人教新课标A版必修1数学3.2.1几类不同增长的函数模型同步检测
一、选择题
1．给出三种函数模型：f（x）=xn（n＞0），g（x）=ax（a＞1）和h（x）=logax（a＞1）．根据它们增长的快慢，则一定存在正实数x0，当x＞x0时，就有（ ）
A．f（x）＞g（x）＞h（x） B．h（x）＞g（x）＞f（x）
C．f（x）＞h（x）＞g（x） D．g（x）＞f（x）＞h（x）
2．某品牌电脑投放市场的第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好反映销售量y与投放市场月数x之间的关系的是（ ）
A．y=100x B．y=50x2﹣50x+100
C．y=50×2x D．y=100log2x+100
3．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用（ ）
A．一次函数 B．二次函数 C．指数型函数 D．对数型函数
4．某池塘中原有一块浮草，浮草蔓延后的面积y（m2）与时间t（月）之间的函数关系是y=at﹣1（a＞0，且a≠1），它的图象如图所示．给出以下命题：
①池塘中原有浮草的面积是0.5m2；
②到第7个月浮草的面积一定能超过60m2
③浮草每月增加的面积都相等；
④若浮草面积达到4m2，16m2，64m2所经过时间分别为t1，t2，t3，则t1+t2＜t3，其中所有正确命题的序号是（ ）
A．①② B．①④ C．②③ D．②④
5．已知a＞0且a≠1，f（x）=x2﹣ax，当x∈（﹣1，1）时均有f（x）＜ ，则实数a的取值范围是（ ）
A． ∪[2，+∞） B． ∪（1，4]
C． ∪（1，2] D． ∪[4，+∞）
6．a，b，c，d四个物体沿同一方向同时开始运动，假设其经过的路程和时间x的函数关系分别是f1（x）=x2， ，f3（x）=log2x，f4（x）=2x，如果运动的时间足够长，则运动在最前面的物体一定是（ ）
A．a B．b C．c D．d
7．下列说法正确的是（ ）
A．函数y=f（x）的图象与直线x=a可能有两个交点
B．函数y=log2x2与函数y=2log2x是同一函数
C．对于[a，b]上的函数y=f（x），若有f（a） f（b）＜0，那么函数y=f（x）在（a，b）内有零点
D．对于指数函数y=ax（a＞1）与幂函数y=xn（n＞0），总存在一个x0，当x＞x0时，就会有ax＞xn
8．计算机中常用十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：
16进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
10进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
例如，用十六进制表示：E+D=1B，则A×B=（ ）
A．6E B．72 C．5F D．B0
9．某地西红柿2月1日开始上市，通过市场调查，得到西红柿的种植成本Q（单位：元/100kg）与上市时间t（单位：天）的数据如下表：
时间t 50 110 250
种植成本Q 150 108 150
根据表中数据，下列函数模型中可以描述西红柿的种植成本Q与上市时间t的变化关系的是（ ）
A．Q=at+b B．Q=at2+bt+c，0＜a＜
C．Q=a bt D．Q=a logbt
10．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2m2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理（够用且浪费最少）的是（ ）
A．6.5m B．6.8m C．7m D．7.2m
11．某一种商品降价10%后，欲恢复原价，则应提价（ ）
A．10% B．9% C．11% D．11 %
12．一等腰三角形的周长是20，则其底边长y关于其腰长x的函数关系式是（ ）
A．y=20﹣2x（x≤10） B．y=20﹣2x（x＜10）
C．y=20﹣2x（5≤x≤10） D．y=20﹣2x（0＜x＜10）
13．四人赛跑，假设其跑过的路程和时间的函数关系分别是f1（x）=x2，f2（x）=4x，f3（x）=log2x，f4（x）=2x如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是（ ）
A．f1（x）=x2 B．f2（x）=4x
C．f3（x）=log2x D．f4（x）=2x
14．在x克a%的盐水中，加入y克b%的盐水，浓度变成c%（a，b＞0，a≠b），则x与y的函数关系式是（ ）
A．y= x B．y= x C．y= x D．y= x
15．如图，图象（折线OEFPMN）描述了某汽车在行驶过程中速度与时间的函数关系，下列说法中错误的是（ ）
A．第3分时汽车的速度是40千米/时
B．第12分时汽车的速度是0千米/时
C．从第3分到第6分，汽车行驶了120千米
D．从第9分到第12分，汽车的速度从60千米/时减少到0千米/时
二、填空题
16．光线通过一块玻璃板时，其强度要损失原来的10%，把几块这样的玻璃板重叠起来，设光线原来的强度为a，则通过3块玻璃板后的强度变为 ．
17．函数y=x3与函数y=x2lnx在区间（0，+∞）上增长速度较快的一个是 ．
