德宏州 2023—2024学年高三年级秋季学期期末教学质量统一监测
数学参考答案及评分建议
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。
序号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D B A C D B C
二、多项选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。
序号 9 10 11 12
答案 CD AB ABC BCD
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。
13．8 14 3 15 2 2 16 [ 1． ． ． , )
2 e
四、解答题：本题共 6小题，共 70分。
17．解：由题意，令公差为 d，公比为 q．
（Ⅰ）由 a2 a3 a4 9，即 3a3 9，有 a3 3；
∵ d
1
(a3 a2 1
) 1， a1 1，∴ an n
由 b1b3 4b2 ，即 b 21 q
2 4b1q，有 q 2
n
∵ b1 2， ∴ bn 2 ． ………………… 5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）有
b 2nc n 1 1n (2an 1)(2an +1 1) (2n 1)(2n 1 1) 2n 1 2n 1 1
则有 Sn c1 c2 cn
( 1 1 1 1 1 1
21
1 22
) (
1 22
3 ) ( n n 1 ) 1 2 1 2 1 2 1
1 1 n 1 ． ………………… 10分2 1
（如有其它解法，可参照上述解法赋分）
数学参考答案及评分建议·第 1页（共 5页）
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18．解：由题意有
f (x) 2sinxcos(x ) sin(2x 1 ) …………… 2分
6 6 2
2
（Ⅰ）由 x R， 2，有T ；
2k 2x 由 ≤ ≤2k
（ k Z），有 k ≤ x≤k
2 6 2 3 6
故函数 f (x)的最小正周期为 ，单调递增区间为 [k ,k ]（ k Z）．
3 6
………………… 7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）有
f ( B ) sin(B 1 1 ) ，即 sin(B ) 1
2 6 2 2 6
0 又 B ，有 B
，即 B
2 6 2 3
a c b
由b 3，有 2sinA sinC sinB
则 a 2sinA， c 2sinC 2 s in(A B) sinA 3cosB
0 A 2 5
又 A ，即 A
A B 6 2 2 3 6
2
则有 a c 3sin A 3cos A 2 3 sin (A
) ( 3,2 3)
3
故 a c的取值范围为 ( 3,2 3)． ………………… 12分
（如有其它解法，可参照上述解法赋分）
19．解：（Ⅰ）由题意，建立如图所示的空间直角坐标系 A xyz．
令 AP c， BC b，由 AB 1， AD 2
有 A(0,0,0)， B(1,0,0) ，C(1,b,0)，D(0,2,0)， P( 0,0,c )，
∴ PB (1,0, c)， PC (1,b, c)，CD ( 1,2 b,0)
由 PC CD 2b b2 1 0，有 b 1
由 cos60
|
P B C D | 1 1
2 2，有 c 1| PB ||CD | 2 c 1
数学参考答案及评分建议·第 2页（共 5页）
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有CD ( 1,1,0)， AP (0,0,1)， AC (1,1,0)
∴CD AP 0，CD AC 0
即CD AP，CD AC，又 AC ∩ AP=A
故CD 与平面 PAC ． ………………… 5分
（Ⅱ）令 PM PB（ 0≤ ≤1），
由 AP (0,0,1)， AB (1,0,0)，令m 平面 PAB，有m AP AB (0,1,0)
由 AM AP PB ( ,0,1 ) ， AC (1,1,0)
令 n 平面 ACM ，有 n AM AC ( 1,1 , )
则由| cos m n
|1 | 3
, | 1
2 2 3 ，解得： 2( 1) 2
故存在 M为 PB 3的中点，使得平面 PAB与平面 ACM 的夹角的余弦值为 ．
3
………………… 12分
（如有其它解法，可参照上述解法赋分）
20．解：（Ⅰ）由题意有
1 b
2 3
2 a 4
由 2 ，解得： a
2 4， b2 1
1 2a 2b 2 2 a
