人教版新课标A版选修2-2数学3.1数系的扩充和复数的概念同步练习
一、选择题
1．下面三个命题:
①0比-i大;
②x+yi=1+i(x,y∈R)的充要条件为x=y=1;
③a+bi为纯虚数的充要条件是a=0,b≠0.
其中正确的命题个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
2．若a,b∈R,i为虚数单位,且(a+i)i=b+i,则( )
A．a=1,b=1 B．a=-1,b=1 C．a=-1,b=-1 D．a=1,b=-1
3．以2i的虚部为实部,以i+2i2的实部为虚部的新复数是( )
A．2-2i B．2+i C．-i D．i
4．已知集合M={1,2,(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i},N={-1,3},且M∩N={3},则实数m的值为( )
A．4 B．-1 C．-1或4 D．-1或6
5．若a2-1+2ai=3+4i,则实数a的值为( )
A．±2 B．-2 C．2 D．0
6．下列复数中，满足方程x2＋2＝0的是( )
A．±1 B．±2 C．±i D．±2i
7．若a、b∈R且(1＋i)a＋(1－i)b＝2，则a、b的值分别为( )
A．a＝1，b＝－1 B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝1 D．a＝－1，b＝－1
8．以3i－的虚部为实部，以3i2＋i的实部为虚部的复数是( )
A．3－3i B．3＋i C．－＋i D．＋i
9．复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为实数的充要条件是( )
A．|a|＝|b| B．a<0且a＝－b
C．a>0且a≠b D．a<0
10．适合x－3i＝(8x－y)i的实数x、y的值为( )
A．x＝0且y＝3 B．x＝0且y＝－3
C．x＝5且y＝3 D．x＝3且y＝0
11．在复平面内,O为原点,向量对应的复数为8+3i,关于y轴对称,则点B对应的复数为( )
A．8-3i B．-8-3i C．3+8i D．-8+3i
12．已知复数3-5i,1-i和-2+ai在复平面上对应的点在同一直线上,则实数a的值为( )
A．5 B．-2 C．-5 D．2
13．设a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
14．若复数(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)i对应的点在虚轴上，则实数m的值是( )
A．－1 B．4 C．－1或4 D．－1或6
15．已知复数z满足|z|2-2|z|-3=0,则复数z对应点的轨迹为( )
A．一个圆 B．线段 C．两点 D．两个圆
二、填空题
16．复数z=m+3+(m2-2m-15)i是实数,则实数m= .
17．若x是实数，y是纯虚数，且满足2x－1＋2i＝y，则x＝ ，y＝
18．方程(2x2－3x－2)＋(x2－5x＋6)i＝0的实数解x＝ .
19．复数z=cos 40°+icos 50°的模|z|= .
20．复数z满足|z-3+4i|=1(i是虚数单位),则|z|的取值范围是 .
三、解答题
21．已知m∈R,复数z=+(m2+2m-3)i,当m为何值时（1）z∈R;（2）z是虚数;（3）z是纯虚数;（4）z=+4i.
（1）z∈R;
（2）z是虚数;
（3）z是纯虚数;
（4）z=+4i.
22．若m为实数,z1=m2+1+(m3+3m2+2m)i,z2=4m+2+(m3-5m2+4m)i,那么使z1>z2的m值的集合是什么
23．分别求满足下列条件的实数x,y的值.
（1）2x-1+(y+1)i=x-y+(-x-y)i;
（2）x-3+(x2-2x-3)i=0.
24．实数x分别取什么值时,复数z=x2+x-6+(x2-2x-15)i对应的点Z在下列位置
（1）第三象限;
（2）第四象限;
（3）直线x-y-3=0上.
25．已知复数z1=1+cos θ+isin θ，z2=1-sin θ+icos θ，且|z1|2+|z2|2≥2，求θ的取值范围
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】复数的基本概念；复数相等的充要条件
【解析】【解答】0与-i不能比较大小,故①错;当a,b∈R时③才正确,故③错;由复数相等的充要条件知②正确.