18．函数y=x2与函数y=xlnx在区间（1，+∞）上增长较快的一个是 ．
19．某工程由下列工序组成，则工程总时数为 天．
工序 a b c d e f
紧前工序 ﹣ ﹣ a、b c c d、e
工时数（天） 2 3 2 5 4 1
20．把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是Q1，空气温度是Q0，t分钟后温度Q可由公式Q=Q0+（Q1﹣Q0）e﹣tln1.5求得，现在60？的物体放在15？的空气中冷却，当物体温度为35°时，冷却时间t= 分钟．
21．甲用1000元买入一种股票，后将其转卖给乙，获利10%，而后乙又将这些股票卖给甲，乙损失了10%，最后甲按乙卖给甲的价格九折将股票售出，甲在上述交易中盈利 元．
22．据研究，甲、乙两个磁盘受到病毒感染，感染的量y（单位：比特数）与时间x（单位：秒）的函数关系式分别是y甲=ex和y乙=x2．显然，当x≥1时，甲磁盘受到的病毒感染增长率比乙磁盘受到的病毒感染增长率大．试根据上述事实提炼一个不等式是 ．
三、解答题
23．某同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学，该商场向他提供了三种付酬方案：第一种，每天支付38元；第二种，第一天付4元，第二天付8元，第三天付12元，第四天付16元，依此类推；第三种，第一天付0.4元，以后每天比前一天翻一番（即增加1倍）．请利用所学数学知识帮助他计算该如何选择领取报酬的方式．
24．在一条公路上，每隔100km有个仓库（如图），共有5个仓库．一号仓库存有10t货物，二号仓库存20t，五号仓库存40t，其余两个仓库是空的．现在想把所有的货物放在一个仓库里，如果每吨货物运输1km需要0.5元运输费，那么要多少才行？
25．证明下列命题：已知函数f（x）=kx+p及实数m，n（m＜n），若f（m）＞0，f（n）＞0，则对于一切实数x∈（m，n）都有f（x）＞0．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】一次函数、指数函数、对数函数的增长差异
【解析】解答：分别画出三种函数模型：f（x）=xn（n＞0），g（x）=ax（a＞1）和h（x）=logax（a＞1）的示意图．
观察图象发现，指数函数g（x）=ax（a＞1）的函数值增长速度最快，其次是幂函数f（x）=xn（n＞0），最后是对数函数h（x）=logax（a＞1）．
根据它们增长的快慢，则一定存在正实数x0，当x＞x0时，就有g（x）＞f（x）＞h（x）．
故选D．
分析：先分别画出三种函数模型：f（x）=xn（n＞0），g（x）=ax（a＞1）和h（x）=logax（a＞1）的示意图．观察图象发现，指数函数g（x）=ax（a＞1）的函数值增长速度最快，其次是幂函数f（x）=xn（n＞0），最后是对数函数h（x）=logax（a＞1）．根据它们增长的快慢从而得出结论．
2．【答案】C
【知识点】一次函数、指数函数、对数函数的增长差异
【解析】【解答】对于A中的函数，当
x=3或4时，误差较大．对于B中的函数，当 x=3或4时误差也较大．
对于C中的函数，当
x=1，2，3时，误差为0，x=4时，误差为10，误差很小．
对于D中的函数，当x=4时，据函数式得到的结果为300，与实际值790相差很远．
综上，只有C中的函数误差最小，
故选 C．
【分析】当 x=1，2时，基本上都没有误差，检验当x=3或4时，各个选项中的函数值与真实值的误差大小，应选误差小的．
3．【答案】D
【知识点】一次函数、指数函数、对数函数的增长差异
【解析】【解答】由题意可知，函数模型对应的函数是个增函数，而且增长速度越来越慢，故应采用对数型函数来建立函数模型，
故选 D．
【分析】由题意可知，利润y与时间x的关系是个增函数，而且增长速度越来越慢，符合对数函数的特征．
4．【答案】A
【知识点】一次函数、指数函数、对数函数的增长差异
【解析】解答：根据图象过点（2，2）可知
点（2，2）适合y=at﹣1即2=a
∴函数关系是y=2t﹣1
令t=0时，y= =0.5，故①正确；
令t=7时，y=26=64＞60，故②正确；
当t=1时，y=1，增加0.5，当t=2时，y=2，增加1，每月增加的面积不相等，故③不正确；
分别令y=4、16、64，解得t1=3，t2=5，t3=7，t1+t2＞t3，故④不正确．
其中所有正确命题的序号是：①②
故选A．
分析：先根据图象经过点（2，2）求出a，代入函数的解析式，即可求出底数a，进而即可求出这个指数函数的表达式；然后对各个选择支进行逐一判断即可．令t=0时，y= =0.5即可对①进行判断；对于②，将t=7代入函数的解析式，即可求出第7个月时浮萍的面积；对于③，当t=1时，和当t=2时，计算这两个月增加的面积；分别将y=4、16、64分别代入函数解析式，求出对应的t值，即可对于④进行判断．
5．【答案】C
【知识点】一次函数、指数函数、对数函数的增长差异
【解析】解答：由题意可知，ax＞ 在（﹣1，1）上恒成立，令y1=ax，y2= ，
由图象知：0＜a＜1时a1≥ = ，即 ≤a＜1；
当a＞1时，a﹣1≥ = ，可得
1＜a≤2．
∴ ≤a＜1或1＜a≤2．
故选 C．
分析：由题意可知，ax＞ 在（﹣1，1）上恒成立，令y1=ax，y2= ，结合图象，列出不等式组，解不等式组，求出a的取值范围．
