2023-2024学年贵州省“三新”改革联盟校高一上学期12月联考数学试卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年贵州省“三新”改革联盟校高一上学期12月联考数学试卷（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 40.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-01-27 17:26:32 | ||
图片预览
文档简介
2023-2024学年贵州省“三新”改革联盟校高一上学期12月联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则集合的子集个数有
( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
2.若，则的值是
( )
A. B. C. D.
3.扇形的面积为，半径为，则扇形的圆心角是
( )
A. B. C. 或 D. 或
4.命题“有一个偶数是素数”的否定是( )
A. 任意一个奇数是素数 B. 任意一个偶数都不是素数
C. 存在一个奇数不是素数 D. 存在一个偶数不是素数
5.已知，，，则
( )
A. B. C. D.
6.设函数，若是奇函数，则( )
A. B. C. D.
7.某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳的含量达到了危险状态，经抢修后恢复正常，排气分钟后测得车库内一氧化碳浓度为为浓度单位，表示百万分之一，经检验知，该地下车库一氧化碳浓度与排气时间分钟之间存在函数关系为常数，若空气中一氧化碳浓度不高于为正常，则至少需要排气多少分钟才能使这个地下车库中一氧化碳浓度达到正常状态
( )
A. B. C. D.
8.已知函数是定义域上的单调减函数，则实数的取值范围是
( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论中正确的是( )
A.
B.
C. 若角的终边过点，则
D. 若 是第三象限角，则
10.已知函数和，以下结论正确的有
( )
A. 它们互为反函数 B. 它们的定义域与值域正好互换
C. 它们的单调性相反 D. 它们的图象关于直线对称
11.已知函数，则下列说法正确的是
( )
A. 在定义域单调递减 B. 的值域为
C. 的图象关于对称 D. 可以由函数平移得到
12.关于函数，下列选项正确的是
( )
A. 的最小正周期是 B. 在区间单调递减
C. 在有个零点 D. 的最大值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.角的终边经过点，则 ．
14.的角是角的 倍．
15.为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度单位：随时间单位：的变化关系为，则经过 后池水中药品的浓度达到最大．
16.若函数在上有零点，则整数 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知集合，，．
若是的充分条件，求实数的范围；
若，求实数的范围．
18.本小题分
在平面直角坐标系：中，角以为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点．
若，求及的值；
若，求点的坐标．
19.本小题分
已知函数．
求的最小正周期，并求出取最大值时的集合；
求的单调递增区间．
20.本小题分
某家物流公司计划租地建造仓库存储货物，经过市场调查了解到下列信息：仓库每月土地占地费单位：万元与仓库到车站的距离单位：千米之间的关系为：，每月库存货物费单位：万元与之间的关系为：；若在距离车站千米建仓库，则和分别为万元和万元．
求的值；
这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？最小费用是多少？
21.本小题分
已知_____，且函数函数在定义域为上为偶函数；函数在区间上的最大值为在，两个条件中，选择一个条件，将上面的题目补充完整，求出的值，并解答本题．
判断的奇偶性，并证明你的结论；
设，对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围．
22.本小题分
