新人教版数学八年级上册第十三章轴对称13.1.2线段的垂直平分线的性质同步练习
一、选择题
1．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于线段AB的长为半径画孤，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，若△ADC的周长为10，AB＝7，则△ABC的周长为（ ）
A．7 B．14 C．17 D．20
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】∵在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于的AB的长为半径画孤，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，∴MN是AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∵△ADC的周长为10，∴AC＋AD＋CD＝AC＋BD＋CD＝AC＋BC＝10，∵AB＝7，∴△ABC的周长为：AC＋BC＋AB＝10＋7＝17．
【分析】首先根据题意可得MN是AB的垂直平分线，即可得AD＝BD，又由△ADC的周长为10，求得AC＋BC的长，则可求得△ABC的周长．
2．如下图，在 中，∠C＝90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于D．若AC＝9，则AE的值是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠ABE，∵ED垂直平分AB于D，∴EA＝EB，∴∠A＝∠ABE，∴∠CBE＝30°，∴BE＝2EC，即AE＝2EC，而AE＋EC＝AC＝9，∴AE＝6．
【分析】由角平分线的定义得到∠CBE＝∠ABE，再根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，则∠A＝∠ABE，可得∠CBE＝30°，根据含30度的直角三角形三边的关系得到BE=2EC，即AE=2EC，由AE＋EC＝AC＝9，即可求出AC．
3．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝5，则线段PB的长度为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，∴PB＝PA，而已知线段PA＝5，∴PB＝5．
【分析】由直线CD是线段AB的垂直平分线可以得到PB＝PA，而已知线段PA＝5，由此即可求出线段PB的长度．
4．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°．线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于（ ）
A．80° B．60° C．40° D．20°
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】∵等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，∴∠ABC＝80°，∵DE是线段AB垂直平分线的交点，∴AE＝BE，∠A＝∠ABE＝20°，∴∠CBE＝∠ABC－∠ABE＝80°－20°＝60°．故选B．
【分析】先根据△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°求出∠ABC的度数，再根据线段垂直平分线的性质可求出AE＝BE，即∠A＝∠ABE＝20°即可解答．
5．如图，直线CP是AB的中垂线且交AB于P，其中AP＝2CP．甲、乙两人想在AB上取两点D、E，使得AD＝DC＝CE＝EB，其作法如下：
甲：作∠ACP、∠BCP之角平分线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求；
乙：作AC、BC之中垂线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求．
对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确（ ）
A．两人都正确 B．两人都错误
C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】解答：甲错误，乙正确．∵CP是线段AB的中垂线，∴△ABC是等腰三角形，即AC＝BC，∠A＝∠B，作AC、BC之中垂线分别交AB于D、E，∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCE，∵∠A＝∠B，∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCE，∵AC＝BC，∴△ACD≌△BCE，∴AD＝EB，∵AD＝DC，EB＝CE，∴AD＝DC＝EB＝CE．故选D．
分析：先根据直线CP是AB的中垂线且交AB于P，判断出△ABC是等腰三角形，即AC＝BC，再根据线段垂直平分线的性质作出两点D、E，使得AD＝DC＝CE＝EB．
6．如图，在 中，∠C＝90°，∠B＝30°．AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，则下列结论不正确的是（ ）