6．【答案】D
【知识点】一次函数、指数函数、对数函数的增长差异
【解析】【解答】根据四种函数的变化特点，指数函数是一个变化最快的函数，
当运动的时间足够长，最前面的动物一定是按照指数函数运动的物体，
即一定是第四种物体，
故选D．
【分析】指数函数是一个变化最快的函数，当运动的时间足够长，最前面的动物一定是按照指数函数运动的动物，即一定是第四种动物．
7．【答案】D
【知识点】一次函数、指数函数、对数函数的增长差异
【解析】【解答】A：函数y=f（x）中，对每一个x值，只能有唯一的y与之对应，
∴函数y=f（x）的图象与平行于y轴的直线最多只能有一个交点．（A）就不对了．
B：由于两个函数的定义域不同，故不是同一个函数，错；
C：根据零点存在性定理知，要求函数f（x）在区间[a，b]上连续才行，故其不正确；
故选D．
【分析】对于A：函数是特殊的映射，对每一个x值，只能有唯一的y与之对应，函数y=f（x）的图象也是．
对于B：从函数的定义域出发考虑即可；
对于C：注意应用零点存在性定理的条件；
对于D：从对数函数、指数函数与幂函数的增长差异角度考虑即可．
8．【答案】A
【知识点】根据实际问题选择函数类型
【解析】【解答】由表，10×11=110，
110÷16商是6余数是14，
故A×B=6E
应选A．
【分析】先算出十进制下的结果，再由进位制下转换的规则转换．
9．【答案】B
【知识点】根据实际问题选择函数类型
【解析】【解答】由提供的数据知，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系函数不可能是常数函数，也不是单调函数；而A，C，D对应的函数，在a≠0时，均为单调函数，这与表格提供的数据不吻合，
所以，选取B，
故选B．
【分析】由提供的数据知，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系函数不可能是单调函数，故可求得．
10．【答案】C
【知识点】根据实际问题选择函数类型
【解析】解答：设直角三角形的框架的两条直角边为x，y（x＞0，y＞0）
则xy=4，
此时三角形框架的周长C为：
x+y+ =x+y+
∵x+y≥2 =4
∴C≥4+2 ≈6.83
故用7米的铁丝最合适．
故选C．
分析：先设直角三角形的框架的两条直角边为x，y（x＞0，y＞0）则 xy=2，此时三角形框架的周长为x+y+ ，则根据基本不等式，可以求出周长的最小值．
11．【答案】D
【知识点】根据实际问题选择函数类型
【解析】解答：设某一种商品降价10%后，欲恢复原价，则应提价x%，
根据题意：
a（1﹣10%）（1+x%）=a，
∴x=11 ．
故选D
分析：首先设出某一种商品降价10%后，欲恢复原价，则应提价x%，然后根据题意建立等式，并解出x的值，从而作答．
12．【答案】C
【知识点】根据实际问题选择函数类型
【解析】【解答】由题意可知：
∵等腰三角形的周长是20，底边长为y，腰长为x．
∴2x+y=20，
∴y=20﹣2x，
又∵0＜2x＜20，且2x＞20﹣2x
∴5＜x＜10，
底边长y关于其腰长x的函数关系式为：
y=20﹣2x（5≤x≤10）
故选C．
【分析】本题考查的是根据实际问题选择函数模型的问题．在解答时，应先充分考虑图形的特点，利用三角形的周长为底边加腰长的两倍，即可找到底边长y关于其腰长x的函数关系式，进而问题即可获得解答．
13．【答案】D
【知识点】根据实际问题选择函数类型
【解析】【解答】根据题意
最终跑在最前面的人一为f值最大的函数
通过分析各种类型函数的增长f1（x）=x2，f2（x）=4x，f3（x）=log2x，f4（x）=2x，D中，f4（x）=2x增长最快
故选D
【分析】根据题意，本题实际考查各类函数的增长模型，通过对四类函数分析，指数函数增长最快，选出选项．
14．【答案】B
【知识点】根据实际问题选择函数类型
【解析】解答：x克a%的盐水中含盐（ax+by）%克
即c%=（x+y）×（ax+by）%
即c=（x+y）×（ax+by）
整理得y= x
故选B．
分析：根据混合前后盐份=盐份，我们可以结合在x克a%的盐水中，加入y克b%的盐水，浓度变成c%（a，b＞0，a≠b），构造方程，变形后，即可得到x与y的函数关系式．
15．【答案】C
【知识点】根据实际问题选择函数类型
【解析】【解答】解：横轴表示时间，纵轴表示速度．
当第3分的时候，对应的速度是40千米/时，A对；
第12分的时候，对应的速度是0千米/时，B对；
从第3分到第6分，汽车的速度保持不变，是40千米/时，行驶的路程为40× =2千米，C错；
从第9分到第12分，汽车对应的速度分别是60千米/时，0千米/时，所以汽车的速度从60千米/时减少到0千米/时，D对．
综上可得：错误的是C．
故选C．
【分析】根据图象反应的速度与时间的关系，可以计算路程，针对每一个选项，逐一判断．
16．【答案】0.729a
【知识点】一次函数、指数函数、对数函数的增长差异
【解析】【解答】光线每通过一块玻璃板时，强度变为原来的0.9倍，则通过3块玻璃板后的强度变为 a×0.93=0.729a．
故答案为：0.729a．
【分析】光线原来的强度为a，光线每通过一块玻璃板时，强度变为原来的0.9倍，故通过n块玻璃板后的强度变为原来的 2n倍．
17．【答案】y=x3
【知识点】一次函数、指数函数、对数函数的增长差异