已知函数的定义域为，且满足对任意，，都有．
求，的值；
判断函数的奇偶性并证明你的结论；
当时，，解不等式．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】由交集的概念以及子集个数公式即可得解．
【详解】由题意，所以的子集个数有个
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】由可得或，解出，再由集合的互异性检验即可得出答案．
【详解】因为，
所以或
由得或，其中与元素互异性矛盾，舍去，符合题意，
由得，符合题意，两种情况代入，答案相同．
故选：
3.【答案】
【解析】【分析】扇形的圆心角弧度为，根据扇形的面积公式，即可求得答案．
【详解】设扇形的圆心角弧度为，
由扇形的面积为，半径为，可得，
故选：
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查存在量词命题的否定，属于基础题．
根据存在量词命题 ，否定为 ，即可解得正确结果．
【解答】
解：由于存在量词命题的否定为全称量词命题，
所以命题“有一个偶数是素数”的否定是“任意一个偶数都不是素数”．
故选：
5.【答案】
【解析】【分析】利用对数函数与指数函数、正弦函数的性质即可得解．
【详解】因为，所以，
又，，
所以．
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】根据题意，求得，得出，结合，即可求解．
【详解】由函数，可得，
因为函数为奇函数，可得，
又由，即，可得．
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】由题意列方程求解，再由指数函数性质解不等式，
【详解】由题意得，解得，
所以，因为，所以，
解得，即至少需要排气分钟才能使这个地下车库中一氧化碳浓度达到正常状态．
故选：
8.【答案】
【解析】【分析】根据函数的单调性列不等式，由此求得的取值范围．
【详解】依题意，在上单调递减，
所以，解得．
故选：
9.【答案】
【解析】【分析】对，由角度与弧度转化的计算即可得；对，由，即可得；对，结合正弦函数定义即可得；对，第三象限角的正弦值为负．
【详解】由，故，故 A正确；
由，故 B错误；
若角的终边过点，
则，
当时，，故 C错误；
若是第三象限角，则，故 D正确．
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了指数函数与对数函数互为反函数，属于基础题．
互为反函数的函数图像关于直线对称，解题关键是根据反函数的定义直接判断即可．
【解答】
解：，
函数和互为反函数，故A正确；
再根据反函数的定义可知BD正确；
又互为反函数的函数图像关于直线对称，它们的单调性相同，故C不正确
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】化简的解析式，然后根据函数的定义域、单调性、值域、对称性、三角函数图象变换等知识对选项进行分析，从而确定正确答案．
【详解】，
所以的定义域是，
减区间是，在定义域上不具有单调性，选项错误．
的值域为，所以选项错误．
，为奇函数，图象关于原点对称，
所以关于对称，选项正确．
向右平移一个单位，得到，再向上平移个单位，得到，
所以选项正确．
故选：
12.【答案】
【解析】【分析】对于，举出反例推翻即可；对于，求出函数表达式即可验证；对于，求出函数表达式即可验证；对于，由周期性结合函数单调性即可验证．
【详解】对于，，
即不是的最小正周期，故 A错误；
对于，当时，，在区间单调递减，故 B正确；
对于，当时，
由此可知在有无数个零点，故 C错误；
对于，注意到，
即是以为周期的一个周期函数，
故我们只需考虑它在一个周期内的最大值的情况即可，
由选项分析可知，当时，
此时，当且仅当时，等号成立，
综上所述，的最大值为，故 D正确．
故选：．
13.【答案】
【解析】【分析】根据三角函数的定义即可求解．
【详解】由可得，
故由三角函数的定义可知，
故答案为：
14.【答案】
【解析】【分析】由弧度与角度的转化计算即可得．
【详解】由，故的角是角的倍
故答案为：．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．
利用基本不等式求最值即可得出．
【解答】
解：，
当且仅当时取等号，
因此经过后池水中药品的浓度达到最大．