2
故椭圆 C x的方程为 y2 1 ． ………………… 5分
4
（Ⅱ）由条件知 F ( 3,0)，设直线 l的方程为 y k (x 3)，且M (x1,y1)， N (x2,y2 )
y k (x 3)
2 (4k 2 1)x2 8 3k 2由 x x 12k
2 4 0
y2 1
4
2
x x 8 3k x x 12k
2 4
则有 1 2 ， 4k 2 1 1 2 4k 2 1
3
∴ y1 y2 k (x1 x2 ) 2 3k
8 3k
2 2 3k
2 3k
4k 1 4k 2 1
数学参考答案及评分建议·第 3页（共 5页）
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2
令MN 的中点为 P 4 3k 3k，则 P( 2 , 2 )4k 1 4k 1
MN y 3k 1 (x 4 3k
2
直线 的垂直平分线的方程为 2 2 )4k 1 k 4k 1
2
y 0 E( 3 3k 0) | EF | | 3 3k
2
3 | 3(k
2 1)
令 ，有 2 ， ，则有 2 4k 1 4k 1 4k 2 1
2
又| MN | 1 4(k 1) k 2 (x x )21 2 4x1x2 4k 2 1
| EF | 3
则有 为定值． ………………… 12分
| MN | 4
（如有其它解法，可参照上述解法赋分）
21．解：（Ⅰ）记事件 A为最后摸出的2个球颜色不同，事件B为这2个球是从丙箱中摸出的．
C1C2 C1 C1C1 C1 C1C1 1 1 1 1 1 1 1 1P(A) 2 2 ( 1 2 3 3 3 2
C C
2 1 2 1 2 )
C
2
C2 (C2 2 3 C 2 C 4C12 1 )
8
C4 C4 C5 C4 C5 C4 C4 C
2 C1 25 4 C5 15
1 2 1 C1C1 C1 C1C1
又 P(AB)
C C
2 2 ( C1 2 3 3 3 2 1
C2 C1 C2
1 2 )
4 4 5 C4 C5 5
有 P(B|A)
P(AB) 3
P(A) 8 ………………… 6分
（Ⅱ）由条件知 X 2，3，4
C1C2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2P(X 2) 2 2 C1
C2C3 C3 C3C2 C2C2 C2 C2 5
且 2 ( 1 2 1 2 ) 2 C C C C C C C1
C2
4 4 5 4 5 4 4 5 60
P(X 3) C
1C2 C1 C1C1 C1 C1C1 C1C1 C1 C1C1 C1 C1C1 32
2 2 ( 1 2 3 3 3 22 1 2 )
2 2 ( 2 2 3 2 4 1 )
C4 C4 C5 C
1 C2 C2 C1 C2 C1 C24 5 4 4 5 4 5 60
C1C2 C1 C2 C1 C2 C1C1 C1 C2 1 2P(X 4) 2 2 ( 1 2 3 3 ) 2 2 ( 2 3 C C 2 4 ) 23
C2
4 C
1
4 C
2
5 C
1 C2 C2 C1 2 1 24 5 4 4 C5 C4 C5 60
∴ X 的分布列为：
X 2 3 4
5 32 23
P
60 60 60
E(x) 2 5 3 32 4 23故 3.3． ………………… 12分
60
（如有其它解法，可参照上述解法赋分）
数学参考答案及评分建议·第 4页（共 5页）
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22．解：由题意有
f (x) lnx ax x 2
1
(x 0) ∴ f (x) a 2x
x
则有（Ⅰ） 由 x [1，2]，有 f (x)≤0
1 2x a 0 a 2x 1即 ≤ ，有 ≤
x x
令 g(x) 2x
1
(1≤ x≤2)
x
又 g(x)在 (0， ) 上单调递增，且1≤ x≤2，有 g(x)min g(1) 1
故 a≤1． ………………… 5分
（Ⅱ）由 x≥1，方程 f (x) [1 e(x 1)]lnx有两个不同根，
1
即 a x e(1 )lnx在[1， )上有两个不同根；
x
2
g(x) x e(1 1 )lnx x 1 g (x) x ex elnx e令 （ ≥ ）， 有 2 ；x x
2
令 h(x) x2 ex elnx e x x ex e（ ≥1）， 有 h (x) ；
x
令 p(x) 2x2 ex e（ x≥1）， 有 p (x) 4x e；
由 x≥1，有 p (x) 0，即函数 p(x)在 [1， )上单调递增；
又 p(x)≥ p(1) 2 0，则 h (x) 0，即函数 h(x)在 [1， )上单调递增；
又 h(e) 0，则 x [1,e)，有 h(x) 0，即 g (x) 0；