【解析】【解答】函数y=x3导数的为y′=3x2，
函数y=x2lnx的导数为 y′=2xlnx+x，
当x足够大时，3x2远大于 2xlnx+x，
∴幂函数的增长速度远大于函数y=x2lnx的增长速度，
故函数y=x3与函数y=x2lnx在区间（0，+∞）上增长速度较快的一个是 y=x3．
故答案为：y=x3
【分析】利用幂函数与对数函数的增长速度的差异，当x足够大时，函数y=x3导数远大于函数y=x2lnx的导数，故在（0，+∞）上增长较快的是幂函数，函数y=x2lnx增长较慢．
18．【答案】y=x2
【知识点】一次函数、指数函数、对数函数的增长差异
【解析】【解答】函数y=x2导数的为y′=2x，函数y=xlnxd的导数为 y′=lnx+1，
当x足够大时，2x 远大于 lnx+1，
∴幂函数的增长速度远大于对数函数的增长速度，
故函数y=x2与函数y=xlnx在区间（1，+∞）上增长较快的一个是函数 y=x2．
【分析】利用幂函数与对数函数的增长速度的差异，当x足够大时，函数y=x2导数远大于函数y=xlnxd的导数，故在（1，+∞）上增长较快的是幂函数，对数函数增长较慢．
19．【答案】11
【知识点】根据实际问题选择函数类型
【解析】【解答】由题意可知：工序c可以和工序a、b合并，工序e和工序d可以合并为工序d，工序f无法合并，是单独工序．
所以所用工程总时数为：2+3+5+1=11天．
故答案为：11．
【分析】本题考查的是根据实际问题选择函数模型的问题．在解答时，应结合所给表格分析好可以合并的工序，注意利用优选法对重复的供需选择用时较多的．进而问题即可获得解答．
20．【答案】2
【知识点】根据实际问题选择函数类型
【解析】【解答】由题意，Q0=15°，Q1=60°，Q=35°，
∵Q=Q0+（Q1﹣Q0）e﹣tln1.5
∴35=15+（60﹣15）e﹣tln1.5
∴
∴t=2
故答案为：2．
【分析】根据Q=Q0+（Q1﹣Q0）e﹣tln1.5，可得对数方程，解之即可得答案．
21．【答案】1
【知识点】根据实际问题选择函数类型
【解析】【解答】由题意，甲卖给乙获利：1000×10%=100（元），
乙卖给甲：1000×（1+10%）（1﹣10%）=990（元），
甲卖给丙；1000×（1+10%）（1﹣10%）×90%=1000×1.1×0.9×0.9=891（元），
甲赔了：990﹣891=99（元），
甲的盈亏情况为：100﹣99=1（元），
故答案为：盈利1元．
【分析】首先计算出甲卖给乙获利多少元，计算出乙卖给甲的价钱后，再计算甲卖给丙的价钱，算出甲赔了多少，综合以上情况得到甲的盈亏情况．
22．【答案】ex＞x2
【知识点】根据实际问题选择函数类型
【解析】【解答】∵y甲=ex和y乙=x2．
而当x≥1时，甲磁盘受到的病毒感染增长率比乙磁盘受到的病毒感染增长率大
∴ex＞x2故答案为：ex＞x2
【分析】首先分析甲乙两个函数，然后根据当x≥1时，甲磁盘受到的病毒感染增长率比乙磁盘受到的病毒感染增长率大得出不等关系即可．
23．【答案】解：若按照第一种每天支付38元，则工作x天后的薪水是y1=38x，暑假有30﹣60天，按最少的来算．
第一种：38×30=1140元，
第二种：4+8+12+…+a1+（n﹣1）×4=（4+120）×30× =1860元，
第三种：0.4+0.8+1.2+…+a1*q^n﹣1=28 28＞1860；
所以只要工作超过30天选第三种
【知识点】一次函数、指数函数、对数函数的增长差异
【解析】【分析】根据三种支付方式，分别表示出三种不同的表示式，第一种是一个关于天数的一次函数，第二种是一个递增的等差数列，利用等差数列的前n项和写出结果，第三种是一个等比数列，利用等比数列的前n项和，写出结果，进行比较．
24．【答案】解：以一号仓库为原点建立坐标轴， 则五个点坐标分别为A1：0，A2：100，A3：200，A4：300，A5：400， 设货物集中于点B：x，则所花的运费y=5|x|+10|x﹣100|+20|x﹣200|， 当0≤x≤100时，y=﹣25x+9000，此时，当x=100时，ymin=6500； 当100＜x＜200时，y=﹣5x+7000，此时，5000＜y＜6500； 当x≥200时，y=35x﹣9000，此时，当x=200时，ymin=5000． 综上可得，当x=200时，ymin=5000， 即将货物都运到五号仓库时，花费最少，为5000元．
【知识点】根据实际问题选择函数类型
【解析】【分析】要求把所有的货物放在一个仓库里运费最少，其实就是要求运输的总路程最少．先把实际问题转化为数学问题，以一号仓库为原点建立坐标轴，表示五个仓库的坐标，然后假设货物集中于某一点坐标设为x，利用绝对值的意义表示出总运费y．然后根据x的取值范围化简绝对值得到y与x的分段函数，分别求出各段的最小值，最后比较去最小得解．
25．【答案】证明：设x1，x2∈（m，n） 且x1＜x2， 当k＞0时，f（x2）﹣f（x1）=k（x2﹣x1）＞0，f（x）为增函数．f（x）＞f（m）＞0． 当k＜0时，f（x2）﹣f（x1）=k（x2﹣x1）＜0，f（x）为减函数．f（x）＞f（n）＞0． 当k=0时，f（x）为常函数．f（x）=f（m）＞0． 综上对于一切实数x∈（m，n）都有f（x）＞0．
【知识点】根据实际问题选择函数类型