A．AE＝BE B．AC＝BE C．CE＝DE D．∠CAE＝∠B
【答案】B
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】根据线段垂直平分线的性质，得AE＝BE，故A选项正确；因为AE＞AC，AE＝BE，所以AC＜BE，故B选项错误；根据等角对等边，得∠BAE＝∠B＝30°；根据直角三角形的两个锐角互余，得∠BAC＝60°，则∠CAE＝∠BAE＝30°，根据角平分线的性质，得CE＝DE，故C选项正确；根据C的证明过程，故D选项正确．
【分析】根据线段垂直平分线的性质，得AE＝BE；根据等角对等边，得∠BAE＝∠B＝30°；根据直角三角形的两个锐角互余，得∠BAC＝60°，则∠CAE＝∠BAE＝30°，根据角平分线的性质，得CE＝DE．
7．（2015八下·成华期中）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A．△ABC的三条中线的交点 B．△ABC三边的中垂线的交点
C．△ABC三条角平分线的交点 D．△ABC三条高所在直线的交点
【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等，
∴凉亭选择△ABC三条角平分线的交点．
故选C．
【分析】由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到边的距离相等，可知是△ABC三条角平分线的交点．由此即可确定凉亭位置．
8．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（ ）
A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB
C．AB与CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵AC＝AD，BC＝BD，∴点A，B在线段CD的垂直平分线上，∴AB垂直平分CD．故选A．
【分析】由已知条件AC＝AD，利用线段垂直平分线的性质的逆用可得点A在CD的垂直平分线上，同理，点B也在CD的垂直平分线上，于是A是符合题意的，是正确的．
9．如图，在△ABC中，∠B＝30°，ED垂直平分BC，ED＝3．则CE长为（ ）
A．6 B．9 C．3 D．8
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】∵ED垂直平分BC，∴BE＝CE，∠EDB＝90°，∵∠B＝30°，ED＝3，∴BE＝2DE＝6，∴CE＝6．故选A．
【分析】由ED垂直平分BC，即可得BE＝CE，∠EDB＝90°，又由直角三角形中30°角所对的直角边是其斜边的一半，即可求得BE的长，则问题得解．
10．如图，△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，∠A＝30°，∠ACB＝80°，则∠BCE的度数为（ ）
A．80° B．70° C．60° D．50°
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】∵DE垂直平分AC，∠A＝30°，∴AE＝CE，∠ACE＝∠A=30°，∵∠ACB＝80°，∴∠BCE＝80°－30°＝50°．故选D．
【分析】根据△ABC中DE垂直平分AC，可求出AE＝CE，再根据等腰三角形的性质求出∠ACE＝∠A＝30°，再根据∠ACB＝80°即可解答．
11．如图，等腰三角形ABC中，已知AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AC于D，则∠CBD的度数为（ ）
A．50° B．30° C．75° D．45°
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】∵△ABC是等腰三角形，∠A＝30°，∴∠ABC＝∠ACB＝75°，∵AB的垂直平分线交AC于D，∴AD＝BD，∴∠A＝∠ABD=30°，∴∠BDC＝60°，∴∠CBD＝180°－75°－60°＝45°．故选D．
【分析】根据三角形的内角和定理，求出∠C，再根据线段垂直平分线的性质，推得∠A＝∠ABD＝30°，由外角的性质求出∠BDC的度数，从而得出∠CBD＝45°．
12．如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE与边BC交于点D，边AB交于点E．若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为（ ）
A．12 B．6 C．24 D．36
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵DE是BC边上的垂直平分线，∴BE＝CE，∵△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，∴ED＋DC＋EC＝24①，BE＋BD－DE＝12②，由①－②得，DE＝6．故选B．
【分析】运用线段垂直平分线定理进行线段转换，根据题意列关系式后求解．
13．已知A和B两点在线段EF的中垂线上，且∠EBF＝100°，∠EAF＝70°，则∠AEB等于( )