【分析】复数与实数之间，复数与复数之间都不能比大小。两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部都相等。复数ai（a 0）称为纯虚数。简单题，考查复数的基本概念。
2．【答案】D
【知识点】复数相等的充要条件
【解析】【解答】∵(a+i)i=b+i,∴-1+ai=b+i. ∴b=-1.a=1,故选D
【分析】两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部都相等。简单题，考查复数的基本概念
3．【答案】A
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】2i的虚部为2,i+2i2的实部为-2,故所求的复数为2-2i
【分析】简单题，考查复数的基本概念
4．【答案】B
【知识点】复数相等的充要条件
【解析】【解答】由于M∩N={3},故3∈M,必有m2-3m-1+(m2-5m-6)i=3,所以m2-3m-1=3，(m2-5m-6)=0即得m=-1
【分析】实数也属于复数，实数是虚部为0的复数
5．【答案】C
【知识点】复数相等的充要条件
【解析】【解答】由复数相等的充要条件知a2-1=3且2a=4,故a=2.
【分析】两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部都相等。简单题，考查复数的基本概念
6．【答案】C
【知识点】虚数单位i及其性质
【解析】【解答】i2=-1，所以（±i）2=-2，即方程x2＋2＝0的解为±i，故选C
【分析】二次函数在复数范围内必有解，当 时有实数解，当 时，有虚数解，解为
7．【答案】C
【知识点】复数相等的充要条件
【解析】【解答】由原式得a+b+(a-b)i=2，所以 ，故选C
【分析】两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部都相等。简单题，考查复数的基本概念
8．【答案】A
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】3i－的虚部为3,3i2＋i的实部为－3，∴以3i－的虚部为实部，以3i2＋i的实部为虚部的复数是3－3i
【分析】i2=-1.简单题。考查复数的基本概念
9．【答案】D
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为实数的充要条件是a＋|a|=0，故a<0即可。
【分析】复数a+bi为实数的充要条件是虚部b=0
10．【答案】A
【知识点】复数相等的充要条件
【解析】【解答】因为x－3i＝(8x－y)i，所以x=0,8x-y=-3,解得x＝0且y＝3，故选A
【分析】两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部都相等。简单题，考查复数的基本概念
11．【答案】A
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】关于Y轴对称的复数实部相同，虚部互为相反数，故选A
【分析】考查复平面的概念，复平面是以实部为x轴，虚部为y轴的二维平面
12．【答案】A
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】解答：设复数3-5i,1-i,-2+ai对应的向量分别为A,B,C(O为坐标原点),
则 =(3,-5), =(1,-1), =(-2,a).
∵A,B,C三点共线,∴ =t + (1-t),
即(3,-5)=t(1,-1)+(1-t)(-2,a),
∴解得即a的值为5.
分析：此题也可以采用斜率的方法，利用若A,B,C三点共线，则任意两点组成的直线的斜率相等。
13．【答案】B
【知识点】复数的基本概念
【解析】解答：当“a＝0”且“b 0”时，复数a＋bi是纯虚数，若复数a＋bi是纯虚数，则a必等于0
分析：简单题。考查复数的基本概念
14．【答案】C
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】因为复数(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)i对应的点在虚轴上m2－3m－4=0
解得m=-1或4，故选C
【分析】在虚轴上的复数实部为0.
15．【答案】A
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】∵|z|2-2|z|-3=0,∴(|z|-3)(|z|+1)=0,∴|z|=3,表示一个圆,故选A
【分析】|z|表示复平面上复数z对应的点到原点的距离，即复数z的模
16．【答案】5或-3
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】因为复数z=m+3+(m2-2m-15)i是实数，所以m2-2m-15=0，解得m=5或-3.
【分析】一个复数为实数当且仅当它的虚部为0即可
17．【答案】；2i
【知识点】复数相等的充要条件
【解析】【解答】因为y是纯虚数，所以2x-1=0,y=2i,解得x=,y=2i
【分析】一个复数为纯虚数的充要条件是它的实部为0，虚部不为0
18．【答案】2
【知识点】复数相等的充要条件
【解析】【解答】(2x2－3x－2)＋(x2－5x＋6)i＝0当且仅当2x2－3x－2=0且x2－5x＋6=0，解得x=2
【分析】简单题，考查复数的概念
19．【答案】1
【知识点】复数的模
【解析】【解答】z=cos 40°+icos 50°=cos 40°+isin 40°,
所以|z|==1.
【分析】复数a+bi的模为 ，此题属于简单题
20．【答案】[4,6]
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】∵|z-3+4i|=1,∴复数z对应的点是以(3,-4)为圆心,以1为半径的圆上的点,
|z|表示圆上的点到原点的距离,因此其最大值为+1=6,最小值为-1=4.
【分析】此题难度较大，考查复数的几何意义。复数可以看成是复平面上以实部为x坐标。虚部为y坐标的点
21．【答案】（1）若z∈R,则m须满足解得m=-3.