【解析】【分析】先证明f（x）的单调性，利用单调性再去证明f（x）＞0．
1 / 1人教新课标A版必修1数学3.2.1几类不同增长的函数模型同步检测
一、选择题
1．给出三种函数模型：f（x）=xn（n＞0），g（x）=ax（a＞1）和h（x）=logax（a＞1）．根据它们增长的快慢，则一定存在正实数x0，当x＞x0时，就有（ ）
A．f（x）＞g（x）＞h（x） B．h（x）＞g（x）＞f（x）
C．f（x）＞h（x）＞g（x） D．g（x）＞f（x）＞h（x）
【答案】D
【知识点】一次函数、指数函数、对数函数的增长差异
【解析】解答：分别画出三种函数模型：f（x）=xn（n＞0），g（x）=ax（a＞1）和h（x）=logax（a＞1）的示意图．
观察图象发现，指数函数g（x）=ax（a＞1）的函数值增长速度最快，其次是幂函数f（x）=xn（n＞0），最后是对数函数h（x）=logax（a＞1）．
根据它们增长的快慢，则一定存在正实数x0，当x＞x0时，就有g（x）＞f（x）＞h（x）．
故选D．
分析：先分别画出三种函数模型：f（x）=xn（n＞0），g（x）=ax（a＞1）和h（x）=logax（a＞1）的示意图．观察图象发现，指数函数g（x）=ax（a＞1）的函数值增长速度最快，其次是幂函数f（x）=xn（n＞0），最后是对数函数h（x）=logax（a＞1）．根据它们增长的快慢从而得出结论．
2．某品牌电脑投放市场的第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好反映销售量y与投放市场月数x之间的关系的是（ ）
A．y=100x B．y=50x2﹣50x+100
C．y=50×2x D．y=100log2x+100
【答案】C
【知识点】一次函数、指数函数、对数函数的增长差异
【解析】【解答】对于A中的函数，当
x=3或4时，误差较大．对于B中的函数，当 x=3或4时误差也较大．
对于C中的函数，当
x=1，2，3时，误差为0，x=4时，误差为10，误差很小．
对于D中的函数，当x=4时，据函数式得到的结果为300，与实际值790相差很远．
综上，只有C中的函数误差最小，
故选 C．
【分析】当 x=1，2时，基本上都没有误差，检验当x=3或4时，各个选项中的函数值与真实值的误差大小，应选误差小的．
3．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用（ ）
A．一次函数 B．二次函数 C．指数型函数 D．对数型函数
【答案】D
【知识点】一次函数、指数函数、对数函数的增长差异
【解析】【解答】由题意可知，函数模型对应的函数是个增函数，而且增长速度越来越慢，故应采用对数型函数来建立函数模型，
故选 D．
【分析】由题意可知，利润y与时间x的关系是个增函数，而且增长速度越来越慢，符合对数函数的特征．
4．某池塘中原有一块浮草，浮草蔓延后的面积y（m2）与时间t（月）之间的函数关系是y=at﹣1（a＞0，且a≠1），它的图象如图所示．给出以下命题：
①池塘中原有浮草的面积是0.5m2；
②到第7个月浮草的面积一定能超过60m2
③浮草每月增加的面积都相等；
④若浮草面积达到4m2，16m2，64m2所经过时间分别为t1，t2，t3，则t1+t2＜t3，其中所有正确命题的序号是（ ）
A．①② B．①④ C．②③ D．②④
【答案】A
【知识点】一次函数、指数函数、对数函数的增长差异
【解析】解答：根据图象过点（2，2）可知
点（2，2）适合y=at﹣1即2=a
∴函数关系是y=2t﹣1
令t=0时，y= =0.5，故①正确；
令t=7时，y=26=64＞60，故②正确；
当t=1时，y=1，增加0.5，当t=2时，y=2，增加1，每月增加的面积不相等，故③不正确；
分别令y=4、16、64，解得t1=3，t2=5，t3=7，t1+t2＞t3，故④不正确．
其中所有正确命题的序号是：①②
故选A．
分析：先根据图象经过点（2，2）求出a，代入函数的解析式，即可求出底数a，进而即可求出这个指数函数的表达式；然后对各个选择支进行逐一判断即可．令t=0时，y= =0.5即可对①进行判断；对于②，将t=7代入函数的解析式，即可求出第7个月时浮萍的面积；对于③，当t=1时，和当t=2时，计算这两个月增加的面积；分别将y=4、16、64分别代入函数解析式，求出对应的t值，即可对于④进行判断．
5．已知a＞0且a≠1，f（x）=x2﹣ax，当x∈（﹣1，1）时均有f（x）＜ ，则实数a的取值范围是（ ）
A． ∪[2，+∞） B． ∪（1，4]
C． ∪（1，2] D． ∪[4，+∞）
【答案】C
【知识点】一次函数、指数函数、对数函数的增长差异
【解析】解答：由题意可知，ax＞ 在（﹣1，1）上恒成立，令y1=ax，y2= ，
由图象知：0＜a＜1时a1≥ = ，即 ≤a＜1；
当a＞1时，a﹣1≥ = ，可得
1＜a≤2．
∴ ≤a＜1或1＜a≤2．
故选 C．
分析：由题意可知，ax＞ 在（﹣1，1）上恒成立，令y1=ax，y2= ，结合图象，列出不等式组，解不等式组，求出a的取值范围．
6．a，b，c，d四个物体沿同一方向同时开始运动，假设其经过的路程和时间x的函数关系分别是f1（x）=x2， ，f3（x）=log2x，f4（x）=2x，如果运动的时间足够长，则运动在最前面的物体一定是（ ）
A．a B．b C．c D．d