A．95° B．15° C．95°或15° D．170°或30°
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】解答：如图（1），当点A、B在线段EF的同侧时，∵A和B两点在线段EF的中垂线上，∴AE＝AF，BE＝BF，又∵∠EBF＝100°，∠EAF＝70°，∴∠AEF＝∠AFE＝55°，∠BEF＝∠BFE＝40°，∴∠AEB＝∠AEF－∠BEF＝15°；如图（2），当点A、B在线段EF的两侧时，∵A和B两点在线段EF的中垂线上，∴AE＝AF，BE＝BF，又∵∠EBF＝100°，∠EAF＝70°，∴∠AEF＝∠AFE＝55°，∠BEF＝∠BFE＝40°，∴∠AEB＝∠AEF＋∠BEF＝95°．故选C．
分析：本题没有给出图形，所以需要考虑点A、B在线段EF的同侧与两侧来解题．
14．如图，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB的垂直平分线交BC于点D，那么∠ADC的度数为（ ）
A．120° B．30° C．60° D．80°
【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】由AB＝AC，∠BAC＝120°，可得∠B＝30°，因为点D是AB的垂直平分线上的点，所以AD＝BD，因而∠BAD＝∠B＝30°，从而∠ADC＝∠BAD＋∠B＝60°．故选C．
【分析】由三角形的外角性质知∠ADC＝∠BAD＋∠B，又已知∠BAC＝120°，根据三角形内角和定理易得∠B，而AB的垂直平分线交BC于点D，根据垂直平分线的性质知∠BAD＝∠B，从而得解．
15．如图，∠ABC＝50°，AD垂直且平分BC于点D，∠ABC的平分线BE交AD于点E，连接EC，则∠AEC的度数是（ ）
A．50° B．25° C．80° D．115°
【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】解答：∵AD垂直且平分BC于点，∴BE＝EC，∴∠DBE＝∠DCE，又∵∠ABC＝50°，BE为∠ABC的平分线，∴∠EBC＝∠C＝ ×50°＝25°，∴∠AEC＝∠C＋∠EDC＝90°＋25°＝115°，∴∠AEC＝115°．故选D．
分析：先由题意得出垂直平分线垂直且平分BC，BE＝EC，由题意可得∠C＝∠EBC＝ ×50°＝25°，由三角形外角的性质可得∠AEC＝90°＋25°＝115°．
二、填空题
16．如图，有一腰长为5cm，底边长为4cm的等腰三角形纸片，沿着底边上的中线将纸片剪开，得到两个全等的直角三角形纸片，用这两个直角三角形纸片拼成的平面图形中有 个不同的四边形．
【答案】4
【知识点】线段垂直平分线的性质；剪纸问题
【解析】【解答】让三条相等的边互相重合各得到一个平行四边形；让斜边重合还可以得到一个一般的平行四边形．那么能拼出的四边形的个数是4个．
【分析】可动手操作拼图后解答．
17．已知如图，在△ABC中，BC＝8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC与E，则△ADE的周长等于 ．
【答案】8
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵△ABC中，BC＝8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC与E，∴AD＝BD，AE＝CE∴△ADE的周长＝AD＋AE＋DE＝BD＋DE＋CE＝BC＝8．
【分析】要求周长，就是求各边长和，利用线段的垂直平分线得到线段相等，进行等量代换后即可求出．
18．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，若AC平分∠DAB，且AB＝AC，AC＝AD，有如下四个结论：①AC⊥BD；②BC＝DE；③∠DBC＝∠DAC；④△ABC是正三角形．请写出正确结论的序号 （把你认为正确结论的序号都填上）
【答案】①
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵AB＝AC，AC＝AD，∴AB＝AD∵AC平分∠DAB∴AC垂直平分BD，①正确；∴DC＝CB，易知DC＞DE，∴BC＞DE，②错；D、C、B可看作是以点A为圆心的圆上，
∠DBC与∠DAC是圆心角与圆周角的关系，③错误；当△ABC是正三角形时，∠CAB＝60°
那么∠DAB＝120°，如图所示是不可能的，所以错误．故①的结论正确．
【分析】由已知条件，首先得到等腰三角形，利用线段垂直平分线的性质进一步得到其它结论．
19．如图，△ABC的周长为19cm，AC的垂直平分线DE交BC于D，E为垂足，AE＝3cm，则△ABD的周长为 cm．
【答案】13
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵AC的垂直平分线DE交BC于D，E为垂足∴AD=DC，AC=2AE=6cm，∵△ABC的周长为19cm，∴AB+BC=13cm，∴△ABD的周长＝AB＋BD＋AD＝AB＋BD＋CD＝AB＋BC＝13cm．
【分析】根据垂直平分线的性质：△ABD的周长＝AB＋BD＋AD＝AB＋BD＋CD＝AB＋BC．
20．在△ABC中，∠A＝50°，AB＝AC，AB的垂直平分线DE交AC于D，则∠DBC的度数是 °．