x [e,+ )，有 h(x) 0，即 g (x) 0；
即函数 g（x )在 [1,e)上单调递减，在 [e, )上单调递增；
有 g(x)min g(e) 1，且 g(1) 1；
1
由直线 y a与函数 g(x) x e(1 )lnx（ x≥1）有两个不同的交点；
x
故实数 a的取值范围为 ( 1,1]． ………………… 12分
（如有其它解法，可参照上述解法赋分）
数学参考答案及评分建议·第 5页（共 5页）
{#{QQABCQoEogAAAAIAAQgCQwXaCkAQkBEACIoORBAEoAAACRFABAA=}#}德宏州 2023—2024学年高三年级秋季学期期末教学质量统一监测
数学试卷
考试时间：120分钟 满分：150分
注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在
答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在
答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将答题卡交回。
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1．已知集合 A {x | x a≥0}， B {x | 0≤ x≤3}，若 B A，则 a的取值范围是（ ）
A．{a | a≤0} B．{a | a 0} C．{a | a≤3} D．{a | a 3}
2．已知关于 x的不等式 x2 ax b≤ 0的解集为{x | 2≤ x≤3}，则关于 x的不等式
x2 bx a 0的解集为（ ）
A．{x | 2 x 3} B．{x |1 x 3}
C．{x | 2 x 5} D．{x |1 x 5}
3．已知 D为 ABC 的边 BC的中点. 若 AB a， AD b，则 AC （ ）
A． 2b a B． 2b a C． 2a b D． 2a b
4．已知函数 f (x) cos( x )( 0) 在区间 [0, ]上恰有两条对称轴，则 的取值范围是
4
（ ）
A [7 11) B [5 9 7 11 5 9． ， ． ，) C． ( ， ] D． ( ，]
4 4 4 4 4 4 4 4
5．在三棱锥 P ABC中，PA PB AC BC 3，PC AB 2，则三棱锥 P ABC的外
接球的表面积为（ ）
A． 20 B．12 C．5 D． 4
数学试卷·第 1页（共 6页）
{#{QQABCQoEogAAAAIAAQgCQwXaCkAQkBEACIoORBAEoAAACRFABAA=}#}
6．甲乙两人玩纸牌游戏，已知甲手中有两张10与三张 5，乙手中有三张 9与两张 4．现从
两人手中各随机抽取两张牌并交换给对方，则交换之后甲手中牌的点数之和大于乙手中
牌的点数之和的概率为（ ）
A 3 B 21 C 27 45． ． ． D．
100 100 100 100
7．已知正项等比数列{an}中， a4， 3a3 ， a5成等差数列．若数列{an}中存在两项 am ， an，
2a 1 4使得 1为它们的等比中项，则 的最小值为（ ）m n
A．1 B．3 C． 6 D． 9
x2 2x(x≤0)8．已知函数 f (x) ，则函数 g(x) f [ f (x) 1]的零点个数为（ ）
ln(xe
x )(x 0)
A． 4 B．5 C． 6 D． 7
二、多项选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求。全部选对得 5分，有选错的得 0分，部分选对的得 2分。
9．已知 z 是复数 z的共轭复数，则下列说法正确的是（ ）
A． z z z 2 B．若 | z | 1，则 z 1
C． | z z | | z | | z | D．若 | z 1| 1，则 | z 1|的最小值为1
x210 C : y
2
．已知双曲线
a2
2 1(a 0，b 0)的左、右焦点分别为 F 、F ，过原点的直线 l与b 1 2
双曲线交于 A、 B两点．若四边形 AF1BF2 为矩形，且 | AF1 | 3 | AF2 |，则下列正确的是
（ ）
A． | AB | 10a B．双曲线C 10的离心率为
2
C．矩形 AF1BF2 的面积为 4a
2 D．双曲线C的渐近线方程为 y 6x
11．已知曲线 f (x) e x x、g(x) ln x x与直线 y 2交点的横坐标分别为 x1、x2 ，则（ ）
x1
A． x1 x 2 B x
x e ln x ． 12 2 x1 1 C． x1e x2 ln x2 D． 2x1 x2
数学试卷·第 2页（共 6页）