【答案】D
【知识点】一次函数、指数函数、对数函数的增长差异
【解析】【解答】根据四种函数的变化特点，指数函数是一个变化最快的函数，
当运动的时间足够长，最前面的动物一定是按照指数函数运动的物体，
即一定是第四种物体，
故选D．
【分析】指数函数是一个变化最快的函数，当运动的时间足够长，最前面的动物一定是按照指数函数运动的动物，即一定是第四种动物．
7．下列说法正确的是（ ）
A．函数y=f（x）的图象与直线x=a可能有两个交点
B．函数y=log2x2与函数y=2log2x是同一函数
C．对于[a，b]上的函数y=f（x），若有f（a） f（b）＜0，那么函数y=f（x）在（a，b）内有零点
D．对于指数函数y=ax（a＞1）与幂函数y=xn（n＞0），总存在一个x0，当x＞x0时，就会有ax＞xn
【答案】D
【知识点】一次函数、指数函数、对数函数的增长差异
【解析】【解答】A：函数y=f（x）中，对每一个x值，只能有唯一的y与之对应，
∴函数y=f（x）的图象与平行于y轴的直线最多只能有一个交点．（A）就不对了．
B：由于两个函数的定义域不同，故不是同一个函数，错；
C：根据零点存在性定理知，要求函数f（x）在区间[a，b]上连续才行，故其不正确；
故选D．
【分析】对于A：函数是特殊的映射，对每一个x值，只能有唯一的y与之对应，函数y=f（x）的图象也是．
对于B：从函数的定义域出发考虑即可；
对于C：注意应用零点存在性定理的条件；
对于D：从对数函数、指数函数与幂函数的增长差异角度考虑即可．
8．计算机中常用十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：
16进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
10进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
例如，用十六进制表示：E+D=1B，则A×B=（ ）
A．6E B．72 C．5F D．B0
【答案】A
【知识点】根据实际问题选择函数类型
【解析】【解答】由表，10×11=110，
110÷16商是6余数是14，
故A×B=6E
应选A．
【分析】先算出十进制下的结果，再由进位制下转换的规则转换．
9．某地西红柿2月1日开始上市，通过市场调查，得到西红柿的种植成本Q（单位：元/100kg）与上市时间t（单位：天）的数据如下表：
时间t 50 110 250
种植成本Q 150 108 150
根据表中数据，下列函数模型中可以描述西红柿的种植成本Q与上市时间t的变化关系的是（ ）
A．Q=at+b B．Q=at2+bt+c，0＜a＜
C．Q=a bt D．Q=a logbt
【答案】B
【知识点】根据实际问题选择函数类型
【解析】【解答】由提供的数据知，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系函数不可能是常数函数，也不是单调函数；而A，C，D对应的函数，在a≠0时，均为单调函数，这与表格提供的数据不吻合，
所以，选取B，
故选B．
【分析】由提供的数据知，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系函数不可能是单调函数，故可求得．
10．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2m2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理（够用且浪费最少）的是（ ）
A．6.5m B．6.8m C．7m D．7.2m
【答案】C
【知识点】根据实际问题选择函数类型
【解析】解答：设直角三角形的框架的两条直角边为x，y（x＞0，y＞0）
则xy=4，
此时三角形框架的周长C为：
x+y+ =x+y+
∵x+y≥2 =4
∴C≥4+2 ≈6.83
故用7米的铁丝最合适．
故选C．
分析：先设直角三角形的框架的两条直角边为x，y（x＞0，y＞0）则 xy=2，此时三角形框架的周长为x+y+ ，则根据基本不等式，可以求出周长的最小值．
11．某一种商品降价10%后，欲恢复原价，则应提价（ ）
A．10% B．9% C．11% D．11 %
【答案】D
【知识点】根据实际问题选择函数类型
【解析】解答：设某一种商品降价10%后，欲恢复原价，则应提价x%，
根据题意：
a（1﹣10%）（1+x%）=a，
∴x=11 ．
故选D
分析：首先设出某一种商品降价10%后，欲恢复原价，则应提价x%，然后根据题意建立等式，并解出x的值，从而作答．
12．一等腰三角形的周长是20，则其底边长y关于其腰长x的函数关系式是（ ）
A．y=20﹣2x（x≤10） B．y=20﹣2x（x＜10）
C．y=20﹣2x（5≤x≤10） D．y=20﹣2x（0＜x＜10）
【答案】C
【知识点】根据实际问题选择函数类型
【解析】【解答】由题意可知：
∵等腰三角形的周长是20，底边长为y，腰长为x．
∴2x+y=20，
∴y=20﹣2x，
又∵0＜2x＜20，且2x＞20﹣2x
∴5＜x＜10，
底边长y关于其腰长x的函数关系式为：
y=20﹣2x（5≤x≤10）
故选C．