【答案】15
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵AB＝AC，∠A＝50°，∴∠ABC＝∠C＝（180°－50°）÷2＝65°∵DE为AB的中垂线∴AD＝BD∴∠ABD＝∠A＝50°∴∠CBD＝∠ABC－∠ABD＝15°．
【分析】由已知条件，求出底角的度数，根据垂直平分线的性质计算可得答案．
三、解答题
21．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC．
（1）求∠ECD的度数；
（2）若CE＝5，求BC长．
【答案】（1） 解：（1）∵DE垂直平分AC，∠A＝36°∴CE＝AE，∴∠ECD＝∠A＝36°；
（2） 解：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠B＝∠ACB＝72°，∴∠BEC＝∠A＋∠ECD＝72°，∴∠BEC＝∠B，∴BC＝EC＝5．
【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）ED是AC的垂直平分线，可得AE＝EC；∠A＝∠C；已知∠A＝36，即可求得；（2）△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，可得∠B＝72°又∠BEC＝∠A＋∠ECA＝72°，所以，得BC＝EC＝5．
22．如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线AD交BC于D，若DE垂直平分AB，求∠B的度数．
【答案】解：∵DE垂直平分AB，∴∠DAE＝∠B，∵在直角△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线AD交BC于D，∴∠DAE＝（90°－∠B）＝∠B，∴3∠B＝90°，∴∠B＝30°．
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】根据DE垂直平分AB，求证∠DAE＝∠B，再利用角平分线的性质和三角形内角和定理，即可求得∠B的度数．
23．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．
求证：
（1）FC＝AD
（2）AB＝BC＋AD．
【答案】（1）解：（1）∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠ECF，∵E是CD的中点，∴DE＝EF，∵在△ADE与△FCE中，∠ADC＝∠ECF，DE＝EF，∠AED＝∠CEF，∴△ADE≌△FCE（ASA），∴FC＝AD；
（2）解：∵△ADE≌△FCE，∴AE＝EF，AD＝CF，又∵BE⊥AE，∴BE是线段AF的垂直平分线，∴AB＝BF＝BC＋CF，∵AD＝CF，∴AB＝BC＋AD．
【知识点】全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据AD∥BC可知∠ADC＝∠ECF，再根据E是CD的中点可求出△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质即可解答；（2）根据线段垂直平分线的性质判断出AB＝BF即可．
24．如图所示，在 中，∠C＝90°，∠A＝30°．
（1）尺规作图：作线段AB的垂直平分线l（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在已作的图形中，若l分别交AB、AC及BC的延长线于点D、E、F，连接BE，求证：EF＝2DE．
【答案】（1）解答：解：如下图所示，直线l即为所求．
（2）解答：证明：在 中，∵∠A＝30°，∠ABC＝60°．又∵l为线段AB的垂直平分线，∴EA＝EB，∴∠EBA＝∠A=30°，∠AED＝∠BED=60°，∴∠EBC＝30°＝∠EBA，∠FEC＝60°．又∵ED⊥AB，EC⊥BC，∴ED＝EC．在 中，∠FEC＝60°，∴∠EFC＝30°，∴EF＝2EC，∴EF＝2ED
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】由∠A＝30°可证∠F＝30°，因而EF＝2EC，要证EF＝2DE，只要证明EC＝DE就可以．
25．如图，已知线段AB，分别以A、B为圆心，大于线段AB长为半径画弧，两弧相交于点C、Q，连接CQ与AB相交于点D，连接AC，BC，求∠ADC的度数．
【答案】90°
解答：解：△ABC，△AQB中，AC＝AQ，BC＝BQ，AB＝AB，△ABC≌△ABQ，∠CAB＝∠QAB，由等腰三角形性质知：AD是等腰△ACQ底边的高、中线和顶角的平分线，∴∠ADC＝90°．
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】本题虽然涉及的知识点比较多，但只要找准确所求与已知的关系，本题并不难解．
1 / 1新人教版数学八年级上册第十三章轴对称13.1.2线段的垂直平分线的性质同步练习
一、选择题
1．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于线段AB的长为半径画孤，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，若△ADC的周长为10，AB＝7，则△ABC的周长为（ ）
