高一数学答案
1．C
【分析】若集合中有个元素，则集合中有个真子集，即可求解.
【详解】集合有个元素，所以真子集个数为：，故C正确.
故选：C.
2．C
【分析】直接根据全称命题的否定是特称命题得到答案.
【详解】命题“”的否定是：.故选：C
3．A
【分析】对于A：根据不等式性质分析判断；对于BCD：举反例分析说明.
【详解】因为，则，故A正确；
例如，可得，故B错误；
例如，可得，故C错误；
例如，可得，故D错误；故选：A.
4．C
【分析】依题意和是方程的两个实数根，利用韦达定理得到方程组，即可求出，再解一元二次不等式即可.
【详解】因为不等式的解集是：，
所以和是方程的两个实数根，
由，解得：，
故不等式，即为，
解不等式，得：，
所求不等式的解集是：.故选：C．
5．C
【分析】根据方程组法求解函数的解析式，代入求出，，再利用求出，从而得解.
【详解】因为，所以，
联立可得，所以，，
因为，所以，则，
所以.故选：C.
6．C
【分析】由二次函数的单调性计算即可得.
【详解】，
则在上单调递减，在单调递增，
又，，，
故在区间的值域为.故选：C.
7．B
【分析】利用奇函数的性质，即可求解的值，即可求解的值.
【详解】因为函数和都是上的奇函数，所以，，
，
则，.故选：B
8．D
【分析】借助函数的奇偶性、可排除AC，再代入特殊值，借助函数的正负排除B.
【详解】的定义域为，
，
为奇函数，图象关于原点对称，故AC错误；
故B错误.故选：D.
9．AC
【分析】利用集合的交集、并集以及补集的定义，结合韦恩图分析各选项即可求得结果.
【详解】根据图示可知阴影部分表示的元素是属于集合，而不属于集合，
即在阴影部分区域内任取一个元素，则满足，且，即且；
因此阴影部分可表示为，即A正确；
且，因此阴影部分可表示为，C正确，
易知阴影部分表示的集合是和的真子集，即B错误，D错误.
故选：AC
10．BCD
【分析】A选项，全称量词命题的否定是特称量词命题，把任意改为存在，把结论否定；B选项，变形后利用基本不等式求出最小值；C选项，根据不等式的解集得到，求出，得到答案；D选项，由，但得到答案.
【详解】A选项，“，都有”的否定是“，使得”，A错误；
B选项，当时，
，
当且仅当，即时，等号成立，
故当时，的最小值为，B正确；
C选项，由题意得为的两个根，
，解得，则，C正确；
D选项，，但，比如满足，但不满足，
故“”是“”的充分不必要条件，D正确.故选：BCD
11．AD
【分析】分段函数单调递减，需满足在每一段上均单调递减，且分段处的左端点函数值大于等于右端点的函数值，得到不等式，求出的取值范围，得到答案.
【详解】的对称轴为，
故，解得.
故不可能等于和2.故选：AD
12．AB
【分析】根据指数函数的定义求解.
【详解】因为函数是指数函数，
所以，解得或.故选：AB
13．4
【分析】根据得到，将化为，根据均值不等式即可求解.
【详解】因为，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为.故答案为：.
14．
【分析】根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可．
【详解】由函数有意义，则满足，解得，
所以函数的定义域为．故答案为：．
15．
【分析】根据偶函数的定义求得结果.
【详解】设，则，则.故答案为：.
16．
【分析】根据指数幂的性质可得，，根据可得代入求解.
【详解】由于的图象恒过定点，所以，且，故且，
由于，所以，
又，即，故，
因此，故，故答案为：
17．(1) (2)
【分析】（1）利用分式指数幂的运算公式，化简求值；
（2）首先求，即可化简求值.
【详解】（1）原式；
（2），
所以.
18．(1)；
(2)
【分析】（1）根据题意，结合集合交集、并集和补集的运算，即可求解；
（2）由，得到，列出不等式组，即可求解.
【详解】（1）解：当时，集合，
因为，
所以，且或，
则.