故答案为．
16.【答案】
【解析】【分析】根据零点存在性定理，即可求解．
【详解】记，因为，，所以在上有零点，且是单调增函数，因此只有一个零点，所以．
故答案为：
17.【答案】解：若是的充分条件，则，
即，即实数的范围是；
由，故，
当时，有，解得，
当时，有，解得，
综上所述，的取值范围为．
【解析】【分析】若是的充分条件，则，由子集性质计算即可得；
若，则，结合子集性质，对与分类讨论并计算即可得．
18.【答案】解：角以为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点，由，得，
所以，可得．
依题意，，，又，
两边平方，得，即，
因此，
联立，解得，，所以点的坐标为．
【解析】【分析】求出值，再利用三角函数定义求出，利用诱导公式化简，借助齐次式法求值即得．
利用同角公式求出，再结合三角函数定义求出点的坐标．
19.【答案】解：因为函数，故它的周期为；
当时，取最大值．
解得，故的集合为
令，
解得，，
故函数的增区间为，
【解析】【分析】根据周期公式即可求解周期，利用整体法即可求解，
根据整体法求解即可．
20.【答案】解：由，，
当时，，解得，
，解得
由得，，
设两项费用之和为，则，
因为，所以，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以应该把仓库建在距离车站千米处，才能使两项费用之和最小，最小费用是万元．
【解析】【分析】直接把、分别代入函数表达式得相应的方程，由此即可得解．
将两项费用之和的表达式求出来，结合基本不等式以及取等条件即可求解．
21.【答案】解：当选时：是奇函数，证明如下：
因为在定义域为上为偶函数，
所以，所以，
所以，所以对，都有，
故，即，所以是奇函数．
当选时：是奇函数，证明如下：
因为，单调递增，
所以，解得，
所以，
所以对，都有，
故，即，所以是奇函数．
由知当，，
当时，，当且仅当时等号成立，
所以，即时，
因为是奇函数，所以当时，
综上，在上的最大值为．
因为，所以在的最大值为，
因为，，使得成立，
所以，解得，
即实数的取值范围是．
【解析】【分析】无论选那个条件都可以得到，由奇偶性的定义即可证明是奇函数．
由题意对任意的，总存在，使得成立，只需，由，当时，结合基本不等式可得，由奇函数性质可得，而在上的最大值为，由此即可求解．
22.【答案】解：令，则，
令，则．
为偶函数，证明如下：
令，则，又函数定义域为，
所以为偶函数．
令，则，且，
所以，即，
故在上递增，又为偶函数，则在上递减，
由或，
所以不等式解集为．
【解析】【分析】在中，分别依次令、即可得解．
在中，令，结合以及即可得证．
首先由单调性的定义结合已知证明在上递增，结合为偶函数可知在上递减，所以，由此即可得解．
【点睛】关键点睛：本题的第一二问的关键是适当赋值，并结合偶函数的定义证明即可，第三问的关键是利用单调性的定义先得出的单调性，再结合偶函数的性质解表达式即可，综合性比较强．
第1页，共1页
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则集合的子集个数有
( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
2.若，则的值是
( )
A. B. C. D.
3.扇形的面积为，半径为，则扇形的圆心角是
( )
A. B. C. 或 D. 或
4.命题“有一个偶数是素数”的否定是( )
A. 任意一个奇数是素数 B. 任意一个偶数都不是素数
C. 存在一个奇数不是素数 D. 存在一个偶数不是素数
5.已知，，，则
( )
A. B. C. D.
6.设函数，若是奇函数，则( )
A. B. C. D.
7.某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳的含量达到了危险状态，经抢修后恢复正常，排气分钟后测得车库内一氧化碳浓度为为浓度单位，表示百万分之一，经检验知，该地下车库一氧化碳浓度与排气时间分钟之间存在函数关系为常数，若空气中一氧化碳浓度不高于为正常，则至少需要排气多少分钟才能使这个地下车库中一氧化碳浓度达到正常状态
( )
A. B. C. D.
8.已知函数是定义域上的单调减函数，则实数的取值范围是
( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论中正确的是( )
A.
B.