【分析】本题考查的是根据实际问题选择函数模型的问题．在解答时，应先充分考虑图形的特点，利用三角形的周长为底边加腰长的两倍，即可找到底边长y关于其腰长x的函数关系式，进而问题即可获得解答．
13．四人赛跑，假设其跑过的路程和时间的函数关系分别是f1（x）=x2，f2（x）=4x，f3（x）=log2x，f4（x）=2x如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是（ ）
A．f1（x）=x2 B．f2（x）=4x
C．f3（x）=log2x D．f4（x）=2x
【答案】D
【知识点】根据实际问题选择函数类型
【解析】【解答】根据题意
最终跑在最前面的人一为f值最大的函数
通过分析各种类型函数的增长f1（x）=x2，f2（x）=4x，f3（x）=log2x，f4（x）=2x，D中，f4（x）=2x增长最快
故选D
【分析】根据题意，本题实际考查各类函数的增长模型，通过对四类函数分析，指数函数增长最快，选出选项．
14．在x克a%的盐水中，加入y克b%的盐水，浓度变成c%（a，b＞0，a≠b），则x与y的函数关系式是（ ）
A．y= x B．y= x C．y= x D．y= x
【答案】B
【知识点】根据实际问题选择函数类型
【解析】解答：x克a%的盐水中含盐（ax+by）%克
即c%=（x+y）×（ax+by）%
即c=（x+y）×（ax+by）
整理得y= x
故选B．
分析：根据混合前后盐份=盐份，我们可以结合在x克a%的盐水中，加入y克b%的盐水，浓度变成c%（a，b＞0，a≠b），构造方程，变形后，即可得到x与y的函数关系式．
15．如图，图象（折线OEFPMN）描述了某汽车在行驶过程中速度与时间的函数关系，下列说法中错误的是（ ）
A．第3分时汽车的速度是40千米/时
B．第12分时汽车的速度是0千米/时
C．从第3分到第6分，汽车行驶了120千米
D．从第9分到第12分，汽车的速度从60千米/时减少到0千米/时
【答案】C
【知识点】根据实际问题选择函数类型
【解析】【解答】解：横轴表示时间，纵轴表示速度．
当第3分的时候，对应的速度是40千米/时，A对；
第12分的时候，对应的速度是0千米/时，B对；
从第3分到第6分，汽车的速度保持不变，是40千米/时，行驶的路程为40× =2千米，C错；
从第9分到第12分，汽车对应的速度分别是60千米/时，0千米/时，所以汽车的速度从60千米/时减少到0千米/时，D对．
综上可得：错误的是C．
故选C．
【分析】根据图象反应的速度与时间的关系，可以计算路程，针对每一个选项，逐一判断．
二、填空题
16．光线通过一块玻璃板时，其强度要损失原来的10%，把几块这样的玻璃板重叠起来，设光线原来的强度为a，则通过3块玻璃板后的强度变为 ．
【答案】0.729a
【知识点】一次函数、指数函数、对数函数的增长差异
【解析】【解答】光线每通过一块玻璃板时，强度变为原来的0.9倍，则通过3块玻璃板后的强度变为 a×0.93=0.729a．
故答案为：0.729a．
【分析】光线原来的强度为a，光线每通过一块玻璃板时，强度变为原来的0.9倍，故通过n块玻璃板后的强度变为原来的 2n倍．
17．函数y=x3与函数y=x2lnx在区间（0，+∞）上增长速度较快的一个是 ．
【答案】y=x3
【知识点】一次函数、指数函数、对数函数的增长差异
【解析】【解答】函数y=x3导数的为y′=3x2，
函数y=x2lnx的导数为 y′=2xlnx+x，
当x足够大时，3x2远大于 2xlnx+x，
∴幂函数的增长速度远大于函数y=x2lnx的增长速度，
故函数y=x3与函数y=x2lnx在区间（0，+∞）上增长速度较快的一个是 y=x3．
故答案为：y=x3
【分析】利用幂函数与对数函数的增长速度的差异，当x足够大时，函数y=x3导数远大于函数y=x2lnx的导数，故在（0，+∞）上增长较快的是幂函数，函数y=x2lnx增长较慢．
18．函数y=x2与函数y=xlnx在区间（1，+∞）上增长较快的一个是 ．
【答案】y=x2
【知识点】一次函数、指数函数、对数函数的增长差异
【解析】【解答】函数y=x2导数的为y′=2x，函数y=xlnxd的导数为 y′=lnx+1，
当x足够大时，2x 远大于 lnx+1，
∴幂函数的增长速度远大于对数函数的增长速度，
故函数y=x2与函数y=xlnx在区间（1，+∞）上增长较快的一个是函数 y=x2．
【分析】利用幂函数与对数函数的增长速度的差异，当x足够大时，函数y=x2导数远大于函数y=xlnxd的导数，故在（1，+∞）上增长较快的是幂函数，对数函数增长较慢．
19．某工程由下列工序组成，则工程总时数为 天．
工序 a b c d e f
紧前工序 ﹣ ﹣ a、b c c d、e
工时数（天） 2 3 2 5 4 1
【答案】11
【知识点】根据实际问题选择函数类型
【解析】【解答】由题意可知：工序c可以和工序a、b合并，工序e和工序d可以合并为工序d，工序f无法合并，是单独工序．
所以所用工程总时数为：2+3+5+1=11天．
故答案为：11．
【分析】本题考查的是根据实际问题选择函数模型的问题．在解答时，应结合所给表格分析好可以合并的工序，注意利用优选法对重复的供需选择用时较多的．进而问题即可获得解答．
20．把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是Q1，空气温度是Q0，t分钟后温度Q可由公式Q=Q0+（Q1﹣Q0）e﹣tln1.5求得，现在60？的物体放在15？的空气中冷却，当物体温度为35°时，冷却时间t= 分钟．