（2）解：由集合，，
若，可得，则满足，解得，
所以实数的取值范围为.
19．(1) (2)答案见解析
【分析】（1）设，由，求得，再由，列出方程组，求得，即可求得函数的解析式；
（2）由（1）知，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】（1）解：根据题意，设，
因为，可得，即，
又由，
且，
又因为，即，
所以，
可得，解得，所以.
（2）解：由（1）知，
可得函数的图象开口向上，且对称轴为，所以，
当时，根据二次函数的对称性，可得，
所以函数在区间上的最大值为；
当时，根据二次函数的对称性，可得，
所以函数在区间上的最大值为，
综上可得，当时，的最大值为；当时，的最大值为.
20．(1)
(2)
【分析】（1）配方后得到函数的单调性，从而求出函数的最值，得到值域；
（2）转化为在上恒成立，数形结合得到不等式组，求出的取值范围.
【详解】（1）时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
故在处取得最小值，最小值为，
又，故最大值为8，故值域为；
（2）在上恒成立，
故只需，解得或，
故的取值范围是.
21．(1)证明见解析 (2)
【分析】（1）根据函数的奇偶性可得对于恒成立，则，即可求解；
（2）由题意和（1）可得，利用定义法证明函数的单调性，结合函数的奇偶性建立不等式，解之即可求解.
【详解】（1）由题意知，函数为偶函数，则，
得，
即对于恒成立，所以.
所以，即证.
（2）由，得，由（1）知，则，
任取，
，
因为，，所以，
又，则，得，
即，所以，
故，即，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
由，得，又，所以，
即，解得，
故原不等式的解集为.
22．(1)
(2)
(3)．
【分析】（1）借助奇函数的性质即可得；
（2）由定义在上的奇函数有，再设出时有，即可代入求解；
（3）结合函数单调性与奇偶性即可得.
【详解】（1）由函数是定义在上的奇函数，可得．
又当时，，可得；
（2）当时，；
当时，，则，
又，可得时，．
所以；
（3）由的解析式可得奇函数在上单调递增，
所以即为，
化为，解得，
即的取值范围是.江西省部分学校2023-2024学年高一上学期1月期末考试
数学试题
姓名： 分数：
卷I（选择题）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每题给出的4个选项中，只有一项是符合要求的。）
1．集合的真子集个数为（ ）
A． B． C． D．
2．命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知，，是实数，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．若不等式的解集是，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
5．若函数，满足，且，则（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
6．已知函数，则在区间的值域为（ ）
A． B．
C． D．
7．若函数和都是上的奇函数，，若，则（ ）
A．1 B． C． D．5
8．函数 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每题给出的4个选项中，有多项是符合要求的，其中全部选对得5分，部分选对得2分，选错不得分。）
9．如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（ ）
A． B． C． D．
10．下列说法正确的是（ ）
A．命题“，都有”的否定是“，使得”
B．当时，的最小值为
C．若不等式的解集为，则
D．“”是“”的充分不必要条件
11．已知函数在上单调递减，则不可能等于（ ）
A． B．1 C． D．2
12．若函数是指数函数，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
卷II（非选择题，共90分）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）
13．已知，，且满足，则的最小值为 .
14．求函数的定义域 ．
15．已知偶函数满足：当时，，则时， .
16．已知函数（其中m，，且）的图象恒过定点，若，则 .
四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17题10分，18-22分12分。）
17．回答下面两题：
(1)计算：
(2)计算：已知，则 =
18．已知集合，．
(1)若，求，；
(2)若，求实数a的取值范围．
19．已知是二次函数，且，.
(1)求的解析式；
(2)求在区间上的最大值.
20．已知函数.
(1)若，且，求函数的值域；
(2)若，都有，求的取值范围.
21．已知函数为偶函数.
(1)证明：；
(2)当时，解关于x的不等式.
22．已知函数是定义在上的奇函数，当时，．
(1)求；
(2)求函数的解析式；
(3)若，求实数的取值范围．