C. 若角的终边过点，则
D. 若 是第三象限角，则
10.已知函数和，以下结论正确的有
( )
A. 它们互为反函数 B. 它们的定义域与值域正好互换
C. 它们的单调性相反 D. 它们的图象关于直线对称
11.已知函数，则下列说法正确的是
( )
A. 在定义域单调递减 B. 的值域为
C. 的图象关于对称 D. 可以由函数平移得到
12.关于函数，下列选项正确的是
( )
A. 的最小正周期是 B. 在区间单调递减
C. 在有个零点 D. 的最大值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.角的终边经过点，则 ．
14.的角是角的 倍．
15.为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度单位：随时间单位：的变化关系为，则经过 后池水中药品的浓度达到最大．
16.若函数在上有零点，则整数 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知集合，，．
若是的充分条件，求实数的范围；
若，求实数的范围．
18.本小题分
在平面直角坐标系：中，角以为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点．
若，求及的值；
若，求点的坐标．
19.本小题分
已知函数．
求的最小正周期，并求出取最大值时的集合；
求的单调递增区间．
20.本小题分
某家物流公司计划租地建造仓库存储货物，经过市场调查了解到下列信息：仓库每月土地占地费单位：万元与仓库到车站的距离单位：千米之间的关系为：，每月库存货物费单位：万元与之间的关系为：；若在距离车站千米建仓库，则和分别为万元和万元．
求的值；
这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？最小费用是多少？
21.本小题分
已知_____，且函数函数在定义域为上为偶函数；函数在区间上的最大值为在，两个条件中，选择一个条件，将上面的题目补充完整，求出的值，并解答本题．
判断的奇偶性，并证明你的结论；
设，对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围．
22.本小题分
已知函数的定义域为，且满足对任意，，都有．
求，的值；
判断函数的奇偶性并证明你的结论；
当时，，解不等式．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】由交集的概念以及子集个数公式即可得解．
【详解】由题意，所以的子集个数有个
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】由可得或，解出，再由集合的互异性检验即可得出答案．
【详解】因为，
所以或
由得或，其中与元素互异性矛盾，舍去，符合题意，
由得，符合题意，两种情况代入，答案相同．
故选：
3.【答案】
【解析】【分析】扇形的圆心角弧度为，根据扇形的面积公式，即可求得答案．
【详解】设扇形的圆心角弧度为，
由扇形的面积为，半径为，可得，
故选：
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查存在量词命题的否定，属于基础题．
根据存在量词命题 ，否定为 ，即可解得正确结果．
【解答】
解：由于存在量词命题的否定为全称量词命题，
所以命题“有一个偶数是素数”的否定是“任意一个偶数都不是素数”．
故选：
5.【答案】
【解析】【分析】利用对数函数与指数函数、正弦函数的性质即可得解．
【详解】因为，所以，
又，，
所以．
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】根据题意，求得，得出，结合，即可求解．
【详解】由函数，可得，
因为函数为奇函数，可得，
又由，即，可得．
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】由题意列方程求解，再由指数函数性质解不等式，
【详解】由题意得，解得，
所以，因为，所以，
解得，即至少需要排气分钟才能使这个地下车库中一氧化碳浓度达到正常状态．
故选：
8.【答案】
【解析】【分析】根据函数的单调性列不等式，由此求得的取值范围．
【详解】依题意，在上单调递减，
所以，解得．
故选：
9.【答案】
【解析】【分析】对，由角度与弧度转化的计算即可得；对，由，即可得；对，结合正弦函数定义即可得；对，第三象限角的正弦值为负．
【详解】由，故，故 A正确；
由，故 B错误；
若角的终边过点，
则，
当时，，故 C错误；
若是第三象限角，则，故 D正确．
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了指数函数与对数函数互为反函数，属于基础题．