（2）若z是虚数,则m须满足m2+2m-3≠0且m-1≠0,解得m≠1且m≠-3.
（3）若z是纯虚数,则m须满足
解得m=0或m=-2.
（4）若z=+4i,则m须满足，解得m∈ .
【知识点】复数的基本概念
【解析】【分析】对复数a+bi，当b=0时是实数，否则为虚数，当a=0,b非0时为纯虚数
22．【答案】当z1∈R时,m3+3m2+2m=0,
m=0,-1,-2,z1=1或2或5.
当z2∈R时,m3-5m2+4m=0,
m=0,1,4,z2=2或6或18.
上面m的公共值为m=0,
此时z1与z2同时为实数,且z1=1,z2=2.
∴使z1>z2的m值的集合为空集
【知识点】复数的基本概念
【解析】【分析】只有实数之间才能比较大小，所以要求z1>z2，则z1，z2必须为实数
23．【答案】（1）∵x,y∈R,∴由复数相等的定义得解得x=3,y=-2.
（2）∵x∈R,∴由复数相等的定义得x-3=0且x2-2x-3=0，∴x=3.
【知识点】复数相等的充要条件
【解析】 【分析】两个复数相等的充要条件是实部和虚部都相等
24．【答案】（1）因为x是实数,所以x2+x-6与x2-2x-15也都是实数.当实数x满足x2+x-6<0且x2-2x-15<0，即-3（2）当实数x满足x2+x-6>0且x2-2x-15<0,即 2（3）当实数x满足(x2+x-6)-(x2-2x-15)-3=0,即x=-2时,点Z在直线x-y-3=0上
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】 【分析】复数可以看成是复平面上以实部为x坐标。虚部为y坐标的点
25．【答案】∵|z1|2=(1+cos θ)2+sin2θ=2+2cosθ，|z2|2=(1-sin θ)2+cos2θ=2-2sin θ，由|z1|2+|z2|2≥2，得2+2cos θ+2-2sin θ≥2，即cos θ-sin θ≥-1.∴cos( )≥-∴2kπ- ≤θ≤2kπ+ (k∈Z)，故θ的取值范围是[2kπ- ，2kπ+ ](k∈Z).
【知识点】复数的模
1 / 1人教版新课标A版选修2-2数学3.1数系的扩充和复数的概念同步练习
一、选择题
1．下面三个命题:
①0比-i大;
②x+yi=1+i(x,y∈R)的充要条件为x=y=1;
③a+bi为纯虚数的充要条件是a=0,b≠0.
其中正确的命题个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【知识点】复数的基本概念；复数相等的充要条件
【解析】【解答】0与-i不能比较大小,故①错;当a,b∈R时③才正确,故③错;由复数相等的充要条件知②正确.
【分析】复数与实数之间，复数与复数之间都不能比大小。两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部都相等。复数ai（a 0）称为纯虚数。简单题，考查复数的基本概念。
2．若a,b∈R,i为虚数单位,且(a+i)i=b+i,则( )
A．a=1,b=1 B．a=-1,b=1 C．a=-1,b=-1 D．a=1,b=-1
【答案】D
【知识点】复数相等的充要条件
【解析】【解答】∵(a+i)i=b+i,∴-1+ai=b+i. ∴b=-1.a=1,故选D
【分析】两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部都相等。简单题，考查复数的基本概念
3．以2i的虚部为实部,以i+2i2的实部为虚部的新复数是( )
A．2-2i B．2+i C．-i D．i
【答案】A
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】2i的虚部为2,i+2i2的实部为-2,故所求的复数为2-2i
【分析】简单题，考查复数的基本概念
4．已知集合M={1,2,(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i},N={-1,3},且M∩N={3},则实数m的值为( )
A．4 B．-1 C．-1或4 D．-1或6
【答案】B
【知识点】复数相等的充要条件
【解析】【解答】由于M∩N={3},故3∈M,必有m2-3m-1+(m2-5m-6)i=3,所以m2-3m-1=3，(m2-5m-6)=0即得m=-1
【分析】实数也属于复数，实数是虚部为0的复数
5．若a2-1+2ai=3+4i,则实数a的值为( )
A．±2 B．-2 C．2 D．0
【答案】C
【知识点】复数相等的充要条件
【解析】【解答】由复数相等的充要条件知a2-1=3且2a=4,故a=2.