A．7 B．14 C．17 D．20
2．如下图，在 中，∠C＝90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于D．若AC＝9，则AE的值是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
3．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝5，则线段PB的长度为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
4．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°．线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于（ ）
A．80° B．60° C．40° D．20°
5．如图，直线CP是AB的中垂线且交AB于P，其中AP＝2CP．甲、乙两人想在AB上取两点D、E，使得AD＝DC＝CE＝EB，其作法如下：
甲：作∠ACP、∠BCP之角平分线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求；
乙：作AC、BC之中垂线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求．
对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确（ ）
A．两人都正确 B．两人都错误
C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
6．如图，在 中，∠C＝90°，∠B＝30°．AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，则下列结论不正确的是（ ）
A．AE＝BE B．AC＝BE C．CE＝DE D．∠CAE＝∠B
7．（2015八下·成华期中）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A．△ABC的三条中线的交点 B．△ABC三边的中垂线的交点
C．△ABC三条角平分线的交点 D．△ABC三条高所在直线的交点
8．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（ ）
A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB
C．AB与CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB
9．如图，在△ABC中，∠B＝30°，ED垂直平分BC，ED＝3．则CE长为（ ）
A．6 B．9 C．3 D．8
10．如图，△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，∠A＝30°，∠ACB＝80°，则∠BCE的度数为（ ）
A．80° B．70° C．60° D．50°
11．如图，等腰三角形ABC中，已知AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AC于D，则∠CBD的度数为（ ）
A．50° B．30° C．75° D．45°
12．如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE与边BC交于点D，边AB交于点E．若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为（ ）
A．12 B．6 C．24 D．36
13．已知A和B两点在线段EF的中垂线上，且∠EBF＝100°，∠EAF＝70°，则∠AEB等于( )
A．95° B．15° C．95°或15° D．170°或30°
14．如图，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB的垂直平分线交BC于点D，那么∠ADC的度数为（ ）
A．120° B．30° C．60° D．80°
15．如图，∠ABC＝50°，AD垂直且平分BC于点D，∠ABC的平分线BE交AD于点E，连接EC，则∠AEC的度数是（ ）
A．50° B．25° C．80° D．115°
二、填空题
16．如图，有一腰长为5cm，底边长为4cm的等腰三角形纸片，沿着底边上的中线将纸片剪开，得到两个全等的直角三角形纸片，用这两个直角三角形纸片拼成的平面图形中有 个不同的四边形．
17．已知如图，在△ABC中，BC＝8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC与E，则△ADE的周长等于 ．
18．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，若AC平分∠DAB，且AB＝AC，AC＝AD，有如下四个结论：①AC⊥BD；②BC＝DE；③∠DBC＝∠DAC；④△ABC是正三角形．请写出正确结论的序号 （把你认为正确结论的序号都填上）
19．如图，△ABC的周长为19cm，AC的垂直平分线DE交BC于D，E为垂足，AE＝3cm，则△ABD的周长为 cm．