【答案】2
【知识点】根据实际问题选择函数类型
【解析】【解答】由题意，Q0=15°，Q1=60°，Q=35°，
∵Q=Q0+（Q1﹣Q0）e﹣tln1.5
∴35=15+（60﹣15）e﹣tln1.5
∴
∴t=2
故答案为：2．
【分析】根据Q=Q0+（Q1﹣Q0）e﹣tln1.5，可得对数方程，解之即可得答案．
21．甲用1000元买入一种股票，后将其转卖给乙，获利10%，而后乙又将这些股票卖给甲，乙损失了10%，最后甲按乙卖给甲的价格九折将股票售出，甲在上述交易中盈利 元．
【答案】1
【知识点】根据实际问题选择函数类型
【解析】【解答】由题意，甲卖给乙获利：1000×10%=100（元），
乙卖给甲：1000×（1+10%）（1﹣10%）=990（元），
甲卖给丙；1000×（1+10%）（1﹣10%）×90%=1000×1.1×0.9×0.9=891（元），
甲赔了：990﹣891=99（元），
甲的盈亏情况为：100﹣99=1（元），
故答案为：盈利1元．
【分析】首先计算出甲卖给乙获利多少元，计算出乙卖给甲的价钱后，再计算甲卖给丙的价钱，算出甲赔了多少，综合以上情况得到甲的盈亏情况．
22．据研究，甲、乙两个磁盘受到病毒感染，感染的量y（单位：比特数）与时间x（单位：秒）的函数关系式分别是y甲=ex和y乙=x2．显然，当x≥1时，甲磁盘受到的病毒感染增长率比乙磁盘受到的病毒感染增长率大．试根据上述事实提炼一个不等式是 ．
【答案】ex＞x2
【知识点】根据实际问题选择函数类型
【解析】【解答】∵y甲=ex和y乙=x2．
而当x≥1时，甲磁盘受到的病毒感染增长率比乙磁盘受到的病毒感染增长率大
∴ex＞x2故答案为：ex＞x2
【分析】首先分析甲乙两个函数，然后根据当x≥1时，甲磁盘受到的病毒感染增长率比乙磁盘受到的病毒感染增长率大得出不等关系即可．
三、解答题
23．某同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学，该商场向他提供了三种付酬方案：第一种，每天支付38元；第二种，第一天付4元，第二天付8元，第三天付12元，第四天付16元，依此类推；第三种，第一天付0.4元，以后每天比前一天翻一番（即增加1倍）．请利用所学数学知识帮助他计算该如何选择领取报酬的方式．
【答案】解：若按照第一种每天支付38元，则工作x天后的薪水是y1=38x，暑假有30﹣60天，按最少的来算．
第一种：38×30=1140元，
第二种：4+8+12+…+a1+（n﹣1）×4=（4+120）×30× =1860元，
第三种：0.4+0.8+1.2+…+a1*q^n﹣1=28 28＞1860；
所以只要工作超过30天选第三种
【知识点】一次函数、指数函数、对数函数的增长差异
【解析】【分析】根据三种支付方式，分别表示出三种不同的表示式，第一种是一个关于天数的一次函数，第二种是一个递增的等差数列，利用等差数列的前n项和写出结果，第三种是一个等比数列，利用等比数列的前n项和，写出结果，进行比较．
24．在一条公路上，每隔100km有个仓库（如图），共有5个仓库．一号仓库存有10t货物，二号仓库存20t，五号仓库存40t，其余两个仓库是空的．现在想把所有的货物放在一个仓库里，如果每吨货物运输1km需要0.5元运输费，那么要多少才行？
【答案】解：以一号仓库为原点建立坐标轴， 则五个点坐标分别为A1：0，A2：100，A3：200，A4：300，A5：400， 设货物集中于点B：x，则所花的运费y=5|x|+10|x﹣100|+20|x﹣200|， 当0≤x≤100时，y=﹣25x+9000，此时，当x=100时，ymin=6500； 当100＜x＜200时，y=﹣5x+7000，此时，5000＜y＜6500； 当x≥200时，y=35x﹣9000，此时，当x=200时，ymin=5000． 综上可得，当x=200时，ymin=5000， 即将货物都运到五号仓库时，花费最少，为5000元．
【知识点】根据实际问题选择函数类型
【解析】【分析】要求把所有的货物放在一个仓库里运费最少，其实就是要求运输的总路程最少．先把实际问题转化为数学问题，以一号仓库为原点建立坐标轴，表示五个仓库的坐标，然后假设货物集中于某一点坐标设为x，利用绝对值的意义表示出总运费y．然后根据x的取值范围化简绝对值得到y与x的分段函数，分别求出各段的最小值，最后比较去最小得解．
25．证明下列命题：已知函数f（x）=kx+p及实数m，n（m＜n），若f（m）＞0，f（n）＞0，则对于一切实数x∈（m，n）都有f（x）＞0．
【答案】证明：设x1，x2∈（m，n） 且x1＜x2， 当k＞0时，f（x2）﹣f（x1）=k（x2﹣x1）＞0，f（x）为增函数．f（x）＞f（m）＞0． 当k＜0时，f（x2）﹣f（x1）=k（x2﹣x1）＜0，f（x）为减函数．f（x）＞f（n）＞0． 当k=0时，f（x）为常函数．f（x）=f（m）＞0． 综上对于一切实数x∈（m，n）都有f（x）＞0．
【知识点】根据实际问题选择函数类型
【解析】【分析】先证明f（x）的单调性，利用单调性再去证明f（x）＞0．
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