【分析】两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部都相等。简单题，考查复数的基本概念
6．下列复数中，满足方程x2＋2＝0的是( )
A．±1 B．±2 C．±i D．±2i
【答案】C
【知识点】虚数单位i及其性质
【解析】【解答】i2=-1，所以（±i）2=-2，即方程x2＋2＝0的解为±i，故选C
【分析】二次函数在复数范围内必有解，当 时有实数解，当 时，有虚数解，解为
7．若a、b∈R且(1＋i)a＋(1－i)b＝2，则a、b的值分别为( )
A．a＝1，b＝－1 B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝1 D．a＝－1，b＝－1
【答案】C
【知识点】复数相等的充要条件
【解析】【解答】由原式得a+b+(a-b)i=2，所以 ，故选C
【分析】两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部都相等。简单题，考查复数的基本概念
8．以3i－的虚部为实部，以3i2＋i的实部为虚部的复数是( )
A．3－3i B．3＋i C．－＋i D．＋i
【答案】A
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】3i－的虚部为3,3i2＋i的实部为－3，∴以3i－的虚部为实部，以3i2＋i的实部为虚部的复数是3－3i
【分析】i2=-1.简单题。考查复数的基本概念
9．复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为实数的充要条件是( )
A．|a|＝|b| B．a<0且a＝－b
C．a>0且a≠b D．a<0
【答案】D
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为实数的充要条件是a＋|a|=0，故a<0即可。
【分析】复数a+bi为实数的充要条件是虚部b=0
10．适合x－3i＝(8x－y)i的实数x、y的值为( )
A．x＝0且y＝3 B．x＝0且y＝－3
C．x＝5且y＝3 D．x＝3且y＝0
【答案】A
【知识点】复数相等的充要条件
【解析】【解答】因为x－3i＝(8x－y)i，所以x=0,8x-y=-3,解得x＝0且y＝3，故选A
【分析】两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部都相等。简单题，考查复数的基本概念
11．在复平面内,O为原点,向量对应的复数为8+3i,关于y轴对称,则点B对应的复数为( )
A．8-3i B．-8-3i C．3+8i D．-8+3i
【答案】A
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】关于Y轴对称的复数实部相同，虚部互为相反数，故选A
【分析】考查复平面的概念，复平面是以实部为x轴，虚部为y轴的二维平面
12．已知复数3-5i,1-i和-2+ai在复平面上对应的点在同一直线上,则实数a的值为( )
A．5 B．-2 C．-5 D．2
【答案】A
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】解答：设复数3-5i,1-i,-2+ai对应的向量分别为A,B,C(O为坐标原点),
则 =(3,-5), =(1,-1), =(-2,a).
∵A,B,C三点共线,∴ =t + (1-t),
即(3,-5)=t(1,-1)+(1-t)(-2,a),
∴解得即a的值为5.
分析：此题也可以采用斜率的方法，利用若A,B,C三点共线，则任意两点组成的直线的斜率相等。
13．设a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】复数的基本概念
【解析】解答：当“a＝0”且“b 0”时，复数a＋bi是纯虚数，若复数a＋bi是纯虚数，则a必等于0
分析：简单题。考查复数的基本概念
14．若复数(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)i对应的点在虚轴上，则实数m的值是( )
A．－1 B．4 C．－1或4 D．－1或6
【答案】C
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】因为复数(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)i对应的点在虚轴上m2－3m－4=0
解得m=-1或4，故选C
【分析】在虚轴上的复数实部为0.
15．已知复数z满足|z|2-2|z|-3=0,则复数z对应点的轨迹为( )
A．一个圆 B．线段 C．两点 D．两个圆
【答案】A
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】∵|z|2-2|z|-3=0,∴(|z|-3)(|z|+1)=0,∴|z|=3,表示一个圆,故选A
【分析】|z|表示复平面上复数z对应的点到原点的距离，即复数z的模
二、填空题
16．复数z=m+3+(m2-2m-15)i是实数,则实数m= .
【答案】5或-3
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】因为复数z=m+3+(m2-2m-15)i是实数，所以m2-2m-15=0，解得m=5或-3.
【分析】一个复数为实数当且仅当它的虚部为0即可
17．若x是实数，y是纯虚数，且满足2x－1＋2i＝y，则x＝ ，y＝
【答案】；2i
【知识点】复数相等的充要条件
【解析】【解答】因为y是纯虚数，所以2x-1=0,y=2i,解得x=,y=2i
【分析】一个复数为纯虚数的充要条件是它的实部为0，虚部不为0
18．方程(2x2－3x－2)＋(x2－5x＋6)i＝0的实数解x＝ .