20．在△ABC中，∠A＝50°，AB＝AC，AB的垂直平分线DE交AC于D，则∠DBC的度数是 °．
三、解答题
21．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC．
（1）求∠ECD的度数；
（2）若CE＝5，求BC长．
22．如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线AD交BC于D，若DE垂直平分AB，求∠B的度数．
23．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．
求证：
（1）FC＝AD
（2）AB＝BC＋AD．
24．如图所示，在 中，∠C＝90°，∠A＝30°．
（1）尺规作图：作线段AB的垂直平分线l（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在已作的图形中，若l分别交AB、AC及BC的延长线于点D、E、F，连接BE，求证：EF＝2DE．
25．如图，已知线段AB，分别以A、B为圆心，大于线段AB长为半径画弧，两弧相交于点C、Q，连接CQ与AB相交于点D，连接AC，BC，求∠ADC的度数．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】∵在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于的AB的长为半径画孤，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，∴MN是AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∵△ADC的周长为10，∴AC＋AD＋CD＝AC＋BD＋CD＝AC＋BC＝10，∵AB＝7，∴△ABC的周长为：AC＋BC＋AB＝10＋7＝17．
【分析】首先根据题意可得MN是AB的垂直平分线，即可得AD＝BD，又由△ADC的周长为10，求得AC＋BC的长，则可求得△ABC的周长．
2．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠ABE，∵ED垂直平分AB于D，∴EA＝EB，∴∠A＝∠ABE，∴∠CBE＝30°，∴BE＝2EC，即AE＝2EC，而AE＋EC＝AC＝9，∴AE＝6．
【分析】由角平分线的定义得到∠CBE＝∠ABE，再根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，则∠A＝∠ABE，可得∠CBE＝30°，根据含30度的直角三角形三边的关系得到BE=2EC，即AE=2EC，由AE＋EC＝AC＝9，即可求出AC．
3．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，∴PB＝PA，而已知线段PA＝5，∴PB＝5．
【分析】由直线CD是线段AB的垂直平分线可以得到PB＝PA，而已知线段PA＝5，由此即可求出线段PB的长度．
4．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】∵等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，∴∠ABC＝80°，∵DE是线段AB垂直平分线的交点，∴AE＝BE，∠A＝∠ABE＝20°，∴∠CBE＝∠ABC－∠ABE＝80°－20°＝60°．故选B．
【分析】先根据△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°求出∠ABC的度数，再根据线段垂直平分线的性质可求出AE＝BE，即∠A＝∠ABE＝20°即可解答．
5．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】解答：甲错误，乙正确．∵CP是线段AB的中垂线，∴△ABC是等腰三角形，即AC＝BC，∠A＝∠B，作AC、BC之中垂线分别交AB于D、E，∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCE，∵∠A＝∠B，∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCE，∵AC＝BC，∴△ACD≌△BCE，∴AD＝EB，∵AD＝DC，EB＝CE，∴AD＝DC＝EB＝CE．故选D．
分析：先根据直线CP是AB的中垂线且交AB于P，判断出△ABC是等腰三角形，即AC＝BC，再根据线段垂直平分线的性质作出两点D、E，使得AD＝DC＝CE＝EB．
6．【答案】B
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】根据线段垂直平分线的性质，得AE＝BE，故A选项正确；因为AE＞AC，AE＝BE，所以AC＜BE，故B选项错误；根据等角对等边，得∠BAE＝∠B＝30°；根据直角三角形的两个锐角互余，得∠BAC＝60°，则∠CAE＝∠BAE＝30°，根据角平分线的性质，得CE＝DE，故C选项正确；根据C的证明过程，故D选项正确．
【分析】根据线段垂直平分线的性质，得AE＝BE；根据等角对等边，得∠BAE＝∠B＝30°；根据直角三角形的两个锐角互余，得∠BAC＝60°，则∠CAE＝∠BAE＝30°，根据角平分线的性质，得CE＝DE．