互为反函数的函数图像关于直线对称，解题关键是根据反函数的定义直接判断即可．
【解答】
解：，
函数和互为反函数，故A正确；
再根据反函数的定义可知BD正确；
又互为反函数的函数图像关于直线对称，它们的单调性相同，故C不正确
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】化简的解析式，然后根据函数的定义域、单调性、值域、对称性、三角函数图象变换等知识对选项进行分析，从而确定正确答案．
【详解】，
所以的定义域是，
减区间是，在定义域上不具有单调性，选项错误．
的值域为，所以选项错误．
，为奇函数，图象关于原点对称，
所以关于对称，选项正确．
向右平移一个单位，得到，再向上平移个单位，得到，
所以选项正确．
故选：
12.【答案】
【解析】【分析】对于，举出反例推翻即可；对于，求出函数表达式即可验证；对于，求出函数表达式即可验证；对于，由周期性结合函数单调性即可验证．
【详解】对于，，
即不是的最小正周期，故 A错误；
对于，当时，，在区间单调递减，故 B正确；
对于，当时，
由此可知在有无数个零点，故 C错误；
对于，注意到，
即是以为周期的一个周期函数，
故我们只需考虑它在一个周期内的最大值的情况即可，
由选项分析可知，当时，
此时，当且仅当时，等号成立，
综上所述，的最大值为，故 D正确．
故选：．
13.【答案】
【解析】【分析】根据三角函数的定义即可求解．
【详解】由可得，
故由三角函数的定义可知，
故答案为：
14.【答案】
【解析】【分析】由弧度与角度的转化计算即可得．
【详解】由，故的角是角的倍
故答案为：．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．
利用基本不等式求最值即可得出．
【解答】
解：，
当且仅当时取等号，
因此经过后池水中药品的浓度达到最大．
故答案为．
16.【答案】
【解析】【分析】根据零点存在性定理，即可求解．
【详解】记，因为，，所以在上有零点，且是单调增函数，因此只有一个零点，所以．
故答案为：
17.【答案】解：若是的充分条件，则，
即，即实数的范围是；
由，故，
当时，有，解得，
当时，有，解得，
综上所述，的取值范围为．
【解析】【分析】若是的充分条件，则，由子集性质计算即可得；
若，则，结合子集性质，对与分类讨论并计算即可得．
18.【答案】解：角以为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点，由，得，
所以，可得．
依题意，，，又，
两边平方，得，即，
因此，
联立，解得，，所以点的坐标为．
【解析】【分析】求出值，再利用三角函数定义求出，利用诱导公式化简，借助齐次式法求值即得．
利用同角公式求出，再结合三角函数定义求出点的坐标．
19.【答案】解：因为函数，故它的周期为；
当时，取最大值．
解得，故的集合为
令，
解得，，
故函数的增区间为，
【解析】【分析】根据周期公式即可求解周期，利用整体法即可求解，
根据整体法求解即可．
20.【答案】解：由，，
当时，，解得，
，解得
由得，，
设两项费用之和为，则，
因为，所以，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以应该把仓库建在距离车站千米处，才能使两项费用之和最小，最小费用是万元．
【解析】【分析】直接把、分别代入函数表达式得相应的方程，由此即可得解．
将两项费用之和的表达式求出来，结合基本不等式以及取等条件即可求解．
21.【答案】解：当选时：是奇函数，证明如下：
因为在定义域为上为偶函数，
所以，所以，
所以，所以对，都有，
故，即，所以是奇函数．
当选时：是奇函数，证明如下：
因为，单调递增，
所以，解得，
所以，
所以对，都有，
故，即，所以是奇函数．
由知当，，
当时，，当且仅当时等号成立，
所以，即时，
因为是奇函数，所以当时，
综上，在上的最大值为．
因为，所以在的最大值为，
因为，，使得成立，
所以，解得，
即实数的取值范围是．
【解析】【分析】无论选那个条件都可以得到，由奇偶性的定义即可证明是奇函数．
由题意对任意的，总存在，使得成立，只需，由，当时，结合基本不等式可得，由奇函数性质可得，而在上的最大值为，由此即可求解．
22.【答案】解：令，则，
令，则．
为偶函数，证明如下：
令，则，又函数定义域为，
所以为偶函数．
令，则，且，
所以，即，
故在上递增，又为偶函数，则在上递减，
由或，
所以不等式解集为．
【解析】【分析】在中，分别依次令、即可得解．
在中，令，结合以及即可得证．
首先由单调性的定义结合已知证明在上递增，结合为偶函数可知在上递减，所以，由此即可得解．
【点睛】关键点睛：本题的第一二问的关键是适当赋值，并结合偶函数的定义证明即可，第三问的关键是利用单调性的定义先得出的单调性，再结合偶函数的性质解表达式即可，综合性比较强．
第1页，共1页