【答案】2
【知识点】复数相等的充要条件
【解析】【解答】(2x2－3x－2)＋(x2－5x＋6)i＝0当且仅当2x2－3x－2=0且x2－5x＋6=0，解得x=2
【分析】简单题，考查复数的概念
19．复数z=cos 40°+icos 50°的模|z|= .
【答案】1
【知识点】复数的模
【解析】【解答】z=cos 40°+icos 50°=cos 40°+isin 40°,
所以|z|==1.
【分析】复数a+bi的模为 ，此题属于简单题
20．复数z满足|z-3+4i|=1(i是虚数单位),则|z|的取值范围是 .
【答案】[4,6]
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】∵|z-3+4i|=1,∴复数z对应的点是以(3,-4)为圆心,以1为半径的圆上的点,
|z|表示圆上的点到原点的距离,因此其最大值为+1=6,最小值为-1=4.
【分析】此题难度较大，考查复数的几何意义。复数可以看成是复平面上以实部为x坐标。虚部为y坐标的点
三、解答题
21．已知m∈R,复数z=+(m2+2m-3)i,当m为何值时（1）z∈R;（2）z是虚数;（3）z是纯虚数;（4）z=+4i.
（1）z∈R;
（2）z是虚数;
（3）z是纯虚数;
（4）z=+4i.
【答案】（1）若z∈R,则m须满足解得m=-3.
（2）若z是虚数,则m须满足m2+2m-3≠0且m-1≠0,解得m≠1且m≠-3.
（3）若z是纯虚数,则m须满足
解得m=0或m=-2.
（4）若z=+4i,则m须满足，解得m∈ .
【知识点】复数的基本概念
【解析】【分析】对复数a+bi，当b=0时是实数，否则为虚数，当a=0,b非0时为纯虚数
22．若m为实数,z1=m2+1+(m3+3m2+2m)i,z2=4m+2+(m3-5m2+4m)i,那么使z1>z2的m值的集合是什么
【答案】当z1∈R时,m3+3m2+2m=0,
m=0,-1,-2,z1=1或2或5.
当z2∈R时,m3-5m2+4m=0,
m=0,1,4,z2=2或6或18.
上面m的公共值为m=0,
此时z1与z2同时为实数,且z1=1,z2=2.
∴使z1>z2的m值的集合为空集
【知识点】复数的基本概念
【解析】【分析】只有实数之间才能比较大小，所以要求z1>z2，则z1，z2必须为实数
23．分别求满足下列条件的实数x,y的值.
（1）2x-1+(y+1)i=x-y+(-x-y)i;
（2）x-3+(x2-2x-3)i=0.
【答案】（1）∵x,y∈R,∴由复数相等的定义得解得x=3,y=-2.
（2）∵x∈R,∴由复数相等的定义得x-3=0且x2-2x-3=0，∴x=3.
【知识点】复数相等的充要条件
【解析】 【分析】两个复数相等的充要条件是实部和虚部都相等
24．实数x分别取什么值时,复数z=x2+x-6+(x2-2x-15)i对应的点Z在下列位置
（1）第三象限;
（2）第四象限;
（3）直线x-y-3=0上.
【答案】（1）因为x是实数,所以x2+x-6与x2-2x-15也都是实数.当实数x满足x2+x-6<0且x2-2x-15<0，即-3（2）当实数x满足x2+x-6>0且x2-2x-15<0,即 2（3）当实数x满足(x2+x-6)-(x2-2x-15)-3=0,即x=-2时,点Z在直线x-y-3=0上
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】 【分析】复数可以看成是复平面上以实部为x坐标。虚部为y坐标的点
25．已知复数z1=1+cos θ+isin θ，z2=1-sin θ+icos θ，且|z1|2+|z2|2≥2，求θ的取值范围
【答案】∵|z1|2=(1+cos θ)2+sin2θ=2+2cosθ，|z2|2=(1-sin θ)2+cos2θ=2-2sin θ，由|z1|2+|z2|2≥2，得2+2cos θ+2-2sin θ≥2，即cos θ-sin θ≥-1.∴cos( )≥-∴2kπ- ≤θ≤2kπ+ (k∈Z)，故θ的取值范围是[2kπ- ，2kπ+ ](k∈Z).
【知识点】复数的模
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