7．【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等，
∴凉亭选择△ABC三条角平分线的交点．
故选C．
【分析】由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到边的距离相等，可知是△ABC三条角平分线的交点．由此即可确定凉亭位置．
8．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵AC＝AD，BC＝BD，∴点A，B在线段CD的垂直平分线上，∴AB垂直平分CD．故选A．
【分析】由已知条件AC＝AD，利用线段垂直平分线的性质的逆用可得点A在CD的垂直平分线上，同理，点B也在CD的垂直平分线上，于是A是符合题意的，是正确的．
9．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】∵ED垂直平分BC，∴BE＝CE，∠EDB＝90°，∵∠B＝30°，ED＝3，∴BE＝2DE＝6，∴CE＝6．故选A．
【分析】由ED垂直平分BC，即可得BE＝CE，∠EDB＝90°，又由直角三角形中30°角所对的直角边是其斜边的一半，即可求得BE的长，则问题得解．
10．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】∵DE垂直平分AC，∠A＝30°，∴AE＝CE，∠ACE＝∠A=30°，∵∠ACB＝80°，∴∠BCE＝80°－30°＝50°．故选D．
【分析】根据△ABC中DE垂直平分AC，可求出AE＝CE，再根据等腰三角形的性质求出∠ACE＝∠A＝30°，再根据∠ACB＝80°即可解答．
11．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】∵△ABC是等腰三角形，∠A＝30°，∴∠ABC＝∠ACB＝75°，∵AB的垂直平分线交AC于D，∴AD＝BD，∴∠A＝∠ABD=30°，∴∠BDC＝60°，∴∠CBD＝180°－75°－60°＝45°．故选D．
【分析】根据三角形的内角和定理，求出∠C，再根据线段垂直平分线的性质，推得∠A＝∠ABD＝30°，由外角的性质求出∠BDC的度数，从而得出∠CBD＝45°．
12．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵DE是BC边上的垂直平分线，∴BE＝CE，∵△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，∴ED＋DC＋EC＝24①，BE＋BD－DE＝12②，由①－②得，DE＝6．故选B．
【分析】运用线段垂直平分线定理进行线段转换，根据题意列关系式后求解．
13．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】解答：如图（1），当点A、B在线段EF的同侧时，∵A和B两点在线段EF的中垂线上，∴AE＝AF，BE＝BF，又∵∠EBF＝100°，∠EAF＝70°，∴∠AEF＝∠AFE＝55°，∠BEF＝∠BFE＝40°，∴∠AEB＝∠AEF－∠BEF＝15°；如图（2），当点A、B在线段EF的两侧时，∵A和B两点在线段EF的中垂线上，∴AE＝AF，BE＝BF，又∵∠EBF＝100°，∠EAF＝70°，∴∠AEF＝∠AFE＝55°，∠BEF＝∠BFE＝40°，∴∠AEB＝∠AEF＋∠BEF＝95°．故选C．
分析：本题没有给出图形，所以需要考虑点A、B在线段EF的同侧与两侧来解题．
14．【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】由AB＝AC，∠BAC＝120°，可得∠B＝30°，因为点D是AB的垂直平分线上的点，所以AD＝BD，因而∠BAD＝∠B＝30°，从而∠ADC＝∠BAD＋∠B＝60°．故选C．
【分析】由三角形的外角性质知∠ADC＝∠BAD＋∠B，又已知∠BAC＝120°，根据三角形内角和定理易得∠B，而AB的垂直平分线交BC于点D，根据垂直平分线的性质知∠BAD＝∠B，从而得解．
15．【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】解答：∵AD垂直且平分BC于点，∴BE＝EC，∴∠DBE＝∠DCE，又∵∠ABC＝50°，BE为∠ABC的平分线，∴∠EBC＝∠C＝ ×50°＝25°，∴∠AEC＝∠C＋∠EDC＝90°＋25°＝115°，∴∠AEC＝115°．故选D．
分析：先由题意得出垂直平分线垂直且平分BC，BE＝EC，由题意可得∠C＝∠EBC＝ ×50°＝25°，由三角形外角的性质可得∠AEC＝90°＋25°＝115°．
16．【答案】4
【知识点】线段垂直平分线的性质；剪纸问题
【解析】【解答】让三条相等的边互相重合各得到一个平行四边形；让斜边重合还可以得到一个一般的平行四边形．那么能拼出的四边形的个数是4个．
【分析】可动手操作拼图后解答．
17．【答案】8
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵△ABC中，BC＝8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC与E，∴AD＝BD，AE＝CE∴△ADE的周长＝AD＋AE＋DE＝BD＋DE＋CE＝BC＝8．