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12．在正方体 ABCD A1B1C1D1中，AB 1，点M 在底面正方形 ABCD内及边界上运动，则
（ ）
A．存在点M ，使得 A1M 平面 B1CD1
B AM 2 ．若 1 ，则动点M 的轨迹长度为 2
C．若 A1M ∥平面 B1CD1，则动点M 的轨迹长度为 2
D．若 A1M 平面 A1BD，则三棱锥 B1 CD1M 的体积为定值
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。
13．已知样本数据为1， a， b， 7， 9，且 a、 b是方程 x2 8x 15 0的两根，则这组样
本数据的方差是 ．
14 cos( ) 3 cos(5 ．已知 ，则 )的值为 ．
4 2 4
15．已知动点 P在抛物线 y2 4x上，过点 P引圆 (x 3)2 y2 4的切线，切点分别为 A、B，
则 | AB |的最小值为 ．
16．设函数 f (x) x2 x ln a，g(x) ae x ln x . 若 f (x) g(x)在 x (0,1)恒成立，则实数 a的
取值范围是 ．
四、解答题：本题共 6个小题，共 70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（本小题 10分）
在等差数列{an}与等比数列{bn}中，已知 a1 1， b1 2，且 a2 a3 a4 9， b1b3 4b2 ．
（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；
b
（Ⅱ n）若 cn a a {c } n S(2 n 1)(2 n 1 1) ，求数列 n 的前 项和 n ．
数学试卷·第 3页（共 6页）
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18．（本小题 12分）
已知函数 f (x) 2sin xcos(x
)．
6
（Ⅰ）求 f (x)的最小正周期和单调递增区间；
B 1
（Ⅱ）锐角 ABC 中， f ( ) ，且 ，求 a c的取值范围．
2 2 b 3
19．（本小题 12分）
如图，在四棱锥 P ABCD中，已知 PA 底面 ABCD，AB BC ，AD∥ BC，PC CD，
AB 1， AD 2，异面直线 PB与CD所成角为 60 ．
（Ⅰ）证明：CD 与平面 PAC ；
Ⅱ PB M PAB ACM 3（ ）在棱 上是否存在一点 ，使得平面 与平面 夹角的余弦值为 ？若
3
存在，指出点M 在棱 PB上的位置；若不存在，请说明理由．
数学试卷·第 4页（共 6页）
{#{QQABCQoEogAAAAIAAQgCQwXaCkAQkBEACIoORBAEoAAACRFABAA=}#}
20．（本小题 12分）
x2 y2 3
已知椭圆C : 1 (a b 0)2 2 的离心率为 ，A、B分别为椭圆C的左、右顶点，a b 2
F 为椭圆C的右焦点，过 F 的直线 l与椭圆C交于不同的两点M 、N；当直线 l垂直于 x轴
时，四边形 AMBN 的面积为 2．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线 l的斜率为 k(k 0)，线段MN 的垂直平分线与 x轴交于点 E，求证：
|EF|︰ |MN |为定值．
21．（本小题 12分）
设有甲、乙、丙三个不透明的箱子，每个箱中装有除颜色外都相同的 4个球，其中甲箱
有 2个蓝球和 2个黑球，乙箱有 3个红球和1个白球，丙箱有 2个红球和 2个白球．摸球规则
如下：先从甲箱中一次摸出 2个球，若从甲箱中摸出的 2个球颜色相同，则从乙箱中摸出1个
球放入丙箱，再从丙箱中一次摸出 2个球；若从甲箱中摸出的 2个球颜色不同，则从丙箱中
摸出1个球放入乙箱，再从乙箱中一次摸出 2个球．
（Ⅰ）若最后摸出的 2个球颜色不同，求这 2个球是从丙箱中摸出的概率；
（Ⅱ）若摸出每个红球记 2分，每个白球记1分，用随机变量 X 表示最后摸出的 2个球的
分数之和，求 X 的分布列及数学期望．
数学试卷·第 5页（共 6页）
{#{QQABCQoEogAAAAIAAQgCQwXaCkAQkBEACIoORBAEoAAACRFABAA=}#}
22．（本小题 12分）
已知函数 f (x) ln x ax x 2(a R) ．
（Ⅰ）若函数 f (x)在 [1，2]上单调递减，求出实数 a的取值范围；
（Ⅱ）若方程 f (x) [1 e(x 1)]ln x在[1， ) 上有两个不同的实数根，求实数a的取值范围．
数学试卷·第 6页（共 6页）
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