圆心坐标为 ，半径为 ，设圆的切线方程为 ，即 ，应用圆心到直线的距离为半径，得 ，整理得 ，即 ，解得 ，所以直线在 轴上的截距是 ．
【分析】本题主要考查了圆的切线方程，解决问题的关键是根据直线与圆相切的有关性质进行计算得到切线方程，然后解决有关问题.
20．已知点 关于直线 的对称点为 ，则圆 ： 关于直线 对称的圆 的方程为 ；圆 与圆 的公共弦的长度为
【答案】；
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】解答因为圆 的方程为 ，所以 ，其圆心为 ，半径为 ，又因为点 关于直线 的对称点为 ，所以令 可得，其关于直线 的对称点为 ，所以圆 ： 关于直线 对称的圆 的圆心为 ，半径为 ，即圆 ： ；圆 与圆 的圆心的距离为 ，所以公共弦的长度为 ，故应填 ； ．
【分析】本题主要考查了圆与圆的位置关系、直线与圆的位置关系，解决问题的关键是通过取值得到P点坐标及其关于直线l的对称点的坐标，进而得到对称圆方程，通过两圆公共弦计算解决问题.
三、解答题
21．已知已知圆 经过 、 两点，且圆心C在直线 上，求解：
（1）求圆C的方程；
（2）若直线 与圆 C 总有公共点，求实数 K 的取值范围.
【答案】（1）解：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则
所以⊙C方程为x2+y2-6x-8y+24=0.
（2）由
(1+k2)x2 (6+2k)x+9＝0
因为直线y=kx+3与⊙C总有公共点，则△=（6+2k）2-36（1+k2）≥0解得0≤k≤．
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，由⊙C经过点A（2，4）、B（3，5）两点，且圆心C在直线2x-y-2=0上，构造关于D，E，F的三元一次方程组，解方程组后可得⊙C的方程；
（2）若直线y=kx+3与⊙C总有公共点，则联立直线和圆的方程后，所得方程有根，即对应的△≥0，解不等式可得实数k的取值范围
22．已知圆 的圆心为原点 ，且与直线 相切。
（1）求圆 的方程；
（2）过点 (8,6)引圆O的两条切线 ，切点为 ，求直线 的方程.
【答案】（1）依题意得：圆 的半径 ，
所以圆 的方程为 。
（2） 是圆 的两条切线， 。 在以 为直径的圆上。点 的坐标为 ，则线段 的中点坐标为 。
以 为直径的圆方程为
化简得： , 为两圆的公共弦，
直线 的方程为 即 。
【知识点】圆的切线方程；直线与圆的位置关系；相交弦所在直线的方程
【解析】
分析：本题主要考查了圆的切线方程、直线与圆的位置关系、相交弦所在直线的方程，解决问题的关键是(1)根据弦心距关系求得半径即可解决问题；(2)根据 是圆 的两条切线，得到 ，所以 在以 为直径的圆上，根据所给条件可得一 为直径的圆方程为 ,联立两圆方程可得公共弦所在直线方程，
23．设直线 和圆 相交于点 。
（1）求弦 的垂直平分线方程；
（2）求弦 的长。
【答案】（1）圆方程可整理为： ，
所以，圆心坐标为 ，半径 ，
易知弦 的垂直平分线过圆心，且与直线 垂直，
而 ，所以，由点斜式方程可得： ，
整理得： 。即 的垂直平分线的方程为
（2）圆心 到直线 的距离 ，
故 。弦 的长为 。
【知识点】直线与圆相交的性质；相交弦所在直线的方程
【解析】【分析】本题主要考查了直线与圆相交的性质；相交弦所在直线的方程，解决问题的关键是根据所给直线与圆的性质求得AB的垂直平分线的方程即可；根据弦心距关系计算弦长即可.
24．如图，已知过点 的光线，经 轴上一点 反射后的射线 过点 .
（1）求点 的坐标；
（2）若圆 过点 且与 轴相切于点 ，求圆 的方程.
【答案】（1）由光线的反射角与入射角相等可知，
点 关于 轴对称点 在射线 ，
射线 所在的直线方程为 ，
即 ，令 ，则 ，
点 的坐标为 .
（2）设圆 的方程为 ，
圆 与 轴相切于点 ，
，
圆 过点 ，
，
解得 ，
圆 的方程为 .
【知识点】直线和圆的方程的应用
【解析】分析：本题主要考查了直线和圆的方程的应用，解决问题的关键是（1）点 关于 轴对称点 在射线 ，所以先求入射光线所在直线的方程，然后再求与 轴的交点;（2）首先设圆的标准方程为 ，然后与 轴相切于点 得到圆心的纵坐标与半径相等，圆心的横坐标等于-1，又过点 ,代入求得圆的方程.
25．已知圆心在 轴上的圆 过点 和 ，圆 的方程为 ．
（1）求圆 的方程；
A．设 ， ， 依题意得，圆 的圆心为线段 的垂直平分线 与 轴的交点 ． 因为直线 的方程为 ，即 ， 所以圆心 的坐标为 ． 所以圆 的方程为 ．
（2）由圆 上的动点 向圆 作两条切线分别交 轴于 ， 两点，求 的取值范围．
A．设圆 上的动点 的坐标为 ， 则 ， 即 ， 解得 ． 设点 ， ， 则直线 ： ，即 ， 因为直线 与圆 相切，所以 ， 化简得 ． ① 同理得 ， ② 由①②知 ， 为方程 的两根， 即 所以 ． 因为 ， 所以 ． 令 ，因为 ，所以 ． 所以 ， 当 时， ， 当 时， ． 所以 的取值范围为 ．
【答案】（1）设 ， ，
依题意得，圆 的圆心为线段 的垂直平分线 与 轴的交点 ．
因为直线 的方程为 ，即 ，
所以圆心 的坐标为 ．
所以圆 的方程为 ．
（2）设圆 上的动点 的坐标为 ，
则 ，
即 ，
解得 ．
设点 ， ，
则直线 ： ，即 ，
因为直线 与圆 相切，所以 ，
化简得 ． ①
同理得 ， ②
由①②知 ， 为方程 的两根，
即
所以
．
因为 ，
所以
．
令 ，因为 ，所以 ．
所以 ，
当 时， ，
当 时， ．
所以 的取值范围为 ．
【知识点】圆方程的综合应用
【解析】 分析：本题主要考查了圆方程的综合应用，解决问题的关键是（1）先设圆的标准方程，再利用已知条件可得 和 的值，即可得圆 的方程；（2）先设圆 上的动点 的坐标为 ，则可得 的取值范围，再写出 ， 的方程，可得 和 的坐标，进而可得 ，利用函数的单调性，可得 的最大值和最小值，即可得 的取值范围．
（1） 分析：本题主要考查了圆方程的综合应用，解决问题的关键是（1）先设圆的标准方程，再利用已知条件可得 和 的值，即可得圆 的方程；（2）先设圆 上的动点 的坐标为 ，则可得 的取值范围，再写出 ， 的方程，可得 和 的坐标，进而可得 ，利用函数的单调性，可得 的最大值和最小值，即可得 的取值范围．
（2） 分析：本题主要考查了圆方程的综合应用，解决问题的关键是（1）先设圆的标准方程，再利用已知条件可得 和 的值，即可得圆 的方程；（2）先设圆 上的动点 的坐标为 ，则可得 的取值范围，再写出 ， 的方程，可得 和 的坐标，进而可得 ，利用函数的单调性，可得 的最大值和最小值，即可得 的取值范围．
1 / 1