【分析】要求周长，就是求各边长和，利用线段的垂直平分线得到线段相等，进行等量代换后即可求出．
18．【答案】①
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵AB＝AC，AC＝AD，∴AB＝AD∵AC平分∠DAB∴AC垂直平分BD，①正确；∴DC＝CB，易知DC＞DE，∴BC＞DE，②错；D、C、B可看作是以点A为圆心的圆上，
∠DBC与∠DAC是圆心角与圆周角的关系，③错误；当△ABC是正三角形时，∠CAB＝60°
那么∠DAB＝120°，如图所示是不可能的，所以错误．故①的结论正确．
【分析】由已知条件，首先得到等腰三角形，利用线段垂直平分线的性质进一步得到其它结论．
19．【答案】13
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵AC的垂直平分线DE交BC于D，E为垂足∴AD=DC，AC=2AE=6cm，∵△ABC的周长为19cm，∴AB+BC=13cm，∴△ABD的周长＝AB＋BD＋AD＝AB＋BD＋CD＝AB＋BC＝13cm．
【分析】根据垂直平分线的性质：△ABD的周长＝AB＋BD＋AD＝AB＋BD＋CD＝AB＋BC．
20．【答案】15
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵AB＝AC，∠A＝50°，∴∠ABC＝∠C＝（180°－50°）÷2＝65°∵DE为AB的中垂线∴AD＝BD∴∠ABD＝∠A＝50°∴∠CBD＝∠ABC－∠ABD＝15°．
【分析】由已知条件，求出底角的度数，根据垂直平分线的性质计算可得答案．
21．【答案】（1） 解：（1）∵DE垂直平分AC，∠A＝36°∴CE＝AE，∴∠ECD＝∠A＝36°；
（2） 解：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠B＝∠ACB＝72°，∴∠BEC＝∠A＋∠ECD＝72°，∴∠BEC＝∠B，∴BC＝EC＝5．
【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）ED是AC的垂直平分线，可得AE＝EC；∠A＝∠C；已知∠A＝36，即可求得；（2）△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，可得∠B＝72°又∠BEC＝∠A＋∠ECA＝72°，所以，得BC＝EC＝5．
22．【答案】解：∵DE垂直平分AB，∴∠DAE＝∠B，∵在直角△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线AD交BC于D，∴∠DAE＝（90°－∠B）＝∠B，∴3∠B＝90°，∴∠B＝30°．
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】根据DE垂直平分AB，求证∠DAE＝∠B，再利用角平分线的性质和三角形内角和定理，即可求得∠B的度数．
23．【答案】（1）解：（1）∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠ECF，∵E是CD的中点，∴DE＝EF，∵在△ADE与△FCE中，∠ADC＝∠ECF，DE＝EF，∠AED＝∠CEF，∴△ADE≌△FCE（ASA），∴FC＝AD；
（2）解：∵△ADE≌△FCE，∴AE＝EF，AD＝CF，又∵BE⊥AE，∴BE是线段AF的垂直平分线，∴AB＝BF＝BC＋CF，∵AD＝CF，∴AB＝BC＋AD．
【知识点】全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据AD∥BC可知∠ADC＝∠ECF，再根据E是CD的中点可求出△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质即可解答；（2）根据线段垂直平分线的性质判断出AB＝BF即可．
24．【答案】（1）解答：解：如下图所示，直线l即为所求．
（2）解答：证明：在 中，∵∠A＝30°，∠ABC＝60°．又∵l为线段AB的垂直平分线，∴EA＝EB，∴∠EBA＝∠A=30°，∠AED＝∠BED=60°，∴∠EBC＝30°＝∠EBA，∠FEC＝60°．又∵ED⊥AB，EC⊥BC，∴ED＝EC．在 中，∠FEC＝60°，∴∠EFC＝30°，∴EF＝2EC，∴EF＝2ED
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】由∠A＝30°可证∠F＝30°，因而EF＝2EC，要证EF＝2DE，只要证明EC＝DE就可以．
25．【答案】90°
解答：解：△ABC，△AQB中，AC＝AQ，BC＝BQ，AB＝AB，△ABC≌△ABQ，∠CAB＝∠QAB，由等腰三角形性质知：AD是等腰△ACQ底边的高、中线和顶角的平分线，∴∠ADC＝90°．
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】本题虽然涉及的知识点比较多，但只要找准确所求与已知的关系，本题并不难解．
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